simulateur modulaire séquentiel à convergence simultanée

The Chemwal Engmeerzng Journal, 30 (1985) 113 - 127

Simulateur Modulaire Sdquentiel A Convergence Simultan6e

X JOULIA, B KOEHRET et M ENJALBERT

Instltut du Ge’nle Chtmzque, Chemm de la Loge, 31078 Toulouse Ckdex (France)

(Rey le 17 septembre, 1984, en forme finale le 10 novembre, 1984)

113

RfiSUMg

Cet article concerne 1 ‘amplan ta &on, dans un programme de flowsheetmg modulaare se’quentlel classlque, d’un algorlthme g&a&al de r&olutlon d’un syste’me d’e’quataons non lin6aalres pour tmiter efficacement les probE- mes de slmula tton et de concep tlon Les e’quatlons r&ultant des coumnts de recyclage et celles r&l tan t des sp&clftca tlons son t r&olues slmultan&ment Les propr&&s de convergence de dlfft?rentes me’thodes nume’rrques sont e’valwies sur des exemples Les tests r6aksb montrent que la me’thode de Broyden est efficace si un som partlculier est apporte’ au nweau de l’estlmatlon de la matnce mltlale L’utlllsatlon de la matrlce ldentlte’ conduit souvent d un comportement tr& oscillatoire de la convergence globale Une nouvelle pro- ce’dure d ‘estlmatlon de la ma trlce Jacoblenne est propose’e Cette procbdure apporte une am&omtion significative et e’vite 1 ‘estimation coliteuse par dtffe’rences fmles d %ne matrlce lacoblenne compldte qul ne peut 62-r-e raison- nablement envlsagt?e que pour des proble’mes de falble dlmenslon Tous les tests de cette e’tude ont e’te’ re’alu& en u tllrsant le slmula teur PR OSIM

ABSTRACT

This paper IS concerned with the mtroductlon into a conventional sequential modular flowsheetmgprogmm of a general non-linear equation-solvmg algorithm for efficiently performing slmula twn and design problems The equations resulting from in ternal recycling streams and from design specifications are solved simultaneously Convergence proper- ties of various numerical methods are demon- strated by examples Test results mdlcate that Broyden’s method is effective if special care 1s

0300-9467/85/$3 30

taken m estlmatmg the lnltlal matrix The use of the identity matrix often mvolves oscllla- tory behavlour of the global convergence An al ternatwe procedure for estlma trng the lacobum matrix 1s proposed This procedure provides the optimum performance and avoids the costly generation of a full Jacobtan matrix by fmlte-difference calculations All tests in this study were performed using the flowsheetmg program PROSIM

1 INTRODUCTION

La slmulatlon des pro&d& chlmlques en rBglme permanent, ou flowsheetmg, est devenue dans la dermere dCcenme une dlscl- phne maJeure en g&ne chlmlque Aujourd’hui aucune usme chlmlque ne sauralt ttre cons- trulte sans une simulation pr&lable du pro&d6 et c’est un pas important vers la conception assist&e par ordmateur.

Depms la preml&e synthese blbhographlque r&l&e par Evans et al [l] un tr& grand nombre d’artlcles ont 6th pubh& sur ce suJet, les plus marquants &ant ceux de Motard et al [2], Hlavacek [3], Rosen [4] et Evans [5]. L’ouvrage de Westerberg et al [6] prCsente de faGon simple les concepts fondamentaux et les prmclpales approches utllldes pour formuler et rCsoudre les probl&mes posb par le flow- sheeting

L’analyse blbhographlque fait apparaitre l’mtCri% des prociidures de convergence amul- tanke dans l’utlllsatlon des programmes gGn& raux de flowsheetmg pour la r&olutlon des probl&mes de simulation avec contramtes

Le module g&-&al de convergence que nous avons mthgrb au slmulateur PROSIM de 1’Instltut du GCrue Chlmlque permet de rGah- ser cette convergence simultanCe en mettant en oeuvre au cholx de l’utlllsateur les prmclpales m&hodes num&ques utlhs&es ii cet

0 Elsevler Sequola/F’rmted m The Netherlands

114

effet Nous pr&entons dans ce travail les prm- clpaux avantages et mcon&ments de ces m&hodes, dont l’efflcaclt6 est cornparke sur des exemples classlquement admls comme test

En ce qul concerne la m&hode de Broyden dont l’efflcaclti est dlrectement dhpendante de la matnce d’mltlahsatlon, nous proposons une m&hode d’mltlahsatlon ongmale qul s’est av&+e particuli&ement efficace

2 ANALYSE BIBLIOGRAPHIQUE

La slmulatlon d’un pro&d6 chlmlque en r&@me permanent n6ceswte la r&olutlon d’un systbme d’kquatlons non lm&we de grande dimension. L’approche naturelle pour r&ou- dre ces kquatlons est l’approche modulalre &quentlelle Dans cette approche, les 6qua- tlons qul tradulsent les bllans mat&e et ener- gle d’une op&atlon umtalre (flash, dlstllla- tion, etc ) sont r&olues simultanPment par des sous-programmes sp&flques appel& modules Les modules sont reh& entre eux par des ensembles de vanables, appel& courants, qul reprksentent les flux de mat@re et d%ner@e clrculant entre les apparells du pro- c6d6. Chaque module est &rlt de telle sorte qu’ll calcule les sorties physiques h partlr de la connassance des entrkes physiques (courants et parametres sp&lhques au module) Pour r&hser la simulation du pro&d6 complet, un programme ex&cutif appelle s6quentiellement les dlff&-ents modules L’mconv&ent majeur de cette approche est qu’ll para?t dlfflclle de Gsoudre efflcacement les probl6mes oh le flux d’mformatlon dans le diagramme de reprdsentatlon du pro&d6 ne colnclde pas avec le flux de matGre dans le pro&d6 physique

