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PAGE 58Simulacin de Sistemas

1. Simulacin de Sistemas

INTRODUCCIN

La simulacin es una tcnica numrica que se aplica a cierta clase de problemas que surgen en la industria, planificacin de proyectos o en administracin. Como tal es una herramienta ms que se utiliza en el campo de la investigacin de operaciones.

Es una tcnica que permite representar un sistema real mediante un modelo de simulacin basado en computadora.

El modelo de simulacin debe imitar el funcionamiento del sistema real de tal forma que se pueda experimentar alternativas de optimizacin.

Se recurre a la simulacin cuando no existen mtodos analticos que no pueden resolver el problema. Al simular el funcionamiento de un sistema o mejor dicho el modelo del sistema nuestro inters, es lograr obtener datos al respecto de su comportamiento frente a distintas situaciones relevantes.

Puede resultar muy costoso o riesgoso poner el sistema real en tales condiciones, pero trabajar el modelo nos permite preveer el resultado. Considere por ejemplo el problema de determinar la capacidad de una nueva central telefnica que se desea establecer en una ciudad. Despus de definir el modelo, las variables y los parmetros relevantes, se simula su operacin suponiendo una capacidad dada. El rendimiento bajo este arreglo se compara con el rendimiento del sistema cuando la capacidad es otra; mediante este proceso iterativo se obtiene una buena aproximacin a la capacidad ptima que debe poseer esa central.

La solucin que proviene de aplicar la simulacin es prxima a la ptima, en comparacin con mtodos analticos que son ptimos. Pero se debe tomar en cuenta que generalmente se someten aquellos modelos a la simulacin que demuestran rasgos probabilsticos, como la frecuencia de llamadas telefnicas en el ejemplo anterior.

DEFINICIN

THOMAS NAYLOR

Estos experimentos requieren de operaciones lgicas y matemticas necesarias para descubrir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largo perodo de tiempo.

ROBERT SHANNON

La simulacin es el disear y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentalmente con este modelo con el propsito de entender el comportamiento del sistema del mundo real o evaluar varias estrategias con los cuales puedan operar el sistema.

SHUBIK

Es un modelo, dice que la simulacin de un sistema o de un organismo es la operacin de un modelo lo cual se va a llamar simulador el cual es una representacin del sistema. Este modelo o simulador estar sujeto a diversas manipulaciones, las cuales seran imposibles de realizar, demasiado costosas o imprcticas. La operacin de un modelo puede estudiarse y con ello conocer las propiedades concernientes al comportamiento del sistema o subsistema real costoso.

QUE INTENTA LA SIMULACION

1. Descubrir el comportamiento de un sistema

2. Postular teoras o hiptesis que expliquen el comportamiento observado

3. Usar esas teoras para predecir el comportamiento futuro del sistema, es decir mirar los efectos que se produciran en el sistema mediante los cambios dentro de l o en su mtodo de operacin.

PROPIEDADES DE LOS MODELOS DE SIMULACION

DEFINICION DE MODELO

Modelo es una representacin de un objeto, sistema o idea de forma diferente a la de identidad misma.

Por lo general el modelo nos ayuda a entender y mejorar un sistema.

El modelo de un objeto puede ser una rplica exacta de este, con la diferencia del material que lo compone o de su escala, inclusive puede ser una abstraccin de las propiedades dominantes del objeto.

FUNCIONES DEL MODELO

Comparar

Predecir

Ejemplo: La pintura de un paisaje es una rplica de algo que existe. Un carro de madera es la rplica de un original.

ESTRUCTURA DEL MODELO

El modelo se puede escribir de tal forma:

E = F(Xi, Yi)

Donde:

E: Es el efecto del comportamiento del sistema

Xi: Son las variables y parmetros que nosotros podemos controlar

Yi: Las variables y los parmetros que nosotros no podemos controlar

F: Es la funcin con la cual relacionamos Xi con Yi con el fin de modificar o dar origen a E.

