sistem delay (sistem antrian/delay system)

56
Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Upload: kara

Post on 11-Jan-2016

118 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System). Antrian M/M/1. Dalam antrian M/M/1: Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov) Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov) Hanya ada satu server Disiplin antrian: FIFO Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Page 2: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Antrian M/M/1• Dalam antrian M/M/1:

– Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov)– Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov)– Hanya ada satu server– Disiplin antrian: FIFO

• Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:

Page 3: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Analisa antrian M/M/1• Misalkan Pn( t ) menyatakan peluang adanya n customers

di dalam antrian pada waktu t• Peluang adanya n customers pada waktu t+∆t dinyatakan

sebagai berikut bila ∆t kecil:• Pn( t + ∆t )= Pn( t )[(1−λ∆t)(1−µ∆t )+ λ∆t µ∆t ]

+ Pn − 1( t ) [ λ∆t ( 1 − µ∆t ) ]

+ Pn + 1( t ) [ µ∆t ( 1 − λ∆t ) ]

= [1−(λ + µ)∆t]Pn(t)+λ∆t Pn−1(t) + µ∆t Pn+1( t )

(orde kedua∆t2 diabaikan)

Page 4: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Persamaan tadi merupakan differential-difference equation• Jika kita hanya memperhatikan nilai stasioner Pn(t→∞), yang

dinyatakan oleh Pn , faktor waktu dapat dihilangkan dan persamaan-perbedaan (difference equation) berikut dapat diperoleh :( λ + µ )Pn = λ Pn − 1+ µPn + 1

• Ini merupakan suatu homogenous second-order difference equation• Metoda standard untuk penyelesaiannya adalah dengan

mengasumsikan bahwa bentuk solusinya adalah Pn= Aρn • Maka kita memperoleh hasil berikut P0 = Aρ0 =A, sehingga kita

dapatkan Pn= P0ρn

• Dengan substitusi, ρ dapat dinyatakan sebagai λ/µ• Dengan demikian, solusinya adalah Pn =P0ρn dimana ρ = λ/µ

Page 5: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Untuk menentukan P0, kita nyatakan bahwa

maka akan diperoleh P0 sama dengan (1−ρ)• Akhirnya distribusi probabilitas kondisi (state probability

distribution of) antrian M/M/1 diperoleh sebagai berikut:Pn=(1 − ρ)ρn, ρ < 1

• Peluang tidak ada customer di dalam sistem adalah sama dengan P0=(1 − ρ), maka peluang sistem sibuk adalah 1−P0=ρ, – Ini merupakan alasan mengapa ρ dinyatakan sebagai utilisasi

sistem antrian M/M/1

0

1n

nP

Page 6: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Ukuran antrian rata-rata dapat dihitung sebagai berikut :

= n

Page 7: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Analisa menggunakan diagram kondisi• Misalnya jumlah customer di dalam sistem pada waktu t adalah N(t)• Pada awalnya tidak ada customer, maka N(0) = 0• Ketika suatu customer bergabung dengan antrian, nilai N(t) naik 1• Setelah suatu customer meninggalkan antrian, nilai N(t) turun 1• Jumlah N(t) menyatakan kondisi (state) sistem• Jika sistem diamati satu kali setiap ∆t, sistem hanya akan berubah

dari suatu kondisi ke kondisi terdekat dari suatu pengamatan yang berurutan, karena jumlah customers hanya dapat memiliki kemungkinan berikut :– Akan sama, atau– Naik 1, atau– Turun 1

Page 8: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Transisi kondisi (state transition) untuk antrian M/M/1 dikenal sebagai suatu birth-death process:

• Perhatikan bahwa pada diagram di atas, transisi ke kondisi yang sama telah diabaikan karena transisi seperti ini tidak mempengaruhi hasil yang akan kita peroleh untuk sistem antrian yang akan kita diskusikan

Page 9: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Kesetimbangan aliran (flow balancing)• Diasumsikan bahwa sistem antrian akan menjadi

setimbang setelah beberapa saat• Dalam kondisi setimbang, peluang untuk memasuki suatu

kondisi akan sama dengan peluang untuk meninggalkan kondisi tersebut

• Ini merupakan konsep kesetimbangan aliran (flow balancing) dan diilustrasikan dalam diagram berikut ini (aliran pada state yang diberi lingkaran elips (aliran masuk/keluar kondisi n) adalah setimbang):

