25/04/2016

1

SistemSistem PersamaanPersamaan Linier Linier dandanPembentukanPembentukan FungsiFungsi sertasertaPenerapanPenerapan MatriksMatriks dalamdalam EkonomiEkonomipp

Oleh:Imam Awaluddin

1

Bahan Kuliah Matematika EkonomiFakultas Ekonomi dan BisnisUniversitas Lampung2016

Penyelesaian persamaan dengan matriks Penyelesaian persamaan dengan matriks inverseinverse

1 2 34 5 8x x x+ − =

1 2 3

1 2 3

2 3 123 4 5

x x xx x x

− + + =− + =

Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = K

4 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2

1

2

3

4 1 5 82 3 1 123 1 4 5

xxx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rumus : X = A-1K

1 1 AdjA A− = Adj 'A C=jA

j

1

2

3

4 1 5 82 3 1 123 1 4 5

xxx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦33 1 4 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

|A| = 4[3(4)-(-1)(1)]–1[(-2)(4)-3(1)]+(-5)[(-2)(-1)-3(3)]|A| = 52 + 11 + 35 = 98.

3

3 1 2 1 2 3⎡ − − ⎤−⎢ ⎥1 4 3 4 3 1

13 11 71 5 4 5 4 1

1 31 71 4 3 4 3 1

16 6 141 5 4 5 4 1

C

⎢ ⎥− −⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥

4

3 12 2 1 2 3−

⎢ ⎥− −⎣ ⎦

25/04/2016

2

13 1 16⎡ ⎤⎢ ⎥Adj ' 11 31 6

7 7 14A C ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦

13 16198 98 98

1

13 1 161

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

5

1 31 61198 98 987 7 14

98 98 98

1 11 31 698

7 7 14A−

−

⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rumus : X = A-1K

13 16198 98 98 8⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥31 611

98 98 987 7 14

98 98 98

125

X−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

104 80 1961298 98 98 9888 372 30 490

25X

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥88 372 30 490

98 98 98 9856 84 70 9898 98 98 98

51

X−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x1 = 2, x2 = 5, x3 = 1. 6

Penyelesaian persamaan dengan Aturan Penyelesaian persamaan dengan Aturan CramerCramer

1 2 34 5 8x x x+ − =

1 2 3

1 2 3

2 3 123 4 5

x x xx x x

− + + =− + =

Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = K

4 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

7

1

2

3

4 1 5 82 3 1 123 1 4 5

xxx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rumus: ii

Ax

A= Cari Determinan A: |A| = 98.

8 1 5⎡ ⎤

1

2

3

81

1 53 11 4

2 24

3 5

xxx

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡

⎢ ⎥ ⎢

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦

−

⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎥AX = K

8

1

8 1 512 3 15 1 4

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

25/04/2016

3

1

8 1 512 3 15 1 4

A−

=−

1

3 1 12 1 12 38 1 ( 5)

1 4 5 4 5 1A = − + −

− −

1 8(13) 1(43) 5( 27) 196A = − − − =

11

196 298

Ax

A= = =

9

Rumus:i

i

Ax

A=

1 84 51 x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥AX = K

1

2

3

12 13 41

235

xx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦−

4 8 5−⎡ ⎤⎢ ⎥

2 2 12 13 5 4

A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

10

2

4 8 52 12 13 5 4

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

12 1 2 1 2 124 8 ( 5)

5 4 3 4 3 5A

− −= − + −

2 4(43) 8( 11) 5( 46) 490A = − − − − =

⎣ ⎦

22

490 598

Ax

A= = =

11

Rumus:i

i

Ax

A=

1 854 1 x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥

−

AX = K1

2

3

114

2 3 23 1 5

xx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥

4 1 8⎡ ⎤⎢ ⎥

3 2 3 123 1 5

A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

12

25/04/2016

4

3

4 1 82 3 123 1 5

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1

3 12 2 12 2 34 1 8

1 5 3 5 3 1A

− −= − +

− −

1 4(27) 1( 46) 8( 7) 98A = − − + − =

33

98 1.98

Ax

A= = =

13

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN PEMBENTUKAN FUNGSPEMBENTUKAN FUNGSII

