Simulacin

PhD(c) Jorge a. Restrepo M.

En esta presentacin

1. Introduccin a la simulacin

2. Generacin de nmeros aleatorios

3. Simulacin con hojas de clculo

4. Identificacin de variables

5. Teora de colas

6. Colas en serie y teora de Redes

7. Revisin de programas de simulacin

8. Introduccin a Promodel

9. Modelos avanzados de simulacin

Simulacin

1. Introduccin a la simulacin

Conceptos bsicos

Qu es la simulacin?

Representacin analtica de

sistemas apoyada en

herramientas matemticas y

computacionales que permiten

evaluar el impacto de cambios en

diferentes variables as como la

eleccin de los recursos y ptimos

para el proceso analizado.

Definiciones

Sistema

Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si

y cuyos elementos pueden depender de s mismos y de otros,

tanto en el presente como en el pasado.

Puede estar abierto o cerrado

Sistemas deterministas o estocsticos.

Esttico o dinmico

Variable

Representacin de un conjunto de datos

Variables independientes o dependientes

Variables endgenas y exgenas

Eventos

Discretos o Continuos

Para qu modelar?

Entendimiento

Aprendizaje

Mejoramiento

Optimizacin

Toma de decisiones

Aplicaciones de la simulacin

Mediante tcnicas de simulacin es posible desarrollar de

manera terica casos relacionados con:

Produccin

Logstica

Distribucin

Servicio al cliente

Construccin

Militar

Salud

Economa y Finanzas

Y muchos otros campos

Qu se necesita para simular?

Tcnicasanalticas

Programasespecializados

Qu pasa s?

Identificacinde variables involucradas

Identificacindel proceso

Problema Muestreo

ModelacinAplicacin de herramientasde ingeniera

Elementos de la simulacin

Proceso (Flujograma)

Estados: Definir estados: nmero de clientes/sucesos en el sistema

Identificar las transiciones de los estados.

Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema

Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.)

Generacin de eventos aleatorios

Reloj de Simulacin: paso del tiempo (delimitado).

Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.

Pasos para una campaa de

simulacin

Anlisis de la

situacin

Recoleccin

de datos

Experimentacin

Anlisis de

resultados

Documentacin

ImplementacinEs vlido?

Construccin

del modelo

Ms

experimentos?Representacin

real?

Modificacin del

modelo?

Inicio

Fin

S

N

S

N

S

N

S

N

Cundo modelar ?

Cundo NO

El problema se puede resolver fcilmente de manera analtica

Demasiado costosa la simulacin

No se tienen datos reales de las observaciones o estn incompletas

La situacin actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarla

Cundo SI

Todos los dems casos

Mtodos para la simulacin

Mtodos analticos: Segn el tamao y complejidad del proceso, es posible utilizar sencillos desarrollos matemticos para resolver un problema de simulacin. Entre ellas encontramos:

Teora de Colas

Teora de Redes

Sistemas Dinmicos

Algoritmos de mayor elaboracin

Mtodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolucin analtica y por tanto se hace indispensable la utilizacin de un programa especializado.

En general todo lenguaje y programa que permita generar nmeros aleatorios Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.

Hojas de clculo en general

Programas especializados (@Risk; Risk Simulator)

Simulacin

2. Generacin de nmeros

aleatorios

Introduccin

Los nmeros aleatorios son un ingrediente bsico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayora de programas contienen una subrutina de generacin que facilita su utilizacin.

Si se trata de un lenguaje de programacin, es necesario generar un nmero aleatorio y de estos partir para la generacin de variables aleatorias.

A continuacin se explican las tcnicas bsicas para la generacin de nmeros aleatorios y posteriormente tcnicas para la generacin de variables aleatorias a partir de estos nmeros

Propiedades de los nmeros

aleatorios

Toda serie de nmeros aleatorios R1, R2, Rn, debe

cumplir con dos propiedades fundamentales,

Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa

que:

S se grafican los nmeros aleatorios en el intervalo [0,1] y este

es dividido a su vez en n clases sub intervalos de igual

magnitud, el nmero esperado de observaciones en cada

intervalo es de N/n donde N es el nmero total de

observaciones.

La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es

independiente del valor inmediatamente anterior.

Generacin de nmeros

pseudo-aleatorios

Cuando hablamos de Pseudo generar, significa que esta

generacin es falsa por naturaleza.

Siempre que se utiliza una tcnica para generar

nmeros aleatorios, significa que existe una ecuacin o

frmula que la permite;por tanto es pronosticable de

alguna manera (ejemplo, revisar los nmeros decimales

de PI).

Para evitar inconvenientes, se acude a generaciones

computacionales que evaden estos problemas, no

obstante, se analiza solo un mtodo matemtico que a

su vez tiene dos composiciones.

Tcnica de congruencia lineal

Este mtodo propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2, entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relacin:

El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el incremento y m el mdulo (mdulo hace referencia al remanente decimal producto de la divisin, as pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su mdulo es 43).

Si c es diferente de cero, se llama mtodo de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como mtodo de congruencia lineal multiplicativo.

La seleccin de las constantes a, c y m, as como de la semilla, afectan drsticamente el resultado de los nmeros y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.

1 mod , 0,1,2...i iX aX c m i

Algunas funciones generadoras*

*Tomado de: Garca, Eduardo. Simulacin y anlisis de sistemas con Promodel, cap 3.