De nombreux algonthmes pour Gsoudre nmultan6ment l’ensemble des hquatlons d&n- vant le pro&d6 ont &k sugg&& comme une alternative possible pour accroctre la vltesse de convergence et permettre la prose en compte des kquatlons de sp&flcatlons (Shacham et a.1 [ 71) Une condquence fscheuse de cette approche, dlte globale, est qu’une grande partle du lo@clel d&elopp6 pour le calcul modulawe &quentlel ne peut i%re r&tills6 Cette approche pr&ente par ailleurs deux mconv&nents majeurs d’abord, 11 est pratlquement lmposslble d’avolr une

estlmatlon ralsonnable des valeurs mitiales pour l’ensemble des variables it&atives sans recounr ii une approche &quentlelle classlque, ensuite, en cas d%chec, 11 est dlfflclle de loca- hser et d’analyser la source de la dlfflculti! num&lque Ces algonthmes ont montr6 leur grande efflcaclt6 au mveau d’opkratlons um- tau-es complexes, telle que la dlstlllatlon (Ferrarls [S]), ou de probl&mes sp&fiques (Mah et Lm [9]) Par contre, 11s ne sont gu&e utllls& dans les slmulateurs mdustrlels

Entre ces deux extri?mes, approche modulalre Gquentlelle et approche globale, on peut chercher une vole mterm6dlalre twant partie des avantages de l’une et de l’autre, 6 savolr conserver l’approche modulalre Gquentlelle, comme technique de base de rdsolutlon d’un probl&me de slmulatlon, et concevolr un promoteur de convergence bask sur une approche globale, pour Ssoudre efficacement les probl&mes de recyclages et de sp&lficatlons Deux approches peuvent Stre propo&es pour Galiser cela

La prem+re conslste d assocler ii chaque module un modele slmpllfl& Le mod&le le plus simple, proposk par Rosen [lo], rehe les variables des courants sortant d’un module aux vanables des courants entrant par une matrlce dlagonale Le syst6me lm6alre amsl obtenu pour l’ensemble du pro&d6 est Gsolu, et les termes dlagonaux des matrices sont r&Zvalu& en utlhsant les modsles ngoureux Mahalec et al [ll] montrent que les hypothh- ses faltes pour la 1mt;ansatlon condltlonnent les propn&& de convergence Amsl, Clark et Reklaltls [ 121 utlhsent kgalement des mod6les 1uGalres mals qul tlennent compte des mter- actions entre certames variables, pour des apparells tels que les Gacteurs Quo1 qu’ll en so& dans cette approche seules les kquatlons de spBclflcatlons h&au-es peuvent 6tre proses en compte C’est pourquoi Pierucci et al [ 131 proposent d’utlhser des mod6les non lm&alres, dots ‘%volutlonnalres”, qul, tout en 6tant plus proches de la r6alit.6 physique, n’en restent pas moms slmphfl& Cette classe de modi?les contlent des paramBtres adaptatlfs dont la d6termmatlon est falte par des slmulatlons avec les mod6les ngoureux L’mtroductlon des modeles 6volutlonnalres transforme le probl&me de convergence des recyclages et des contramtes en un probleme de r6solutlon d’un systsme d%quatlons non 1mGane Ce systBme est r&olu en se basant sur la d&zomposltlon

115

du pro&d6 utlllsCe dans l’approche modukure kquentlelle classlque Amn, un nombre restremt de variables Gratlves est obtenu

L’mconv&uent des approches en deux Qta- pes qul utlhsent des mod&les analytlques slmphf& r&de Justement dans l’mexlstence de ces modGles Amsl, chaque fols qu’un nouveau module vlent enrlchlr la blbhotheque du slmulateur, le mod6le slmphfl6 approprk dolt ftre cri%. Cela pose un probl6me pour les modules k-its par les utlhsateurs

La deuxGme approche, prksentke ~1, conslste d’une part d conserver les mod6les ngoureux et la dkompoatlon du pro&d& de l’approche modulalre skquentlelle classlque et d’autre part $ concevolr le promoteur de convergence comme une prockdure g&&ale de rbolutlon d’un syst&me d’kquatlons non hnCalre La dkompontlon du pro&d6 complet fait apparaitre des variables ltkatlves assoclkes aux courants de recyclage, d’autres assockes aux spklhcatlons et enfm d’autres mternes aux modules, et un ensemble de fonctlons &slduelles correspondantes Sl l’on r&out les 6quatlons assockes d chaque module, chaque courant de recyclage et chaque spklflcatlon GparCment, cela correspond 1 I’approche modulalre sdquentlelle classique. Lorsque les bquations associ&es aux courants de recyclage et aux spklflcatlons sont traltbes slmultan6ment, on parle d’appro- the modulalre nmultanGe, sulvant la clasnfica- tlon de Rosen [4] Enfm, toutes les fonctlons rblduelles peuvent i5tre traltkes slmultank ment, ce qm correspond ii une approche globale dans laquelle la dkompontlon du syst6me est basCe sur la rCaht6 physique et non sur une prockdure purement numkque.

Cette approche confiire une t&s grande souplesse au mveau du traltement numkque d’un probl6me de slmulatlon.

3 DliCOMPOSITION SUIVANT L’APPROCHE

MODULAIRE SBQUENTIELLE CLASSIQUE

Nous dlstmguons deux cas le premier en l’absence de contramtes est appel6 “slmulatlon pure”, le second est appelC “probl&me de conception”.