Pokok Bahasan dalam Matematika I, telahd b h b k f l ldibahas cara membentuk fungsi melaluidua titik koordinat yang diketahui. Dalampokok bahasan ini akan dibahas caramembentuk fungsi melalui beberapa titikkoordinat yang diketahuiy g

14

MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier Linier SatuSatuVariabelVariabel BebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik

Bentuk Umum Fungsi Linier:

Y = a0 + a1X.Untuk menentukan parameter fungsi (a0 dana1), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:

15

02

1

an X YaX X XY

∑ ∑⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

contohcontoh

X Y X2 X.Y0 3 0 01 5 1 52 7 4 143 9 9 274 11 16 44

∑X = 10 ∑ Y = 35 ∑ X2 = 30 ∑X.Y = 90

16

25/04/2016

5

contohcontoh

X Y X2 X.Y0 3 0 01 5 1 52 7 4 143 9 9 274 11 16 44

∑X = 10 ∑ Y = 35 ∑ X2 = 30 ∑X.Y = 90

17

Pembentukan pers. matriks:Pembentukan pers. matriks:

05 10 35a⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Dengan menggunakan invers matriks, a0 dana1 dapat dicari dengan Rumus : X = A‐1K

0

110 30 90a=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

18

10

1

5 10 3510 30 90

aa

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

MencariMencari inverseinverseBa = K  a = B‐1KB‐1 =(1/|B|) (Adj B)Adj B = (kof B)’

0

1

5 10 3510 30 90

aa⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Adj B   (kof B)110 30 90a⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

30 10AdjB

10 5−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

30 10kof.B

10 5−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

19

-13 130 101 5 5B

10 5 1 1505 10

⎡ ⎤−−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ −⎣ ⎦

MenyelesaikanMenyelesaikan persamaanpersamaan matriksmatriks

03 1 355 5

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥a

1

0

1

901 15 10

21 18 37 9 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

a

aa

a0 = 3, a1 = 2Y = 3 + 2X

20

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

25/04/2016

6

Atau dapat dicari dengan aturan CramerAtau dapat dicari dengan aturan Cramer

Parameter a0 dan a1 dapat dicari dengan menggunakan invers matriks atau dengan menggunakan invers matriks atau dengan aturan Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 3, a1 = 2.Fungsi liniernya: Y = 3 + 2X.

21

MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier DuaLinier DuaVariabelVariabelBebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik KoordinatKoordinat

Bentuk Umum Fungsi Linier:Y = a + a X + a XY = a0 + a1X1 + a2X2.

Untuk menentukan parameter fungsi (a0, a1 dan a2), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:

n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

22

1 2 02

1 1 1 2 1 12

2 2 1 2 2 2

n X X a YX X X X a X YX X X X a X Y

∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ContohContoh 1:1:

X1 X2 Y X1.X1= X 2

X2.X2= X 2

X1.Y X2.Y X1.X2= X1

2 = X22

0 1 4 0 1 0 4 01 3 8 1 9 8 24 32 5 12 4 25 24 60 103 7 16 9 49 48 112 214 9 20 16 81 80 180 364 9 20 16 81 80 180 36

∑ X1=

∑X2 =

∑ Y =

∑ X12

= ∑ X2

2

=∑X1.Y

=∑X2.Y =

∑X1X2=

10 25 60 30 165 160 380 70

23

Pembentukan persamaan matriksPembentukan persamaan matriks

1 2 0n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2

1 1 1 2 1 12

2 2 1 2 2 2

X X X X a X YX X X X a X Y

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

05 10 25 60a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

24

0

1

2

10 30 70 16025 70 165 380

aa

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

25/04/2016

7

Karena determinannya nol, maka tidak adapenyelesaianpenyelesaian.

25

MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier DuaLinier DuaVariabelVariabelBebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik KoordinatKoordinat

Bentuk Umum Fungsi Linier:Y = a + a X + a XY = a0 + a1X1 + a2X2.

