sistem antrian multichannel single phase dengan kapasitas sistem terbatas

8/17/2019 Sistem Antrian Multichannel Single Phase Dengan Kapasitas Sistem Terbatas

1/64

SISTEM ANTRIAN MULTICHANNELSINGLE PHASE DENGAN KAPASITAS

SISTEM TERBATAS

NIKMAH ALFI NAHDIYA

K1309058


2/64

PENDAHULUAN

Latar Belakan Ma!ala"

Pe#$ata!an Ma!ala"

Per%#%!an Ma!ala"

T%&%an Pen%l'!an


3/64

Latar Belakang Masalah

Antrian di Sekitar Kita


4/64

Latar Belakang Masalah

• Permasalahan yang muncul dalam suatu antrianadalah bagaimana meminimumkan waktu tunggupelanggan dan bagaimana meminimumkan biayayang harus dikeluarkan oleh pihak penyedia

layanan• !eori antrian meyumbangkan in"ormasi yang

dibutuhkan untuk memprediksi karakteristik#karateristik yang ber$ariasi dari antrian% sepertirata#rata waktu tunggu dan rata#rata pan&ang

antrian

• Dengan mengetahui karakteristik#karakteristiksistem antrian dapat membantu untukmenentukan bagaimana cara mengoperasikan

sistem antrian dengan &alan yang paling e"ekti"dan memungkinkan ditemukannya keseimbangan


5/64

Pembatasan Masalah

Pembahasan masalah dibatasi pada'

( )umber masukan adalah sumber masukan tidakterbatas

* Penggunaan disiplin antrian First Come First

Served% artinya pelanggan yang datang lebihdahulu akan dilayani lebih dahulu

+ !idak mengikuti kecenderungan perilakupelanggan dalam antrian yaitu pembatalan

(regening) dan perpindahan , jockey)- Pelanggan melakukan penolakan (balking) &ikakapasitas sistem telah penuh


6/64

Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam makalahini adalah'

( Bagaimana penyelesaian sistem antrianmultichannel single phase dengan kapasitas

sistem terbatas.* Bagaimana implementasi sistem antrian

multichannel single phase dengan kapasitassistem terbatas pada tempat pencucian mobil.


7/64

!u&uan Penulisan

!u&uan dari penulisan makalah ini adalah'

( Mengetahui penyelesaian sistem antrianmultichannel single phase dengan kapasitassistem terbatas

* Mengetahui implementasi sistem antrianmultichannel single phase dengan kapasitassistem terbatas pada tempat pencucian mobil


8/64

PEMBAHA)AN

Mater' Pen(%k%n

Pe#$a"a!an Ma!ala"

I#)le#enta!'


9/64

MA!E/0 PENDU1UN2

• !eori Antrian

• Elemen#elemen Antrian

• )truktur Dasar )istem Antrian

• Distribusi Poisson dan Eksponensial

• Proses Poisson% Proses 1edatangan% ProsesPelayanan

• Model Antrian dengan Proses Poisson

• Notasi dan !erminologi


10/64

• !eori antrian merupakan studi matematismengenai antrian atau garis tunggu

!eori Antrian

2aris tungguatau antrian

3asilitas

pelayanan

(

*

+

n

)istem antrian

Pelangganmasuk kedalam sistem

antrian

Pelanggankeluar darisistem

• )istem antrian merupakan suatu himpunanpelanggan% pelayan dan suatu aturan yang

