simulacion sistemas biologicos en matlab

UNIVERSIDAD AUTONOMA CHAPINGO

SIMULACION DE SISTEMAS BIOLOGICOS

PRIMERA TAREA

PRESENTA. ING. PEDRO BARRERA PUGA

1. Programe el siguiente modelo matemático en Matlab-Simulink

11 1

dxax bu

dt

21 2 2

dxcx dx eu

dt

Donde 2a , 5b , 3c , 6d , 2e . 1( )u t es una función escalón que cambia de un

valor de 0 a 2 en el tiempo 3t s. 2( )u t es una función senoidal con una frecuencia de 0.1

hz. Las condiciones iniciales son 1(0) 0x , 2(0) 0x . Utilice el método de integración de

Runge Kutta cuarto orden (ode45).

Primeramente se elabora el modelo en simulink (ver “problema1sim.mdl”) o Figura 1.

Figura 1. Modelo en simulink

A continuación se presenta el programa hecho en matlab o ver “problema1.m”:

clear all a=-2; b=5; c=3; d=-6; e=2; x1=0; x2=0; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problema1sim',[0 300],opciones); subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1)); grid



PRIMERA TAREA


xlabel('Tiempo en segundos') ylabel('Y') subplot(2,1,2); plot(t,x(:,2)); grid xlabel('Tiempo en segundos') ylabel('Y')

Una vez terminado se corre la simulación obteniéndose los resultados de la Figura 1.2 :

Figura 1.2 Simulación de las dos ecuaciones diferenciales.

2. Programe en Matlab-Simulink el siguiente modelo simplificado para el crecimiento de

biomasa

2 2

1 3( , )(1 e )c wdw

c f T I c wdt

donde w es peso de la planta en kg, 1 0.33c , 2 0.01c , 3 0.4c , (0) 0.0002w , todas son

constantes en una escala de hora,

( , )f T I es una función que hace depender la tasa de crecimiento de la biomasa en función

de la temperatura y la radiación. Simule durante una semana y durante 75 días.

Considere que ( , ) 1f T I .

Modelo en simulink se muestra en la Figura 2.1 o ver “problema2.mdl”

Figura 2.1 Modelo en simulink del problema 2



PRIMERA TAREA


Programa en Matlab, ver “problema2a.m”. clear % PROBLEMA 2. c1=0.33; c2=0.01; c3=0.4; d=24*7; % simulacion de una semana w0=0.0002; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problema2',[0 d],opciones); subplot(2,1,1); plot(t/24,x(:,1),'r'); xlabel('Tiempo en días'); ylabel('Masa en kg'); title('CRECIMIENTO DE BIOMASA DE UNA SEMANA'); grid d1=24*75; %simulacion de 75 dias. opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problema2',[0 d1],opciones); subplot(2,1,2); plot(t/24,y,'r'); xlabel('Tiempo en días'); ylabel('Masa en kg'); title('CRECIMIENTO DE BIOMASA DE 75 DIAS'); grid

Resultados de la simulación se muestran en la Figura 2.2:

Figura 2.2 Comportamiento de la biomasa durante una semana y 75 días.



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1

( ) ( )aco a o vent a o

gr

dTR k T T k T T H

dt C

grC : Capacidad de calor total del invernadero (32000 J °C-1

)

cok : Coeficiente de transferencia de calor de la cubierta (7.0 J s-1

°C-1

)

ventk : Coeficiente de transferencia de calor debido a la ventilación (15.0 J s-1

°C-1

)

H : Calor producido por el sistema de calefacción (J s-1

)

R : Radiación solar (200 J s-1

)

oT : Temperatura del aire fuera del invernadero (5°C)

(0) 0aT °C

a) Transforme la escala del modelo de segundos a horas.

b) Determine la solución en estado estacionario analíticamente si no hay

calefacción (H=0)

c) Verifique la solución analítica numéricamente usando Matlab

d) Utilice la solución en estado estacionario como condición inicial y suponga que

el sistema de calefacción se activa (H=200 J s-1

)

e) Determine el nuevo estado estacionario.

f) Realice simulaciones y genere graficas de los resultados.

El modelo en simulink se observa en la Figura 3.1º ver “problem3.mdl”:

Figura 3.1 Simulación de la Temperatura del aire

Programa en Matlab o ver “problema3.m”: %PROBLEMA 3 (a) clear Cgr=32000; Kc=7.0; Kv=15.0; H=200; R=100; To=5; Ta=0; pedro=simset('solver','ode23','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('problem3',[0 60*60*8],pedro); subplot(2,1,1); plot(t/(60*60),x(:,1),'r'); grid xlabel('tiempo en horas') ylabel('temperatura en ºC')



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title('TEMPERATURA DENTRO DEL INVERNADERO H=200 Js-1 ') hold on; H=0; pedro=simset('solver','ode23','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('problem3',[0 60*60*8],pedro); subplot(2,1,2); plot(t/(60*60),y,'r'); grid xlabel('tiempo en horas') ylabel('temperatura en º C') title('TEMPERATURA DENTRO DEL INVERNADERO H=0 Js-1')

los resultados de la Simulación para una H=200 y H=0 se muestran en la Figura 3.2:

Figura 3.2 Comportamiento de la temperatura del aire con dos valores de Humedad

En estado estacionario

0dt

dTa ;

01

oaventoaCO

gr

TTkTTkRC

venco

oakk

RTT

, Ta es igual a:



PRIMERA TAREA


o

venco

a Tkk

RT

, Para tener el valor de Ta se sustituyen los valores de las

constantes.

09.145)3600*15()3600*7(

3600*200

aT

b) Verifique la solución analítica numéricamente usando Matlab

% Se empleo “trim” para realizar este procedimiento H=0 estacionario=trim('problem3') % c)se uso "trim". H=0 eet=trim('problem3')

% d) Ta(0)= eet

H=200; Ta=eet; eet1=trim('problem3')

% e) H=200 H=200 Ta=23.18; pedro=simset('solver','ode23','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('problem3',[0 3600*dia],pedro); plot(t/(3600),y(:,1)) grid xlabel('tiempo [h]') xlabel('tiempo [horas]') ylabel('Temp de nuevo E. Estacionario [ºC]')

La Figura 3.3 presenta el comportamiento de la temperatura con el nuevo estado

estacionario calculado.

Figura 3.3 Nuevo estado estacionario de la temperatura.

CCsJ

sJº

º 11

1



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1

( ) ( ) ( )aco a o vent a o as a s

gr

dTR k T T k T T k T T H

dt C

1

( ) ( )sas a s sd s sd

s

dTk T T k T T

dt C

sC : Capacidad de calor de la capa de suelo (120000 J)

ask : Coeficiente de transferencia de calor entre el suelo y el aire (5.0 J s-1

°C-1

)

sdk : Coeficiente de transferencia de calor entre la capa superior y capa profunda del

suelo (2.0 J s-1

°C-1

).

sdT : Temperatura de la capa profunda del suelo (10 °C)

a) Cambie la escala del modelo de segundos a horas

b) Determine la solución en estado estacionario del modelo para H=0.

% (b) H=0 Ta_1=trim('problesim4c')

c) Aplique un valor de H=200 mediante una señal escalón en el tiempo 1t hora.

Simule durante varias horas el comportamiento de las dos variables.

El modelo en simulink se presenta en la figura 4.1 o ver también “problesim4c.mdl”:

Figura 4.1 Modelo de temperatura del aire y temperatura del suelo

Programa en matlab o “problema4c.m”: %PROBLEMA 4 (c) clear Cgr=32000; Kco=7.0; Kve=15.0; H=200; %Valor que se cambia en la función escalón H=0.



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Rad=200; To=5; Cs=120000; Kas=5.0; Ksd=2.0; Tsd=10.0; Ta=0; Ts=0; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problesim4c',[0 60*60*50],opciones); %Aquí se cambia la

escala de segundos a horas subplot(2,1,1); plot(t/(60*60),y(:,1)) grid title('TEMPERATURA DEL SUELO') xlabel('Tiempo en horas') ylabel('Temp. [Celsius]') subplot(2,1,2) plot(t/(60*60),y(:,2),'r') grid title('TEMPERATURA DEL AIRE') xlabel('Tiempo en horas') ylabel('Temp. [Celsius]')

En la figura 4.2 se presenta los graficos de la simulacion de temperatura del aire y temperatura

del suelo:

Figura 4.2 Comportamiento de la temperatura del aire y temperatura del suelo en 50 días



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5. Genere una función para la radiación solar que cambie de acuerdo con el tiempo del

día, como sigue:

0R si 18: 00t y 6 : 00t horas

0 sin(2 )R R t si 6t y 18t

Con 0 200R (J s-1

)

Verifique el comportamiento de su programa.