Untuk menentukan parameter fungsi (a0, a1 dan a2), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:

n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

26

1 2 02

1 1 1 2 1 12

2 2 1 2 2 2

n X X a YX X X X a X YX X X X a X Y

∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ContohContoh 2:2:

X1 X2 Y X1.X1= X 2

X2.X2= X 2

X1.Y X2.Y X1.X2= X1

2 = X22

0 1 4 0 1 0 4 01 2 8 1 4 8 16 22 5 12 4 25 24 60 103 6 16 9 36 48 96 184 10 20 16 100 80 200 404 10 20 16 100 80 200 40

∑ X1=

∑X2 =

∑ Y =

∑ X12

= ∑ X2

2

=∑X1.Y

=∑X2.Y

=∑X1X2

=10 24 60 30 166 160 376 70

27

Pembentukan persamaan matriksPembentukan persamaan matriks

1 2 0n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2

1 1 1 2 1 12

2 2 1 2 2 2

X X X X a X YX X X X a X Y

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

05 10 24 60⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

a

28

0

1

2

10 30 60 16024 60 166 376

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

aa

25/04/2016

8

Parameter a0, a1 dan a2 dapat dicari denganmenggunakan invers matriks atau denganmenggunakan invers matriks atau denganaturan Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 1,099, a1 = 2,549 , a2 = 1,209.Fungsi liniernya: Y = 1,099 + 2,549X1 + g y 11,209X2.

29

PenerapanPenerapan MatriksMatriks dalamdalam BidangBidangEkonomiEkonomi

Pembentukan fungsi linier (regresi linier) dalam ekonomidalam ekonomiMaksimisasi utilitas dengan kendalaanggaranMaksimisasi output dengan kendala biayaMinimisasi biaya dengan kendala output tertentuM k l b h d dMaksimisasi laba perusahaan dengan duaproduk atau lebihMaksimisasi laba monopolis dengandiskriminasi harga.

30

LatihanLatihan 1: 1: PembentukanPembentukan fungsifungsipermintaanpermintaan Q = f(P, YQ = f(P, YDD))

X1 = P

X2

YY Q

X12

P2X2

2

Y 2X1X2

PYX1YPQ

X1YY QP =YD = Q = P2 = YD

2 =PYD = PQ =YDQ1 42 20 1 1764 42 20 8402 39 18 4 1521 78 36 7023 35 17 9 1225 105 51 5954 30 14 16 900 120 56 4205 25 12 25 625 125 60 3005 25 12 25 625 125 60 3006 21 9 36 441 126 54 1897 20 6 49 400 140 42 120

28 212 96 140 6876 736 319 3166

31

07 28 212 9628 140 736 319

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

a

Parameter a0, a1 dan a2 dapat dicari denganmenggunakan invers matriks atau dengan aturan

1

2

28 140 736 319212 736 6876 3166

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

aa

Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 31,901, a1 = -3,091 , a2 = -0,192.Fungsi liniernya: Q = 31,901 - 3,091P - 0,192YD.

32

25/04/2016

9

SoalSoal LatihanLatihan diskriminasidiskriminasi hargaharga

Perusahaan penerbangan “Gagak Hitam” i hk ti t k l memisahkan tiga pasar untuk pelayanan

penerbangannya. Permintaan masing-masing pasar adalah sebagai berikut:

11 112

12 210

Penerbangan siang : 12Penerbangan malam : 11

Q PQ P

= −

= −

33

2 210

13 38

gPenerbangan khusus : 13

QQ P= −

1 2 3dimana Q Q Q Q= + +

240 10 0,5C Q Q= + +

PERTANYAAN:Bentuk fungsi penerimaannyaBentuk fungsi labanyaCarilah tingkat output dan harga di masing-masingpasar yang memaksimumkan laba dengan:

Metode inverse matriksMetode aturan Cramer.

Uji apakah labanya maksimum (dg uji |H|)Berapa laba maksimumnyaBerapa elastisitas permintaa masing2 pasar padatingkat output dan harga tersebut.