Page 10: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Persamaan berikut dapat diperoleh :– Memasuki kondisi n: λPn−1 + µPn+1

– Keluar dari kondisi n : ( λ + µ )Pn

• Dengan menggunakan kesetimbangan aliran, kita dapatkan( λ + µ ) Pn = λ Pn − 1 + µPn + 1

• Yang sama dengan persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya

Page 11: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Kondisi kesetimbangan aliran akan memberikan :λPn = µPn+1, atau

Pn+1 = ρPn , untuk n = 1, 2, …

• Solusi untuk persamaan ini adalah Pn = ρn P0

• Dan hasil serupa akan diperoleh seperti yang sudah kita dapat sebelumnya

Page 12: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Throughput• Throughput, , dari suatu sistem antrian adalah

jumlah customer rata-rata yang telah dilayani, atau keluaran dari antrian, per satuan

• Pada antrian M/M/1, dengan adanya buffer yang berukuran tak terhingga, maka buffer tidak akan pernah overflows sehingga setiap job dapat dilayani

• Dengan demikian, throughput adalah sama dengan laju kedatangan rata-rata yaitu = λ

Page 13: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Throughput dapat pula dihitung dengan cara menganalisa server

• Peluang bahwa server pada antrian M/M/1 idle adalah P0, maka prosentase waktu dimana server sibuk adalah 1−P0

• Ketika sibuk, server menyelesaikan pelayanan dengan rate µ jobs/detik, maka laju rata-rata penyelesaian tugas server (laju ini sama dengan throughput), adalah = (1−P0)µ

• Untuk antrian M/M/1, P0 = 1 − ρ, sehingga = µ(1−P0)= µρ = µ λ/µ = λ(hasil yang sama telah kita peroleh)

Page 14: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Analisa delay untuk antrian M/M/1• Biasanya pengetahuan tentang delay sistem diperlukan • Delay biasa disebut juga waktu respons (response time)• Delay adalah total waktu yang dihabiskan customer di

dalam sistem, meliputi waktu menunggu (waiting time) dan waktu pelayanan (service time)– Bila kita nyatakan waktu menunggu sebagai W dan waktu

pelayanan sebagai S maka delay (bila kita nyatakan sebagai D) adalah : D = W+S

• Delay rata-rata ditentukan dengan menerapkan teorema Little

Page 15: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Teorema Little• Jumlah job rata-rata n di dalam sistem

antrian pada kondisi steady-state adalah sama dengan perkalian laju kedatangan rata-rata λ dengan delay rata-rata , yaitu

Page 16: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Untuk antrian M/M/1, kita telah peroleh bahwa

• Dengan menerapkan teorema Little kita peroleh:

• Dimana adalah delay rata-rata• Maka delay rata-rata dapat diperoleh dengan cara

sebagai berikut:

• Karena µ dan λ memiliki satuan jobs per satuan waktu, maka unit time, memiliki satuan waktu (time) per job, misalnya detik/job, atau menit /job dsb.

Page 17: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Menghitung waktu tunggu rata-rata (waiting time)– Ingat D = W + S, maka W = D-S– Dengan demikian :

1.

11

1

1.

1][][][ SEDEWE

Page 18: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Bila yang diketahui adalah kecepatan link dan panjang paket rata-rata maka perhatikan slide-slide berikut ini

Page 19: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

– Customer = paket• λ = laju kedatangan paket (packet arrival rate) (packets per time unit)• L = panjang paket rata-rata (data units)

– server = link, tempat menunggu = buffer• C = kecepatan link (data units per time unit)• Waktu pelayanan = waktu transmisi paket rata-rata (packet transmission time)

– 1/μ = L/C = waktu transmisi paket rata-rata• Definisi: traffic load ρ merupakan perbandingan antara laju kedatangan (arrival rate) λ dengan waktu

pelayanan (service rate) μ = C/L:

Page 20: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Contoh• Misalkan ada sebuah link di antara dua paket. Asumsikan bahwa:

– Rata-rata ada 10 paket baru yang datang di dalam satu detik– Panjang paket rata-rata adalah 400 bytes,dan– Kecepatan link adalah 64 kbps

• Maka traffic load adalah

• Jika kecepatan link dinaikkan menjadi 150 Mbps, maka load hanya sebesar:

Page 21: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Analisa Teletraffic• Kapasitas sistem

– C = kecepatan link yang dinyatakan di dalam kbps• Traffic load

– λ = Laju kedatangan paket yang dinyatakan di dalam packet/s (anggap sebagai suatu variable)