3 1 Szmulatzon pure La slmulatlon du pro&d6 est falte apr6s

s’ttre donnk l’ensemble des valeurs des

courants d’ahmentatlon du pro&d6 et des param&res des modules. Blen que cet ensemble de don&es appelCes “don&es standard” solt sufflsant pour rksoudre un probl6me de slmulatlon pure, la pr&ence de boucle(s) de recyclage ndceswte de fourmr des valeurs mltlales pour un ensemble de courant(s), appelt?(s) courant(s) coup6(s), afm de dbmar- rer la sequence de calcul des modules appartenant ii un mCme rkeau cyclique maximum

(RCM) Solt 2 l’ensemble des valeurs estlmdes

(d&bits molalres partlels, tempkature et pres- non) associes aux nt courants coup& et g(Z) le vecteur des valeurs calculCes de ces mfmes courants par passage sCquentie1 ii travers le RCM Le probl&me numdnque d’une slmulatlon pure se ram6ne au mveau de l’exkutlf du programme de flowsheetmg G la r&solution d’un syst6me d%quatlons non 1mCalre

f(Z) =z-g(Z) = 0

avec

(1)

Z = W,, JI z=1,2,. .,nt

J = 1,2, . . . . nc + 2

Pour Gsoudre le systeme d%quations (1) on utlhse dans l’approche modulalre kquentlelle classlque un module de convergence qui fourmt ii chaque Gratlon une nouvelle estimation des vanables du ou des courant(s) coupC(s) Une it&-atlon correspond 1 une sequence compl6te de calcul des modules appartenant i un mGme RCM.

3 2 Probldme de conceptzon En prksence de contramtes certams degrCs

de hbert6 du pro&d6 sont saturks par des donrkes non standard concernant les performances du pro&d& les puretks des prodmts, les dbblts, tempdratures et pressions lmposk sur des courants. Cela slgmfie que tout ou partle des variables appartenant 5 l’ensemble des courants d’ahmentatlon et des parametres des modules est alors transf6rC dans l’ensemble des mconnues du probliime, leurs valeurs dolvent ttre trouv6es en leur asslgnant un nombre 6gal d’&quatlons de spkflcatlons du

type

d,(s,) = 0 p=l,2, .,ns (2)

Nous noterons s = {sp} l’ensemble de ces variables addltlonnelles, ou variables d’actlon

116

Dans l’approche modulalre sbquentielle classlque chaque hquatlon de sp&flcatlon est rbo- lue en utlllsant un module de contrGle dont le rble est d’aJuster une variable addltlonnelle s, Jusqu’G ce que la sp&ification d&&e dP soit attemte

C’est amsl que la pr&ence de recyclages et de contramtes conduit A la multlphcatlon des boucles d’lt&-atlons (sans compter les boucles mternes aux modules) ce qul n’est pas partlcu- lidrement satisfaisant sur le plan num&ique C’est la structure dlff&ente des kquatlons assoclkes aux courants de recyclage et des kquatlons de sp&lflcatlons qul a conduit naturellement i les dlstmguer au mveau du traitement num&ique

4 CONVERGENCE SIMULTANBE

Pour tralter slmultan~ment les kquatlons de sp&lflcatlons et les kquatlons de recyclages le module de convergence dolt i%re conqu comme un algorlthme g&-&al de r&olutlon d’un systGme d’kquatlons non lmkalre

h(x) = 0 (3)

Les vecteurs h et x ont, pour le probleme consid&! ~1, deux sources d’klements, les courants de recyclages

f(Z,s) =z-g(Z,s) = 0

et les contraintes

(4)

d(Z, s) = 0 (5)

Comme souhgnk par Perkins [14], l’avantage de cette approche, dlte modulalre slmul- tande, est qu’ll y a seulement un niveau d’ltkratlon et amsl les interactions entre les variables des courants et les param&res des modules sont proses en compte, &ltant amsl des lt&atlons confhctuelles

5 MJi?THODE NUMfiRIQUE

Le module de convergence fourmt une nouvelle estimation de l’ensemble des variables ltiratlves (ensembles Z et s) sulvant la formule g&&ale

Xk+l =Xk - (YkMkh(Xk) h = 0, 1,2, (6)

oh Mk est une matrice non smgulGre appelke ophrateur d’acc&l&atlon et CY~ un facteur de

relaxation Une mterpr&atlon inGressante de cette expression est que le dermer terme mcorpore ii la fols une direction et une longueur de pas pour kvoluer du point courant Xk vers le nouveau point xk + ‘, le scalaire Olk offre ainsl un certain contrijle sur la longueur du pas et la matrlce Mk sur la direction Les deux problemes maleurs consldQ& 1~1 sont le cholx de la matrlce Mk et du scalau-e CY’ au tours des ltkratlons

5 1 Op&ateur d ‘acce’le’ratlon La mhthode la plus largement utlllske pour

rbsoudre un systime d’kquatlons non lm&alre est la m&hode de Newton-Raphson pour laquelle Mk est I’mverse de la matrlce Jaco- blenne Ne dlsposant pas des expressions analytlques des fonctlons h, une approxlmatlon du Jacoblen au point courant AT’ peut Gtre obtenue par dlffkrences fu-ues Chaque it&a- tion n&essite alors 112 + 1 passages $ travers le RCM, nz btant le nombre de variables it&a- tives L’&aluation du JaCObien $ chaque It&atlon ne parait alors envlsageable que pour des probGmes de falble dimension

Parml les nombreuses m&hodes de rC?solutlon de systkmes d’kquatlons non linkan-es (Sargent [15]), la m&thode de Broyden [16] est de plus en plus largement utll&e Etant don&es les valeurs d’mltlallsatlon x0 et MD l’opkrateur d’ac&lkratlon de la m&hode de Broyden, qul tend ri approcher l’mverse de la matrice Jacobienne, est calculk h chaque it&a- tion suivant la formule

Mk+l =Mk _ (Mk Ahk - Ax~)(Ax’)~M~

(A.x~)~M~ Ahk

k = O,l,

OB

(7)

bk EXk+l -Xk

Ahk = h(xk+ l) - h(xk)

Pour l’mltlahsatlon MO de la matrlce Mk dlff&-entes solutions ont &k proposkes Mk &ant une approxlmatlon de l’mverse de la matrice Jacobienne de h(x’), un cholx possl- ble pour MO est d’&aluer le Jacoblen au pomt x0 par dlffkrences fmles et de calculer son inverse Cette prockdure blen qu’onkreuse prhsente un avantage tr& appr&able dans la mesure oii elle permet d’ldentlfler les pro- blGmes ma1 posks ou mal condltlonn& qm