mengatur pelayanan kepada pelanggan


11/64

Elemen#Elemen Antrian

Ka)a!'ta! S'!te#

Per'lak% Man%!'a

Kel%ar

S%#$er Ma!%kan

P*la Ke(atanan

P*la Pela+anan

D'!')l'n Antr'an


12/64

)truktur Dasar )istemAntrian

Channel

•

4umlah "asilitas pelayanan

Phase

• !ahapan pelayanan


13/64

)truktur Dasar )istemAntrian

Single Channel SinglePhase

1

3

, Single ChannelMultiphase

Multichannel Single

Phase

-MultichannelMultiphase


14/64

Proses Poisson

(Peluang munculnya suatu ke&adian pada inter$al waktu yang

sangat singkat% sebanding dengan pan&ang dari inter$al

tersebut% % dan tidak bergantung pada letak inter$al

tersebut

*Banyaknya ke&adian yang muncul pada inter$al waktu yang

terpisah adalah independen atau tidak saling

mempengaruhi

+Peluang adanya dua atau lebih ke&adian pada inter$al waktu

yang singkat% dapat diabaikan Artinya% pada inter$al waktu

yang singkat hanya terdapat dua kemungkinan% yaitu

munculnya satu ke&adian atau tidak ada ke&adian

•


15/64

Distribusi Poisson

• 6ariabel random diskrit dikatakan mempunyaidistribusi poisson dengan parameter &ika "ungsikepadatannya memenuhi'

• /ata#rata dari distribusi poisson adalah

•


16/64

Distribusi Eksponensial

• 6ariabel random kontinu dikatakan mempunyaidistribusi eksponensial dengan parameter &ika"ungsi kepadatannya memenuhi'

• /ata#rata dari distribusi eksponensial adalah

•


17/64

Proses 1edatangan

• Pada banyak sistem antrian% proses kedatangandiasumsikan mengikuti proses poisson

• Te*re#a. Untuk suatu proses poisson% &umlahkedatangan pelanggan pada inter$al waktu

merupakan $ariabel random yang mengikutidistribusi poisson dan peluang dari adanyakedatangan pada inter$al waktu % % adalah'

• menun&ukkan &umlah kedatangan pelanggan rata#rata dalam inter$al waktu

• 7leh karena itu% menun&ukkan tingkat kedatangan

rata#rata pelanggan per satuan waktu

•


18/64

Proses 1edatangan

• 8aktu antar kedatangan merupakan waktu antaradua kedatangan yang berturutan

• Te*re#a. 4ika &umlah kedatangan pelangganpada inter$al waktu tertentu mengikuti distribusi

poisson% maka suatu $ariabel random /akt%antar ke(atanan mengikuti distribusieksponensial

• 8aktu antar kedatangan rata#ratanya adalah

•


19/64

Proses Pelayanan

• Pada banyak sistem antrian% proses pelayanandiasumsikan mengikuti proses poisson

• 4umlah pelanggan yang dilayani dalam inter$alwaktu tertentu mengikuti distribusi poisson

• 4ika parameter yang digunakan pada distribusipoisson untuk proses pelayanan adalah % makatingkat pelayanan rata#rata per satuan waktunyaadalah

• 8aktu pelayanan merupakan waktu yangdibutuhkan untuk melayani satu pelanggan pada"asilitas pelayanan 8aktu pelayanannyamengikuti distribusi eksponensial )ehingga%waktu pelayanan rata#ratanya adalah

•


20/64

Model Antrian dengan ProsesPoisson

• Analisis sistem antrian dengan proses poissondilakukan pada saat sistem antrian berada padakondisi Steady State.

1ondisi steady state tercapai setelah sistem

berlangsung terus9menerus hingga waktu yangcukup lama 1ondisi sistem akan men&adiindependen terhadap keadaan awal dan &ugaterhadap waktu yang dilaluinya

• Dide:nisikan'. &%#la" )elanan (ala# !'!te#

. t'nkat ke(atanan !aat ter(a)at )elanan(ala# !'!te#

. t'nkat )ela+anan !aat ter(a)at )elanan

(ala# !'!te#. )el%an a(an+a )elanan (ala# !'!te#

. &%#la" )elanan (ala# !'!te#

.

.

.