PROPIEDADES DE LOS MODELOS

1. COMPONENTES: Generalmente son las partes o componentes de un conjunto que forman el sistema o definen la estructura fsica del sistema.

2. VARIABLES: Relacionan los componentes entre s y pueden ser de tres tipos:

Exgenas: Son las variables independientes o de entrada del modelo. Estas se clasifican en controlables y no controlables. Las controlables estn sujetos a la manipulacin de quienes toman decisiones por ejemplo la duracin de las fases del semforo. Las no controlables surgen del medio ambiente, como el intervalo entre llegada de los vehculos a la interseccin. Endgenas: Son variables dependientes o de salida del modelo como por ejemplo el tiempo promedio de espera de los vehculos en la interseccin. La duracin de este tiempo depende evidentemente del intervalo entre llegadas de los vehculos y los tiempos del semforo. De Estado: Estas definen el estado del sistema en un tiempo especfico. Su utilidad es proporcionar la informacin adecuada que permite determinar los valores de las variables exgenas del problema. Por ejemplo, la variable de estado tiempo de la llegada de n-simo vehiculo a la interseccin conjuntamente con los estados del semforo (rojo o verde) nos ayudan a afirmar si el vehculo se detiene a su llegada a la interseccin o no, y en caso de detenerse se puede calcular su tiempo de espera.

La naturaleza de cada sistema y el inters particular del investigador en simular su modelo proveen las pautas para identificar las variables relevantes y definir su tipo.

3. PARAMETROS:Son cantidades a las cuales el operador del modelo puede asignarle valores arbitrarios lo cual se diferencia de las variables. Si el intervalo entre llegada de los vehculos a la interseccin es una constante h este seria un parmetro.

Los parmetros una vez establecidos se convierten en constantes.

4. RELACIONES FUNCIONALES:Describen a los parmetros de tal manera que muestran su comportamiento dentro de un componente o entre componentes de un sistema.

Las relaciones funcionales pueden ser de tipo determinsticos o estocsticos.

Determinsticas: Sus definiciones que relacionan ciertas variables o parmetros donde una salida del proceso es singularmente determinada por una entrada dada.

Estocsticas: Cuando el proceso tiene una salida indefinida, para una entrada determinada las relaciones funcionales se representan por ecuaciones matemticas y salen del anlisis estadstico matemtico.

5. RESTRICCIONES:Estas son limitaciones impuestas a valores de las variables las cuales pueden ser de dos formas:

Autoimpuestas: O sea asignadas por el mismo operador o

Impuestas: O sea cuando son asignadas manualmente por el mismo sistema

6. FUNCIONES DE OBJETIVO:Son las metas del sistema o el como evaluar al sistema, existen retentivas por ejemplo: la conservacin de tiempo, energa y adquisitivas ejemplo: Ganancia en algo.

CLASIFICACION DE LOS MODELOS

Los modelos se pueden clasificar en forma general, pero los modelos de simulacin se pueden clasificar en forma ms especfica.

De que forma podemos modelar un objeto o sistema desde lo ms real a lo ms irreal.

CLASIFICACION DE LOS MODELOS DE SIMULACION

Dentro de los modelos de simulacin estn:

1. MODELOS DETERMINISTICOS

Ni las variables endgenas y exgenas se pueden tomar como datos al azar. Aqu se permite que las relaciones entre estas variables sean exactas o sea que no entren en ellas funciones de probabilidad. Este tipo determinstico quita menos tiempo de cmputo que otros modelos

2. MODELOS ESTOCASTICOS

Cuando por lo menos una variable es tomada como un dato al azar las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilsticas, sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el computador, son muy utilizados en investigaciones cientficas

3. MODELOS ESTATICOS

En los que no se toma en cuenta el tiempo dentro del proceso, por ejemplo: los modelos de juegos, modelos donde se observa las ganancias de una empresa

Ejemplo: Arquitectnicos: lneas de telfono, tubos de agua

4. MODELOS DINAMICOS

Si se toma en cuenta la variacin del tiempo, ejemplo: la variacin de la temperatura, del aire durante un da, movimiento anual de las finanzas de una empresa.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION:

VENTAJAS

1. El desarrollo del modelo de un sistema generalmente proporciona mejor conocimiento del sistema real.

2. La simulacin permite comprimir el tiempo; se pueden evaluar aos de experiencia en el sistema real en unos segundos de simulacin.