34

Cara penyelesaianCara penyelesaian

Ingat rumus: π = R – C, dan R = PQKarena ada 3 pasar: R = R1 + R2 + R3.π = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 - C

11 1 1 112

12 2 2 210

1

12 144 1211 110 1013 104 8

Q P P QQ P P QQ Q

= − ⇒ = −

= − ⇒ = −

π = (144-12Q1)Q1+(110-10Q2)Q2+(104-8Q3)Q3–C

35

13 3 3 3813 104 8Q P P Q= − ⇒ = −

C = 40 + 10Q + 0,5Q2

C = 40 + 10(Q1+Q2+Q3) + 0,5(Q1+Q2+Q3)2.C 40 + 10Q + 10Q + 10Q + 0 5Q 2C = 40 + 10Q1 + 10Q2 + 10Q3 + 0,5Q1

2

+ Q1Q2 + 0,5Q22 + Q2Q3 + 0,5Q3

2 + Q1Q3.

π = 144Q1 – 12Q12+110Q2 – 10Q2

2 +104Q3 – 8Q32

– 40 – 10Q1 – 10Q2 – 10Q3 – 0,5Q12

– Q1Q2 – 0 5Q22 – Q2Q3 – 0 5Q3

2 – Q1Q3Q1Q2 0,5Q2 Q2Q3 0,5Q3 Q1Q3.

π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2

2 +100Q2

– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40.

36

25/04/2016

10

π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2

2 + 100Q2

– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40.

π1 = –25 Q1 + 134 – Q2 – Q3 = 0π = 21 Q + 100 Q Q = 0π2 = –21 Q2 + 100 – Q1 – Q3 = 0π3 = –17 Q3 + 94 – Q1 – Q2 = 0

25Q1 + Q2 + Q3 = 134Q1 + 21Q2 + Q3 = 100Q1 + Q2 + 17Q3 = 94

37

1

2

3

25 1 1 1341 21 1 1001 1 17 94

QQQ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Kunci jawabanKunci jawaban

Q1 = 4,99; P1 = 84,12.Q = 4 29; P = 67 10Q2 = 4,29; P2 = 67,10.Q3 = 4,98; P3 = 64,16.|H1| = -25, |H2| = 524, |H3| = |A| = -8864.ε1 = -1,40, ε2 = -1,56, ε3 = -1,61.

38

MaksimasiMaksimasi UtilitasUtilitas dengandengan kendalakendalaanggarananggaranU = f(X,Y)I = PxX + PyYx yL = f(X,Y) + λ(I ‐ PxX ‐ PyY)FOCLX = fX – λPx = 0LY = fY – λPY = 0I ‐ PxX – PyY = 0

D i FOC b k X Y d λ d di i dDari FOC tsb maka X, Y, dan λ dapat dicari denganmenggunakan persamaan matriks. Sedangkan dariSOC dapat dibuktikan apakah utilitasnyanyamaksimum dengan menggunakan determinanHessian terbatas.

39

ContohContoh::Fs. Utilitas: U = 2XY  Kendala anggaran: 3X + 4Y = 90Kendala anggaran: 3X + 4Y   90L = XY + λ(90 ‐ 3X ‐ 4Y)FOCLX = 2Y – 3λ = 0LY = 2X – 4λ = 0Lλ = 90 ‐ 3X ‐ 4Y = 0

Dari FOC tersebut dapat dibentuk dalampersamaan matriks.

40

25/04/2016

11

DibentukDibentuk dalamdalam persamaanpersamaan matriksmatriks2Y – 3λ = 0

2X          – 4λ = 03X 4Y 90– 3X – 4Y         = –90

0 2 3 02 0 4 03 4 0 90λ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

XY

41

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Dengan menggunakan aturan Cramer ataumatriks inverse, dapat diperoleh nilai X = 15, Y = 11,25 dan λ = 7,5. Sedangkan U = 337,5.

