sistem persamaan linier (simple)

Author: hermawansantiko

Post on 07-Jul-2018

218 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    1/19

    SISTIM PERSAMAAN LINIER

    BENTUK UMUM

    PERMASALAHAN

    CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS

    TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?

    BENTUK TERBATAS n = 3

    nnnn j jn2n21n1

    inni j ji22i11i

    nn j j21

    nn j j21

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    baaaa

    baaaa

    baaaa

    baaaa

    2222221

    1111211

    3333231

    2232221

    1131211

    baaa

    baaa

    baaa

    321

    321

    321

    xxx

    xxx

    xxx

    aij , bi = KONSTANTA

    X j = VAR.YG DICARIi = BARIS

     j = KOLOM

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    2/19

    METODE CRAMERDESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGDENGAN DETERMINANNYA.

    PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

    METODE ELEMINASI GAUSSDESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKANDIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

     

     A

     Ax1

    333231

    232221

    131211

    33323

    23222

    13121

    1

    aaa

    aaa

    aaa

    aab

    aab

    aab U/ X2

    GANTI KOLOM 2

    PEMBILANG DGN RUAS

    KANAN.

    U/ X3 GANTI KOLOM 3

    PEMBILANG DGN RUAS

    KANAN.

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    3/19

    PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

    BILA a 11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a 21 / a 11

    BILA a 11 = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU

    BARIS YG MENGANDUNG a 11 0.

    TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN

    [ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m1 ] :

    ANALOOG UNTUK ELIMINASI a 31 DAN a 32 !!!

    HASIL TRIANGGULASI ATAS :

    22322

    1213231222

    '''

    )()()(0

    baa

    bbaaaa

    32

    13121

    xx

    mxmxm

    SISTIM PERSAMAAN

    LINIER ( SEGIEMPAT )TRANSFORMASI ELEMENTER

    SISTIM TRIANGGULASI

    ATAS ( SEGITIGA ATAS )

    333

    22322

    1131211

    ""

    '''

    ba

    baa

    baaa

    3

    32

    321

    xx 

    xxx

    DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN

    ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    4/19

    HASIL PENYELESAIAN AKHIR :

    KELEMAHAN :

    TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI

    ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>

    SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!

    METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL

    DESKRIPSI : CARA NUMERIK PENUH DIMANA X1 Xn AKANDIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

    11

    13121

    22

    232

    33

    33

    '

    ''

    "

    "

    a

    aab

    a

    ab

    a

    b 321

    323

    xx  xx

      xx

    SISTIM PERSAMAAN

    LINIER

    BENTUK RUMUS

    ITERASI

    ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN

    KETELITIAN TERTENTU

    PENYELESAIAN PDKT AWAL

    X j(0) ,  j = 1,2,3 … . . n

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    5/19

    RUMUS ITERASI : U/ n = 3,

    ASUMSI :   a 11 0 , a 22 0 , a 33 0 DAN k = ITERASI

    PROSES ITERASI :

    ITERASI 1 DIAMBIL P.P.A X1(0), X2

    (0) DAN X3(0) :

    N1,2,..., j

    (k)

    2

    (k)

    1

    (k)

    3

    1)-(k

    3

    (k)

    1

    (k)

    2

    1)-(k

    3

    1)-(k

    2

    (k)

    1

     xxx

    xxx

    x-x-1

    x

    3231333

    23212

    22

    13121

    11

    1

    1

    aaba

    aaba

    aab

    a

     xxx

    xxx

    x-x-1

    x

    (1)

    2

    (1)

    1

    (1)

    3

    (0)3

    (1)1

    (1)2

    (0)3

    (0)2

    (1)1

    3231333

    23212

    22

    13121

    11

    1

    1

    aab

    a

    aaba

    aab

    a

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    6/19

    ITERASI 2 DIAMBIL X1(1), X2

    (1) DAN X3(1) :

    DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) X(k-1) DAN ITERASI

    DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :

    RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ),

     xxx

    xxx

    x-x-1

    x

    (2)

    2

    (2)

    1

    (2)

    3

    (1)

    3

    (2)

    1

    (2)

    2

    (1)

    3

    (1)

    2

    (2)

    1

    32313

    33

    23212

    22

    13121

    11

    1

    1

    aaba

    aaba

    aaba

    ketelitian x-xm 1)-(k(k)(k)

    N1,2,3,...,kn1,2,3,..., ji ,

    (k)

     j

    n

    1i j i i

    i j1)(k

     j

    1-i

    1 j i i

    i j

    i i

    i1)(k

    i

     

    xxx

    a

    a

    a

    a

    a

    b

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    7/19

    KELEMAHAN :

    SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL

    SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0

    PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!!

