sistem persamaan linier

Aljabar Linear

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di

bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di

bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan

banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban

tunggal bagi variabel.

Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear,

umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik

sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan

mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh.

Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang

mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak. Untuk

membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.

Tujuan Instruksional Kusus

Setelah mempelari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :

a. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan pengertian penyelesaian

sistem persamaan linear

b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss

dan Gauss-Jordan.

1.1. Pengertian Sistem Persamaan Linear

Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variabel x1, x2, …, xn dapat

dinyatakan dalam bentuk :

Aljabar Linear

a1x1 a2 x 2 … an xn b,

dengan a1, a2, …, an dan b adalah konstanta real.

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. x 3y 7

b. y 5x 3z 1

Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. x2 3y = 5

d. y sin x = 0

Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variabel

x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk

umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan

n variabel x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :

a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1

a21 x1 a22 x2 … a2n xn b2

:

am1x1 am2 x2 … amn xn bm,

dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta real.

Contoh :

a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :

x1 2 x2 5

2 x1 3 x2 8

b. SPL 2 persamaan 3 variabel :

Aljabar Linear

x1 x2 x3 2

2 x1 x2 x3 4

c. SPL 3 persamaan 2 variabel :

x1 x2 2

x1 x2 1

x1 4

Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks.

Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan,

susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-

bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks.

Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

atau A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = ija

dengan i =

1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom dari matriks A.

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks berukuran

mxn dan dilambangkan dengan Am n atau (aij)m n, ditulis singkat A = ija

. Dalam hal

ini aij dinamakan elemen ke-ij dari matriks A. Matriks A = ija

dengan m = n

dikatakan sebagai matriks persegi.

Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variabel-variabel yang

tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan sebagai matriks

Aljabar Linear

A X B

dengan Am x n = ija

, Xn x 1 = jx

, dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks koefisien.

Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan

linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen.

Contoh :

a. SPL non homogen berikut

x1 x2 x3 2

2x1 x2 x3 4

disajikan dalam bentuk matriks

4

2.

112

311

3

2

1

x

x

x

.

b. SPL homogen berikut

x1 x2 0

x1 x2 0


0

0.

11

11

2

1

x

x

.

1.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2 + … + anxn =b

adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi

jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian

tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …,

xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut.

Aljabar Linear

Contoh :

a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

x1 2x 2 5

2x1 3x 2 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak

memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.

c. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 x2 x3 2

2x1 + x2 x3 4

karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) – 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga merupakan penyelesaian

SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika adalah

sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2,,) adalah penyelesaian

SPL tersebut.

Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat

ditunjukkan pada sistem

x1 x2 2

x1 x2 1

x1 4

Jika persamaan ketiga x1= 4 disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua, maka x2

harus memenuhi :

4 x2 = 2

4 x2 = 1

Aljabar Linear

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak

mempunyai penyelesaian.

Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten

(inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut

konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu :

1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)

2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)

3. SPL tidak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X0, yang

dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain (yang tidak nol), maka

penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0

x 1 + 2 x 2 = 0

x 2 + x 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

x 1 = 2 x 3

x 2 = x 3

Jika x3 = t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = t sehingga himpunan

penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai

tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t. Š

Aljabar Linear

1.3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss dan

Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form) jika

memenuhi :

a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka elemen pertama yang

tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama (pivot)

b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini diletakkan pada

baris paling bawah.

c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua elemennya nol, 1

utama pada baris yang bawah terletak di sebelah kanan dari 1 utama baris di

atasnya.

Contoh :

100

310

241

dan

00000

21000

31100

50231

adalah bentuk eselon baris, sedangkan

[1 0 00 0 00 0 1 ]

dan [1 2 60 0 10 1 2 ]

bukan bentuk eselon baris

Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-

echelon form) jika matriks tersebut dalam bentuk eselon baris dan pada masing-

masing kolom yang memuat 1 utama, elemen 1 merupakan satu-satunya elemen

yang tidak nol.

