Sntesis de periodo 2 grado sexto.

Teora de nmeros.

MLTIPLOS.Los mltiplos de un nmero natural son un conjunto formado por los resultados de multiplicar dicho nmero por los nmeros naturales, incluyendo el cero.Ejemplos.Mltiplos de 3, son:

Para representar el conjunto de los mltiplos de un nmero usualmente utilizamos la M mayscula y un sub ndice de la siguiente manera M3.Entonces los M3 = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.}PARA TENER EN CUENTA: LOS MLTIPLOS DE CUALQUIER NMERO SON INFINITOS, YA QUE SE OBTIENEN DE MULTIPLICAR EL NMERO POR LOS NMEROS NATURALES Y LOS NATURALES SON INFINITOS.

Algunas propiedades de los mltiplos de un nmero:1. Todo nmero a, distinto de 0, esmltiplode s mismo y de la unidad.2.El cero esmltiplode todos los nmeros.3.Todo nmero, distinto de cero, tiene infinitosmltiplos.4. Si a, esmltiplode b, al dividir a entre b la divisin es exacta. 5. Lasumade variosmltiplosde un nmero es otromltiplode dicho nmero 6. Ladiferenciade dosmltiplosde un nmero es otromltiplode dicho nmero.7.Si un nmero esmltiplode otro, y ste lo es de un tercero, el primero esmltiplodel tercero.8.Si un nmero esmltiplode otro, todos losmltiplosdel primero lo son tambin del segundo.

DIVISORES

Los divisores de un nmero es un conjunto formado por todos los nmeros que dividen exactamente a dicho nmero es decir al dividirlo su residuo es cero.

Nota: este conjunto es finito y al conjunto de los divisores de un nmero los simbolizamos as D12, en este caso seran los divisores de 12

D12:{1,2,3,4,6,12}

EL 1 ES DIVISOR DE TODOSDIVISIBILIDADLoscriterios de divisibilidadnos permiten descubrir si un nmero es divisible por otro sin necesidad de hacer la divisin.- Criterio de divisibilidad por 2Un nmero es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.24, 238, 1024- Criterio de divisibilidad por 3Un nmero es divisible por 3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3.5645 + 6 + 4 = 15, es mtiplo de 320402 + 0 + 4 + 0 = 6, es mtiplo de 3- Criterio de divisibilidad por 5Un nmero es divisible por 5, si termina en cero o cinco.45, 515, 7525- Criterio de divisibilidad por 4Un nmero es divisible por 4, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 4.36, 400, 1028- Criterio de divisibilidad por 6Un nmero es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.72, 324, 1503- Criterio de divisibilidad por 8Un nmero es divisible por 8, si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 8.4000, 1048, 1512- Criterio de divisibilidad por 9Un nmero es divisible por 9, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 9.818 + 1 = 93663 + 6 + 6 + 3 = 18, es mtiplo de 9

NUMEROS PRIMOS

Ejemplos El 12 es primo?No, porque se puede dividir exactamente por 3 y 4 (34=12).El 73 es primo?S, slo se puede dividir por 73 y 1.

Ejemplos

1.

Descomposicin de factores primos Cuando se descompone cualquier nmero natural en factores primos se divide el nmero sucesivamente por los nmeros primos comenzando por el menor y repitindolo si es necesario.Para determinar el menor de los factores primos de un nmero las reglas de divisibilidad resultan muy tiles.Por ejemplo:a. Descomponer, en factores primos, los nmeros 48 y 30.

MINIMO COMUN MULTIPLO

Ejemplo

Mximo comn divisorElmximo comn divisorde dos o ms nmeros es el nmero, ms grande posible, que permite dividir a esos nmeros.Para calcularlo: De los nmeros que vayas a sacar el mximo comn divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos nmeros y el mximo que se repita es el mximo comn divisor (M.C.D.)Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:20 = 1, 2, 4, 5, 10, 2010= 1, 2, 5, 10Esto sirve para nmeros pequeos. Pero para nmeros grandes hay otra manera: ladescomposicin de factores.Forma rpida de calcular el Mximo comn Divisor (M.C.D.).Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1. Tienes que saber lasreglas divisibilidad. Haces ladescomposicin de factoresponiendonmeros primos. Por ejemplo: para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

2 De los resultados, se cogen los nmeros repetidos de menor exponente y se multiplican. Ese es el M.C.D.M.C.D. = 2 x 2 x 5M.C.D. de 40 = 2 x 2 x 2 x 5M.C.D. de 60 = 2 x 2 x 3 x 5Ejemplos

Fracciones Qu es una fraccin?Como vimos la fraccin es un nmero, que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos un cuarto de hora o una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo la hora y la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas. Sabemos que no es lo mismo un cuarto de hora que cuarta torta, pero se "calculan" de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora o una torta) en 4 partes iguales y tomando una de ellas.Una fraccin se representa matemticamente por nmeros que estn escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una lnea recta horizontal llamada raya fraccionaria.La fraccin est formada por dos trminos:el numeradoryel denominador. El numerador es el nmero que est sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que est bajo la raya fraccionaria.Observa la imagen, tenemos media naranja, cmo escribimos esa cantidad? La naranja entera se forma con dos mitades, aqu.

Tenemos una mitad entonces escribimos:

El nmero1es el numerador, indica el nmero de partes que hemos tomado de la naranja.El nmero2es el denominador, indica el nmero de partes iguales en que se ha dividido la naranja.Tipos de fraccionesDebes recordar que existen distintos tipos de fracciones:- Fraccinigual a la unidad - Fraccin propia- Fraccin impropia- Fracciones entera Fraccin igual a la unidadEs aquella fraccin donde el numerador y el denominador son iguales.Por ejemplo:2, 5, 6, 102 5 610Al representar la fraccin grficamente tenemos:Ejemplo:

Fracciones propiasLas fracciones propias son aquellas cuyonumeradoresmenorque eldenominador. Su valor es menor que la unidad ya que se ubica entre cero y uno en la recta numrica. Por ejemplo: 1,1 ,3,4. 3 6 48

Al representar la fraccin grficamente tenemos: Ejemplo:

Fracciones impropiasLas fracciones impropias son aquellas cuyonumeradoresmayorque eldenominador. Su valor es mayor que 1.Al representar la fraccin grficamente tenemos:Ejemplo:

Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismovalor decimal. Las fracciones equivalentes representanla misma partede una unidad o entero.Si las representamos en la recta numrica, corresponden al mismo punto.Ejemplo:Si lo graficamos tenemos:

Por qu es lo mismo?Porque cuando multiplicas (amplificas) o divide (simplificas)a la vezarriba y abajo por el mismo nmero, la fraccin mantiene su valor. La regla a recordar es:

Lo que haces a la parte de arriba de la fraccin tambin lo tienes que hacer a la parte de abajo!Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se multiplican sus trminos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes.Por ejemplo:

Nmero mixtoLas fracciones impropias se pueden escribir como numero mixto.El nmero mixto o fraccin mixta est compuesto de unnmero enteroy unafraccin propia.En el ejemplo anterior tenemos:

a)Para poder transformar unafraccin impropia en nmero mixtolo que debemos hacer es: Dividirelnumeradorpor eldenominador. Elcociente o resultadode esa operacines el entero del nmero mixtoy elresto el numeradorde lafraccin, siendo eldenominadorel mismoEjemplo:En la fraccin 8 / 5

Por tanto: 1 es el nmero natural y 3 es el numerador de la fraccin yel denominador no cambia, es decir 5.83

----=1----

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b)Para poder transformar unnmero mixto a fraccinimpropialo que debemos hacer es:El nmero natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador..Ejemplo:En la fraccin:

Operaciones de fraccionarios

Suma y resta de fraccionesCon el mismo denominadorSe suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominadorSe reducen los denominadores a comn denominador:1Se determina eldenominador comn, que ser elmnimo comn mltiplo de los denominadores.2Este denominador, comn, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicndose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.2.Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.m.c.m .(4, 6) =12

Multiplicacin de fracciones

El producto de dos fracciones esotra fraccinque tiene:Pornumerador el producto de los numeradores.Pordenominador el producto de los denominadores.

Divisin de fracciones

El cociente de dos fracciones esotra fraccinque tiene:Pornumerador el producto de los extremos.Pordenominador el producto de los medios...