Uniforme:

Triangular:

Normal:

Exponencial:

Poisson:

Distribucin Generador Parmetros

Uniformea = lmite inferior

b = lmite superior

Triangular

a = lmite inferior

c = moda de la distribucin

b = lmite superior

Normal

m = media de la distribucin

s = Desviacin estndard.

Exponencial1/l= media de la distribucin

Weibull

Poisson

Inicializacin: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri.

Paso 1: Calcular T=Tri.

Paso 2: Si T>=e-l, entonces hacer N=N+1, T=T y

calcular otro ri, y regresar al paso 1.

Si no, la variable generada est dada por Pi=N.

i iU a b a r

, si

1 , si

i i

i

i i

c aa b a c a r r

b aT

c aa b a b c r r

b a

s m

s m

2ln 1 cos 2

2ln 1 sin 2

i i j

i i j

N r r

N r r

l

1

ln 1i iE r

1

ln 1x B R

Intervalos de confianza

Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la

simulacin

Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo

transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso

requiere del clculo de longitud de rplicas.

Longitud de rplicas: Se debe garantizar que la variacin entre rplicas no sea

significativa.

/ 2, 1 / 2, 1,r rs s

IC x t x tr r

,/ 2 / 2

s sIC x x

r r

Distribuciones normales

Otras distribuciones

Donde:

r =nmero de rplicas

= nivel de rechazo

s

2

/ 2Zn

s

21

n

Distribuciones normales

Otras distribuciones

Simulacin

3. Simulacin con hojas de

clculo

Concepto general

Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es

modelable mediante hojas de clculo, as como las distribuciones

personalizadas y los procesos de llegada y atencin.

El concepto bsico est dado por la generacin de nmeros aleatorios

y su aplicacin a la serie mediante ecuaciones dinmicas la

conversin a la distribucin de probabilidad asociada

Una vez generada la iteracin por eventos o por tiempos (segn el

mtodo de avance del tiempo), se debe repetir la simulacin segn si

es terminal o de estado estable.

Al finalizar la simulacin, se debe analizar el resultado en estado

estable y las diferentes rplicas, y sern estos resultados los que

permitan realizar las conclusiones de la simulacin.

A continuacin realizaremos algunos ejemplos bsicos desarrollados

en Excel.

Paseo Aleatorio

Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el

tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En ingls

se conoce como Random Walk.

Sus resultados han tenido mltiples aplicaciones tanto en la

Economa, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociologa, la Fsica

y la Biologa.

Definicin: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posicin

en X(0)=X0, su trayectoria est dada por:

Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de

la direccin del siguiente paso.

ttx x

Algunas aplicaciones de los

paseos aleatorios

Suponga una accin que comienza costando $100 y no tiene tendencia

alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.

Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este

paseo aleatorio como se muestra a continuacin:

Esto dar como resultado una serie de incrementos y decrementos que

no puede ser pronosticada, esto es en s un paseo aleatorio.

Algunas aplicaciones de los

paseos aleatorios (tendencia)

Si la serie tiene alguna clase de pronstico (tcnicas de Forecasting),

es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza

aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto

bsico de la especulacin financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).

Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido

modelado bajo la siguiente ecuacin:

Donde =1.001

Se espera que el parmetro alfa garantice un incremento constante del

0.1% sobre la accin. Un inversionista que conozca este modelo,

comprar entonces esta accin y har un anlisis financiero simple

estableciendo que el retorno neto ser de 2.94% mensual, es decir que

si invierte $100, obtendr $102.94 a final de mes

(Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual,

haciendo atractiva la inversin.

ttx x

Algunas aplicaciones de los

paseos aleatorios (tendencia)

Al incluir la naturaleza estocstica dentro de la serie, los resultados

pueden variar positiva negativamente. A continuacin se presenta

la formulacin en Excel.

Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el

retorno sea de -6.14%.

Algunas aplicaciones de los

paseos aleatorios (Martingalas)

Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la

Martingala (determinado proceso estocstico).

La Martingala tiene mltiples aplicaciones, una de ella es en los

juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el

jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador

pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo

premia y recupera todo lo invertido.

En forma prctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple,

haciendo que eventualmente la banca gane el juego.

Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la

banca no paga por los resultados 0 00, inclinando las

probabilidades hacia la prdida.

Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.

Otras aplicaciones de las hojas

de clculo: Modelo de colas MM1

Se puede tambin modelar un proceso de llegadas y atencin

mediante la conversin de la serie aleatoria a la funcin de

probabilidad asociada (tcnica de la transformada inversa).

Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo

a una distribucin exponencial entre llegadas con parmetro de 5

min y una atencin con parmetro exponencial de 4 min. Determine

los indicadores de esta cola MM1.

A continuacin se presenta la formulacin en Excel para su

desarrollo:

Otras aplicaciones de las hojas

de clculo: Modelo de colas MM1

Una vez corrida la simulacin para 200 registros con 20 rplicas, se

encuentra que el tiempo promedio en cola est alrededor de los 14

minutos (rango entre 12 y 17).

La variabilidad ocurre por la naturaleza estocstica involucrada en la

formulacin y por la poca cantidad de registros analizados.

Si resolvemos este sistemas con la formulacin bsica de teora de

colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide

con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia

infinita, ignora los conceptos estocsticos involucrados.

Ventas variables por hora

Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya

clientela es estudiantil. La clientela siempre est de afn y desea

rpida atencin. Los tiempos entre llegadas se distribuyen

exponencialmente sin embargo segn la hora del da las llegadas son

diferentes (ver histograma). El tiempo de atencin es exponencial con

media de 1 minuto. Cul es la cola y el tiempo de atencin promedio?