UntukUntuk melihatmelihat apakahapakah utilitasnyautilitasnyamaksimummaksimumFOC:LX = 2Y – 3λ = 0LX  2Y  3λ  0LY = 2X – 4λ = 0Lλ = 90 ‐ 3X ‐ 4Y = 0

SOC: LXX = 0, LXY = 2, LYY = 0, LYX = 2gX = 3, gY = 4

42

0 3 43 0 2 48 0 max4 2 0

= = > →H U

MaksimasiMaksimasi LabaLaba perusahaanperusahaan dengandengan 3 3 barangbarang salingsaling berkaitanberkaitan

P1 = 70 – 2Q1 – Q2 – Q3.P2 = 120 –Q1 – 4Q2 – 2Q3P2  120  Q1 4Q2 2Q3.P3 = 90 – Q1 – Q2 – 3Q3.TC = Q1

2 + Q1Q2 + 2Q22 + 2Q2Q3 + Q3

2 + Q1Q3.Carilah output dan harga masing‐masingbarang agar labanya maksimum dengan

k t Cmenggunakan aturan Cramer.Berapa laba maksimumnya dan buktikanbahwa labanya maksimum

43

MencariMencari fungsifungsi labalabaΠ = TR – TC

Π = PQ – TCΠ = PQ  TC

Π = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 – TC

Π = (70 – 2Q1 – Q2 – Q3)Q1 + (120 –Q1 – 4Q2 –2Q3)Q2 + (90 – Q1 – Q2 – 3Q3)Q3 – (Q1

2 + Q1Q2 + 2Q2

2 + 2Q2Q3 + Q32 + Q1Q3)

Π = 70Q1 – 2Q12 – Q2Q1 – Q3Q1 + 120Q2 – Q1Q2

– 4Q22 – 2Q3Q2 + 90Q3 – Q1Q3 – Q2Q3 – 3Q3

2

– Q12 – Q1Q2 – 2Q2

2 – 2Q2Q3 – Q32 – Q1Q3.

44

25/04/2016

12

SyaratSyarat ΠΠmax max  FOCFOCΠ = 70Q1 + 120Q2 + 90Q3 – 3Q1Q2 – 5Q2Q3

– 3Q1Q3 – 3Q12 – 6Q2

2 – 4Q32.1 3 1 2 3

Πmax  FOCΠ1 = 70 – 3Q2 – 3Q3 – 6Q1 = 0Π2 = 120 – 3Q1 – 5Q3 – 12Q2 = 0Π3 = 90 – 5Q2 – 3Q1 – 8Q3 = 0Dapat disusun ulang:Dapat disusun ulang:– 6Q1    – 3Q2 – 3Q3 = –70– 3Q1 – 12Q2 – 5Q3 = –120– 3Q1     – 5Q2 – 8Q3 = –90

45

MembentukMembentuk persamaanpersamaan matriksmatriks1

2

6 3 3 703 12 5 1203 5 8 90

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

QQQ

Dengan menggunakan aturan Cramer:33 5 8 90⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Q

1 2 3

11

336, 2000, 2160, 1680

2000 5,95336

= − = − = − = −

−= =

−

A A A A

AQ

A

46

22

33

3362160 6,43336

1680 5336

−= =

−−

= =−

AA

QAA

QA

BuktiBukti ππ max max SOCSOCΠmax  FOCΠ1 = 70 – 3Q2 – 3Q3 – 6Q1 = 0Π2 = 120 – 3Q1 – 5Q3 – 12Q2 = 0Π2  120  3Q1  5Q3 12Q2  0Π3 = 90 – 5Q2 – 3Q1 – 8Q3 = 0SOC:Π11 = ‐6, Π12 = ‐3, Π13 = ‐3Π21 = ‐3, Π22 = ‐12, Π23 = ‐5Π 3 Π 5 Π 8Π31 = ‐3, Π32 = ‐5, Π33 = ‐8

47

6 3 33 12 5 3363 5 8

− − −= − − − = −− − −

H

|H1| = ‐6 < 0,|H2| = 63 > 0,|H3| = |H|= ‐336 < 0,Maka πmaksimum

Selamat BerlatihSelamat Berlatih

wassalamwassalam

48