Contoh.

Aljabar Linear

000

100

010

001

dan

0000

1000

0210

adalah bentuk eselon baris tereduksi,

sedangkan [0 1 3 50 0 1 20 0 0 0 ]

bukan bentuk eselon baris tereduksi.

Matriks Yang Diperbesar

Ingat bahwa suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variabel-variabel

yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan sebagai matriks

A X B

dengan Am n = ija

, Xn x 1 = jx

, dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks koefisien.

Untuk menyelesaikan SPL tersebut dibentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix)

[A|b]

Contoh.

SPL non homogen berikut

x1 x2 x3 2

2x1 x2 x3 4


4

2.

112

311

3

2

1

x

x

x

.

Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah [1 −1 3 22 −1 −1 4 ]

Aljabar Linear

Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan

menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan

penyelesaian yang sama (sistem yang ekivalen) tetapi penyelesaiannya lebih mudah.

Sistem baru ini biasanya diperoleh melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga

jenis operasi berikut untuk mengeliminasi variabel-variabel yang tidak diketahui secara

sistematis.

1. Menukar posisi dua persamaan

2. Mengalikan persamaan dengan bilangan real k dengan k ¿ 0.

3. Menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.

Karena baris-baris dari matriks yang diperbesar [A|b] bersesuaian dengan

persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, ketiga operasi ini bersesuaian dengan

operasi-operasi berikut pada baris-baris matriks yang diperbesar.

1. Menukar posisi dua baris

2. Mengalikan baris dengan bilangan real k dengan k ¿ 0.

3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya

Operasi-operasi tersebut disebut dengan operasi baris elementer.

Contoh :

Selesaikan SPL berikut :

x + y + 2 z = 9

2 x + 4 y 3 z = 1

3 x + 6 y 5 z = 0

Pada kolom kiri di bawah ini, SPL diselesaikan dengan melakukan operasi terhadap

persamaan dalam sistem, sedangkan pada kolom kanan SPL yang sama diselesaikan

dengan melakukan operasi terhadap baris pada matriks diperbesarnya.

Aljabar Linear

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0563

1342

9211

0563

1772

92

zyx

zy

zyx

0563

17720

9211

27113

1772

92

zy

zy

zyx

271130

17720

9211

27113

92

217

27

zy

zy

zyx

271130

10

9211

217

27

23

21

217

27

92

z

zy

zyx

23

21

217

27

00

10

9211

Tambahkan 2 kali persamaan pertama ke persamaan kedua untuk memperoleh

Tambahkan 2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh

Kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh

Kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh

Tambahkan 3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh

Kalikan persamaan ketiga dengan 2 untuk memperoleh

Kalikan baris ketiga dengan 2 untuk memperoleh

Aljabar Linear

3

92

217

27

z

zy

zyx

3100

10

9211

217

27

32

1727

235

211

z

zy

zx

3100

10

01

217

27

235

211

3

2

1

z

y

x

3100

2010

1001

Penyelesaian x = 1, y = 2, dan z = 3 kini telah diperoleh.

Contoh di atas menggambarkan bagaimana operasi baris elementer dapat digunakan untuk

menyelesaikan SPL. Untuk mempersingkat penulisan, operasi baris elementer di atas

dinotasikan sebagai berikut :

1. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.

2. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0k , dinyatakan dengan

Bi(k).

3. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada baris ke-i,

dinyatakan dengan Bij(k).

Tambahkan 1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh

Tambahkan 1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh

Tambahkan 211

kali persamaan ketiga ke persamaan pertama

dan 27

kali persamaan ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh

Tambahkan 211

kali baris ketiga

ke baris pertama dan 27

kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh

Aljabar Linear

Jika operasi baris elementer dikenakan pada suatu matriks untuk memperoleh

matriks yang lain, maka matriks awal dan hasilnya dihubungkan dengan tanda .