    KRITERIA KONVERGENSI

    BENTUK MATRIKSBENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) :

    n

    i j1, j

    i ji i   aa

    n

     j

    n

     j

    2

    1

    nnnjnn

    ini jii

    n j

    n j

    x

    x

    x

    x

    b

    b

    b

    b

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    2

    1

    21

    21

    222221

    111211

    BX A

     ataux i ji j   ba

    ELEMEN DIAGONAL HARUS

    DOMINAN !!!

    BENTUK SINGKAT :

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    8/19

    BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n,

    BENTUK U/ n = 3 :

    PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :

    [A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A,

    ij = KOFAKTOR DAN M ij = MINOR.

    3333231

    2232221

    1131211

    3

    2

    1

    333231

    232221

    131211

    baaa

    baaa

    baaa

    b

    b

    b

    aaa

    aaa

    aaa

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    ij ji

    ij ji    M  Aadj A Aadj A

     B A X 

    )1(1

    1

     ji j   ba  

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    9/19

    METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS )

    DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGMELALUI PROSEDUR BERIKUT ,

    PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

    [ aij : bi ] = [ Lij ][ Tij : ci ]

    HITUNG KOEFISIEN

    Lij , Tij , Ci

    PENYELESAIAN

    X j

    TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN

    RUAS KIRI DAN KANAN )

    TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK

    PADA [ Tij : CI ]

    3

    223

    11312

    333231

    2221

    11

    c100

    cT10

    cTT1

     

    LLL

    0LL

    00L

     

    3333231

    2232221

    1131211

    baaa

    baaa

    baaa

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    10/19

    HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

    PENYELESAIANNYA :

    X3 = C3 X2 = C2 – T23 X3 X1 =C1 – T13 X3 – T12 X2RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :

    33

    2321313

    22

    1212

    11

    1

    233213313312313231

    22

    13212312212221

    11

    13

    11

    1211

    L

    )cL-cLc 

    L

    cLc 

    L

    c

    TL-TLL TLL L

    L

    TLT TLL L

     L

    T L

    T L

    321

    333231

    232221

    131211

    ()(

    )(

    bbb

    aaa

    aaa

    aaa

    )1(,...,3,2,1

    1

    1

    n j n2,3,4,...,i

    1-i

    1kkiki

    i ii

    n

    1 jr 

    r  jr  j jn2,3,4,..., j, ji

    1-i

    1k

    kjikij

    ii

    i j

    nn n1,2,3,..., j, jikj

    1 j-

    1k

    ikiji j

     ,cLLc

    xTc  x,TLL

    T

    cx,TLL

    b

    a

    a

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    11/19

    METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS )

    DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNGMELALUI PROSEDUR BERIKUT :

    PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

    [ aij : bi ] = [ U ji ][ Uij : ci ]

    HITUNG KOEFISIENUij , Ci

    PENYELESAIAN

    X j

    TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN

    RUAS KIRI DAN KANAN )

    TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK

    PADA [ Uij : CI ]

    333

    22322

    1131211

    332313

    2212

    11

    cU00

    cUU0

    cUUU

     

    UUU

    0UU

    00U

     

    3333231

    2232221

    1131211

    baaa

    baaa

    baaa

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    12/19

    HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

    PENYELESAIAN :

    RUMUS UMUM ( n x n ) :

    33

    2321313

    2

    23

    2

    1333

    12

    13

    22

    121

    222

    1312

    2311

    12

    11

    1

    2

    122211

    U

    )Uc-Ucc UUU 

    UU

    U

    Uc

    c U

    UU

    U UU

     U

    c UU U

    323

    13

    22312

    12211

    (

    )()(

    ba

    a

    baa

    baa

    i i

    1-i

    1kkkii

    i n2,3,4,..., j

    i i

    1-i

    1kkjkii j

    i j

     n2,3,4,...,i

    i

    1k

    2

    kii ii i

    U

    cU

    c,

    U

    UU

    U

     ,UU

    ba

    a

    1

    11

    31321211

    22

    32322

    33

    33

    UxU-xU-c  x

    UxUc  x

    Ucx

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    13/19

    X1

    X2

    ( 0,0 )