117

condulsent B une matrice Jacoblenne singu- l&e. Par alleurs, l’mformatlon contenue dans la matrice Jacoblenne et qui correspond ii une Ctude de senslblhth s’av&-e t&s utile dans la phase de muse au pomt d’un problgme de flowsheetmg Genna et Motard [17] et Clark et Reklaltls [12] sugg&ent, pour leur part, d’utlhser comme matrlce mltlale M” la matrlce ldentlt4, ce qul correspond d une substltutlon du-ecte i la prem&e lt&atlon. W cette procd- dure paralt Justlflhe pour des probli3mes de slmulatlon pure dans une approche modulalre sbquentlelle classlque, elle fourmt une blen pauvre estlmatlon de la partle de la matnce Jacobienne associbe aux vanables addltlonnelles

Entre ces deux solutions extrzmes, nous proposons, pour g&rer la matrlce mltlale MO, une solution mtermhdlalre permettant de prendre en compte la nature dlffkrente des kquations muses en Jeu

Dans la partle du Jacobien assoclCe aux variables d’un courant de recyclage les termes extra-dlagonaux mesurent les mteractlons entre les divers constltuants et sont g&&alement falbles pour les constltuants n’mterve- nant pas dans les rkactlons chlmlques Cette forte pr&dommance des &l&ments dlagonaux Justlfle l’emplol tradltlonnel de matrices dlagonales comme opCrateur d’acc%ratlon pour r&soudre les probl&mes de recyclage, c’est le cas de la m&hode de Wegstem [18] et de la m&hode de la valeur propre dommante (Orbach et Crowe [19]) De telles m&hodes apphqukes au traltement slmultanQ des boucles de recyclages en l’absence de contra&es sont d’allleurs souvent efflcaces (Jouha et al [201).

Nous proposons ~1, pour la partle du Jacobien assoclbe aux variables des courants de recyclage, une approxlmatlon que nous appelons multldlagonale par opposltlon aux approxlmatlons de type diagonal (substltutlon dlrecte, m&hode de Wegstem, etc ) Dans cette nouvelle approche, un Clbment “diagonal” Q i, J mesure l’mfluence de 1’61B ment 1 du courant coup6 I sur ce miZme &i% ment dans le courant coupe 1 et est obtenu par perturbations dlagonales sulvant l’expresslon

I= 1,2, . . , nt (f-9

Oti

z, = Wa,,~ (.j = 1,2, . ., nc + 2)

est l’ensemble des variables mdhpendantes assoclkes au courant de recyclage 1 (z = 1, 2 3.. , nt) 11 sufflt de nt passages 2 travers le RCM pour obtemr l’ensemble des Clhments dlagonaux

Quant aux colonnes de MO assoclhes aux variables addltlonnelles, elles sont obtenues par une &ude de senabllltb sur chaque varla- ble. Amsl 1’Cvaluatlon complBte de MO n&essite nt + ns passages ii travers le RCM contre (nc + 2)nt + ns pour l’approxlmatlon du Jaco- blen complet par dlffhrences fmles La structure g&&ale des matrices MO amsl obtenues est montrke sur la Fig l(a). La Fig. l(b) montre la structure de la matrlce MO lorsque la partle asso&e aux courants coup& est pnse kgale ii la matrlce ident&.

5 2 Fat teur de relaxa taon Consld&ons la fonctlon c&ire defmle par

fat nc+2 C(x) = x c +

I=1 I=1

(9) a=1

013 /3, est un coefficient de pondiiratlon asso- elk i chaque Qquatlon de sp&lflcatlon. L’&o- lutlon de la fonctlon crltire en fonctlon du nombre de passages skquentlels ii travers le RCM permet de mesurer les performances de l’algonthme. La convergence sera conwd&e comme attemte lorsque la valeur de la fonction cnt&re sera mfi%eure d une toldrance don&e, solt

C(Xk) < El (10)

Au mveau de la formule 1tCratlve (6) on peut touJours trouver une valeur du facteur de relaxation numf%que o? sufflsamment petite (cXk + 0) telle que

C(Xk + cik 6Xk) < C(Xk) (111

avec

6~~ = -Mkh(xk) (12)

sl l’on utlhse comme opbrateur d’ac&ldratlon Mk, l’expreseon analytlque exacte de l’mverse du Jacoblen, cyk peut alors i%re utlhs& pour

118

J

q 1

0 \

7 1

0

1

4 1.1

\ -- ___- 0

____--_

T

(a)

z s

A-

I ‘\ 0 I

I i I I I

I I I I

I

I J _- *-

a 1 I I

1 ___ A_...-- - ___ ____ .‘___L 0)

0

-_

\ I I

\ I

: 1

\ I

0

Fig 1 Structure de la matrlce mlt&e de la m&hode de Broyden [ 161 (a) perturbations dlagonales sur la partle assocke aux courants coup&, dlffkrences fmles sur les variables addltlonnelles, (b) matnce ldentltd sur la partle assoc&e aux courants coup&, dlffhrences fmles sur les variables addltlonnelles

assurer une dlmmutlon de la fonctlon crltBre 2 chaque lt&atlon

Avec une approximation du Jacobien par dlffkrences fmles ou un opkateur d’acc&ration du type Broyden rlen ne garantlt que la direction g&k&e A l’liiratlon h solt une dlrectlon de descente VWii-~1s de la fonctlon cnt&e, et la recherche de ah posltlf peut con- dun-e 6 une impasse Par allleurs, l’expknence montre que contramdre a’ satlsfalre l%qn (11) n’amkhore pas forckment la convergence globale Cependant l’algonthme g&-&ral de r&solution d’un syst6me d’kquatlons non lmkure que nous proposons offre dlverses

posslbllltk, i l’utlhsateur pour imposer la dkrolssance du crltPre 6 chaque Gratlon recherche de &’ dans l’mtervalle (0,l) par dlvlslon de CY~ par les puissances successives de 2, et recherche de ak dans l’mtervalle (-1, +l) par la d6termmatlon du mmlmum du hssage quadratlque de 1’6volutlon du crlt&e en fonctlon de cy sulvant la prockdure de Kaufmann et Montalvo [21]