3. La simulacin no interrumpe las actividades del sistema real.

4. La simulacin ofrece una rplica ms realista del sistema que el anlisis matemtico.

5. La solucin responde a preguntas del tipo que pasa si.

DESVENTAJAS

1. Aunque se invierta mucho tiempo y esfuerzo en el desarrollo de un modelo para simulacin, no hay garantas de que el modelo produzca buenas respuestas.

2. No es posible demostrar los resultados del modelo de simulacin. La simulacin implica numerosas repeticiones de secuencias que se basan en sucesos generados de manera aleatoria.

3. La construccin del modelo del sistema puede llevar de unas horas hasta aos-hombre, dependiendo del sistema que se simular. Los sistemas complejos pueden ser muy costosos y tardar mucho tiempo.

4. Las simulaciones pueden ser menos precisas que los modelos matemticos, ya que se basan en cuestiones aleatorias. Si el sistema se puede representar con un modelo matemtico, es mejor que usar una simulacin.

5. Aunque avanza la tcnica de las simulaciones, an no existe un mtodo normalizado. Por consiguiente, los modelos del mismo sistema pueden variar si los desarrollan distintas personas.

La simulacin ms que una ciencia es un arte.

CRITERIOS QUE SE DEBE TENER EN CUENTA PARA QUE UN MODELO DE SIMULACION SEA BUENO

1. Fcil de entender por el usuario.

2. Que tenga el modelo metas y objetivos.

3. Que el modelo no me de respuestas absurdas.

4. Que sea fcil de manipular, la comunicacin entre el usuario y la computadora debe ser sencilla.

5. Que sea completa, tenga por lo menos las partes o funciones ms importantes del sistema.

6. Que sea adaptable, osea que podamos modificarlo, adaptarlo y actualizarlo.

7. Que sea evolutiva, osea que al principio sea simple y poco a poco empezamos a volverla compleja dependiendo de las necesidades de los usuarios

FASES DEL PROCESO DE SIMULACIN

Todo proceso de simulacin tiene tres fases: Desarrollo del modelo, Ejecucin del Modelo y Anlisis de salidas del modelo:

Ejemplo.- Para aclarar el concepto de la simulacin examinamos el siguiente sistema.

Un semforo en una interseccin tiene una fase verde que demora 1 minuto y una fase roja de 0.8 minutos. El intervalo entre llegada de los vehculos al la interseccin es una variable aleatoria X distribuida exponencialmente con un valor esperado R(X) = 0.2 minutos. Se debe determinar: a) El tiempo promedio de espera de los vehculos. b) El nmero promedio de los vehculos en espera durante la fase roja.

Se puede plantear la cuestin en una forma ms til: Determinar el intervalo de la fase roja que resulte en un tiempo promedio de espera menor o igual a 10 segundos. El investigador puede variar la duracin de las fases del semforo y simulando lo ocurrido en la interseccin observar el efecto de los cambios en a) y b).

Para poder simular el funcionamiento de este sistema primero debemos saber cmo generar los valores de X, y posteriormente la solucin al problema. Por ahora evitando los procedimientos de generacin suponiendo que X=2 segundos es una constante.

Desarrollamos la siguiente tabla:

Tenemos que examinar lo que sucede con cada vehculo al llegar a la interseccin tomando en cuenta su tiempo de llegada y la fase en la cual se encuentra el semforo.

En este ejemplo simple se observa que en un perodo de luz roja, 48 segundos, el tiempo total de espera es siempre igual a:

TE = 46+44+42+...+2=2(23+22+21+...+1)

La sumatoria de la serie es: n(n+1)/2

entonces:

TE = 2(23(24)/2) = 552

El nmero de los vehculos en espera es 23, Por lo tanto el tiempo promedio de espera TP es:

TP =TE/23 =24

Para determinar la duracin de la fase roja del semforo que permitira un tiempo promedio de espera menor o igual a 10 segundos se repiten los pasos anteriores para valores de R menor que 0.8 minutos, por ejemplo:

Para R = 0.6 TP = 18

R = 0.4 TP = 12

Cuando X, el intervalo entre llegadas es aleatoria esencialmente se procede como antes para calcular el valor de las incgnitas en el problema. El aspecto computacin se vuelve tedioso y exige el uso de medios electrnicos.

PROPIEDADES DEL MODELO

1. Los componentes.- Los vehculos llegando a la interseccin y el semforo.

2. Las variables:a) Variables Exgenas.- El intervalo entre llegada de los vehculos a la interseccin.

b) Variables Endgenas.- El tiempo promedio de espera de los vehculos.

c) Variables de Estado.- El tiempo de la llegada de n-simo vehiculo a la interseccin y el estado del semforo (rojo o verde).

3. Los parmetros.- La duracin de las fases del semforo y el tiempo de simulacin.

4. Relaciones funcionales:

Tiempo de espera=R-T

Donde R es el tiempo que termina la fase roja y T es el tiempo de la llegada de un vehiculo a la interseccin en la fase roja.

Siendo X el intervalo entre llegadas de los vehculos, la funcin de densidad de probabilidad de X, f(x)=(.e((.x es una caracterstica de la operacin.

El propsito de simular un modelo es examinar el efecto de los cambios en las variables exgenas y en los parmetros sobre las variables endgenas. En el problema anterior se propona estudiar el efecto del cambio en la duracin de la fase roja sobre el tiempo promedio de espera de los vehculos.

En los problemas de simulacin cuando entran en juego un gran nmero de variables, es indispensable identificar y analizar los elementos del modelo y de este modo aclarar debidamente la naturaleza de interaccin entre varios componentes del modelo, las caractersticas de las variables y el propsito de la simulacin.

3. DIAGRAMA DE FLUJO EN SIMULACION

Mediante el diagrama de flujo se establece los pasos a seguir en el proceso de simular la operacin del modelo, las alternativas que pueden surgir en una situacin determinada y los clculos que se debe realizar. El diagrama de flujo facilita la tarea de la programacin.

Para el problema del semforo (caso estocstico) primero procedemos a definir los smbolos y posteriormente viene el diagrama de flujo simulando la operacin del modelo durante un siclo del semforo (Fig.1).

El semforo comienza a funcionar en la fase verde.

X el intervalo entre llegada de los vehculos

T tiempo de llegada de un vehculo a la interseccin

V duracin de la fase verde, 60 segundos

R duracin de la fase roja, 48 segundos

TE tiempo de espera acumulada

K contador de vehculos en espera

TP tiempo promedio de espera

Fig 1. Diagrama de flujo del Problema del Semforo.

En el diagrama de flujo no se detalla la generacin de los valores de la variable aleatoria X. Por (GENERAR X) se entiende que cada vez que se ejecute este paso, X toma un valor conforme a la distribucin de probabilidad que lo representa. Como se mostrar posteriormente se debe utilizar las frmulas correspondientes para reproducir valores de las variables aleatorias dada su distribucin y sus parmetros.

Para entender mejor el diagrama supngase que primero:

X=14 entonces T=14

Significa que el primer vehculo llega 14 segundos despus del comienzo del funcionamiento del semforo.

T=14