0%

5%

10%

15%

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Ventas Diarias

% Terico % Real

Procesamiento de piezas

El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una

estacin de inspeccin sigue una distribucin exponencial con media

de 5 minutos/pieza. El proceso est a cargo de un operario y la

duracin de la inspeccin sigue una distribucin normal con media de 4

y desviacin estndar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de

permanencia de las piezas en el proceso de inspeccin.

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo promedio en el sistema

Tiempo promedio en inspeccin

Modelos de Inventarios

Existen mltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan

optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de

la mercanca.

Los modelos bsicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX)

hasta modelos heursticos y meta-heursticos que implementan

algoritmos inteligentes que construyen las sendas ptimas.

Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas bsicos

sin reorden y sin lead time, con demanda esttica. Luego se

relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos ms

complejos.

Simulacin

4. Identificacin de variables

Medicin de variables

Toda variable involucrada en el sistema debe ser

medida

Para ello partimos de datos histricos del proceso y de

estimaciones realizadas a partir de un muestreo

Una serie suficientemente grande de datos nos permite

identificar primero grfica y luego estadsticamente el

comportamiento de cada variable

Los datos ms comnmente estimados en un modelo

son:

Tiempos de atencin y procesamiento

Tiempos entre llegadas

Cantidad de entradas al sistema: frecuencia

Probabilidades de ruteo y error

Muestreo

Herramienta fundamental para la medicin de tiempos y tipificacin de los

mismos.

Principio fundamental: La informacin se recoge cuando algo ocurre

Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos

Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:

De esta tabla podemos elaborar:

Ejemplo de un programa sencillo en Excel

para capturar tiempos en una operacin

Sub captura()

Dim cap As Worksheet

Set cap = Sheets("Captura")

j = 4

Do While cap.Cells(j, 1) ""

If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then

cap.Cells(j + 1, 2) = Time()

cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3

Exit Sub

Else

If cap.Cells(j + 1, 3) "" Then

j = j + 1

GoTo siguiente

Else

cap.Cells(j + 1, 3) = Time()

cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j +

1, 2)) * 3600 * 24

Exit Sub

End If

End If

j = j + 1

siguiente:

Loop

End Sub

Nombre una hoja de clculo como Captura

Cree los ttulos como se muestra a continuacin

e inserte un botn llamado capturar

Luego ascielo a una subrutina llamada captura

como se muestra en el cdigo de la derecha.

Los datos resultantes de la columna D, sern

los tiempos de la operacin, estos datos

determinarn la distribucin de probabilidad

asociada al proceso.

Anlisis de los datos

Una vez realizado el muestreo (mnimo 30 registros por cada

actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar

una distribucin de frecuencias desde la cul se puedan identificar

las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.

Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego

realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadstico que indica

cun cerca o lejos est una serie de una distribucin especfica)

Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente

distribuidas

Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra

distribucin.

Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra

distribucin.

Es decir que primero graficamos mediante un histograma de

frecuencias y luego realizamos los test estadsticos segn el caso

Anlisis de los datos

Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la

modelacin, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la grfica

(ejemplo atencin en una cafetera)

Existen adems paquetes computacionales especializados que ya

elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS,

EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, Risk Simulator, etc.

Solicitud de

Pedido

E(1,2)

Entrada

Llegada de

clientes

P(90)

Caja

Entrega del Pedido

al usuario

N(0.5,1)

Barra Salida

Alistamiento

del pedido

G(2,5)

Cocina

Simulacin

5. Introduccin a la teora de

Colas

Definicin e historia

Una cola es una lnea de espera de cualquier clase de recurso

(personas, materiales, documentos, etc.)

La teora de colas es el conjunto de modelos matemticos y

computacionales que intentan explicar el comportamiento de las

lneas de espera

Su precursor fue Erlang (Ingeniero Dans 1978 1929), quien en

1909 public su primer trabajo sobre la modelacin de las esperas y

su dimensionamiento en la empresa de telfonos de Copenhague

Con el tiempo sus teoras fueron ampliamente aceptadas y

aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en da.

Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov ,

Markov, Kendall, Little, entre otros)

Las colas son una aplicacin particular de los procesos estocsticos

Proceso de nacimiento y

muerte

Esquema bsico para modelacin de colas (cambios en tamao de

poblacin)

Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema

Muerte: salida de un cliente servido

N(t): nmero de clientes que hay en el sistema en un momento t

El proceso de nacimiento y muerte describe en trminos

probabilsticos como cambia N(t) al aumentar t

Suposiciones:

Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para el

prximo nacimiento es exponencial con parmetro

Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para la

prxima muerte (terminacin) es exponencial con parmetro

n solo puede saltar 1 estado a la vez

Diagrama de tasas:

l

m

Proceso de nacimiento y

muerte

Principio clave (ecuacin de balance):

Tasa media de entrada = Tasa media de salida

Estado 0:

Estado 1:

Generalizando:0 1 2 1

n=01 2 3

..., 1

...

nn n

n

p pl l l l

m m m m

0 10l

0 10l

21l

1m

0 01 1 0 0 1

1

PP P P

lm l

m

1m

2m

0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 12 0 0 2

2 2 1 2 2 0 1

P P P P P P P

P P P PP P P P

l m l m m l m l

l m l l l l m l l l

m m m m m m m

Componentes de una Cola

Definiciones

N(t): Nmero de clientes en el estado t

r : Tasa de utilizacin (debe ser menor a 1 para que el sistema sea

estable)

Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t

S: Nmero de servidores

Nmero de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)

L: Nmero esperado de clientes en el sistema

Lq: Nmero esperado de clientes en la cola

W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente

Tasa media de servicio (nmero esperado de clientes que completan

su servicio por unidad de tiempo)

Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente

Abandono e Impaciencia

Fuente de

entrada

Cola Proceso

o servicioSalida

l

m

Notacin y Disciplina

Notacin: A/B/C/D/E

A: Distribucin de tiempos de llegada

B: Distribucin de tiempos de salida

C: Nmero de servidores

D: Capacidad del sistema

E: Disciplina de la cola

Disciplinas

FIFO: Primero en llegar, primero en servirse

LIFO: ltimo en llegar, primero en servirse

SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor

servicio

RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente

entre todas las tareas pendientes

Cola M | M | 1

Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina ser FIFO

Las llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn l, donde l es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp(l)

Los tiempos entre servicios tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el nmero medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio

Condicin de no saturacin

Se demuestra que si lm, el sistema se satura,

es decir, el nmero de clientes en la cola crece

indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

la condicin de no saturacin ser:

m

lrr donde,1

Cuando una cola no se satura, tambin se dice

que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades

El parmetro r se llama carga, flujo o intensidad de trfico del sistema, puesto que mide la relacin entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos

Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente frmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

rr 1nnp

Medidas de rendimiento

El nmero medio de clientes en el sistema, L, se calcula as:

000

11j

j

j

j

j

j jjpjL rrrr

Sumamos la serie aritmtico-geomtrica:

...432 432 rrrrS

...32 432 rrrrS

r

rrrrrr

1...1 432S

r

r

r

rr

111

2L

Medidas de rendimiento

La utilizacin del servidor, notada U, es la fraccin de

tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece

ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no

hay saturacin, el nmero medio de clientes que entran

en el sistema debe ser igual al nmero medio de

clientes que salen de l:

rm

lml UU

Como para deducir la anterior frmula no hemos

usado ninguna caracterstica especial del modelo

de entrada ni del de salida, dicha frmula es

vlida para colas G | G | 1

Medidas de rendimiento

El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de l otros j trabajos, el tiempo medio que tardar en salir del sistema ser j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

mmmmm

11111

000

LppjpjW j

j

j

j

j

j

Tiempo que se pasa

en el sistema si

hay j por delante

al llegar

Probabilidad de que

haya j por delante

al llegar

Medidas de rendimiento

Podemos simplificar algo ms:

lmmm

11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallar

restando a W el tiempo que tarda en ser servido el

trabajo (esto es vlido para cualquier tipo de cola):

m

1WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1,

obtenemos:

lm

r

qW

Ejemplo

Unos mecnicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecnico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min

Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo

Tenemos dos opciones: Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h

Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, l = 10 clientes/h

Opcin 1 (sin ayudante):

mecnicos5

12

101

12

10

1;

12

10

1

111

r

rr L

Por tanto, perdemos 5($10/h) = $50/h

Ejemplo

Opcin 2 (con ayudante):

mecnicos2

15

101

15

10

1;

15

10

1

112

r

rr L

Por tanto, perdemos 2($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecnicos, Pero tambin perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las prdidas totales son $24/h

En la opcin 1 perdemos $50/h y en la opcin 2 perdemos $24/h, con lo cual la ms ventajosa es la opcin 2.

Cola M | M | s

Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina ser FIFO

Las llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn l, donde l es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp(l)

Los tiempos de servicio tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el nmero medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio

Condicin de no saturacin

Se demuestra que si lsm, el sistema se satura,

es decir, el nmero de clientes en la cola crece

indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

la condicin de no saturacin ser:

1, dondes

lr r

m

Nosotros slo estudiaremos las colas que no

se saturan, Cuando una cola no se satura,

tambin se dice que alcanza el estado

estacionario,

Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes frmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

11

0

0! 1 !

ns s s

n

ssp

s n

rr

r

0

0

, si 0,1,...,!

, en otro caso!

n

ns n

sp n s

nps

ps

r

r

Medidas de rendimiento

Nmero medio de clientes en cola:

1

0

2! 1

s s

q

s pL

s

r

r

Usamos razonamientos ya vistos para

obtener:

m

1 qWW

qq WL l WL l

Otras medidas de rendimiento

Nmero medio de servidores ocupados, C, En

el estado estacionario, la razn de las salidas

ser igual a la razn de las llegadas:

c c sl

m l rm

Probabilidad de que un trabajo tenga que

esperar para recibir su servicio (frmula de

retraso de Erlang):

0

! 1

s ss pq

s

r

r

Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de

rendimiento, comparar estas dos alternativas:

ml l

m/2

m/2

Alternativa 1: Alternativa 2:

Ejemplos

Alternativa 1:

r

r

11L

Alternativa 2:

rm

l

m

lr

22

2

112

0

22

02!