Indkpendamment des pro&dures &on&es cl-dessus, une relaxation dlte “physique” est utll&e pour contramdre les variables it&a- tlves 6 garder une slgmflcatlon physique, 5 savolr dkblts molalres partlels, tempkatures, pressions positifs, chaque variable addltlonnelle est mamtenue dans un mtervalle fix6 par l’utihsateur

Par alileurs, les mkthodes du type Newton sont g&k-alement tr& efficaces au voismage de la solution Pour conserver l’efflcaclt6 de la mkthode le facteur de relaxation ak dolt tendre vers la valeur de l’unlt4 lorsqu’on approche de la solution. Cccl peut Gtre &all& en utllisant la fonction critire pour mesurer l&art par rapport i la solution Nous avons cholsl de faire varier l&au-ement ak avec C(_@) entre la valeur d’mltlahsatlon a0 et la valeur de l’umtk SI zi l’lt&atlon h la valeur de ak est modlf&e, solt pour satlsfalre l’kqn (1 l), solt pour conserver aux variables leur slgmficatlon physique, les Gratlons sont poursulvles aprk avolr redkhm la pente de la drolte fourmssant ak en fonctlon de C@)

Le Tableau 1 rksume l’ensemble des m&hodes numkques lmplant6es dans le module de convergence et qul seront testkes sur dlffk- rents exemples

L’algonthme de convergence slmultanBe dans une approche modulalre kquentlelle peut Ztre r&urn6 de la man&e sulvante

(1) Imtlahser les valeurs des variables it&a- tives 2 et s

(2) Calculer les valeurs des fonctlons r&l- duelles f et d par passage skquentlel 5 travers le RCM

(3) Si le cntike de convergence global (6qn (10)) n’est pas satisfait, revenir d 1’6tape (2) avec une nouvelle estimation de Z et s fourme par le module de convergence, smon, la convergence est atteinte

Les valeurs mltlales des vanables des courants de mat&e &mt parfols nulles deux sub- stitutions successives sont effect&es en d6but de recherche pour obtemr une mellleure

119

TABLEAU 1

Resume des methodes numerrques rmplantees dans le module de convergence

M&hode Me’thode d ‘e’valua tzon de I ‘ope’mteur d ‘acc&?ratlon Nombre de passages dana le RCM d I’lte’ratlon k (k = 0 unlquementpour la me’thode n&essazres pour IZvaluatxon de de Broyden) l’ope’mteur d’acckle’mtlona

Partie assocze’e aux Partie associe’e aux 1 dre ite’ration Ite’ratlons suivantes cow-ants de recyclage variables addltlonnelles

Multrdragonale Perturbations dragonales Drfferences fmres nt + ns nt + ns Newton-Raphson Differences funes Differences fmres nt(nc + 2) + ns nt(nc + 2) + ns Broyden 1 Matrrce rdentrte Differences fmres ns 0 Broyden 2 Perturbations dragonales Differences fmres nt + ns 0 Broyden 3 Differences fmles Differences fmres nt(nc + 2) + ns 0

nt, nombre de courants coupes, nc, nombre de constrtuants, us, nombre de variables addrhonnelles Ync + 2) est le nombre de vanahles mddnendantes caracterrsant un courant nc debits molarres partrels plus la temperature et la pression

mltlahsatlon, les vanables ltkatlves assoc&es aux Bquatlons addltlonnelles &ant alors mamtenues constantes.

L’lmplantatlon de cet algonthme dans un programme modulalre st5quentlel peut Gtre r&hs6 dans la mesure oh les param&res des modules et les variables des courants sont acceswbles. Dans notre slmulateur PROSIM (Koehret et Jouha [22]) l’utlluatlon des courants d’mformatlon qul permettent de transfker une variable d’un point i un autre du schkima s’avke alors t&s utile La d&erml- nation des RCM et de la sbquence de calcul des modules passe par l’analyse des courants de mat&e mals ggalement des courants d’mformatlon. Ces courants rehent les &arts r&duels sur les Cquatlons de spklflcatlons aux variables d’actlon. Dans cette approche et quel que solt le nombre de recyclages et de spklflcatlons la Gquence de rkolutlon d’un RCM ne fait apparaftre qu’une seule boucle d’ltkratlons

6 EXEMPLES

Les mkthodes d&z&es ont i5tk utlhsdes sur de nombreux probGmes tests et nous p&entons 1~1 quelques r&ultats slgmflcatlfs obtenus sur des exemples bask sur le probGme de Westerberg (Fig 2) et le problGme de Cavett (Fig 3) [6]. Ces deux problGmes sont de nature tr&s dlffkente.

Le nombre de vanables Gratlves pour le probl$me de Westerberg est fruble pulsque les courants comportent seulement trois dkblts molalres partlels et que la temperature

et la presslon ne sont pas pnses en connd&a- tlon comme vanables ltt5ratlves. Par contre, l’mteractlon entre les divers constltuants est importante d’une part en ralson de la prbence du rgacteur et d’autre part du fait que les constantes d’Cqulhbre au mveau du flash iso- therme ont i5tC calculCes par l’bquation d’Qtat de Soave-Redhch-Kwong [23] Nous tralte- rons cet exemple d’une part en simulation pure, d’autre part en supposant que l’on