– L = panjang paket rata-rata di dalam satuan kbits• Quality of service (dari sudut pandang user)

– Pz = peluang suatu paket harus menunggu “terlalu lama”, yakni lebih lama dari waktu referensi z

• Jika diasumsikan sistem merupakan sistem antrian M/M/1, yaitu:– Kedatangan paket meruoakan proses Poisson (dengan rate λ)– Panjang paket terdistribusi exponential dengan rata-rata L

• Maka hubungan kuantitatif antara ketiga faktor (kapasitas sistem,beban trafik dan quality of service) diberikan oleh rumus tunggu (waiting time formula) berikut:

Catatan: Sistem hanya akan stabil bila ρ < 1, bila tidak maka jumlah paket yang mengantri akan menuju tak terhingga

Page 22: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Contoh• Asumsikan bahwa paket datang dengan laju λ = 50 packet/s dan

kecepatan link adalah C = 64 kbps. Maka peluang paket yang datang menunggu terlalu lama (Pz ) (yaitu lebih lama dari z = 0.1 s) adalah

• Panjang paket rata-rata di diasumsikan konstant sebesar 1 kbit

• Perhatikan bahwa sistem akan stabil karena:

Page 23: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Analisa antrian M/M/1 terbatas• Kita amati suatu antrian yang memiliki satu

server dan R-1 buffers– Sehingga sistem dapat menangani maksimum R

customers

• Nilai kondisi adalah 0, 1, 2, ... R, dan diagram kondisinya adalah sebagai berikut:

Page 24: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Dengan menerapkan kesetimbangan aliran (flow balancing):Pn = ρnP0, n ≤ R

• Untuk menentukan P0, kita tahu bahwa

• Maka

Page 25: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Distribusi probabilitas kondisi diperoleh sebagai berikut:

• Perhatikan bahwa ρ tidak perlu kurang dari 1• Misalnya jika ρ=1, maka Pn=P0 untuk semua n,

sehingga

Page 26: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Blocking pada antrian M/M/1 yang terbatas

• Jika suatu customer datang pada saat sudah terdapat R customers di dalam antrian, maka customer tersebut akan di blok (rejected)

• Untuk antrian M/M/1 yang terbatas dan hanya dapat melayani maksimum R customers, probabilitas blocking PB adalah sama dengan peluang bahwa pada antrian sudah terdapat R customers, yaitu.:

• Dapat dilihat bahwa jika ρ → ∞, probabilitas blocking akan cepat menuju 1, yaitu hampir semua customer di-blok

Page 27: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Throughput• Perhatikan suatu sistem antrian dengan bloking yang umum

berikut ini:

• Customers yang tidak di-blok akan berhasil masuk ke dalam antrian

• Jumlah rata-rata customers yang tidak di-blok persatuan waktu ini adalah merupakan throughput yaitu = λ( 1 − PB )

• Dimana probabilitas blocking adalah PB, dan laju kedatangan adalah λ

• Jika kita amati server, maka throughput adalah: = µ( 1 − P0 )

Page 28: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Untuk antrian M/M/1/R

• Maka throughput untuk antrian M/M/1/R dinyatakan oleh:

Page 29: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Antrian yang state-dependent• Pada beberapa sistem antrian, karakteristik kedatangan

(arrival ) dan kepergian (departure) tidaklah tetap• Karakteristik bisa tergantung pada kondisi sistem

– Laju kedatangan pada kondisi n = λn

– Laju pelayanan pada kondisi n = µn

Solusi Umum• Untuk memperoleh solusi umum bagi antrian yang state-

dependent, kita dapat menerapkan prinsip flow balancing tetapi dengan laju kedatangan dan kepergian yang state-dependent

Page 30: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Perhatikan diagram berikut dan kita terapkan flow balancing pada state yang diberi elips:

• Persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut:( λn + µn ) Pn = λn − 1 Pn − 1 + µn + 1Pn + 1

• Atau untuk elips berikut :

• Persamaan kesetimbangan adalah sbb:• λn−1Pn−1 = µnPn

Page 31: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Solusi umum adalah sbb:

• Yang dapat disederhanakan menjadi :

• Seperti biasa, P0 dapat ditentukan dari kondisi normalisasi:

• Tergantung dari apakah buffernya tak terhingga atau terbatas

Page 32: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Antrian M/M/2• Antrian M/M/2 adalah antrian dengan 2 server yang identik dan

satu buffer yang sama seperti diperlihatkan di bawah:

• Ketika suatu customer datang, :• Dia akan dilayani oleh server manapun bila kedua server sedang idle,

atau• Dilayani oleh salah satu server jika hanya ada satu server yang idle, atau• Akan menunggu di buffer sampai sebuah server bebas (akan dilayani

oleh server pertama yang idle)

Page 33: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Ketergantungan laju kedatangan pada kondisi:– Laju kedatangan λ konstan dan tidak tergantung pada

kondisi yaitu λn = λ• Ketergantungan laju pelayanan (service rate) pada kondisi:

– Jika hanya ada 1 customer di dalam sistem, satu server akan sibuk sedangkan server lainnya idle; pada kasus ini sistem ekivalen dengan sistem yang mempunyai satu server dengan laju pelayanan µ, yaitu µ1 = µ

– Jika kedua server sibuk, maka sistem antrian menjadi ekivalen dengan sistem antrian yang memiliki satu server dengan laju pelayanan 2 µ, yaitu, µ2 = 2µ, µ3 = 2µ, ... dsb, atau secara umum µn = 2µ untuk n≥2

Page 34: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Dengan ρ didefinisikan sebagai 2µ, solusi umum untuk distribusi probabilitas kondisi sistem antrian M/M/2 adalah:

• Dengan ukuran buffer yang tidak terhingga, P0 dapat ditentukan sbb:

• Probabilitas kondisi lainnya adalah :

Page 35: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Panjang antrian rata-rata adalah

• Average response time adalah:

• Throughput bila dilihat dari sisi server:

• Cara lain untuk menghitung throughput adalah sbb: karena pada antrian M/M/2 tidak ada loss, throughput adalah sama dengan arrival rate λ

Page 36: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Antrian M/M/∞• Antrian ini memiliki jumlah server yang tak terhingga,

tetapi tidak memiliki buffer (karena tidak diperlukan)• Layanan diberikan langsung bila ada customer datang• Karena laju kedatangan tidak tergantung kondisi maka

λn = λ untuk n=0,1,2,…

• Laju pelayanan tergantung kondisi : µn = nµ untuk n=1,2,…

Page 37: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Solusi umum untuk probabilitas kondisi adalah sbb:

• Untuk mencari P0 kita gunakan

• Jumlah rata-rata customers adalah:

Page 38: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Karena sistem adalah non-blocking dan tidak ada loss, maka throughput pasti sama dengan laju kedatangan arrival rate λ

• Tetapi jika throughput dihitung berdasarkan sudut pandang server, maka throughput dapat dihitung sebagai berikut:

• Dengan menerapkan teorema Little, the average response time adalah:

(perhatikan bahwa µ0 = 0)

Page 39: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Distribusi Erlang ke-2

Tutun JuhanaSTEI - ITB

Page 40: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Notasi Kendall dari Distribusi Erlang ke-2 adalah M/M/s– Proses kedatangan Poisson– Waktu pelayanan teridtribusi eksponensial negatif– Jumlah server sebanyak s– Buffer berukuran tak terhingga

• Bila r menyatakan jumlah customer yang ada di dalam sistem (yang menunggu ditambah yang sedang dilayani), maka diagram sistem antrian M/M/s dapat dilihat di bawah ini

. . . s

r

Page 41: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Diagram transisi kondisi

• Bila kondisi steady state tercapai dan dengan menggunakan prinsip rate-out = rate-in maka persamaan di dalam kondisi steady state adalah sbb:(+r)Pr(t) = Pr-1(t) + (r+1)Pr+1(t), untuk r < s

(+s)Pr(t) = Pr-1(t) + sPr+1(t), untuk r s• Solusinya adalah sbb (bila a = /):

r-1 r r+1

dt dt

(r+1)dtrdt

(untuk r < s ; serupa dgn model loss system)

r-1 r r+1

dt dt

sdtsdt

(untuk r s; karena ada sebanyak scustomer yg dilayani dan sisanya sebanyak(r-s) sdg menunggu, maka peluang suatu customer selesai dilayani pada waktu t adalah st (tdk tergantung) r )

sruntukPs

a

s

aP

sruntukPr

aP

srs

r

r

r

, !

, !

0

0

Page 42: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Jika Pr merupakan distribusi peluang pada kondisi setimbang maka kondisi normalisasi berikut akan terpenuhi

1!!