2

1!2

2

n

n

np

r

r

r

Ejemplos

122

12

0212

4422421

12

4

r

rrrrr

r

rp

rr

r

r

1

1

12

221

02p

rlm

llll

m2

2122

2

222

qqq WWWWL

r

rr

rrr

r

rr 2

11

122

12

42

2

3

2

02

3

22

pLL q

Ejemplos

rrr

rr

rrrr

rr

r

11

2

11

2222

11

2 333

2L

rrr

rr

r

r

r

1

210

111

2

1

Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de

cumplirse que L1

Ejemplos

Ejemplo: Usando el nmero medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

m/2l/2

l

m/2

m/2

Alternativa 2:Alternativa 1:

m/2l/2

Ejemplos

Alternativa 1 (ntese que hay 2 colas):

m

lr

r

r

r

r

donde,

1

2

12

1

11L

Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo

anterior):

rm

l

m

lr

22

2

rrr

11

22L

Ejemplos

rrr

rr

r

r

r

1

110

1

2

11

2

1

2

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de

cumplirse que L1>L2:

011 rr

Como r>0 siempre se cumple, tendremos

que la alternativa 2 siempre es mejor, Es

decir, no conviene poner dos colas, sino

tener una nica cola global

Ejemplos

Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3

mquinas fotocopiadoras a disposicin del pblico,

Cada mquina es capaz de servir, por trmino

medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan

como promedio 5 clientes a la hora,

Parmetros del sistema: l = 5 clientes/h, m = 8

clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura

porque r

Ejemplos

Cul es la probabilidad de que las tres mquinas

estn libres a la vez?

1 13 31 2

0

0 0

33

! 1 ! 3! 1 !

n ns s s

n n

ssp

s n n

r rr r

r r

0,5342706569

304

128

25

8

51

2432

125

!2

3

!1

3

!0

3

1!3

31121033

rrr

r

r

3 41 3040 569

2 2

3 3020,00722643 clientes

41791! 1 3! 1

s s

q

s pL

s

rr

r r

Cul es el nmero medio de clientes en la

cola?

Ejemplos

Cul es el tiempo medio de espera en la cola?

h 00144529,035979

52

417915

302

l

qq

LW

Cul es el tiempo medio de espera en el

sistema?h 126445,0

4065

514

8

1

35979

521

mqWW

Cul es el nmero medio de clientes en el

sistema?

clientes0.632226813

514

4065

5145 WL l

Resumen de ecuaciones de

Little

M/M/1 M/M/S

0 1Pl

m

1W

m l

1n

nPl l

m m

qWl

m m l

Ll

m l

lr

m

2

qLl

m m l

M/M/1/n

0 1

1

1M

Pl m

l m

1 M

LW

Pl

1qW W

m 0 ,

n

nP P n Ml m

1

1

1

1 1

M

M

ML

l ml m

l m l m

1 Mq

PL L

l

m

01

0

1

1 1

! !

sn s

n

Ps

n s s

l l m

m m m l

0

0

1

!

1

!

n

n s

n n

P n ss s

P

P n sn

l

m

l

m

02

1 !

s

L Ps s

lm l m l

mm l

LW

l qL L

l

m

1qW W

m

Simulacin

6. Colas en serie y teora de

Redes

Redes de colas

Una red de colas es un sistema donde

existen varias colas y los trabajos van

fluyendo de una cola a otra

Ejemplos:

Fabricacin (trabajos=artculos)

Oficinas (trabajos=documentos)

Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)

Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajos

Criterios para decidir a qu cola se dirige un

trabajo que acaba de salir de otra:

Probabilstico: se elige una ruta u otra en funcin

de una probabilidad (puede haber distintos tipos

de trabajos, cada uno con sus probabilidades)

Determinista: cada clase de trabajo se dirige a

una cola fija

Tipos de redes de colas

Se distinguen dos tipos de redes de colas:

Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o ms colas, sale del sistema, Dos subtipos:

Acclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)

Cclicas: Hay bucles en la red

Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un nmero fijo de trabajos,

Red abierta acclica

Red abierta cclica

Red cerrada

Redes de Jackson abiertas

Una red de colas abierta se dice que es de Jackson

si:

Slo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar

del sistema despus de haber salido del nodo i, donde ri0 =

1 jrij

Cada nodo i es una cola .|M|ci

La tasa de llegadas externas al nodo i se notar i

El nmero total de nodos de la red se notar K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo

debe ser igual al flujo total de salida del

nodo, tendremos que:

1

, 1,...,K

i i j jij

r i K

l l

Las K ecuaciones anteriores forman un

sistema lineal con solucin nica, que

resolveremos para hallar las tasas de

llegada a cada nodo li

Condicin de no saturacin

Para que ninguna de las colas del sistema se

sature, es preciso que se cumpla la siguiente

condicin:

ii

iii

cdondeKi

m

lrr ,1,,...,2,1

Nota: Se trata de la condicin de no

saturacin del modelo M|M|c, aplicada a

cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para

redes abiertas

Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condicin de no saturacin, Entonces en el estado estacionario, la distribucin del nmero de clientes en cada nodo es la que sigue:

11

( ) ( ), , , 0K

i i Ki

p p n n n

n

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya niclientes en el nodo i, calculada segn las

ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teorema

Corolario: Las medidas de rendimiento para

cada nodo se calculan segn las ecuaciones

del modelo M|M|s, Adems se tendrn las

siguientes medidas:

Tasa global de salidas del sistema (throughput),

que es el nmero medio de trabajos que salen del

sistema por unidad de tiempo, Coincide con el

nmero de trabajos que entran en el sistema:

K

iired

1

l

Consecuencias del teorema

Nmero medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los nmero medios de trabajos en cada uno de los nodos:

K

iired LL

1

Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el

tiempo medio que pasa una tarea desde que

entra en la red hasta que sale de ella:

red

redred

LW

l

Consecuencias del teorema

Razn de visitas al nodo i, Vi, que es el nmero

medio de veces que un trabajo visita el nodo i

desde que entra en la red hasta que sale:

red

iiVKi

l

l ,,...,2,1

Nota: en una red acclica habr de cumplirse que

Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitar

cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acclica)

11,5 2

3

60,5

4

5

2 1,2,..,6i im

Ejemplo (red acclica)

En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;

6=0,5; r65=1; con lo cual la solucin es:

1 2 31,5; 0,3; 1,2;l l l

4 5 60,72; 0,98; 0,5l l l

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r rl l l l l

4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r rl l l l l l

Ejemplo (red acclica)

Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

M|M|1):1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L

4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L

Condicin de no saturacin (se cumple porque ri

Ejemplo (red acclica)

ii

iWlm

11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W

4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W

i

iqi WWm

11 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W

4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W

Red abierta cclica

10,2 2

3

4

5

0,8

0,6

3 1,2,4

4 3,5

i

i

i

i

m

m

Ejemplo (red cclica)

En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;

r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solucin es:

1 2 30,2; 0,06; 2,0434;l l l

4 50,2043; 1,8391l l

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r rl l l l l l

4 3 34 5 3 35;r rl l l l

Ejemplo (red cclica)

Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

M|M|1):1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L

4 50,0731; 0,8511L L

Condicin de no saturacin (se cumple porque ri

Ejemplo (red cclica)

ii

iWlm

11 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W

4 50,3576; 0,4627W W

i

iqi WWm

11 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W

4 50,0243; 0,2127q qW W

Redes de Jackson cerradas

Una red de colas cerrada se dice que es de

Jackson sii:

Slo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

nodo i,

Cada nodo i es una cola .|M|ci

Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema

El nmero total de nodos de la red se notar K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

* *1

, 1,...,K

i j jij

r i K

l l

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema

lineal indeterminado con un grado de libertad,

que resolveremos para hallar las tasas de

llegada relativas a cada nodo li*, Para ello

fijaremos un valor positivo arbitrario para una

incgnita, por ejemplo l1*=1

Anlisis del valor medio

Hallaremos las siguientes medidas de

rendimiento para M tareas en el sistema:

Li(M)=Nmero medio de tareas en el nodo i

Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el

nodo i cada vez que lo visita

li(M)=Tasa real de salidas del nodo i

Se trata de un algoritmo iterativo que va

calculando Li(m), Wi(m) para valores

crecientes de m a partir de m=0

Anlisis del valor medio

Las ecuaciones son:

*

*

1

( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

( )( ) , 1,..., 1,...,

( )

j

j

j j j

j j

j K

i ii

L mW m j K m M

c

W mL m m j K m M

W m

m m

l

l

(0) 0, 1,...,jL j K

( )

( ) , 1,..., 1,...,( )

j

j

j

L mm j K m M

W ml

Red cerrada

1

2

4

3

1

1 5 1,2,..,6i im

Ejemplo (red cerrada)

En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con

lo cual la solucin es, tomando l1*=1:

* *

1 21; 0,3;l l

* *

3 40,3; 0,7l l

Ecuaciones de equilibrio:

* * * * *

1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r rl l l l l

* * * *

3 2 23 4 1 14;r rl l l l

Ejemplo (red cerrada)

1 ( 1)

( ) , 1,...,45

j

j

L mW m j

11

1 2 3 4

( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

22

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

33

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

44

1 2 3 4

0,7 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

Ejemplo (red cerrada)

Primera iteracin:

(0) 0, 1,...,4jL j 1 (0)

(1) 0,2 1,...,45

j

j

LW j

1

0,2(1) 1 0,4347

2,3 0,2L

2

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L

4

0,7 0,2(1) 1 0,3043

2,3 0,2L

3

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L

Ejemplo (red cerrada)

m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)

0 -- -- -- -- 0 0 0 0

1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043

2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034

3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849

4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401

5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644

6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564

7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

Ejemplo (red cerrada)

m

L

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejemplo (red cerrada)

m

W

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ejemplo (red cerrada)

Utilizaci

n del

servido

r (%)

U=l/m=

L/(Wm)

m

Cola 1

Cola 4

Colas 2 y 3

Cuellos de botella

Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema

Definicin: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m

En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al lmite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habra que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1

Simulacin

7. Revisin de diferentes

programas especializados para

simulacin

Introduccin

Los precursores de la simulacin fueron Von Newmann y

Morgenstern quienes idearon el mtodo de Montecarlo en la dcada

de los 40s (padres tambin de la teora de juegos)

Poco tiempo despus se desarroll el primer modelo de simulacin

durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este

desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer

programa de simulacin que existi.

Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la

dcada de los 70s se dio nuevamente el boom de estos programas

gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar

los ordenadores a procesos productivos.

En los aos posteriores fueron surgiendo programas ms

especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy

en da.

Qu hay de nuevo en la tecnologa

de simulacin?

Hoy en da los programas de simulacin son ms que emuladores de variables aleatorias en procesos

Ms all de esto, existen una serie de caractersticas que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos ms amigables al usuario, fciles de usar y flexibles para trabajar.