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I I -*

WEYEIE

Fig 2 Dragramme de srmulatron PROSIM du probli- me de Westerberg SPEC, module de convergence, MEL, melangeur, REAC, rdacteur (2CaHs -+ CeHra, taux de conversron, 80% du prop&e, temperature, 200 “C, pression, 20 bar), IFLASH, flash rsotherme (temperature, 130 “C, pressron, 12 bar), TCONS, con- srgnateur de temperature, DIV, drvrseur (taux de purge, 2%), PRESS, compresseur (pressron, 20 bar), MES, module de mesure, PROPENE, courant d’ah- mentatron (CsH6 98 mol %, CsHs 2 mol %, debit, 1000 mol h-l, temperature, 150 “C, pressron, 20 bar), RECYCLE 1, courant coupe (valeurs d’mltralrsa- tron debrt, 200 mol h-‘, CsH6 75 mol %, CsHs 25 mol %, C6H12 0 mol % , temperature, 150 “C, pressron, 20 bar)

120

Fig 3 Diagramme de slmulatlon PROSIM du probl6 me de Cavett IFLASH, flash lsotherme, MEL, melangeur, SPEC, module de convergence

d&ire attemdre une fraction molalre en hex&

ne de 0,895 dans le courant HEXENE, en agssant sur la temphrature du flash (param&

tre du module M3) et un d&bit total du courant BLDS 6gal d 15 kmole h--l, en ages- sant sur le taux de purge (paramGt_re du module M5)

Le probl&me de Cavett est constltuk de quatre flashs lsothermes mterconnectis Le nombre de constltuants est Qgal d 16 Parml les nombreuses combmalsons de courants d’mltlahsatlon posslbles (Jouha et al [ 201) la combmalson bman-e 9,4 a &G retenue. Le probl&me est r&olu en consld&ant au mveau de chaque flash les constantes d%qulhbre mdhpendantes de la composltlon des phases en Qqulhbre (hypoth&e habltuellement adop- tke pour le traltement de ce problGme) Dans ces condltlons l’mteractlon entre les divers constituants est falble, par contre le nombre de vanables ltiratlves, kgal ii 32, est relatlve- ment elevk

7 RtiSULTATS

11 est &dent que les performances d’un algonthme dhpendent des valeurs d’mltlahsatlon des variables Gratwes L’mfluence des valeurs d’mltlahsatlon sortant du cadre de cette ktude, tous les tests ont htk effect&s avec un ensemble unique de valeurs d’mltlah-

tlon, i savolr pour le problBme de Westerberg (Fig. 2) les valeurs pnses par Westerberg et al [6 ] lul-mi?me et pour le problGme de Cavett (Fig 3) les dGblts partlels des courants 9,4 pns Ggaux ii z&o De mi?me, 11 ne sera pas dw cut6 ICI de l’mfluence de la valeur du pas utlllsk pour l’&valuatlon par dlffkrences fmles des termes du Jacobien ou de la matrice mltlale de Broyden par perturbations dlagonales Les performances de l’algonthme sont dva- lukes A partlr de 1’Gtude de la vanatlon de la fonctlon crlt&e (somme des carr& des &carts r&duels pond&s) en fonctlon du nombre de passages dans le RCM Sauf mention partlcu- h&-e, les rhsultats pr&ent& ont &k obtenus sans utlhser de relaxation num&ique

7 1 Slmula tion pure L’examen des Gsultats partlellement pr&

sent& sur les Figs 4(a), 4(b) et 5 conduit aux remarques suwantes

(1) La mbthode de substitution successive apphquke aux problemes de Westerberg et de Cavett n&es&e respectlvement 25 et 111 passages skquentlels A travers le RCM pour attemdre la convergence, la m&hode de Broyden avec pour matrlce d’mltlahsatlon la matrlce ldentitk n’en nkcesslte que 7 (Fig 4(b)) et 15 (Fig 5) respectlvement La m&hode de Broyden apparait alors comme tr&s efficace

(2) L’mfluence de la pro&dure utllls~e pour gknkrer la matnce mltlale de la m&hode de Broyden sur l%volutlon de la convergence globale est muse en valeur sl on comptablhse le nombre d’apphcatlons de la formule de Broyden (Tableau 2) Pour le probl&me de Westerberg (Fig 4(b)), lorsque la matnce ml- tiale est pnse bgale ii I’mverse du Jacobien une seule it&atlon est nkcessalre pour attemdre la solution, l’mltlahsatlon par une matnce dlagonale n’est gu&e plus performante que par la matnce ldentltit, cccl tlent au fait que l’mter- action entre les constituants est importante Par contre, pour le problPme de Cavett (Fig 5) les perturbations multldlagonales permettent d’obtemr une bonne estimation de la matrice Jacobienne dont l’kvaluation par dlffkrences fmles est trPs coiiteuse (32 passages dans le RCM)

7 2 Proble’me de conception Les Gsultats obtenus sur le probleme de

Westerberg avec contramtes sont prbsentks sur

121

(a) (b) Fig 4. ProbEme de Westerberg sans contramtes Bvolutlon de la convergence globale (a) l , substitution succes- slve, 0, Newton-Raphson, *, multldlagonale, (b) l , Broyden 2, n , Broyden 1, a, Broyden 3

les Figs 6(a) et 6(b) Ces r&ultats amGnent les commentalres suivants.

(1) La mkthode de Newton est tr& efflcace puisque la convergence est attemte en trois ltkratlons seulement. Cependant, malgr6 le nombre restremt de variables ltkratlves, l’&a- luation du Jacobien est cocteuse puisqu’il faut 20 passages sequentlels $ travers le RCM pour attemdre la solution.