21/64

• Perhatikan diagram berikut'

• Diagram di atas merupakan diagram transition rate yang

digunakan untuk menentukan peluang adanyapelanggan dalam sistem

• Perhatikan bahwa saat % keadaan hanya dapat berubahpada dua kemungkinan% yaitu'

o saat terdapat satu kedatangan dengan tingkat

kedatangano saat terdapat satu pelayanan dengan tingkat pelayanan

•


22/64

• Dibawah kondisi steady state% tingkat aliran masukrata#rata ke dalam sistem dan tingkat aliran keluarrata#rata dari sistem pada keadaan haruslah seimbang

,sama;

• Berdasarkan "akta bahwa keadaan hanya dapatberubah men&adi keadaan dan sa&a% maka kita

dapatkan'

• Di sisi lain'

•

n1 n1n


23/64

• Dengan menyamakan kedua persamaansebelumnya% kita akan mendapatkan persamaan'

• Persamaan di atas dikenal dengan persamaankeseimbangan (balance equation)

•


24/64

Kea(aa

n

T'nkat Al'ran Ma!%k 2 T'nkat

Al'ran Kel%ar0

1

,

Kea(aa

n

T'nkat Al'ran Ma!%k 2 T'nkat

Al'ran Kel%ar0

1

,

Persamaan 1eseimbangan'

)elan&utnya% untuk masing#masing keadaan%persamaan keseimbangannya dapat dilihatpada tabel di bawah'


25/64

Kea(aan

Pel%an a(an+a )elanan (enan

0

1

,

Kea(aan

0

1

,

Dari perhitungan pada persamaan keseimbangandi atas% kita akan mendapatkan nilai Hasilperhitungan dapat dilihat pada tabel berikut'


26/64

• )ecara umum% kita dapatkan bahwa'

• )elan&utnya% digunakan untuk menentukanukuran#ukuran kiner&a sistem antrian pada kondisisteady state

•


27/64

• Ukuran#ukuran kiner&a sistem antrian yang palingumum digunakan adalah'

' &umlah rata#rata pelanggan dalam sistem

' &umlah rata#rata pelanggan dalam antrian

' waktu tunggu rata#rata dalam sistem

' waktu tunggu rata#rata dalam antrian

' "aktor utilisasi "asilitas pelayanan

' &umlah rata#rata pelanggan dalam sistem

' &umlah rata#rata pelanggan dalam antrian

' waktu tunggu rata#rata dalam sistem

' waktu tunggu rata#rata dalam antrian

' "aktor utilisasi "asilitas pelayanan


28/64

Notasi dan !erminologi

• Notasi yang secara umum digunakan untukmerangkum karakteristik utama dari sistemantrian paralel adalah'

dimana simbol#simbol dari notasi tersebutmenun&ukkan elemen#elemen yang membentuksuatu sistem antrian% yaitu'

•

a . ('!tr'$%!' ke(atanan$ ' distribusi waktu pelayanan


29/64

Pembahasan

• )istem Antrian !ultichannel Single Phasedengan 1apasitas )istem !erbatas

• Peluang adanyapelanggan dalam sistem ,

• Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem

• !ingkat kedatangan e"ekti" rata#rata

• Ukuran#Ukuran 1iner&a )istem pada 1ondisiSteady State

•


30/64

)istem Antrian !ultichannel Single Phasedengan 1apasitas )istem !erbatas

• )istem antrian multichannel single phase dengankapasitas sistem terbatas merupakan sistemantrian yang memiliki lebih dari satu "asilitaspelayanan dan hanya terdiri dari satu "ase sa&a

dengan kapasitas sistem terbatas• Pelanggan yang datang pada saat sistem antrian

penuh akan ditolak untuk memasuki sistem danpergi meninggalkan sistem

• Model antrian yang mendeskripsikan sistem

antrian multichannel single phase dengankapasitas sistem terbatas ini adalah model antrian

•


31/64


• 4ika menun&ukkan tingkat kedatangan rata#ratapelanggan dalam sistem% maka tingkatkedatangan rata#rata saat ada pelanggan dalamsistem dinyatakan dengan

• Pada saat % maka Pada saat % maka

• )ecara sistematis dapat dituliskan sebagaiberikut'

•


32/64


• /ata#rata tingkat pelayanan saat ada pelanggandalam sistem dinotasikan dengan

• Pada saat rata#rata tingkat pelayanan untukpelayan yang sibuk adalah 4adi%

• Pada saat rata@rata tingkat pelayanan untuk pelayan yang sibuk adalah 4adi%

• )ecara sistematis dapat dituliskan sebagaiberikut'

•


33/64

Peluang adanyapelanggan dalam sistem ,

• Nilai ditentukan dengan mensubstitusikan nilaidan nilai pada persamaan umum

•

nt%k nt%k


34/64

Peluang adanyapelanggan dalam sistem ,

• Dengan % persamaan#persamaan dapat ditulismen&adi'

•


35/64

Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem

• Nilai ditentukan dari persamaan'

• )etelah di&abarkan% kita akan mendapatkan suatupersamaan'

• 1emudian% kita membagi nilai men&adi dua kasusyaitu saat dan saat

•


36/64

Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem

• Untuk Persamaan men&adi'


•


37/64

!ingkat kedatangan e"ekti" rata#rata

• merupakan tingkat kedatangan rata#ratapelanggan pada sistem

• menun&ukkan tingkat kedatangan e"ekti" rata#ratapada sistem

• menun&ukkan tingkat rata#rata hilangnyapelanggan karena kapasitas sistem sudah penuh

• Hubungan antara % dan ditun&ukkan padapersaman berikut'

•


38/64

!ingkat kedatangan e"ekti" rata#rata

• 4ika menun&ukkan peluang kapasitas sistem telahpenuh% maka ditentukan dengan persamaan'

• 1emudian% ditentukan dengan persamaan'

•


39/64

Ukuran#Ukuran 1iner&a )istem pada1ondisi Steady State

( 4umlah pelanggan rata#rata dalam antrian

* 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem

+ 8aktu tunggu rata#rata pelanggan dalamantrian

- 8aktu tunggurata#rata pelanggan dalamsistem

3aktor utilisasi ,penggunaan; "asilitaspelayanan

•


40/64


• Ukuran kiner&a sistem diturunkan dari % sebagaiberikut'

•


41/64


• Hubungan antara and ,dan &uga dan ; dikenaldengan "ittle#s Formula% dan diberikan sebagaiberikut'

• Hubungan antara dan

• Dari dua persamaan di atas% hubungan denganadalah

•


42/64


( 4umlah pelanggan rata#rata dalam antrian

)etelah di&abarkan% kita akan mendapatkanpersamaan'

1emudian% kita membagi nilai men&adi dua kasusyaitu saat dan saat

•


43/64




•


44/64


* 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem•


45/64


+ 8aktu tunggu rata#rata pelanggan dalamantrian

atau,

•


46/64


- 8aktu tunggu rata#rata pelanggan dalamsistem

atau%

•


47/64


3aktor utilisasi ,penggunaan; "asilitas pelayanan

•. 3aktor utilisasi ,penggunaan; merupakantingkat kesibukan rata#rata dari "asilitaspelayanan

•. 4ika menun&ukkan rata#rata banyaknya pelayanyang sibuk % maka nilai merupakan selisihantara dan

•.

1emudian% &ika menun&ukkan "aktor utilisasi"asilitas pelayanan% dirumuskan dengan'

•


48/64

0mplementasi

)ebuah tempat pencucian mobil dengan'

• Alat pencuci mobil * buah ,;

• /uang tunggu mampu menampung + mobil

• 1apasitas maksimal tempat pencucian mobil ,;

• !ingkat kedatangan rata#rata , pelanggan


49/64

0mplementasi

Akan ditentukan'

a; Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem

b;Peluang adanya pelanggan dalam sistem,kapasitas sistem penuh;

c; !ingkat kedatangan e"ekti" rata#ratad; 4umlah pelanggan rata#rata dalam antrian

e; 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem

"; 8aktu tunggu rata#rata dalam antrian

g;8aktu tunggu rata#rata dalam sistemh;3aktor utilisasi "asilitas pelayanan

•


50/64

a; Peluang tidak ada pelanggan dalamsistem

•

Menentukan nilai

• maka%

• 4adi% peluang tidak adanya pelanggan dalamtempat pencucian mobil tersebut adalah (-

•


51/64

b; Peluang adanya pelanggan dalamsistem<

kapasitas sistem penuh

• 4adi% peluang kapasitas tempat pencucian mobiltersebut penuh adalah -

•


52/64

c; !ingkat kedatangan e"ekti" rata#rata

• 4adi% tingkat kedatangan e"ekti" rata#ratapelanggan pada tempat pencucian mobil tersebutadalah - pelanggan


53/64

d; 4umlah pelanggan rata#rata dalamantrian

• 4adi% &umlah pelanggan rata#rata dalam antrianpada tempat pencucian mobil adalah * pelanggan

•


54/64

e; 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem

• 4adi% &umlah pelanggan rata#rata dalam sistempada tempat pencucian mobil adalah -pelanggan

•


55/64

"; 8aktu tunggu rata#rata dalam antrian

• 4adi% waktu tunggu rata#rata pelanggan dalam

antrian pada tempat pencucian mobil adalah

** &am atau +(+C menit

•


56/64

g; 8aktu tunggu rata#rata dalam antrian

• 4adi% waktu tunggu rata#rata pelanggan dalam

sistem pada tempat pencucian mobil adalah

(*+ &am atau (+C menit

•


57/64

h; 3aktor utilisasi "asilitas pelayanan

• 4adi% "aktor utilisasi "asilitas pelayanan padatempat

pencucian mobil adalah * atau F

•


58/64

PENU!UP

Ke!'#)%lan

Saran


59/64

1esimpulan

• Ukuran#ukuran kiner&a sistem antrian multichannelsingle phase dengan kapasitas sistem terbatas yaitu'

( 4umlah pelanggan rata#rata dalam antrian adalah

* 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem adalah

•


60/64

1esimpulan

• Ukuran#ukuran kiner&a sistem antrian multichannelsingle phase dengan kapasitas sistem terbatasyaitu'

+ 8aktu tunggu pelanggan rata#rata dalam antrian

adalah'

- 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem adalah

•


61/64

1esimpulan

• Ukuran#ukuran kiner&a sistem antrian multichannelsingle phase dengan kapasitas sistem terbatasyaitu'

•


62/64

1esimpulan

• 0mplementasi sistem antrian multichannel single phase dengan kapasitas sistem terbatas digunakanuntuk menentukan ukuran#ukuran kiner&a pada sistemantrian berupa tempat pencucian mobil% yaitu'

( 4umlah pelanggan rata#rata dalam antrian adalah

* pelanggan

* 4umlah pelanggan rata#rata dalam sistem % adalah- pelanggan

+ 8aktu tunggu pelanggan rata#rata dalam antrian %adalah ** &am atau +(+C menit

- 8aktu tunggu pelanggan rata#rata dalam sistem %adalah (*+ &am atau (+C menit

3aktor utilisasi "asilitas pelayanan sebesar *atau F

•


63/64

)aran

• Dalam makalah ini% penulis hanya membahastentang model antrian mutichannel single phase dengan kapasitas sistem terbatas Bagi pembacayang tertarik dengan masalah antrian dapatmempela&ari !'!te# antr'an multichannelsingle phase (enan !%#$er ke(atanan+an ter$ata!% !'!te# antr'an (enan )r*!e!ke(atanan +an t'(ak #en'k%t' )r*!e!)*'!!*n atau !'!te# antr'an (enan )r*!e!

)ela+anan +an t'(ak #en'k%t' )r*!e!)*'!!*n6


64/64

!E/0MA1A)0

H

)ka%(--(

sistem antrian multichannel single phase dengan kapasitas sistem terbatas

Documents