Entre las principales caractersticas encontramos:

Animacin en 2 y 3 dimensiones

Imgenes ultra realsticas (adicin de diseos CAD)

Integracin con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, Visio

Herramientas de Optimizacin (OptQuest)

Reportes de resultados automticos y/o personalizados

Integracin con sistemas de anlisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)

Paquetes de modelos especializados

Software de Simulacin ms

conocidos

A continuacin haremos un recorrido por los sistemas ms populares para simulacin a nivel mundial, indicando algo de historia y sus caractersticas ms importantes. Evaluaremos:

Analytica

AnyLogic (simulacin de sistemas dinmicos)

Arena

AutoMod

Flexsim

GoldSim

MicroSaint

Promodel

Simul8

Vensim (simulacin de sistemas dinmicos)

Witness

Analytica

Propiedad de Lumina Decision

Systems Inc., compaa de origen

Norteamericano, fundada en 1991

Modelacin en 2D

Integracin con Excel y Access

Aplicaciones principales:

Aeroespacial

Construccin

Modelacin Financiera

Riesgo Financiero

Procesos y Manufactura

Precios

Edicin Profesional: US $1.295

Optimizador: US $2.995

Reproductor: US $500http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

AnyLogic

Propiedad de XJ Technologies,

compaa de origen Ruso, fundada

en 1992

Modelacin en 2D

Aplicaciones principales:

Educacin

Sistemas Complejos

Militar

Redes y Comunicaciones

Cadena de suministros y Transporte

Precios

V6 Edicin Avanzada: 4.800 EUR +

1.200 EUR con OPT Quest

V6 Edicin Profesional: 12.000 EURhttp://www.xjtek.com/anylogic/

http://www.xjtek.com/anylogic/

Arena Propiedad de Rockwell Automation,

compaa de origen Norteamericano,

fundada en 1983.

Modelacin en 2D (post-animacin en

3D)

Fcil utilizacin

Integracin con VB

Aplicaciones principales:

Sistemas Complejos

Servicios

Militar

Cadena de suministros

Comparacin de escenarios

Precios

Bsico: US $795

OptQuest: US $ 995http://www.arenasimulation.com/

http://www.arenasimulation.com/

AutoMod Propiedad de Applied Materials Inc.,

compaa de origen Norteamericano,

fundada en 1967.

Modelacin en 3D, ultra realista

Requiere nivel avanzado de programacin

Lenguaje propio, orientado a objetos

Mdulos de manufactura especializados:

Aplicaciones principales:

Sistemas Complejos

Salud

Manufactura

Cadena de suministros y Transporte

Aeroespacial

Precios

Versiones desde US $20.000 hasta US

$40.000http://www.automod.com/

http://www.automod.com/

FlexSim

Propiedad de Flexsim Software

Products Inc., compaa de origen

Norteamericano, fundada en 1993.

Fcil Utilizacin

Es tal vez el software ms popular en

simulacin 3D

Permite incluir objetos CAD

Integracin con C++, Access y Excel

Mdulos de manufactura

especializados

Aplicaciones principales:

Manufactura

Cadena de suministros

Precios

US $19.500http://www.flexsim.com/

http://www.flexsim.com/

GoldSim

Propiedad de Golder Associates,

compaa de origen

Norteamericano, fundada en

1990

Modelacin en 2D

Aplicaciones principales:

Medio Ambiente

Modelacin financiera y de negocios

Procesos industriales

Sistemas dinmicos

Precios

GoldSim Pro: US $3.950http://www.xjtek.com/anylogic/

http://www.xjtek.com/anylogic/

MicroSaint Propiedad de Alion MA&D Operation,

compaa de origen Norteamericano,

fundada en 1984

Modelacin en 2D (tiene una leve

integracin con 3D)

Integracin con Visio

Reportes configurables por el usuario

Aplicaciones principales:

Medio Ambiente

Modelacin financiera y de negocios

Procesos industriales

Precios

Modelador Bsico US $4.995

Avanzado (Incluye animacin en 2D y

OptQuest): US $8.995http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

ProModel Propiedad de Promodel Corporation,

compaa de origen Norteamericano,

fundada en 1988

Software de propsito general

Modelacin en 2D (post-animacin en

3D)

Programas especializados

ProcessModel (integracin con VISIO)

MedModel

ServiceModel

Aplicaciones principales:

Servicios

Procesos industriales

Precios

US $3.500

Stat::Fit US $245http://www.promodel.com

http://www.promodel.com/

Simul8 Propiedad de Simul8 Corporation,

compaa de origen Norteamericano,

fundada en 1994.

Fcil Utilizacin

Modelacin en 2D (post-animacin en

3D)

Integracin con C++, VB, Access y Excel

Aplicaciones principales:

Manufactura

Cadena de suministros

Simulacin de escenarios

Precios

Standard: US $1.495

Profesional: US $4.995

Stat::Fit US $245

OptQuest: US $495http://www.simul8.com/

http://www.simul8.com/

Vensim

Propiedad de Ventana Systems

Inc., compaa de origen

Norteamericano, fundada en 1985

Modelacin en 2D

Aplicaciones principales:

Modelacin de sistemas dinmicos

(cadenas de abastecimiento, modelacin

financiera, modelos de crecimiento,

econmicos, sociales, etc.)