(2) La procedure utlhske pour mltlahser la matrlce de la mgthode de Broyden Joue 1~1 un rble prhpondkant sur l’&olutlon de la convergence La matnce identltk pour la partle du Jacobien associee aux courants de recyclage conduit pour ce probEme 5 des mstabllltk tr&s importantes. L’emplol d’une prockdure de sous-relaxation pour forcer la fonctlon cnt&e ii dkroitre entre deux Cvaluatlons de l’op&ateur d’ac&lQratlon ne permet pas tou- Jours de dlmmuer le nombre de passages dans le RCM pour attemdre la solution, et m&e

parfols ii une impasse; la dwectlon g&&rt3e Ctant mauvalse, 11 n’exlste pas de valeur du facteur de relaxation posltlve permettant de satlsfan-e la contramte de 1’Qqn. (11) Cela confn-me les rkultats obtenus par d’autres auteurs (Westerberg et al [6] et Genna et Motard [ 171) qul constatent qu’une mauvase matrlce mltlale peut condulre ri gkkrer par apphcatlon de la formule de Broyden une matrice quasi-sing&&e, 11s suggkent lorsque la valeur du dikommateur de la formule (7) ((hXk)9Vk(AIzk)) est infkeure ii une to%- rance don&e de rkntlahser la procedure de Broyden. Cccl nous parait plus correct que de chercher ii comger la longueur du pas le long d’une mauvalse dlrectlon. Des &udes plus approfondles sont ndcessalres pour dCter- miner la mellleure pohtlque ii adopter. Notons que les augmentations de la fonction cnt&re au cows des ltkatlons lorsque la matrice mltlale est obtenue par perturbations Qagonales

122

(Fig. 6(b)) ou dlffkences fmles (Fig 6(a)) sont tolkables, la convergence est attemte en 18 passages seulement ii travers le RCM, solt un nombre mfkeur 6 celul obtenu avec la m&hode de Newton-Raphson

Fig 5 Probl6me de Cavett 6volution de la convergence globale l , Broyden 1, +, Broyden 2, 0, Broyden 3

8 VERS UNE APPROCHE PLUS GLOBALE

La rksolutlon des bquatlons au sem des modules am&ne 5 dkfmlr un ensemble de variables itdratlves et de fonctlons rblduelles Pulsque, dans notre conception, le module de convergence est une procbdure g&kale de r&olutlon d’un systsme d’kquatlons non lu-&alres, pourquol ne pas alouter 5 l’ensemble des variables addltlonnelles les variables it&a- twes des modules, et ?I l’ensemble des Aqua- tlons de spkflcatlons les fonctlons rkeduelles mternes aux modules? ConsldGrons par exemple le modGle d’un flash lsotherme L’algonthme g&k-alement utllk (Prausmtz et al [ 241) pour Gsoudre les hquatlons de bllan de matke et d’kqulhbre conslste d ltirer sur la fraction vaporike w (Ggale au dkblt du courant sortant vapeur sur le dkblt d’ahmenta- tion) pour satisfaire l’hquatlon

5X,-Zy,=O (13) 3=1 I=1

XI et y, ktant respectivement les fractions molau-es du hqulde et de la vapeur en kqulll- bre Amsl, dans la nouvelle approche propo- she, la valeur de la fraction vapeur est fourme par le module de convergence, le module flash calcule les courants sortant et la valeur de la fonctlon rkduelle ZX, - Xy,, qul est trans- muse au module de convergence, aucune It&a- tlon n’est falte ?I l’mtkleur du module flash, pour ramener la fonctlon rklduelle (13) d z&o

Le module de convergence est alors utlhsk pour rksoudre slmultarkment les fonctlons

TABLEAU 2

Influence du type de la matnce mltlale de la m&hode de Broyden sur la convergence

Type matnce ProbEme de Westerberg Proble‘me de Cavett mztiale

Nombre de passages dons le Nom bre d ‘zte’m- Nom bre de passages dans le Nom bre d Ite’m- RCM pour tlons de Broyden RCM pour tzons de Broyden

Gknkrer la Attemdre la Ge’ne’rer la A ttemdre la matrice whale convergence matrice inltiale convergence

Matrlce 0 7 4 0 15 12 ldentit6

Perturbations 1 7 3 2 13 8 dtagonales

Jacoblen 3 7 1 32 42 7 numkique

123

(a) (b) Fig 6 Probli%me de Westerberg avec contraintes &volutlon de la convergence globale (a) 0, Broyden 3,0, New- ton-Raphson, (b) m, Broyden 1 ,+, Broyden 2

Gslduelles assocl6es aux courants de recyclages

f(Z, s) = 0

les fonctlons rblduelles asso&es aux spkh- cations

d(Z, s) = 0

et les fonctlons rkduelles mtemes aux modules

W(Z, s) = 0

L’ensemble des variables addltlonnelles s renferme 1~1 les variables Gratlves asso&es aux kquatlons de sp&lflcatlons et aux Cqua- tlons des modules.

Cette nouvelle approche plus globale au ruveau de la rkolutlon du probl&me de flow- sheeting a 6th testhe sur les deux exemples p&&dents.

Les r&ultats sur l’exemple de Westerberg sont pr&ent& sur la Fig. 7 11 est remarquable

de constater qu’avec la mdthode de Broyden le nombre d%valuatlons du pro&d& complet est quasiment hquivalent, quelle que soit la matnce d’mltlahsatlon, au nombre d%valuatlons obtenu prC&demment avec l’approche classlque, alors qu’aucun calcul itkratlf n’est mamtenant effect& au sem des modules.

Une analyse des rksultats complets montre que le nombre total de calculs des constantes d’6qullbre (qm nkesslte la resolution de 1’Qquatlon d’&at de Soave-Redhch-Kwong) a Bti dlvld par un facteur de l’ordre de quatre correspondant au nombre d’lttkatlons pour rksoudre les 6quatlons du flash lsotherme dans une approche clasaque. Ce rksultat est important car on estlme que 70% 6 80% du temps calcul nkessalre B la rkolutlon d’un probl6me de flowsheetmg correspondent aux calculs des propr&& thermodynamlques des fluides. Cette nouvelle approche permet d’espker des gains en temps calcul apprQ clables.

124

? i

b !” ,a ib , 30 b,,’

Fig 7 ProblPme de Westerberg avec contramtes Bvo- lutlon de la convergence globale dans la nouvelle approche n , Broyden 1, l , Broyden 2, +, Broyden 3, 0, Newton-Raphson

Les rbultats obtenus sur le probl6me de Cavett sont pr&ent& sur la Fig 8 On note touJours un caract&e t&s osclllant de l’&olutlon de la convergence globale lorsque la matrlce d’mltlahsatlon de la m&hode de Broyden est pnse 4gale d la matnce ldentltk Par contre, la matrlce obtenue par perturbations multldlagonales fourmt une bonne matnce mltlale les termes extra-dlagonaux de la partie de la matrice Jacoblenne r6elle asso- ci6e aux courants coup& sont mamtenant nuls car on ne retrouve plus l’effet des boucles mternes sur les fractions vaporkes au niveau des flashs Le bon comportement de la convergence globale confirme ce rksultat.

Sur la Fig 8 nous prkentons kgalement les rksultats obtenus en utlhsant la prochdure de relaxation numknque de Kaufmann et Montalvo [21] lorsque le crltike n’est pas satlsfalt Blen que cette proc6dure permette de stablhser la mbthode, elle n’am6hore pas

la convergence globale L’mltlahsatlon par la matnce ldentltk conduit 6 g&Grer, pour cet exemple, des opdrateurs d’acckl&atlon qul fourmssent de mauvalses dlrectlons et 11 parait prkfkrable dans ce cas de changer d’opkateur d’ac&lkratlon plut6t que d’utlhser une prockdure de relaxation

9 CONCLUSION

Une des dlfflcultk rencontrkes dans l’utlhsatlon des slmulateurs de prockdks r6slde dans le fait que l’approche modulalre Gquentlelle, habltuellement adopike dans ces slmulateurs, se p&e ma1 au traltement de problemes falsant mtervemr des contramtes La solution dlspomble dans la plupart des slmulateurs conduit d une multlphcatlon des boucles de calcul par l’emplol de modules de contr6le La conception d’un module de convergence en tant qu’algonthme gkkral de rkolutlon d’un syst&me d’kquatlons non lm&alre apporte des amdhoratlons slgmflcatlves tant au mveau de la faclhtk d’utlhsatlon qu’au mveau de la flabi- lit6 et de la rapldlti de convergence, permettant de tralter slmultankment les itquatlons h&es aux boucles de recyclage et aux contramtes, tout en b&&flclant des avantages de l’approche modulane.

Aucune mkthode numklque n’ktant par- fake un tel module g&&al de convergence dolt permettre ii I’utlhsateur de chowr, parml une panophe ausst large que possible, la m&hode efflcace pour le probl6me consldCrQ C’est dans cet esprit que le module de convergence de PROSIM a &G r6ahs6

En ce qul concerne les m&hodes numkrl- ques, l’ensemble des &sultats obtenus montre que la mdthode de Broyden est efflcace SI un som partlcuher est apportk au mveau de l’estl- mation de la matnce mltlale L’utlhsatlon de la matrlce ldentltk en tant que matrlce mltlale de la m6thode de Broyden conduit souvent ?I un comportement tr& osclllatowe de la convergence globale et l’emplol de prockdures de relaxation n’est guBre satlsfalsant, dans la mesure oh c’est la direction g&Gr6e qm est mauvalse La nouvelle approche proposke, bake sur des consldk-atlons physiques, pour l’emplol de perturbations multldlagonales dans le calcul de la partle de la matrlce mltlale assocke aux courants coup& et de ddfkences fmies pour les variables addltlonnelles, apporte une am6lioration significative, cette m&hode kvlte par allleurs une estlmatlon coh-

125

IO

1”

10.

1 o-

, ” - ” ” * ‘, ” . ” . * 2 IO 20 30 40

Fig 8 Probkme de Cavett &olutlon de la convergence globale dans la nouvelle approche n , Broyden 1 sans sous-relaxation, @, Broyden 1 avec sous-relaxation, +, Broyden 2 sans sous-relaxation, @, Broyden 2 avec sous- relaxation (@, @, les r&ultats obtenus en utlhsant la procedure de relaxation numkque de Kaufmann et Montalvo [ 211 )

teuse par dlffhrences fmles d’une matnce Jacobienne compl&e qui ne peut rasonnable- ment 6tre utllke que pour des probl6mes de falble dimension

L’lmplantatlon de cet algonthme g&kal dans des slmulateurs existants est possible dans la mesure oti les param6tres des modules et les vanables des courants sont accesslbles SI, par allleurs, toutes les variables mternes des modules sont 6galement accesslbles, comme c’est le cas dans notre nmulateur, le

module g6nBral de convergence ouvre des perspectives mtkressantes vers une rbolution plus globale du probleme reposant sur une dkomposltlon plus physique que math6matl- que. Les premiers rkultats obtenus sont encourageants

RfiFfiRENCES

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ANNEXE A NOMENCLATURE

c

d

f

gG2

h

M nc nl

ns

nt

&

q

S

W

x

%

YJ

fonctlon cr&re somme des car& des &arts r&duels ensemble des &arts r&duels assocks aux kquatlons de sp&lbcatlons ensemble des &arts r&duels assock aux courants coup& ensemble des valeurs calcul4es de 2 par passage d travers le RCM fonctlon vectonelle ensemble des &arts r&duels opkateur d’acc&5ratlon nombre de constltuants nombre de vanables ltkratlves nombre de variables addltlonnelles nombre de courants coup& nombre de passages d travers le RCM Ument “diagonal” de la matrlce d’mltlahsatlon de Broyden vecteur des variables addltlonnelles assoclt;es aux bquatlons de spklflca- tions ensemble des fonctlons rkwduelles mternes aux modules vecteur des vanables Gratwes fraction molan-e du constltuant 1 dans la phase hqulde fraction molau-e du constltuant J dans la phase vapeur

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z ensemble des vmables des cow-ants P numCro hquatlon de spikflcatlon coup& t transpose

0 mitialisation

Indices 1 courant I constltuant k numho de 1’ltCratlon 1 courant

Le ttres grecques facteur de relaxation

p” facteur de pond&&ion E scalaire petit w fraction vapeur

simulateur modulaire séquentiel à convergence simultanée

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