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Simulación PhD(c) Jorge a. Restrepo M.

Author: fundacion-universitaria-autonoma-de-las-americas

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  • Simulacin

    PhD(c) Jorge a. Restrepo M.

  • En esta presentacin

    1. Introduccin a la simulacin

    2. Generacin de nmeros aleatorios

    3. Simulacin con hojas de clculo

    4. Identificacin de variables

    5. Teora de colas

    6. Colas en serie y teora de Redes

    7. Revisin de programas de simulacin

    8. Introduccin a Promodel

    9. Modelos avanzados de simulacin

  • Simulacin

    1. Introduccin a la simulacin

    Conceptos bsicos

  • Qu es la simulacin?

    Representacin analtica de

    sistemas apoyada en

    herramientas matemticas y

    computacionales que permiten

    evaluar el impacto de cambios en

    diferentes variables as como la

    eleccin de los recursos y ptimos

    para el proceso analizado.

  • Definiciones

    Sistema

    Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si

    y cuyos elementos pueden depender de s mismos y de otros,

    tanto en el presente como en el pasado.

    Puede estar abierto o cerrado

    Sistemas deterministas o estocsticos.

    Esttico o dinmico

    Variable

    Representacin de un conjunto de datos

    Variables independientes o dependientes

    Variables endgenas y exgenas

    Eventos

    Discretos o Continuos

  • Para qu modelar?

    Entendimiento

    Aprendizaje

    Mejoramiento

    Optimizacin

    Toma de decisiones

  • Aplicaciones de la simulacin

    Mediante tcnicas de simulacin es posible desarrollar de

    manera terica casos relacionados con:

    Produccin

    Logstica

    Distribucin

    Servicio al cliente

    Construccin

    Militar

    Salud

    Economa y Finanzas

    Y muchos otros campos

  • Qu se necesita para simular?

    Tcnicasanalticas

    Programasespecializados

    Qu pasa s?

    Identificacinde variables involucradas

    Identificacindel proceso

    Problema Muestreo

    ModelacinAplicacin de herramientasde ingeniera

  • Elementos de la simulacin

    Proceso (Flujograma)

    Estados: Definir estados: nmero de clientes/sucesos en el sistema

    Identificar las transiciones de los estados.

    Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema

    Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.)

    Generacin de eventos aleatorios

    Reloj de Simulacin: paso del tiempo (delimitado).

    Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.

  • Pasos para una campaa de

    simulacin

    Anlisis de la

    situacin

    Recoleccin

    de datos

    Experimentacin

    Anlisis de

    resultados

    Documentacin

    ImplementacinEs vlido?

    Construccin

    del modelo

    Ms

    experimentos?Representacin

    real?

    Modificacin del

    modelo?

    Inicio

    Fin

    S

    N

    S

    N

    S

    N

    S

    N

  • Cundo modelar ?

    Cundo NO

    El problema se puede resolver fcilmente de manera analtica

    Demasiado costosa la simulacin

    No se tienen datos reales de las observaciones o estn incompletas

    La situacin actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarla

    Cundo SI

    Todos los dems casos

  • Mtodos para la simulacin

    Mtodos analticos: Segn el tamao y complejidad del proceso, es posible utilizar sencillos desarrollos matemticos para resolver un problema de simulacin. Entre ellas encontramos:

    Teora de Colas

    Teora de Redes

    Sistemas Dinmicos

    Algoritmos de mayor elaboracin

    Mtodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolucin analtica y por tanto se hace indispensable la utilizacin de un programa especializado.

    En general todo lenguaje y programa que permita generar nmeros aleatorios Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.

    Hojas de clculo en general

    Programas especializados (@Risk; Risk Simulator)

  • Simulacin

    2. Generacin de nmeros

    aleatorios

  • Introduccin

    Los nmeros aleatorios son un ingrediente bsico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayora de programas contienen una subrutina de generacin que facilita su utilizacin.

    Si se trata de un lenguaje de programacin, es necesario generar un nmero aleatorio y de estos partir para la generacin de variables aleatorias.

    A continuacin se explican las tcnicas bsicas para la generacin de nmeros aleatorios y posteriormente tcnicas para la generacin de variables aleatorias a partir de estos nmeros

  • Propiedades de los nmeros

    aleatorios

    Toda serie de nmeros aleatorios R1, R2, Rn, debe

    cumplir con dos propiedades fundamentales,

    Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa

    que:

    S se grafican los nmeros aleatorios en el intervalo [0,1] y este

    es dividido a su vez en n clases sub intervalos de igual

    magnitud, el nmero esperado de observaciones en cada

    intervalo es de N/n donde N es el nmero total de

    observaciones.

    La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es

    independiente del valor inmediatamente anterior.

  • Generacin de nmeros

    pseudo-aleatorios

    Cuando hablamos de Pseudo generar, significa que esta

    generacin es falsa por naturaleza.

    Siempre que se utiliza una tcnica para generar

    nmeros aleatorios, significa que existe una ecuacin o

    frmula que la permite;por tanto es pronosticable de

    alguna manera (ejemplo, revisar los nmeros decimales

    de PI).

    Para evitar inconvenientes, se acude a generaciones

    computacionales que evaden estos problemas, no

    obstante, se analiza solo un mtodo matemtico que a

    su vez tiene dos composiciones.

  • Tcnica de congruencia lineal

    Este mtodo propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2, entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relacin:

    El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el incremento y m el mdulo (mdulo hace referencia al remanente decimal producto de la divisin, as pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su mdulo es 43).

    Si c es diferente de cero, se llama mtodo de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como mtodo de congruencia lineal multiplicativo.

    La seleccin de las constantes a, c y m, as como de la semilla, afectan drsticamente el resultado de los nmeros y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.

    1 mod , 0,1,2...i iX aX c m i

  • Algunas funciones generadoras*

    *Tomado de: Garca, Eduardo. Simulacin y anlisis de sistemas con Promodel, cap 3.

    Uniforme:

    Triangular:

    Normal:

    Exponencial:

    Poisson:

    Distribucin Generador Parmetros

    Uniformea = lmite inferior

    b = lmite superior

    Triangular

    a = lmite inferior

    c = moda de la distribucin

    b = lmite superior

    Normal

    m = media de la distribucin

    s = Desviacin estndard.

    Exponencial1/l= media de la distribucin

    Weibull

    Poisson

    Inicializacin: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri.

    Paso 1: Calcular T=Tri.

    Paso 2: Si T>=e-l, entonces hacer N=N+1, T=T y

    calcular otro ri, y regresar al paso 1.

    Si no, la variable generada est dada por Pi=N.

    i iU a b a r

    , si

    1 , si

    i i

    i

    i i

    c aa b a c a r r

    b aT

    c aa b a b c r r

    b a

    s m

    s m

    2ln 1 cos 2

    2ln 1 sin 2

    i i j

    i i j

    N r r

    N r r

    l

    1

    ln 1i iE r

    1

    ln 1x B R

  • Intervalos de confianza

    Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la

    simulacin

    Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo

    transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso

    requiere del clculo de longitud de rplicas.

    Longitud de rplicas: Se debe garantizar que la variacin entre rplicas no sea

    significativa.

    / 2, 1 / 2, 1,r rs s

    IC x t x tr r

    ,/ 2 / 2

    s sIC x x

    r r

    Distribuciones normales

    Otras distribuciones

    Donde:

    r =nmero de rplicas

    = nivel de rechazo

    s

    2

    / 2Zn

    s

    21

    n

    Distribuciones normales

    Otras distribuciones

  • Simulacin

    3. Simulacin con hojas de

    clculo

  • Concepto general

    Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es

    modelable mediante hojas de clculo, as como las distribuciones

    personalizadas y los procesos de llegada y atencin.

    El concepto bsico est dado por la generacin de nmeros aleatorios

    y su aplicacin a la serie mediante ecuaciones dinmicas la

    conversin a la distribucin de probabilidad asociada

    Una vez generada la iteracin por eventos o por tiempos (segn el

    mtodo de avance del tiempo), se debe repetir la simulacin segn si

    es terminal o de estado estable.

    Al finalizar la simulacin, se debe analizar el resultado en estado

    estable y las diferentes rplicas, y sern estos resultados los que

    permitan realizar las conclusiones de la simulacin.

    A continuacin realizaremos algunos ejemplos bsicos desarrollados

    en Excel.

  • Paseo Aleatorio

    Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el

    tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En ingls

    se conoce como Random Walk.

    Sus resultados han tenido mltiples aplicaciones tanto en la

    Economa, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociologa, la Fsica

    y la Biologa.

    Definicin: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posicin

    en X(0)=X0, su trayectoria est dada por:

    Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de

    la direccin del siguiente paso.

    ttx x

  • Algunas aplicaciones de los

    paseos aleatorios

    Suponga una accin que comienza costando $100 y no tiene tendencia

    alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.

    Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este

    paseo aleatorio como se muestra a continuacin:

    Esto dar como resultado una serie de incrementos y decrementos que

    no puede ser pronosticada, esto es en s un paseo aleatorio.

  • Algunas aplicaciones de los

    paseos aleatorios (tendencia)

    Si la serie tiene alguna clase de pronstico (tcnicas de Forecasting),

    es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza

    aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto

    bsico de la especulacin financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).

    Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido

    modelado bajo la siguiente ecuacin:

    Donde =1.001

    Se espera que el parmetro alfa garantice un incremento constante del

    0.1% sobre la accin. Un inversionista que conozca este modelo,

    comprar entonces esta accin y har un anlisis financiero simple

    estableciendo que el retorno neto ser de 2.94% mensual, es decir que

    si invierte $100, obtendr $102.94 a final de mes

    (Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual,

    haciendo atractiva la inversin.

    ttx x

  • Algunas aplicaciones de los

    paseos aleatorios (tendencia)

    Al incluir la naturaleza estocstica dentro de la serie, los resultados

    pueden variar positiva negativamente. A continuacin se presenta

    la formulacin en Excel.

    Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el

    retorno sea de -6.14%.

  • Algunas aplicaciones de los

    paseos aleatorios (Martingalas)

    Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la

    Martingala (determinado proceso estocstico).

    La Martingala tiene mltiples aplicaciones, una de ella es en los

    juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el

    jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador

    pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo

    premia y recupera todo lo invertido.

    En forma prctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple,

    haciendo que eventualmente la banca gane el juego.

    Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la

    banca no paga por los resultados 0 00, inclinando las

    probabilidades hacia la prdida.

    Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.

  • Otras aplicaciones de las hojas

    de clculo: Modelo de colas MM1

    Se puede tambin modelar un proceso de llegadas y atencin

    mediante la conversin de la serie aleatoria a la funcin de

    probabilidad asociada (tcnica de la transformada inversa).

    Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo

    a una distribucin exponencial entre llegadas con parmetro de 5

    min y una atencin con parmetro exponencial de 4 min. Determine

    los indicadores de esta cola MM1.

    A continuacin se presenta la formulacin en Excel para su

    desarrollo:

  • Otras aplicaciones de las hojas

    de clculo: Modelo de colas MM1

    Una vez corrida la simulacin para 200 registros con 20 rplicas, se

    encuentra que el tiempo promedio en cola est alrededor de los 14

    minutos (rango entre 12 y 17).

    La variabilidad ocurre por la naturaleza estocstica involucrada en la

    formulacin y por la poca cantidad de registros analizados.

    Si resolvemos este sistemas con la formulacin bsica de teora de

    colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide

    con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia

    infinita, ignora los conceptos estocsticos involucrados.

  • Ventas variables por hora

    Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya

    clientela es estudiantil. La clientela siempre est de afn y desea

    rpida atencin. Los tiempos entre llegadas se distribuyen

    exponencialmente sin embargo segn la hora del da las llegadas son

    diferentes (ver histograma). El tiempo de atencin es exponencial con

    media de 1 minuto. Cul es la cola y el tiempo de atencin promedio?

    0%

    5%

    10%

    15%

    9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

    Ventas Diarias

    % Terico % Real

  • Procesamiento de piezas

    El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una

    estacin de inspeccin sigue una distribucin exponencial con media

    de 5 minutos/pieza. El proceso est a cargo de un operario y la

    duracin de la inspeccin sigue una distribucin normal con media de 4

    y desviacin estndar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de

    permanencia de las piezas en el proceso de inspeccin.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    Tiempo promedio en el sistema

    Tiempo promedio en inspeccin

  • Modelos de Inventarios

    Existen mltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan

    optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de

    la mercanca.

    Los modelos bsicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX)

    hasta modelos heursticos y meta-heursticos que implementan

    algoritmos inteligentes que construyen las sendas ptimas.

    Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas bsicos

    sin reorden y sin lead time, con demanda esttica. Luego se

    relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos ms

    complejos.

  • Simulacin

    4. Identificacin de variables

  • Medicin de variables

    Toda variable involucrada en el sistema debe ser

    medida

    Para ello partimos de datos histricos del proceso y de

    estimaciones realizadas a partir de un muestreo

    Una serie suficientemente grande de datos nos permite

    identificar primero grfica y luego estadsticamente el

    comportamiento de cada variable

    Los datos ms comnmente estimados en un modelo

    son:

    Tiempos de atencin y procesamiento

    Tiempos entre llegadas

    Cantidad de entradas al sistema: frecuencia

    Probabilidades de ruteo y error

  • Muestreo

    Herramienta fundamental para la medicin de tiempos y tipificacin de los

    mismos.

    Principio fundamental: La informacin se recoge cuando algo ocurre

    Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos

    Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:

    De esta tabla podemos elaborar:

  • Ejemplo de un programa sencillo en Excel

    para capturar tiempos en una operacin

    Sub captura()

    Dim cap As Worksheet

    Set cap = Sheets("Captura")

    j = 4

    Do While cap.Cells(j, 1) ""

    If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then

    cap.Cells(j + 1, 2) = Time()

    cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3

    Exit Sub

    Else

    If cap.Cells(j + 1, 3) "" Then

    j = j + 1

    GoTo siguiente

    Else

    cap.Cells(j + 1, 3) = Time()

    cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j +

    1, 2)) * 3600 * 24

    Exit Sub

    End If

    End If

    j = j + 1

    siguiente:

    Loop

    End Sub

    Nombre una hoja de clculo como Captura

    Cree los ttulos como se muestra a continuacin

    e inserte un botn llamado capturar

    Luego ascielo a una subrutina llamada captura

    como se muestra en el cdigo de la derecha.

    Los datos resultantes de la columna D, sern

    los tiempos de la operacin, estos datos

    determinarn la distribucin de probabilidad

    asociada al proceso.

  • Anlisis de los datos

    Una vez realizado el muestreo (mnimo 30 registros por cada

    actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar

    una distribucin de frecuencias desde la cul se puedan identificar

    las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.

    Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego

    realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadstico que indica

    cun cerca o lejos est una serie de una distribucin especfica)

    Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente

    distribuidas

    Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra

    distribucin.

    Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra

    distribucin.

    Es decir que primero graficamos mediante un histograma de

    frecuencias y luego realizamos los test estadsticos segn el caso

  • Anlisis de los datos

    Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la

    modelacin, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la grfica

    (ejemplo atencin en una cafetera)

    Existen adems paquetes computacionales especializados que ya

    elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS,

    EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, Risk Simulator, etc.

    Solicitud de

    Pedido

    E(1,2)

    Entrada

    Llegada de

    clientes

    P(90)

    Caja

    Entrega del Pedido

    al usuario

    N(0.5,1)

    Barra Salida

    Alistamiento

    del pedido

    G(2,5)

    Cocina

  • Simulacin

    5. Introduccin a la teora de

    Colas

  • Definicin e historia

    Una cola es una lnea de espera de cualquier clase de recurso

    (personas, materiales, documentos, etc.)

    La teora de colas es el conjunto de modelos matemticos y

    computacionales que intentan explicar el comportamiento de las

    lneas de espera

    Su precursor fue Erlang (Ingeniero Dans 1978 1929), quien en

    1909 public su primer trabajo sobre la modelacin de las esperas y

    su dimensionamiento en la empresa de telfonos de Copenhague

    Con el tiempo sus teoras fueron ampliamente aceptadas y

    aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en da.

    Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov ,

    Markov, Kendall, Little, entre otros)

    Las colas son una aplicacin particular de los procesos estocsticos

  • Proceso de nacimiento y

    muerte

    Esquema bsico para modelacin de colas (cambios en tamao de

    poblacin)

    Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema

    Muerte: salida de un cliente servido

    N(t): nmero de clientes que hay en el sistema en un momento t

    El proceso de nacimiento y muerte describe en trminos

    probabilsticos como cambia N(t) al aumentar t

    Suposiciones:

    Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para el

    prximo nacimiento es exponencial con parmetro

    Dado N(t)=n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para la

    prxima muerte (terminacin) es exponencial con parmetro

    n solo puede saltar 1 estado a la vez

    Diagrama de tasas:

    l

    m

  • Proceso de nacimiento y

    muerte

    Principio clave (ecuacin de balance):

    Tasa media de entrada = Tasa media de salida

    Estado 0:

    Estado 1:

    Generalizando:0 1 2 1

    n=01 2 3

    ..., 1

    ...

    nn n

    n

    p pl l l l

    m m m m

    0 10l

    0 10l

    21l

    1m

    0 01 1 0 0 1

    1

    PP P P

    lm l

    m

    1m

    2m

    0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0

    1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 12 0 0 2

    2 2 1 2 2 0 1

    P P P P P P P

    P P P PP P P P

    l m l m m l m l

    l m l l l l m l l l

    m m m m m m m

  • Componentes de una Cola

    Definiciones

    N(t): Nmero de clientes en el estado t

    r : Tasa de utilizacin (debe ser menor a 1 para que el sistema sea

    estable)

    Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t

    S: Nmero de servidores

    Nmero de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)

    L: Nmero esperado de clientes en el sistema

    Lq: Nmero esperado de clientes en la cola

    W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente

    Tasa media de servicio (nmero esperado de clientes que completan

    su servicio por unidad de tiempo)

    Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente

    Abandono e Impaciencia

    Fuente de

    entrada

    Cola Proceso

    o servicioSalida

    l

    m

  • Notacin y Disciplina

    Notacin: A/B/C/D/E

    A: Distribucin de tiempos de llegada

    B: Distribucin de tiempos de salida

    C: Nmero de servidores

    D: Capacidad del sistema

    E: Disciplina de la cola

    Disciplinas

    FIFO: Primero en llegar, primero en servirse

    LIFO: ltimo en llegar, primero en servirse

    SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor

    servicio

    RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente

    entre todas las tareas pendientes

  • Cola M | M | 1

    Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina ser FIFO

    Las llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn l, donde l es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp(l)