    1

    2

    1

    PENYELESAIANNYA :

    CONTOH SOAL :

    INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 :

    1)-(n1,2,3,...,i

    i i

    n

    1ikkiki

    i

    nn

    nn

     ,U

    xUcx

    U

    cx

    2 X1 + X2 = 2

    X1 – 2 X2 = 2

    TITIK POTONG PENYELESAIAN

     YANG DICARI !!!

    ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU

    TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    14/19

    INVERSI MATRIKS

    BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :

    DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :

    PENYELESAIAN :

    BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :

    ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )

    A = DETERMINAN [ A ], [ C ]T

    = ADJOINT [ A ].

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    333231

    232221

    131211

    x

    x

    x

    b

    b

    b

    aaa

    aaa

    aaa

    b A A   BX

    InversMatriks

     

    11

    111

    X

    X

     A B A

     I  A A B A A A

    TC 

     A A

      11

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    15/19

    METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :

    AMBIL :

    HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :

      C 11 ,  C 12 , . . . ,  C 33 DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN

    MENJADI BANYAK !!!

     I  AC C  A

    ccc

    ccc

    ccc

    C  A

    333231

    232221

    131211

    1

    100

    010

    001

    333231

    232221

    131211

    333231

    232221

    131211

    ccc

    ccc

    ccc

    aaa

    aaa

    aaa

     

    1

    0

    0

    1

    00

    000

    000

    000

    33

    13

    12

    11

    3331

    31

    21

    11

    c

    c

    c

    c

    aa

    a

    a

    a

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    16/19

    PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :

    METODE REDUKSI

    AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :

    PROSEDUR REDUKSI :

    [ R i ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN

    AKHIR [ R I ] [ A ] = [ I  ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.

    333231

    232221

    131211

    333231

    232221

    131211

    100

    010

    001

    100

    010

    001

    ccc

    ccc

    ccc

    aaa

    aaa

    aaa

    C  I  I  A

     

     B A

    b

    b

    b

    aaa

    aaa

    aaa

    X

    x

    x

    x

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    333231

    232221

    131211

    1,2,3i,X ii   B R A R

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    17/19

    REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R 1 ] DIAMBIL BERIKUT :

    HASIL PERKALIAN :

    DALAM BENTUK SINGKAT :

     B R A R

    a

    a

    aa

    a

     R 11

    11

    31

    11

    21

    11

    1   X

    10

    01

    001

    3

    2

    1

    1

    3

    2

    1

    '

    33

    '

    32

    '

    23

    '

    22

    '

    13

    '

    12

    x

    x

    x

    0

    0

    1

    b

    b

    b

     R

    aa

    aa

    aa

     

     B R A  11   X

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    18/19

    REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ] [ R 2 

    ] DIAMBIL BERIKUT :

    HASIL PERKALIAN :

    DALAM BENTUK SINGKAT :

     B R R A R

    a

    a

    a

    a

    a

     R   X 1212

    '

    22

    '

    32

    '

    22

    '

    22

    '

    12

    2

    10

    01

    0

    01

    3

    2

    1

    12

    3

    2

    1

    "

    33

    "

    23

    "

    13

    x

    x

    x

    00

    10

    01

    b

    b

    b

     R R

    a

    a

    a

     

     B R R A  122   X

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

  • 8/18/2019 Sistem Persamaan Linier (simple)

    19/19

    REDUKSI KOLOM 3 DR [ A ] [ R 3 

    ] DIAMBIL BERIKUT :

    HASIL PERKALIAN :

    DENGAN DEMIKIAN :

    BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :

     B R R R A R

    a

    aa

    a

    a

     R  12323

    "

    33

    "

    33

    "

    23

    "

    33

    "

    13

    3   X

    100

    10

    01

    3

    2

    1

    123

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    100

    010

    001

    b

    b

    b

     R R R  

    -1

    123   R R R A

     

    -1

    12n1nn   R R R R A 

    10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB