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SINAIS
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
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Sinais
Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável sinal unidimensional n variáveis sinal multidimensional
Exemplos: Sinal de voz/fala e sinais biológicos Sinal de vídeo Precificação de ações (séries temporais) Movimentação de máquinas elétricas
(vibração)
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Sinais
Quanto à(s) variável(is) independente(s) Contínuo (analógico) Discreto
Quanto à amplitude: Contínuo (analógico) Discreto
Quanto a aleatoriedade em amplitude: Determinístico Aleatório (Random)
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Sinais
Classificação Depende da discretização ou não da
amplitude e da variável independente. Geralmente a variável independente será
tempo (t) Casos:
Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico
Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto
Sinal digital
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Sinais
Para facilitar Sinais com tempo discreto Seqüência
Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto
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Sinais
Notações Tempo contínuo: x(t)
t = tempo (em segundos) (t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo
Tempo discreto: x[n] n = instante (adimensional) (n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.
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Sinais
Pode apresentar descontinuidades!!! A continuidade está ligada a (t ∈ R) Existem instante t0 tal que: )t(xlim)t(xlim 0
00
0
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Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Inclui exponenciais complexas
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Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos x(t) = x(t + T), para todo t ∈ R.
T é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T freqüência “fundamental”.
Em Hertz ω = 2π/T
Em radianos/s
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Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos:
x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1G π t)
Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f0 t + θ)
θ fase (em radianos) x(t) = 10 e-10t
x(t) = 10-6 e-1000t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f0 t) + j sen(2 π f0 t)]
σ0 constante de amortecimento
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Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Lembre-se:
Relação de Euler e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e±jωt} ± sen(ωt) = Im{e±jωt}
Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b)
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Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos/Exercícios
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Sinais com descontinuidades
Em algum t0:
Representação de fenômenos como: Chave liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos
)t(xlim)t(xlim 00
00
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário:
Descontinuidade tem t=zero. Formulação consistente com séries e
transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.
0t,1
0t,21
0t,0
)t(u
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Representações alternativas do Degrau
unitário:
Formas ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier)
Se excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado!!!
0t1
0t0)t(u
0t1
0t0)t(u
0t1
0t0)t(u
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário
Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas
variações alternativas são equivalentes.
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Sinal unitário
Indica o sinal de t Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1
Admite versão alternativa, como u(t)
0t,1
0t,0
0t,1
)tsgn(
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Rampa unitária
Este sinal é definido por:
0tt
0t0)t(rampa
)t(tud)(u)t(rampat
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Representação gráfica
1dt)t(
0t,0)t(
Área = 1
δ(t)t
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau
unitário
Extração de valor pontual de função genérica
)t(ud)()t(dt
)t(du t
dt)t(g)t()0(g
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica
Propriedade de escala
dt)t(g)tt()t(g 00
)tt(a
1)tt(a 00
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Trem de impulsos
Note que o trem de impulsos é periódico Período T = T0
Útil para representar matematicamente a amostragem.
Conversão AD Impossível de criar fisicamente.
n
0T )nTt()t(
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Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Pulso retangular unitário
Pulso triangular unitário
21t,1
21t,21
21t,0
)t(rect
1tt1
1t0)t(tri
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Sinais
Sinais especiais Sinc unitário
Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA)
Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier
t
)tsin()tsinc(
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Sinais
Sinais especiais Sinc unitário
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Sinais
Sinais especiais Sinal de Dirichlet
Serve para representação matemática da conversão AD
Similaridade com sinc(t) N ímpar soma infinita de sinc(t) igualmente
espaçados. N par soma alternada de sinc(t)
Compare: sinal de Dirichlet trem de impulsos
)tsin(N
)Ntsin()t(diric
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Sinais
Sinais especiais Sinal de Dirichlet
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Sinais
Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e
ímpares Sinal par:
x(t) = x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado simétrico
Sinal ímpar: x(t) = – x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado assimétrico
Todo x(t) = xp(t) + xi(t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?
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Sinais
Sinais pares e ímpares Exemplos/Exercícios
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Sinais
Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais
Multiplicação Modulação Observações importantes:
São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t) op = +, -, *, /
w(t0) = x(t0) op y(t0) w(t1) = x(t1) op y(t1) ...
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Sinais
Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais
Exemplos/Exercícios
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Sinais
Operações básicas Deslocamento temporal
Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t0) f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t0) h(t) está atrasada em relação a g(t)
Dado g(t) e t0 (tempo de atraso/avanço)
Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação
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Sinais
Operações básicas Deslocamento temporal
Exemplos/Exercícios
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Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho)
Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão
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Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
Exemplos/Exercícios
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Sinais
Operações básicas Escala no tempo
h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(≠zero) (fator de
encolhimento/dilatação)
Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal)
Disco sendo tocado de trás para frente.
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Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
Exemplos/Exercícios
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Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Diferenciação de g(t) Inclinação de g(t) no instante t.
Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.
dt
)t(dg)t(h
td)(g)t(h
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Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Diferenciação Filtragem passa-alta
Integração Filtragem passa-baixa
Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar
de sinais de duração infinita.
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Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
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Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
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Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Exemplos/Exercícios
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Sinais
Energia e Potência de Sinais Abstração matemática
Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal
Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada,
temperatura
Energia de sinal
Calculada para sinais para o qual Ex converge!
dt)t(xE
2
x
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Sinais
Energia e Potência de Sinais Potência de sinal
Propício para sinais periódicos Para esses, Ex não converge (Ex oscila) Neste caso, T = T0 (período do sinal)
2T
2T
2
Tx dt)t(x
T
1limP
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Sinais
Energia e Potência de Sinais Classe de sinais:
Sinais com energia finita Sinais com potência finita
Com energia “infinita” Sinais com energia e potência infinitas
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Sinais
Energia e Potência de Sinais Exemplos/Exercícios