    Los tiempos entre servicios tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el nmero medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio

  • Condicin de no saturacin

    Se demuestra que si lm, el sistema se satura,

    es decir, el nmero de clientes en la cola crece

    indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

    la condicin de no saturacin ser:

    m

    lrr donde,1

    Cuando una cola no se satura, tambin se dice

    que alcanza el estado estacionario,

  • Probabilidades

    El parmetro r se llama carga, flujo o intensidad de trfico del sistema, puesto que mide la relacin entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos

    Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente frmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

    rr 1nnp

  • Medidas de rendimiento

    El nmero medio de clientes en el sistema, L, se calcula as:

    000

    11j

    j

    j

    j

    j

    j jjpjL rrrr

    Sumamos la serie aritmtico-geomtrica:

    ...432 432 rrrrS

    ...32 432 rrrrS

    r

    rrrrrr

    1...1 432S

    r

    r

    r

    rr

    111

    2L

  • Medidas de rendimiento

    La utilizacin del servidor, notada U, es la fraccin de

    tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece

    ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no

    hay saturacin, el nmero medio de clientes que entran

    en el sistema debe ser igual al nmero medio de

    clientes que salen de l:

    rm

    lml UU

    Como para deducir la anterior frmula no hemos

    usado ninguna caracterstica especial del modelo

    de entrada ni del de salida, dicha frmula es

    vlida para colas G | G | 1

  • Medidas de rendimiento

    El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de l otros j trabajos, el tiempo medio que tardar en salir del sistema ser j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

    mmmmm

    11111

    000

    LppjpjW j

    j

    j

    j

    j

    j

    Tiempo que se pasa

    en el sistema si

    hay j por delante

    al llegar

    Probabilidad de que

    haya j por delante

    al llegar

  • Medidas de rendimiento

    Podemos simplificar algo ms:

    lmmm

    11LW

    El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallar

    restando a W el tiempo que tarda en ser servido el

    trabajo (esto es vlido para cualquier tipo de cola):

    m

    1WWq

    En el caso particular de una cola M | M | 1,

    obtenemos:

    lm

    r

    qW

  • Ejemplo

    Unos mecnicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecnico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min

    Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

  • Ejemplo

    Tenemos dos opciones: Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h

    Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h

    En ambos casos, l = 10 clientes/h

    Opcin 1 (sin ayudante):

    mecnicos5

    12

    101

    12

    10

    1;

    12

    10

    1

    111

    r

    rr L

    Por tanto, perdemos 5($10/h) = $50/h

  • Ejemplo

    Opcin 2 (con ayudante):

    mecnicos2

    15

    101

    15

    10

    1;

    15

    10

    1

    112

    r

    rr L

    Por tanto, perdemos 2($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecnicos, Pero tambin perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las prdidas totales son $24/h

    En la opcin 1 perdemos $50/h y en la opcin 2 perdemos $24/h, con lo cual la ms ventajosa es la opcin 2.

  • Cola M | M | s

    Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina ser FIFO

    Las llegadas se producen segn un proceso de Poisson de razn l, donde l es el nmero medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirn exponencialmente, Exp(l)

    Los tiempos de servicio tambin se distribuirn exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el nmero medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio

  • Condicin de no saturacin

    Se demuestra que si lsm, el sistema se satura,

    es decir, el nmero de clientes en la cola crece

    indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

    la condicin de no saturacin ser:

    1, dondes

    lr r

    m

    Nosotros slo estudiaremos las colas que no

    se saturan, Cuando una cola no se satura,

    tambin se dice que alcanza el estado

    estacionario,

  • Probabilidades

    Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes frmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

    11

    0

    0! 1 !

    ns s s

    n

    ssp

    s n

    rr

    r

    0

    0

    , si 0,1,...,!

    , en otro caso!

    n

    ns n

    sp n s

    nps

    ps

    r

    r

  • Medidas de rendimiento

    Nmero medio de clientes en cola:

    1

    0

    2! 1

    s s

    q

    s pL

    s

    r

    r

    Usamos razonamientos ya vistos para

    obtener:

    m

    1 qWW

    qq WL l WL l

  • Otras medidas de rendimiento

    Nmero medio de servidores ocupados, C, En

    el estado estacionario, la razn de las salidas

    ser igual a la razn de las llegadas:

    c c sl

    m l rm

    Probabilidad de que un trabajo tenga que

    esperar para recibir su servicio (frmula de

    retraso de Erlang):

    0

    ! 1

    s ss pq

    s

    r

    r

  • Ejemplos

    Ejemplo: Usando L como medida de

    rendimiento, comparar estas dos alternativas:

    ml l

    m/2

    m/2

    Alternativa 1: Alternativa 2:

  • Ejemplos

    Alternativa 1:

    r

    r

    11L

    Alternativa 2:

    rm

    l

    m

    lr

    22

    2

    112

    0

    22

    02!

    2

    1!2

    2

    n

    n

    np

    r

    r

    r

  • Ejemplos

    122

    12

    0212

    4422421

    12

    4

    r

    rrrrr

    r

    rp

    rr

    r

    r

    1

    1

    12

    221

    02p

    rlm

    llll

    m2

    2122

    2

    222

    qqq WWWWL

    r

    rr

    rrr

    r

    rr 2

    11

    122

    12

    42

    2

    3

    2

    02

    3

    22

    pLL q

  • Ejemplos

    rrr

    rr

    rrrr

    rr

    r

    11

    2

    11

    2222

    11

    2 333

    2L

    rrr

    rr

    r

    r

    r

    1

    210

    111

    2

    1

    Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de

    cumplirse que L1

  • Ejemplos

    Ejemplo: Usando el nmero medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

    m/2l/2

    l

    m/2

    m/2

    Alternativa 2:Alternativa 1:

    m/2l/2

  • Ejemplos

    Alternativa 1 (ntese que hay 2 colas):

    m

    lr

    r

    r

    r

    r

    donde,

    1

    2

    12

    1

    11L

    Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo

    anterior):

    rm

    l

    m

    lr

    22

    2

    rrr

    11

    22L

  • Ejemplos

    rrr

    rr

    r

    r

    r

    1

    110

    1

    2

    11

    2

    1

    2

    Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de

    cumplirse que L1>L2:

    011 rr

    Como r>0 siempre se cumple, tendremos

    que la alternativa 2 siempre es mejor, Es

    decir, no conviene poner dos colas, sino

    tener una nica cola global

  • Ejemplos

    Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3

    mquinas fotocopiadoras a disposicin del pblico,

    Cada mquina es capaz de servir, por trmino

    medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan

    como promedio 5 clientes a la hora,

    Parmetros del sistema: l = 5 clientes/h, m = 8

    clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura

    porque r

  • Ejemplos

    Cul es la probabilidad de que las tres mquinas

    estn libres a la vez?

    1 13 31 2

    0

    0 0

    33

    ! 1 ! 3! 1 !

    n ns s s

    n n

    ssp

    s n n

    r rr r

    r r

    0,5342706569

    304

    128

    25

    8

    51

    2432

    125

    !2

    3

    !1

    3

    !0

    3

    1!3

    31121033

    rrr

    r

    r

    3 41 3040 569

    2 2

    3 3020,00722643 clientes

    41791! 1 3! 1

    s s

    q

    s pL

    s

    rr

    r r

    Cul es el nmero medio de clientes en la

    cola?

  • Ejemplos

    Cul es el tiempo medio de espera en la cola?

    h 00144529,035979

    52

    417915

    302

    l

    qq

    LW

    Cul es el tiempo medio de espera en el

    sistema?h 126445,0

    4065

    514

    8

    1

    35979

    521

    mqWW

    Cul es el nmero medio de clientes en el

    sistema?

    clientes0.632226813

    514

    4065

    5145 WL l

  • Resumen de ecuaciones de

    Little

    M/M/1 M/M/S

    0 1Pl

    m

    1W

    m l

    1n

    nPl l

    m m

    qWl

    m m l

    Ll

    m l

    lr

    m

    2

    qLl

    m m l

    M/M/1/n

    0 1

    1

    1M

    Pl m

    l m

    1 M

    LW

    Pl

    1qW W

    m 0 ,

    n

    nP P n Ml m

    1

    1

    1

    1 1

    M

    M

    ML

    l ml m

    l m l m

    1 Mq

    PL L

    l

    m

    01

    0

    1

    1 1

    ! !

    sn s

    n

    Ps

    n s s

    l l m

    m m m l

    0

    0

    1

    !

    1

    !

    n

    n s

    n n

    P n ss s

    P

    P n sn

    l

    m

    l

    m

    02

    1 !

    s

    L Ps s

    lm l m l

    mm l

    LW

    l qL L

    l

    m

    1qW W

    m

  • Simulacin

    6. Colas en serie y teora de

    Redes

  • Redes de colas

    Una red de colas es un sistema donde

    existen varias colas y los trabajos van

    fluyendo de una cola a otra

    Ejemplos:

    Fabricacin (trabajos=artculos)

    Oficinas (trabajos=documentos)

    Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)

    Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

  • Enrutado de trabajos

    Criterios para decidir a qu cola se dirige un

    trabajo que acaba de salir de otra:

    Probabilstico: se elige una ruta u otra en funcin

    de una probabilidad (puede haber distintos tipos

    de trabajos, cada uno con sus probabilidades)

    Determinista: cada clase de trabajo se dirige a

    una cola fija

  • Tipos de redes de colas

    Se distinguen dos tipos de redes de colas:

    Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o ms colas, sale del sistema, Dos subtipos:

    Acclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)

    Cclicas: Hay bucles en la red

    Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un nmero fijo de trabajos,

  • Red abierta acclica

  • Red abierta cclica

  • Red cerrada

  • Redes de Jackson abiertas

    Una red de colas abierta se dice que es de Jackson

    si:

    Slo hay una clase de trabajos

    Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la

    probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

    nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar

    del sistema despus de haber salido del nodo i, donde ri0 =

    1 jrij

    Cada nodo i es una cola .|M|ci

    La tasa de llegadas externas al nodo i se notar i

    El nmero total de nodos de la red se notar K

  • Ecuaciones de equilibrio

    Dado que el flujo total de entrada a un nodo

    debe ser igual al flujo total de salida del

    nodo, tendremos que:

    1

    , 1,...,K

    i i j jij

    r i K

    l l

    Las K ecuaciones anteriores forman un

    sistema lineal con solucin nica, que

    resolveremos para hallar las tasas de

    llegada a cada nodo li

  • Condicin de no saturacin

    Para que ninguna de las colas del sistema se

    sature, es preciso que se cumpla la siguiente

    condicin:

    ii

    iii

    cdondeKi

    m

    lrr ,1,,...,2,1

    Nota: Se trata de la condicin de no

    saturacin del modelo M|M|c, aplicada a

    cada uno de los nodos por separado

  • Teorema de Jackson para

    redes abiertas

    Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condicin de no saturacin, Entonces en el estado estacionario, la distribucin del nmero de clientes en cada nodo es la que sigue:

    11

    ( ) ( ), , , 0K

    i i Ki

    p p n n n

    n

    donde pi(ni) es la probabilidad de que haya niclientes en el nodo i, calculada segn las

    ecuaciones del modelo M|M|c

  • Consecuencias del teorema

    Corolario: Las medidas de rendimiento para

    cada nodo se calculan segn las ecuaciones

    del modelo M|M|s, Adems se tendrn las

    siguientes medidas:

    Tasa global de salidas del sistema (throughput),

    que es el nmero medio de trabajos que salen del

    sistema por unidad de tiempo, Coincide con el

    nmero de trabajos que entran en el sistema:

    K

    iired

    1

    l

  • Consecuencias del teorema

    Nmero medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los nmero medios de trabajos en cada uno de los nodos:

    K

    iired LL

    1

    Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el

    tiempo medio que pasa una tarea desde que

    entra en la red hasta que sale de ella:

    red

    redred

    LW

    l

  • Consecuencias del teorema

    Razn de visitas al nodo i, Vi, que es el nmero

    medio de veces que un trabajo visita el nodo i

    desde que entra en la red hasta que sale:

    red

    iiVKi

    l

    l ,,...,2,1

    Nota: en una red acclica habr de cumplirse que

    Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitar

    cada nodo a lo sumo una vez

  • Ejemplo (red acclica)

    11,5 2

    3

    60,5

    4

    5

    2 1,2,..,6i im

  • Ejemplo (red acclica)

    En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;

    6=0,5; r65=1; con lo cual la solucin es:

    1 2 31,5; 0,3; 1,2;l l l

    4 5 60,72; 0,98; 0,5l l l

    Ecuaciones de equilibrio:

    1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r rl l l l l

    4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r rl l l l l l

  • Ejemplo (red acclica)

    Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

    M|M|1):1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L

    4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L

    Condicin de no saturacin (se cumple porque ri

  • Ejemplo (red acclica)

    ii

    iWlm

    11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W

    4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W

    i

    iqi WWm

    11 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W

    4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W

  • Red abierta cclica

    10,2 2

    3

    4

    5

    0,8

    0,6

    3 1,2,4

    4 3,5

    i

    i

    i

    i

    m

    m

  • Ejemplo (red cclica)

    En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;

    r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solucin es:

    1 2 30,2; 0,06; 2,0434;l l l

    4 50,2043; 1,8391l l

    Ecuaciones de equilibrio:

    1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r rl l l l l l

    4 3 34 5 3 35;r rl l l l

  • Ejemplo (red cclica)

    Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

    M|M|1):1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L

    4 50,0731; 0,8511L L

    Condicin de no saturacin (se cumple porque ri

  • Ejemplo (red cclica)

    ii

    iWlm

    11 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W

    4 50,3576; 0,4627W W

    i

    iqi WWm

    11 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W

    4 50,0243; 0,2127q qW W

  • Redes de Jackson cerradas

    Una red de colas cerrada se dice que es de

    Jackson sii:

    Slo hay una clase de trabajos

    Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la

    probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

    nodo i,

    Cada nodo i es una cola .|M|ci

    Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema

    El nmero total de nodos de la red se notar K

  • Ecuaciones de equilibrio

    Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

    * *1

    , 1,...,K

    i j jij

    r i K

    l l

    Las K ecuaciones anteriores forman un sistema

    lineal indeterminado con un grado de libertad,

    que resolveremos para hallar las tasas de

    llegada relativas a cada nodo li*, Para ello

    fijaremos un valor positivo arbitrario para una

    incgnita, por ejemplo l1*=1

  • Anlisis del valor medio

    Hallaremos las siguientes medidas de

    rendimiento para M tareas en el sistema:

    Li(M)=Nmero medio de tareas en el nodo i

    Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el

    nodo i cada vez que lo visita

    li(M)=Tasa real de salidas del nodo i

    Se trata de un algoritmo iterativo que va

    calculando Li(m), Wi(m) para valores

    crecientes de m a partir de m=0

  • Anlisis del valor medio

    Las ecuaciones son:

    *

    *

    1

    ( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

    ( )( ) , 1,..., 1,...,

    ( )

    j

    j

    j j j

    j j

    j K

    i ii

    L mW m j K m M

    c

    W mL m m j K m M

    W m

    m m

    l

    l

    (0) 0, 1,...,jL j K

    ( )

    ( ) , 1,..., 1,...,( )

    j

    j

    j

    L mm j K m M

    W ml

  • Red cerrada

    1

    2

    4

    3

    1

    1 5 1,2,..,6i im

  • Ejemplo (red cerrada)

    En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con

    lo cual la solucin es, tomando l1*=1:

    * *

    1 21; 0,3;l l

    * *

    3 40,3; 0,7l l

    Ecuaciones de equilibrio:

    * * * * *

    1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r rl l l l l

    * * * *

    3 2 23 4 1 14;r rl l l l

  • Ejemplo (red cerrada)

    1 ( 1)

    ( ) , 1,...,45

    j

    j

    L mW m j

    11

    1 2 3 4

    ( )( )

    ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

    W mL m m

    W m W m W m W m

    22

    1 2 3 4

    0,3 ( )( )

    ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

    W mL m m

    W m W m W m W m

    33

    1 2 3 4

    0,3 ( )( )

    ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

    W mL m m

    W m W m W m W m

    44

    1 2 3 4

    0,7 ( )( )

    ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

    W mL m m

    W m W m W m W m

  • Ejemplo (red cerrada)

    Primera iteracin:

    (0) 0, 1,...,4jL j 1 (0)

    (1) 0,2 1,...,45

    j

    j

    LW j

    1

    0,2(1) 1 0,4347

    2,3 0,2L

    2

    0,3 0,2(1) 1 0,1304

    2,3 0,2L

    4

    0,7 0,2(1) 1 0,3043

    2,3 0,2L

    3

    0,3 0,2(1) 1 0,1304

    2,3 0,2L

  • Ejemplo (red cerrada)

    m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)

    0 -- -- -- -- 0 0 0 0

    1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043

    2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034

    3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849

    4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401

    5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644

    6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564

    7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173

  • 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    Ejemplo (red cerrada)

    m

    L

    Cola 1

    Colas 2 y 3

    Cola 4

  • 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    Ejemplo (red cerrada)

    m

    W

    Cola 1

    Colas 2 y 3

    Cola 4

  • 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    Ejemplo (red cerrada)

    Utilizaci

    n del

    servido

    r (%)

    U=l/m=

    L/(Wm)

    m

    Cola 1

    Cola 4

    Colas 2 y 3

  • Cuellos de botella

    Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema

    Definicin: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m

    En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al lmite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habra que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1

  • Simulacin

    7. Revisin de diferentes

    programas especializados para

    simulacin

  • Introduccin

    Los precursores de la simulacin fueron Von Newmann y

    Morgenstern quienes idearon el mtodo de Montecarlo en la dcada

    de los 40s (padres tambin de la teora de juegos)

    Poco tiempo despus se desarroll el primer modelo de simulacin

    durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este

    desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer

    programa de simulacin que existi.

    Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la

    dcada de los 70s se dio nuevamente el boom de estos programas

    gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar

    los ordenadores a procesos productivos.

    En los aos posteriores fueron surgiendo programas ms

    especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy

    en da.

  • Qu hay de nuevo en la tecnologa

    de simulacin?

    Hoy en da los programas de simulacin son ms que emuladores de variables aleatorias en procesos

    Ms all de esto, existen una serie de caractersticas que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos ms amigables al usuario, fciles de usar y flexibles para trabajar.