Combine la función para la radiación solar con el modelo generado en el problema

4 y 5. Con H=200 J s-1

, realice una simulación durante varios días. Genere graficas de

los resultados.

Primero se generó la función para la temperatura, la cual fue utilizada en la función “ Math

function” o ver “funt5.m”: function R=funct5(u) % nombre da la función para utilizar con MATH

FUNCTION de Simulink t=u(1); Rad=u(2); if ((t>0.75) | (t<0.25)) R=0; else R=Rad*sin(pi*t); end

Se probó la función para un día de acuerdo al siguiente programa de matlab o ver “

problema5a.m”: clear Rad=200; %rdh=3600; dia=1 t=[0:1/24:1]; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('prue5a', t,opciones); subplot(2,1,1); plot(t,y); grid; title('VARIACION DE LA RADIACIÓN') xlabel('Tiempo en días') ylabel('Radicación Js-1')

El modelo de simulink (Figura 5.1) que se llama a matlab es “ prue5a.mdl”.

Figura 5.1 Diagrama para la función de radiación solar



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Luego en la Figura 5.2 se genero la combinación de la función de radiación solar con el modelo

generado en el problema 4 y se hace una simulación durante varios días con H=200 J s-1

El modelo en simulink es el siguiente o ver “ problesim5b.mdl”:

Figura 5.2 Diagrama donde se combina radiación solar , temperatura del aire y del suelo

El programa generado en matlab (ver “problema5b.m” en combinación se muestra a

continuación: %PROBLEMA 5 (b) clear hr=3600; Cgr=32000; Kco=7.0*hr; Kve=15.0*hr; H=200*hr; Rad=200*hr; To=5; Cs=120000; Kas=5.0*hr; Ksd=2.0*hr; Tsd=10.0; Ta=0; Ts=0; %dia=1; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('problesim5b',[0 15],opciones); subplot(2,1,1); plot(t,y(:,1)) title('Radiacion Solar') xlabel('tiempo [DIAS]') ylabel('Radiacion [Js-1]') grid subplot(2,1,2);



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plot(t,y(:,2)) title('Variacion de Temperatura') xlabel('tiempo [DIAS]') ylabel('temperatura [Grados Centígrados]') grid

Y los resultados de la simulación para 15 días se presentan en la Figura 5.3:

Figura 5.3 Comportamiento de la temperatura y radiación por 15 días

6. Modifique el problema 2 considerando ahora la función ( , )f T I como sigue

4

5

( , ) ( )a

If T I c f T

c I

, con

( ) 0f T si 10aT

1( ) ( 10)

15af T T si 10 25aT

1( ) 1 ( 25)

5af T T si 25 30aT

( ) 0f T si 30aT

Donde la temperatura está dada en °C, 4 4.5c , 5 250000c

Simule el sistema durante una semana y también durante 75 días usando valores

variables de la temperatura.

Se elaboró el programa en Matlab-Simulink quedando como se ilustra en la Figura 6.1 o ver

pro66.mdl”:



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Figura 6.1 Modelo de biomasa y temperatura

Como se observa, en la Figura 6.1. Se utilizaron dos funciones que fueron elaboradas en

otro archivo, la función de Temperatura y la de Radiación solar, las cuales son:

biom1.m para biomasa, y funT.m para temperatura.

Y la función de Temperatura:



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A continuación estas dos funciones son llamadas por el bloque de simulink “ Matlab Math

Function”.

Se elaboró el script en Matlab quedando de la siguiente manera o ver “problema6.m”: %SOLUCION AL PROBLEMA 6% clear c1=0.33; c2=0.01; c3=0.4; c4=4.5; fa=3600; c5=250000; I=200*fa; w0=0.0002; day1=24*7; Ta=20; Dia=1; Tmaxima=30; Tminima=15; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('pro66',[0 day1],opciones); subplot(2,1,1) plot(t/24,y(:,1),'b') title('Biomasa de acuerdo a la temperatura [7 días]') xlabel('tiempo [días]') ylabel('biomasa') grid day=24*75 opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-6); [t,x,y]=sim('pro66',[0 day],opciones); subplot(2,1,2) plot(t/24,y(:,1)) title('Biomasa de acuerdo a la temperatura [75 días]') xlabel('tiempo[h]') ylabel('biomasa ') grid

La Figura 6.2 Muestra la simulación:



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Figura 6.2 Comportamiento de la biomasa por 75 días y una semana

7. Combine el modelo de crecimiento de biomasa (obtenido en el problema 6) con el

modelo de la temperatura del aire del problema 4. Este es un ejemplo de un

biosistema rígido que requiere de métodos especiales de integración. Utilice los

métodos de integración para sistemas rígidos (stiff) disponibles en Matlab. Simule el

comportamiento del sistema completo durante 75 días. Utilice un valor de 350H

J/s.

De la misma manera, se elaboro la combinación del problema 6 y problema 5, y se utilizo

la misma función “biom1.m”, quedando el programa en simulink y ver “problesim7.mdl”

como se muestra en la figura 7.1 .

Figura 7.1, Programa de bloques de combinación de biomasa y temperatura.



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A continuación se elaboro el script en matlab, ver también “problema7.m”: %SOLUCION AL PROBLEMA 7% clear fa=3600; Cgr=32000; Kco=7.0*fa; Kve=15.0*fa; H=350*fa; Rad=200*fa; To=5; Cs=120000; Kas=5.0*fa; Ksd=2.0*fa; Tsd=10.0; Ta=0; Ts=0; c1=0.33; c2=0.01; c3=0.4; c4=4.5; c5=250000; I=200*fa; w0=0.0002; day1=24*200; Ta=20; Dia=1; Tmaxima=30; Tminima=15; opciones=simset('solver','ode23','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problesim7',[0 day1],opciones); plot(t/(24),y(:,3),'b') title('Biomasa de acuerdo a la temperatura [200 días]') xlabel('tiempo [días]') ylabel('biomasa') grid

Y Se obtuvieron los resultados de la simulación en la Figura 7.2:



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Figura 7.2 Comportamiento de la biomasa, durante 200 días

La simulación se elaboró para 200 días, ya que para 75 días no se observa claramente el

comportamiento de la biomasa.

8. Combine el modelo de crecimiento de biomasa (obtenido en el problema 6) con el

modelo de la temperatura del aire del problema 5. Este es un ejemplo de un

biosistema rígido que requiere de métodos especiales de integración. Utilice los

métodos de integración para sistemas rígidos (stiff) disponibles en Matlab. Simule el

comportamiento del sistema completo durante 75 días. Utilice 350H J/s y otros

valores.

Posteriormente se programo el programa en simulink el cual se muestra en la Figura 8.1 o

ver también “problesim8.mdl”



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Figura 8.1 Modelo de combinación de modelo de biomasa y de temperatura del aire.

De igual manera se utilizo la función de radiación y de temperatura “funtrad.m” la cual

es:

Después se elaboro el script en Matlab( ver “problema8.m”:

%SOLUCION AL PROBLEMA 8%

clear hr=3600; Cgr=32000; Kco=7.0*hr; Kve=15.0*hr; H=350*hr; Rad=200*hr; To=5; Cs=120000; Kas=5.0*hr; Ksd=2.0*hr; Tsd=10.0; Ta=0; Ts=0;



PRIMERA TAREA


c1=0.33; c2=0.01; c3=0.4; c4=4.5; fa=3600; c5=250000; I=200*fa; w0=0.0002; day1=24*75; Ta=20; opciones=simset('solver','ode45','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problesim8',[0 day1],opciones); plot(t/24,y(:,3)) title('Biomasa de acuerdo a la temperatura [75 días]') xlabel('tiempo[días]') ylabel('biomasa ') grid

A continuación en la Figura 8.2 Se muestra los resultados de la simulación de la

combinación del modelo.

Figura 8.2 Simulación del comportamiento de crecimiento de biomasa y temperatura

9. Linealización

a. Linealice el modelo del problema 5 en forma analítica alrededor de la solución

estado estacionario para H=0.

b. Obtenga tanto la solución en estado estacionario cuando, H=0, usando

MATLAB.

c. Compare las soluciones.



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El programa en Matlab se muestra a continuación o ver también “problema9.m”: clear hor=3600; Cgr=32000; Kco=7.0*hor; Kve=15.0*hor; H=350*hor; Rad=200*hor; To=5; Cs=120000; Kas=5.0*hor; Ksd=2.0*hor;



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Tsd=10.0; Ta=0; Ts=0; H=350*hor [A,B,C,D]=linmod('problesim4c') B=[1;0]; D=[0;0];

En este problema únicamente lo que se hizo fue cambiar la H, por H=350, y agregar los

componentes de la matriz.

Obteniéndose los siguientes resultados:

10. Programe en Matlab-Simulink el modelo simplificado para crecimiento de tomate

descrito en la sección VIII del capítulo Simulation of biological processes por James

W. Jones and Joep C. Luyten

Primeramente se elaboro el programa en simulink para determinar el número de nodos por

planta, y como el número de nodos por planta depende de la temperatura entonces se

programo una función para las condiciones de temperatura que se nos indico y para

interpolar los valores intermedios se utilizo la función interp1 (Ver función

“temperatura.m”):

)26()( Trrdt

dNm

Donde:

:dt

dN Número de nodos con respecto al tiempo.

:mr Tasa de aparición de hojas

:)(Tr Es una función de la temperatura.

Las condiciones para elaborar la función son:



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:)(Tr Es cero cuando la Temperatura sea menor de 8°C o mayor de 50°C y tiene los

valores de 0.55, 1.0 y 1.0 cuando la temperatura es 12, 30 y 35 °C respectivamente. Para el

ejemplo se dice que la tasa de aparición de hojas es máxima entre 30 y 35 °C.

Posteriormente se elaboro la determinación del índice de área foliar con la ecuación 32:

)32()(exp1ln)/( bnNL

Donde:

L: Índice de área foliar )/()( 22 suelodemhojadem

: Densidad de planta, numero/m2

N: Número de hoja.

bny , : Son coeficientes empíricos de la ecuación expolineal

3.13

38.0

074.0

nbn

beta

delta

b

Se elaboro otra función ( ver “densidadluz.m”) para determinar la densidad de flujo

luminoso en lo alto del dosel, empleando para ello la ecuación 31.

24/)6(2sin0 hm tII …….(31)



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Donde:

ht : Es el tiempo solar en horas.

mI : Máxima densidad de flujo luminoso (en la noche)

0I : Densidad del flujo luminoso en lo alto del dosel, (µmol de fotones)/[(m2 de suelo)*s]

Asumiendo 12 horas diarias se tiene que: 186 ht

A continuación se presenta la función para la densidad de flujo luminoso ( programa

“densidadluz.m”):

Después se calculo el factor de reducción de fotosíntesis con la ecuación 30

2

1))/()((1)( hh TTp ……….(30)

Donde:

)(Tp : Es el factor de reducción de fotosíntesis adimencional.

Cfihh 0.30 : Es la temperatura a la cual la fotosíntesis de la hoja es máxima.

Cfi 0.511 : Es la temperatura bajo la cual la fotosíntesis de la hoja es cero.

T: temperatura en °C que varía entre 6 y 18 °C. ( Ver función “temperatura2.m”)



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Con las ecuaciones 30, 31 y 32, se prosiguió a elaborar la Tasa de fotosíntesis de la

ecuación 29.

CmKLKI

CmKI

K

TCpDPg

)1()exp(

)1(ln

)(

0

0 ………(29)

Donde:

D=0.108= coeficiente para convertir la fotosíntesis de (µmol de CO2)/(m2*s) a (g

CH2O)/(m2*h)

=tau=0.0664: conductancia del CO2 en la hoja, (µmol de CO2)/[(m2 de hoja)*s]

C=350: Concentración de CO2 del aire, (µmol de CO2)/(mol de aire)

=alfa=0.056: Eficiencia de utilización de la luz por la hoja, (µmol de CO2)/ (µmol de

fotones)

K=0.58: Coeficiente de extinción de luz en el dosel, adimensional.