Precios

DSS: US $1.995

Profesional: US $1.195

PLE: gratis http://www.vensim.com/

http://www.vensim.com/

Witness Propiedad de Laner, compaa de

origen Britnico, fundada en 1978

Modelacin en 3D

Diseos Optimizados

Integracin con Visio

Reportes configurables por el

usuario

Aplicaciones principales:

Medio Ambiente

Modelacin financiera y de negocios

Procesos industriales

Precios

http://www.lanner.com/corporate/technology/witne

ss.htm

http://www.lanner.com/images/opt.gifhttp://www.lanner.com/images/opt.gifhttp://www.lanner.com/corporate/technology/witness.htm

Aplicaciones ms frecuentes

Conclusiones

En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de

simulacin, se destacaron los 11 aqu revisados.

Todos cuentan con mltiples caractersticas como simulacin discreta y

continua, sistemas dinmicos, modelacin en 2 y 3 dimensiones,

integracin con otros sistemas, etc.

As mismo se identifican diferentes campos de aplicacin, la eleccin del

programa depende bsicamente de este parmetro y el costo.

Arena es el software de simulacin ms difundido a nivel mundial, por su

bajo costo y su amplio soporte en muchos pases.

En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusin en

mbitos acadmicos ya que est enfocado a propsito general (abarca casi

todos los campos), no obstante no permite una gran especializacin y

modelacin de sistemas complejos.

Existen otros programas ms especializados como Flexsim, Witness y

Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con

departamentos dedicados al campo de la simulacin

Modelos de Control de

Inventarios

A lo largo del siglo XX se hicieron mltiples desarrollos matemticos

que facilitaran la planeacin de inventarios en las empresas.

Varios autores han realizado valiosos aportes que aos despus

conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft,

Wagner & Whitin, etc.).

Entre ellos estos mtodos encontramos:

EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)

Lotes Dinmicos

Wagner-Whitin

News Vendor

Stock Base

Punto de Re-Orden

Modelos de Planeacin de la

produccin

Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante

tiles en la administracin de productos con demandas independientes,

no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final

fuese la fabricacin o ensamble de artculos.

En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al

producto terminado, generando as una demanda dependiente a las

partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los

mtodos tradicionales.

Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos mtodos

capaces de responder a estos requerimientos

Hacia el ltimo tercio del siglo XX, nacen los mtodos de planeacin de

la produccin, desarrollos liderados bsicamente por dos diferentes

ideologas, la norteamericana y la japonesa.

A continuacin haremos una breve resea de los modelos ms

importantes de planeacin de la produccin.

Modelos de Planeacin de la

produccin

1. MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la dcada

de los 60s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando

para la IBM y basndose en el desarrollo de bases de datos, pudo

retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la

demanda independiente de los productos terminados y la explosin de

materiales (composicin del PT). De esta manera logr un sistema de

empuje (tipo PUSH) en el cul los insumos eran procesados en la

medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente

hasta lograr el ensamble del producto.

O1A11 A12 O2

A21 A22 O3A31 A32

Modelos de Planeacin de la

produccin

2. JIT (Just In Time): Desarrollado en la dcada de los 70s en el

Japn por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el

consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en

cada estacin nicamente el material necesario para la exhibicin o

en otras palabras, para la produccin. Implica entonces la entrega

constante de materiales (arribos) y la utilizacin de controles para el

movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se

mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el

nivel de inventarios y su respectivo costo.

O1 O2A1 O3

A2 A3

Modelos de Planeacin de la

produccin

3. DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teora de restricciones

(TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la dcada de los 80s.

DRB es el aplicacin de esta teora en un proceso productivo.

El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.

El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las

interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los

tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer

del TOC estn "basados en tiempo de proceso, ubicados solo en ciertas locaciones

que se relacionan con restricciones especificas.

El tiempo de ejecucin necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, ms

el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberacin de

materias primas y materiales, est entonces "atada" a la programacin del Drum,

logrndose un flujo de materiales uniforme.

O1 O2A1 O3

A2 A3

Cuello de botella (Drum Tambor)

Modelos de Planeacin de la

produccin

4. Conwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la dcada de

los 90s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores

caractersticas de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo

denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad

fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las

cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la lnea de

produccin en vez de asociarse a una sola estacin de trabajo como

ocurre con el KANBAN.

O1 O2A1 O3

A2 A3

Modelos de Planeacin de la

produccin

El CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no

puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el

programa de produccin. Adems es posible extender la aplicacin

del m ismo a lneas de montaje mostrndose como con el CONWIP

se alcanza una mayor produccin en la lnea con menores

inventarios en proceso.

El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados

en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello

de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR

comparten caractersticas comunes. El papel de la Rope en el

DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El Drum quedara

sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la

cabecera y el Buffer queda autorregulado con el CONWIP.

Modelos de Planeacin de la

produccin

Comparacin de sistemas:

Industrias IO

Industrias IO fabrica autopartes para ser

utilizadas en posterior ensamblaje

La empresa cuenta con 3 procesos bsicos de

transformacin de materiales, as como con unos

almacenes temporales y finalmente la entrega al

cliente (ver diagrama parte derecha)

Los tiempos de operacin en estos tres procesos

estn distribuidos como se muestra en la

siguiente tabla:

Recepcin

Pulidora

Rectificadora

Troqueladora

Producto

Terminado

Consumidor

Proceso Tiempo

Pulido e(10)

Rectificado n(20,10)

Troquelado e(15)

Industrias IO

La empresa cuenta con un almacn de materias primas que tiene al

comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas.

Estas piezas provienen de otras lneas de produccin

As mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:

4 Operarios

2 Operadores

El tiempo de corrida de la simulacin ser de 72 horas continuas sin

turnos de trabajo.

Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada

llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material

en proceso a mantener

Bibliografa

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