1

0 00

0

s

r r

rsr

rr s

a

s

a

r

aPP

• Jika a<s, maka penjumlahan pada suku kedua yang terdapat di dalam kurung [ ] akan konvergen menjadi

as

s

s

a

r

r

0

• Dan kita akan memperoleh:1

1

00 !

s

r

r

as

s

r

aP

• Jika a s maka P0 akan menjadi 0 yang artinya Pr tidak ada– Karena tidak ada call yang hilang maka offered traffic harus selalu dapat diolah (carried), tetapi karena s trunk hanya dapat mengolah sebanyak s erlang, maka call yang menunggu akan sangat banyak (menuju tak hingga) sehingga sistem tidak akan setimbang (stabil/steady state)– Kondisi setimbang tercapai bila < 1

• Ingat bahwa faktor utilisasi didefinisikan sebagai = a/s

Page 43: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Waktu tunggu rata-rata• Peluang menunggu didefinisikan sebagai peluang suatu kedatangan harus menunggu; kita nyatakan

sebagai M(0) yaitu peluang waktu tunggu melebihi 0• Suatu customer/call harus menunggu jika dan hanya jika jumlah call yang ada di dalam sistem tidak lebih

kecil dari s, maka dengan prinsip PASTA akan kita peroleh:

1

0

0

!

!!

)0(s

r

r

s

s

srr

ass

ra

ass

sa

Pas

s

s

aPM

• Persamaan di atas disebut rumus Erlang C (rumus distribusi Erlang ke-2)• Kalau kita tulis ulang akan diperoleh persamaan berikut (agar dapat dihitung menggunakan rumus rugi

erlang (rumus erlang B)

)](1[

)()0(

aEas

asEM

s

s

• Jumlah rata-rata panggilan yang menunggu diberikan oleh

1untuk , )1(

)0(!

)(

20

00

xx

xrx

berikutidentitashukumanmemanfaatkdengan

as

aM

s

arP

s

aPsrL

r

r

r

rs

srr

• Dengan menggunakan rumus Little, kita akan peroleh waktu tunggu rata-rata sbb:

as

hM

LW

)0(

dimana h=1/ dan a=/

Page 44: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Peluang waktu tunggu melebihi t, yang kita nyatakan sebagai M(t), diberikan oleh persamaan berikut ini (untuk disiplin antrian FIFO (First In First Out)):

hsteMtM /)1()0()( • Peluang waktu tunggu melebihi t, dengan disiplin antrian RSO (Random Service Order) dinyatakan oleh:

s

ar

s

ar

ererMtM htasrhtasr

21dan

21

dimana

)0(2

1)(

21

/)(2

/)(1

21

• Disiplin antrian seperti FIFO, RSO, LIFO dsb., diklasifikasikan sebagai non-biased discipline (penanganannya tidak tergantung waktu pelayanan)• Untuk non-biased discipline waktu tunggu rata-ratanya akan sama dengan W• Sedangkan untuk biased discipline (penanganannya tergantung waktu pelayanan), waktu tunggu akan berbeda dengan W

– Contoh biased discipline adalah SSTF (shortest service time first)

Page 45: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Contoh:– Pada jaringan telepon, waktu sejak off-hook sampai mendapatkan dial-tone disebut

dial-tone delay. Di dalam pemakaian praktis, peluang dial-tone delay melebihi 3 detik tidak boleh lebih daripada 1%. Dial digit receivers (register pengolah digit yang di-dial) dirancang untuk memenuhi kriteria kinerja ini. Misalnya di dalam suatu PABX yang melayani 3000 telepon diketahui bahwa setiap telepon membangkitkan rata-rata satu panggilan per jam dan waktu men-dial terdistribusi ekponensial dengan rata-rata 12 detik. Asumsikan bahwa diperlukan waktu selama 0,5 detik (tetap) untuk menghubungkan register di dalam operasi switching, maka waktu tunggu di dalam register yang diperbolehkan adalah 2,5 detik (jangan lupa dial-tone delay tidak boleh melebihi 3 detik)

– Beban trafik yang diberikan kepada register adalah a=3000 x 12/3600 = 10 erlang– Jika jumlah register adalah sebanyak 17 (s=17) maka M(0)=0,0309– Peluang waktu tunggu melebihi 2,5 detik adalah sbb:

• Bila disiplin antrian adalah FIFO maka M(2,5 detik) = 0,0072• Bila disiplin antrian adalah RSO maka M(2,5 detik) = 0,0061