10.0m : Coeficiente de transmisión de luz de las hojas, adimensional.

L: Índice de área foliar del dosel, )/()( 22 suelodemhojadem

Se programo la tasa de respiración de mantenimiento Rm con la ecuación 27.

)25(0693.0exp TkR mm ………(27)

Donde:

Rm: Tasa de respiración de mantenimiento, (g CH2O)/[(g de tejido)*h]

T: Temperatura en °C

0006.0 kmkm : Tasa de respiración a 25 °C, (g CH2O)/[(g de tejido)*h]

Se elaboro la programación en simulink de la tasa de crecimiento de materia seca de la

ecuación 28.

)( WRPEdt

dWmg …………..(28)

Donde:

dt

dW: Es la tasa de crecimiento de la cosecha del peso seco, ( g de tejido)/(m

2*h)

W: total de materia seca por planta, g/m2

E=0.70: eficiencia de conversión de CH2O a tejido de planta, ( g de tejido)/(g de CH2O)

Pg: Tasa de fotosíntesis bruta del dosel, (g de CH2O )/(m2*h)



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Finalmente se programo la ecuación 33, para simular la biomasa del dosel y la biomasa de

la raíz por separado.

)](1)[(),()( NfWRPEdt

dWNfWRPE

dt

dWcmg

rcmg

c ……………. (33)

Donde:

W: total de materia seca por planta, g/m2

E=0.70: eficiencia de conversión de CH2O a tejido de planta, ( g de tejido)/(g de CH2O)

Pg: Tasa de fotosíntesis bruta del dosel, (g de CH2O )/(m2*h)

Rm: Tasa de respiración de mantenimiento, (g CH2O)/[(g de tejido)*h]

)(Nfc =0.85

dt

dWc : Es la tasa de crecimiento de la cosecha del peso seco del dosel, ( g de tejido)/(m2*h)

dt

dWr : Es la tasa de crecimiento de la cosecha del peso seco de la raíz, ( g de tejido)/(m2*h)

Enseguida se muestra el script elaborado en Matlab y ver “preoblema10.m”.

%SOLUCION DEL PROBLEMA 10 clear dN=0.0; E=0.70; fc=0.85; rm=0.021*24; Dia=24; dWc=0; dWr=0; dW=0; Tmaxima=30; Tminima=20; fih=30.0; fi1=5.0; D=0.108*24; tau=0.0664; delta=0.074; beta=0.38; nb=13.3; km=0.0006*24; C=350; K=0.58; alfa=0.056; m=0.10; Im=1200; ro=4.0;



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t=[0:1/24:80]; % AQUI SE SIMULO PARA 80 DÍAS COMO INDICA EL ARTÍCULO pedro=simset('solver','ode23','reltol',1e-8); [t,x,y]=sim('problem10sim',t ,pedro);

figure(1); plot(t,y(:,2)); xlabel('tiempo [dias]'); ylabel('Indice de Area Foliar[(m2 de hoja)(m2 de suelo)]'); grid title('IAF');

figure(2); plot(t,y(:,5)); grid xlabel('tiempo [dias]'); ylabel('Tasa de fotosintesis [(g de CH2O )/(m2)]');

figure(3); plot(t,y(:,7)); grid xlabel('tiempo [dias]'); ylabel('biomasa de la raiz [g de hoja/ m2 de hoja]');

figure(4); plot(t,y(:,8)); grid xlabel('tiempo [dias]'); ylabel('biomasa del dosel [g de hoja/ m2 de hoja]');

figure(5); plot(t,y(:,9)); grid xlabel('tiempo [dias]'); ylabel('biomasa total [g de hoja/ m2 de hoja]');

Finalmente presenta el modelo en simulink ( ver “problema10sim”).



PRIMERA TAREA


Se obtuvieron las siguientes figuras de la simulación:



PRIMERA TAREA


simulacion sistemas biologicos en matlab

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