Metode Eliminasi Gauss

Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam

bentuk matriks diperbesar [A|b] ke bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss.

Contoh :


x1 2 x2 4

3 x1 x2 2

4 x1 x2 6

SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan

A=[1 23 −14 1 ]

2

1

x

xX

dan

6

2

4

b

.

Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =

614

213

421

.

Dengan operasi baris elementer , diperoleh

Aljabar Linear

614

213

421

)3(21

B

614

1070

421

)4(31

B

1070

1070

421

)1(32

B

000

1070

421

)(71

2

B

000

10

421

710

Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir menunjukkan SPL :

710

2

21 42

x

xx

SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL awal.

Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :

x2=107 , dan selanjutnya diperoleh juga

x1=87

Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=( 8

7, 10

7)

Contoh :

Selesaikan SPL berikut : x1 + 2x2 + x3 = 1

2x1 x2 + x3 = 2

4x1 + 3x2 + 3x3 = 4

3x1 + x2 + 2x3 = 3

Penyelesaian :


Aljabar Linear

213

334

112

121

A

,

X=[ x1

x2

x3]dan

3

4

2

1

b

.

Selanjutnya dibentuk matriks [ A|b ] =

3213

4334

2112

1121

.

Dengan operasi baris elementer B21(-2), B31(-4), B41(-3), B32(-1), B42(-1), B2(-1/5) kita dapat

memperoleh bentuk eselon baris dari matriks [ A|b ] yaitu

0000

0000

05/110

1121

Jika kita kembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir menunjukkan SPL :

0x5

1x

1xx2x

32

321

SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL awal.


31

32

x5

31x

x5

1x

Jika x3 = t, maka t

5

1x2

dan t

5

31x1

, dengan t sebarang bilangan real.

Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah

( x1 , x2 , x3 )=(1−35

t ,− 15

t ,t )=(1,0,0 )+ t(− 35

,−15

, 1)

Aljabar Linear

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam

bentuk matriks diperbesar [A|b] ke bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi

Gauss-Jordan.

Contoh :


x1 2 x2 4

3 x1 x2 2

4 x1 x2 6


A=[1 23 −14 1 ]

,

2

1

x

xX

dan

6

2

4

b

. Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =

614

213

421

.

Dengan operasi baris elementer , diperoleh

614

213

421

)3(21

B

614

1070

421

)4(31

B

1070

1070

421

)1(32

B

000

1070

421

)(71

2

B

000

10

421

710

)2(12

B

000

10

01

71078

Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, diperoleh SPL yang ekivalen dengan

SPL awal dan sekaligus merupakan penyelesaian dari SPL tersebut, yaitu :

710

2

1 4

x

x

Aljabar Linear

Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=(4 , 10

7)

Contoh :

Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jourdan

x1 + x 2 x 3 + 3 x 4 = 0

3 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0

2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 = 0

Penyelesaian :

Langkah pertama adalah menbentuk matriks diperbesar [ A|b ] dari SPL di atas, yaitu:

01212

01113

03111

Selanjutnya dengan melakukan operasi baris elementer berikut :

B21(3), B31(-2), B32(-1/4), B2(1/4), B3(-1/3), B23(1), B13(1), B12(-1), B1(-1)

diperoleh matriks:

01100

01010

01001

Dari matriks di atas diperoleh SPL yang ekivalen dengan SPL awal, yaitu :

x3 – x4 = 0

x2 + x4 = 0

x1 – x4 = 0


x 3 = x 4

x 2 = x 4

x1 = x4

Misal x4 = t dengan t sebarang bilangan real maka x1 = t, x2 = t, x3 = t.

Aljabar Linear

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah X = { t(1,-1, 1, 1)}.

Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan untuk semua sistem

persamaan linear tanpa tergantung pada banyaknya persamaan dan banyaknya variabel.

sistem persamaan linier

Documents