– Keduanya memenuhi syarat peluang waktu tunggu melebih 2,5 detik yaitu 1%• Waktu tunggu rata-rata untuk kedua kasus adalah W=0,0529, dengan demikian dial-tone

delay rata-rata adalah 0,5529 (W ditambah 0,5 detik waktu untuk menghubungkan register di dalam operasi switching)

Page 46: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Antrian M/M/s/s+m• Pada antrian ini:

– Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov)

– Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov)

– Ada sebanyak s server– Ukuran buffer sebanyak m

• Parameter sistem:– Waktu tunggu (di buffer) rata-rata

(W)– Probabilitas Blocking (B)– Probabilitas suatu customer harus

menunggu, M(0), atau probabilitas wajtu tunggu melebihi 0

– Probabilitas waktu tunggu melebihi t, M(t)

111

00

1

0

/

0

0

1

1

!!

/adan a/s dimana

!

)/(

1

1)0()(

1

1

!)0(

!

11

1)0(

mss

r

r

m

r

r

m

rmhst

ms

ms

m

m

s

a

r

aP

r

hsteMtM

s

aPM

s

aPB

m

s

hMW

Page 47: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Extended Markovian Models

Page 48: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Pada model-model antrian sebelumnya yang sudah kita bahas, populasi user selalu diasumsikan tak terhingga (kecuali untuk model binomial dan Engset)

• Sekarang kita akan membahas model-model Markov lain yang memiliki populasi user terbatas– Input pada model ini disebut quasi random input – Model disebut extended Markovian models

• Untuk memudahkan penulisan notasi Kendall maka untuk mengindikasikan populasi pelanggan yang terbatas digunakan tanda kurung pada posisi proses kedatangan– Contoh: M(n)/M/s

• Artinya: antrian dengan quasi random input dimana jumlah populasi user adalah n

– Tanda kurung juga digunakan untuk menunjukkan ukuran buffer

Page 49: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

M(n)/M/s(m,)• Sistem dengan quasi-random input,

waktu pelayanan eksponensial, dan dengan buffer yang berukuran m

• Diasumsikan bahwa waktu untuk meninggalkan antrian sebelum waktunya (menyerah dan tidak melanjutkan untuk menunggu (give up waiting)) terdistribusi ekponensial dengan rata-rata -1

• Persamaan-perrsamaan untuk sistem antrian ini diperlihatkan di sebelah kanan (dengan laju kedatangan dari sumber yang idle adalah dan -1 sebagai waktu pelayanan rata-rata)

• Koeffisien birth and death akan tergantung kondisi sbb:

r

i

rr

m

r

r

rss

r

r

m

r

r

i

htjsrr

s

m

r

r

rs

s

ms

m

r

r

rs

sir

nrnnrnnnn

s

h

r

snh

s

nh

r

n

si

e

i

rh

r

snh

s

ntM

tdarilebihmenungguharuspanggilansuatuPeluang

s

h

r

snh

s

nM

menungguharuspanggilansuatuPeluang

s

h

m

snh

s

nB

BlockingPeluang

s

h

r

snrh

s

n

s

hW

WrataratatungguWaktu

0

0

11

0

1

00

1

0 0

/])1([

0

1

00

0

1

00

1)( ,

;0)(;1)( );1)...(1()(

)(

)1(11

dimana

/11

11)(

detik

)1(

)1()(

1)0(

)(

)1()(

1

)1(

)1)(1()(

1

)(

(*)

,...,1, ,)(

1,...,2,1 ,

,...,1,0 ,)(

msssjsjs

sjj

msjjn

j

j

Page 50: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

M/M/s(m,)• Dengan membuat n dan 0 serta nh = a, maka kita akan memperoleh

persamaan-persamaan berikut dari (*)

11

0

1

00

1

0 0

/])1([

0

1

00

0

1

00

)(

1

!!

dimana

/11

!!)(

)1(

1

!)0(

)(

1

!

)1(

1

!

m

r

rs

r

sr

m

r

r

i

htjsi

rs

m

r

rs

ms

m

r

rs

s

a

rs

a

r

aP

si

e

i

r

r

a

s

aPtM

s

a

rs

aPM

s

a

ms

aPB

s

a

r

r

s

a

s

hPW

Page 51: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

M(n)/M/s• Bila pada (*) kita buat m = n-s dan ,maka persamaan-persamaan yang bisa kita peroleh adalah

sbb

1

1

0

1

00

1

0 0

/0

1

00

1

00

)1(11

dimana

!