    Entre las principales caractersticas encontramos:

    Animacin en 2 y 3 dimensiones

    Imgenes ultra realsticas (adicin de diseos CAD)

    Integracin con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, Visio

    Herramientas de Optimizacin (OptQuest)

    Reportes de resultados automticos y/o personalizados

    Integracin con sistemas de anlisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)

    Paquetes de modelos especializados

  • Software de Simulacin ms

    conocidos

    A continuacin haremos un recorrido por los sistemas ms populares para simulacin a nivel mundial, indicando algo de historia y sus caractersticas ms importantes. Evaluaremos:

    Analytica

    AnyLogic (simulacin de sistemas dinmicos)

    Arena

    AutoMod

    Flexsim

    GoldSim

    MicroSaint

    Promodel

    Simul8

    Vensim (simulacin de sistemas dinmicos)

    Witness

  • Analytica

    Propiedad de Lumina Decision

    Systems Inc., compaa de origen

    Norteamericano, fundada en 1991

    Modelacin en 2D

    Integracin con Excel y Access

    Aplicaciones principales:

    Aeroespacial

    Construccin

    Modelacin Financiera

    Riesgo Financiero

    Procesos y Manufactura

    Precios

    Edicin Profesional: US $1.295

    Optimizador: US $2.995

    Reproductor: US $500http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

    http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

  • AnyLogic

    Propiedad de XJ Technologies,

    compaa de origen Ruso, fundada

    en 1992

    Modelacin en 2D

    Aplicaciones principales:

    Educacin

    Sistemas Complejos

    Militar

    Redes y Comunicaciones

    Cadena de suministros y Transporte

    Precios

    V6 Edicin Avanzada: 4.800 EUR +

    1.200 EUR con OPT Quest

    V6 Edicin Profesional: 12.000 EURhttp://www.xjtek.com/anylogic/

    http://www.xjtek.com/anylogic/

  • Arena Propiedad de Rockwell Automation,

    compaa de origen Norteamericano,

    fundada en 1983.

    Modelacin en 2D (post-animacin en

    3D)

    Fcil utilizacin

    Integracin con VB

    Aplicaciones principales:

    Sistemas Complejos

    Servicios

    Militar

    Cadena de suministros

    Comparacin de escenarios

    Precios

    Bsico: US $795

    OptQuest: US $ 995http://www.arenasimulation.com/

    http://www.arenasimulation.com/

  • AutoMod Propiedad de Applied Materials Inc.,

    compaa de origen Norteamericano,

    fundada en 1967.

    Modelacin en 3D, ultra realista

    Requiere nivel avanzado de programacin

    Lenguaje propio, orientado a objetos

    Mdulos de manufactura especializados:

    Aplicaciones principales:

    Sistemas Complejos

    Salud

    Manufactura

    Cadena de suministros y Transporte

    Aeroespacial

    Precios

    Versiones desde US $20.000 hasta US

    $40.000http://www.automod.com/

    http://www.automod.com/

  • FlexSim

    Propiedad de Flexsim Software

    Products Inc., compaa de origen

    Norteamericano, fundada en 1993.

    Fcil Utilizacin

    Es tal vez el software ms popular en

    simulacin 3D

    Permite incluir objetos CAD

    Integracin con C++, Access y Excel

    Mdulos de manufactura

    especializados

    Aplicaciones principales:

    Manufactura

    Cadena de suministros

    Precios

    US $19.500http://www.flexsim.com/

    http://www.flexsim.com/

  • GoldSim

    Propiedad de Golder Associates,

    compaa de origen

    Norteamericano, fundada en

    1990

    Modelacin en 2D

    Aplicaciones principales:

    Medio Ambiente

    Modelacin financiera y de negocios

    Procesos industriales

    Sistemas dinmicos

    Precios

    GoldSim Pro: US $3.950http://www.xjtek.com/anylogic/

    http://www.xjtek.com/anylogic/

  • MicroSaint Propiedad de Alion MA&D Operation,

    compaa de origen Norteamericano,

    fundada en 1984

    Modelacin en 2D (tiene una leve

    integracin con 3D)

    Integracin con Visio

    Reportes configurables por el usuario

    Aplicaciones principales:

    Medio Ambiente

    Modelacin financiera y de negocios

    Procesos industriales

    Precios

    Modelador Bsico US $4.995

    Avanzado (Incluye animacin en 2D y

    OptQuest): US $8.995http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

    http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

  • ProModel Propiedad de Promodel Corporation,

    compaa de origen Norteamericano,

    fundada en 1988

    Software de propsito general

    Modelacin en 2D (post-animacin en

    3D)

    Programas especializados

    ProcessModel (integracin con VISIO)

    MedModel

    ServiceModel

    Aplicaciones principales:

    Servicios

    Procesos industriales

    Precios

    US $3.500

    Stat::Fit US $245http://www.promodel.com

    http://www.promodel.com/

  • Simul8 Propiedad de Simul8 Corporation,

    compaa de origen Norteamericano,

    fundada en 1994.

    Fcil Utilizacin

    Modelacin en 2D (post-animacin en

    3D)

    Integracin con C++, VB, Access y Excel

    Aplicaciones principales:

    Manufactura

    Cadena de suministros

    Simulacin de escenarios

    Precios

    Standard: US $1.495

    Profesional: US $4.995

    Stat::Fit US $245

    OptQuest: US $495http://www.simul8.com/

    http://www.simul8.com/

  • Vensim

    Propiedad de Ventana Systems

    Inc., compaa de origen

    Norteamericano, fundada en 1985

    Modelacin en 2D

    Aplicaciones principales:

    Modelacin de sistemas dinmicos

    (cadenas de abastecimiento, modelacin

    financiera, modelos de crecimiento,

    econmicos, sociales, etc.)

    Precios

    DSS: US $1.995

    Profesional: US $1.195

    PLE: gratis http://www.vensim.com/

    http://www.vensim.com/

  • Witness Propiedad de Laner, compaa de

    origen Britnico, fundada en 1978

    Modelacin en 3D

    Diseos Optimizados

    Integracin con Visio

    Reportes configurables por el

    usuario

    Aplicaciones principales:

    Medio Ambiente

    Modelacin financiera y de negocios

    Procesos industriales

    Precios

    http://www.lanner.com/corporate/technology/witne

    ss.htm

    http://www.lanner.com/images/opt.gifhttp://www.lanner.com/images/opt.gifhttp://www.lanner.com/corporate/technology/witness.htm

  • Aplicaciones ms frecuentes

  • Conclusiones

    En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de

    simulacin, se destacaron los 11 aqu revisados.

    Todos cuentan con mltiples caractersticas como simulacin discreta y

    continua, sistemas dinmicos, modelacin en 2 y 3 dimensiones,

    integracin con otros sistemas, etc.

    As mismo se identifican diferentes campos de aplicacin, la eleccin del

    programa depende bsicamente de este parmetro y el costo.

    Arena es el software de simulacin ms difundido a nivel mundial, por su

    bajo costo y su amplio soporte en muchos pases.

    En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusin en

    mbitos acadmicos ya que est enfocado a propsito general (abarca casi

    todos los campos), no obstante no permite una gran especializacin y

    modelacin de sistemas complejos.

    Existen otros programas ms especializados como Flexsim, Witness y

    Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con

    departamentos dedicados al campo de la simulacin

  • Modelos de Control de

    Inventarios

    A lo largo del siglo XX se hicieron mltiples desarrollos matemticos

    que facilitaran la planeacin de inventarios en las empresas.

    Varios autores han realizado valiosos aportes que aos despus

    conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft,

    Wagner & Whitin, etc.).

    Entre ellos estos mtodos encontramos:

    EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)

    Lotes Dinmicos

    Wagner-Whitin

    News Vendor

    Stock Base

    Punto de Re-Orden

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante

    tiles en la administracin de productos con demandas independientes,

    no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final

    fuese la fabricacin o ensamble de artculos.

    En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al

    producto terminado, generando as una demanda dependiente a las

    partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los

    mtodos tradicionales.

    Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos mtodos

    capaces de responder a estos requerimientos

    Hacia el ltimo tercio del siglo XX, nacen los mtodos de planeacin de

    la produccin, desarrollos liderados bsicamente por dos diferentes

    ideologas, la norteamericana y la japonesa.

    A continuacin haremos una breve resea de los modelos ms

    importantes de planeacin de la produccin.

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    1. MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la dcada

    de los 60s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando

    para la IBM y basndose en el desarrollo de bases de datos, pudo

    retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la

    demanda independiente de los productos terminados y la explosin de

    materiales (composicin del PT). De esta manera logr un sistema de

    empuje (tipo PUSH) en el cul los insumos eran procesados en la

    medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente

    hasta lograr el ensamble del producto.

    O1A11 A12 O2

    A21 A22 O3A31 A32

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    2. JIT (Just In Time): Desarrollado en la dcada de los 70s en el

    Japn por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el

    consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en

    cada estacin nicamente el material necesario para la exhibicin o

    en otras palabras, para la produccin. Implica entonces la entrega

    constante de materiales (arribos) y la utilizacin de controles para el

    movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se

    mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el

    nivel de inventarios y su respectivo costo.

    O1 O2A1 O3

    A2 A3

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    3. DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teora de restricciones

    (TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la dcada de los 80s.

    DRB es el aplicacin de esta teora en un proceso productivo.

    El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.

    El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las

    interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los

    tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer

    del TOC estn "basados en tiempo de proceso, ubicados solo en ciertas locaciones

    que se relacionan con restricciones especificas.

    El tiempo de ejecucin necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, ms

    el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberacin de

    materias primas y materiales, est entonces "atada" a la programacin del Drum,

    logrndose un flujo de materiales uniforme.

    O1 O2A1 O3

    A2 A3

    Cuello de botella (Drum Tambor)

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    4. Conwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la dcada de

    los 90s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores

    caractersticas de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo

    denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad

    fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las

    cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la lnea de

    produccin en vez de asociarse a una sola estacin de trabajo como

    ocurre con el KANBAN.

    O1 O2A1 O3

    A2 A3

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    El CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no

    puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el

    programa de produccin. Adems es posible extender la aplicacin

    del m ismo a lneas de montaje mostrndose como con el CONWIP

    se alcanza una mayor produccin en la lnea con menores

    inventarios en proceso.

    El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados

    en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello

    de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR

    comparten caractersticas comunes. El papel de la Rope en el

    DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El Drum quedara

    sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la

    cabecera y el Buffer queda autorregulado con el CONWIP.

  • Modelos de Planeacin de la

    produccin

    Comparacin de sistemas:

  • Industrias IO

    Industrias IO fabrica autopartes para ser

    utilizadas en posterior ensamblaje

    La empresa cuenta con 3 procesos bsicos de

    transformacin de materiales, as como con unos

    almacenes temporales y finalmente la entrega al

    cliente (ver diagrama parte derecha)

    Los tiempos de operacin en estos tres procesos

    estn distribuidos como se muestra en la

    siguiente tabla:

    Recepcin

    Pulidora

    Rectificadora

    Troqueladora

    Producto

    Terminado

    Consumidor

    Proceso Tiempo

    Pulido e(10)

    Rectificado n(20,10)

    Troquelado e(15)

  • Industrias IO

    La empresa cuenta con un almacn de materias primas que tiene al

    comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas.

    Estas piezas provienen de otras lneas de produccin

    As mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:

    4 Operarios

    2 Operadores

    El tiempo de corrida de la simulacin ser de 72 horas continuas sin

    turnos de trabajo.

    Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada

    llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material

    en proceso a mantener

  • Bibliografa

    BANKS, J., CARSON, J.S., NELSON,B.L., NICOL, D.M. Discrete-event

    System Simulation. Prentice Hall International, 2001.

    BLANCO Rivero, Luis. FAJARDO Piedrahita, Ivn. Simulacin con

    promodel: casos de produccin y logstica. Escuela Colombiana de

    Ingeniera, Bogot, 2003.

    GARCA, Eduardo. GARCA, Heriberto. CRDENAS, Leopoldo. Simulacin

    y anlisis de Sistemas con Promodel. Prentice Hall, 2006.

    Gross, Donald. Harris, Carl. Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley

    & Sons Inc. 1998.

    HILLIER, F. LIEBERMAN, G. Investigacin de Operaciones. Ed. McGraw

    Hill, 7 edicin, Mexico, 2003

    HOPP, Wallace., SPEARMAN, Mark., Factory Physics. Mc Graw Hill 2000.

    N.U. Prabhu, Foundations of Queueing Theory. Kluwer Academic

    Publishers, Ithaca, 2002