)/()1(

1)(

)1()(1

)0(

)1)(1()(1

sn

r

r

rs

s

r

r

sn

r

r

i

ir

rhsts

sm

r

r

rs

sn

r

r

rs

s

hsnh

s

nh

r

n

i

hst

s

hsneh

s

ntM

s

hsnh

s

nM

s

hsnrh

s

n

s

hW

• Sekarang kita turunkan offered load– Bila adalah laju kedatangan dan h adalah waktu pelayanan rata-rata maka a = h– Kalau kita nyatakan jumlah customer (call, paket etc.) rata-rata di dalam sistem pada kondisi steady state oleh ,

maka dari rumus Little bisa kita peroleh persamaan berikut

WaN N

• Bila kita masukkan persamaan (#) ke dalam persamaan berikut ini :

(#)

disamping] ekpspresidiperoleh akan ,)(dengan ganti kita apabila maka h,a karena

;Ndengan samaadalah j ini hal dalamdan )( bahwa[ingat )(

ajn

jnNnha j

• Maka kita akan memperoleh persamaan berikut)(1 hW

hnaoffered

Page 52: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Contoh

• Misalkan ada sebanyak n terminal yang terhubung ke sebuah komputer TSS (time sharing service). Masing-masing terminal membangkitkan transaksi secara acak dengan interval rata-rata -1 pada kondisi idle dan transaksi memiliki panjang yang terdistribusi eksponensial. Jumlah transaksi yang dapat ditangani per satuan waktu menunjukkan throughput. Throughput ekivalen dengan laju kedatangan yang dapat dihitung dari

)(1 hW

n

• Jika n = 30 dan -1 = 20 detik, h = 1 detik dan digunakan sebuah CPU (central processing unit), maka kita dapat memperoleh W=9,2559 detik; maka throughput adalah = 0,9915 transaksi per detik, sedangkan offered load adalah a = 0,9915 erlang; maka faktor utilisasi CPU adalah = a/s = 99,15%

• Bila digunakan dua CPU maka W = 0,6758 detik , throughput = 1,3840 transaksi per detik, faktor utilisasi CPU adalah = a/s = 69,20%

Page 53: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Jangan lupa bahwa model antrian M/M/s/s+m yang pernah kita bahas termasuk ke dalam katagori extended Markovian models– Bisa ditulis dalam notasi M/M/s(m)

Page 54: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

• Contoh– Misalnya ada suatu sistem transmisi paket. Diketahui

panjang paket terdistribusi eksponensial dengan panjang rata-rata 1200 bit. Paket ditransmisikan pada kecepatan 2400 bps. Paket datang dengan rate 6 paket per detik dan jumlah saluran yang digunakan adalah 4.

– Data yang dapat diperoleh:• L = 1200 bit• C = Kapasitas link = 2400 bps• s = 4• = 6 paket/detik • h = 1/ = L/C = 1200/2400 = 0,5 s

Page 55: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Tabel berikut memperlihatkan hasil perhitungan (coba cek):

m W [sec] B M [0,5 sec]10 0,2090 0,007330 0,162220 0,2502 0,000404 0,186030 0,2543 0,000023 0,187340 0,2547 0,000001 0,1874

Paket voice sensitif terhadap delay tetapi lebih toleran terhadap loss sehingga probabilitas blocking (dibuang) sebesar misalnya B = 10-3 masih dapat diterima dan ukuran buffer sebesar m = 10 dapat digunakan

Paket data lebih toleran terhadap delay tetapi lebih sensitif terhadap loss, artinya diperlukan probabilitas blocking yang lebih kecil dari 10-6 (misalnya) sehingga harus disediakan buffer dengan ukuran 40

Page 56: Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Coba kerjakan

• Misalnya paket-paket yang panjangnya terdistribusi eksponensial memiliki panjang rata-rata 1200 bit dan datang dengan rate 6 paket per detik. Paket-paket tersebut ditransmisikan melalui 2 saluran berkecepatan 4800 bps– Hitung ukuran buffer agar laju pembuangan (discarding rate)

[probabilitas blocking] tidak lebih dari 10-5

– Dengan ukuran buffer yang didapatkan pada pertanyaan pertama, hitung waktu tunggu rata-rata dan probabilitas menunggu melebihi 1 detik