simpleks yöntemi
TRANSCRIPT
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1
Simplex Simplex ile
Çözüm Yöntemi
1Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Doğrusal Programlama Modeli
Maksimizasyon
İşçilik, saat)
(Kil, kg)
y
s.t.
2 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 2
Modelin Standard Hali
Maksimizasyon
s.t.
3 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
4 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 3
Miktar
Temel
Değişkenler
5 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
6 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 4
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
7 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
8 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 5
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
9 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
10 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 6
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
11 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
12 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 7
Temel
MiktarDeğişkenler
Maksimizasyon
s.t.
13 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
tim
iB
ard
ak Ü
ret
Kase Üretimi14 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 8
PivotColumn
Temel
Pivot Sütun
MiktarDeğişkenler
Largestcj-zj value
En Büyük
Cj – Zj Değeri
15 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
50$
Kar
40$ Kar16 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 9
PivotColumn
Temel
Pivot Sütun
MiktarDeğişkenler
Largestcj-zj value
40 / 2 = 20
120 / 3 = 40
En Büyük
Cj – Zj Değeri
17 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
PivotColumn
PivotSıra
Temel
Pivot Sütun
MiktarDeğişkenler
Largestcj-zj value
En Küçük Değer PivotSayı
En Büyük
Cj – Zj Değeri
18 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 10
Temel Değişken GirerTemel
Temel Değişken
Çıkar
Değişkenler
19 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
20 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 11
1 / 2 = 2 / 2 = 1 / 2 = 0 / 2 =40 / 2 =
Temel
MiktarDeğişkenler
Yeni tablodaki pivot satır değerleri =Eski tablodaki pivot satır değerleri
Pivot sayı
21 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
4 – (3 x 1/2) =
3 – (3 x 1) =120 – (3 x 20) =
0 – (3 x 1/2) =
1 – (3 x 0) =
Temel
MiktarDeğişkenler
Yeni tablodaki sıra değerleri =
Eski tablo sıra değerleri –Pivot sütuna karşılık gelen
katsayılar
Yeni tabloda X hesaplanan
pivot satır değerleri
( )
22 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 12
Temel
MiktarDeğişkenler
23 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
24 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 13
Temel
MiktarDeğişkenler
25 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel
MiktarDeğişkenler
26 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 14
Pivot Sütun
PivotRow
Temel
PivotSıra
MiktarDeğişkenler
En Küçük Değer PivotSayı
En BüyükCj – Zj Değeri
27 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Temel Değişken Girer
Temel
Temel Değişken
Çıkar
Değişkenler
28 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 15
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
Optimal Çözüm
29 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
MinimizasyonMinimizasyon
s.t. kg nitrojen
kg fosfatkg fosfat
30 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 16
Mi i iMinimizasyon
s.t.
31 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Miktar
Temel
Değişkenler
Minimizasyon
s.t.
32 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 17
Miktar
Temel
Değişkenler
Minimizasyon
s.t.
33 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Miktar
Temel
Değişkenler
24 – (3 x 4) = 12
Miktar
Temel
Değişkenler
34 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 18
Miktar
Temel
Değişkenler
35 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
36 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 19
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
Optimal çözüm
37 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Özetlersek; simplex yöntemiyle gerçekleştirilen bir minimizasyon probleminde kısaca aşağıdaki adımlara uyulmalıdır.
1. İçerisinde “ ≥ ” olan tüm kısıtları, ifadelerden artık değişkenler çıkararak ve suni değişkenler ilave ederek eşitlikler haline dönüştürünüz.
2. Amaç fonksiyonunda yer alan her suni değişkenin “ M ” değerlerine bir Cj değişkeni atayınız.
3. Cj – Zj sırasını Zj – Cj şekline çeviriniz.
38 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 20
Örnek
Bir deri firması standard tasarımda el yapımı çanta ve bavulüretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400$, her bavulbaşına ise 200$ kar sağlamaktadırbaşına ise 200$ kar sağlamaktadır.
Firma yapmış olduğu anlaşma gereğince bir mağazaya ayda 30 adetürün temin etmeyi garanti etmiştir.
Deri hammaddesi sağlayan tabakhane ise firmaya aylık olarak 80 m2
deri sağlamaktadır. Firma sağlanan bu deri hammaddesinin mümkünolduğunca en az miktarını kullanmak istemekle birlikte, tabakhanedenğdaha fazla sipariş talebinde de bulunabilmektedir.
Çanta üretiminde 2m2, bavul üretiminde ise 8m2 deri hammaddesitüketilmektedir.
39 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
İstenilenler
Geçmiş performans verilerini dikkate alan firmanın sahipleriayda 20 çantadan fazla üretim gerçekleştirilemediğinibelirtmektedir.
Firmanın sahipleri kar maksimizasyonunu sağlayacak olançanta ve bavul üretimi düzeylerinin tespit edilerekkendilerine bir rapor halinde sunulmasını istemiştir.
40 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 21
Problemin Simplex Yöntemiyle Çözümü
MaksimizasyonMaksimizasyon
s.t. anlaşmadaki talep miktarıkullanılan deri miktarı (m2)çanta
41 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
1. Adım : Model kısıtında yer alan eşitsizliklerin eşitlik haline dönüştürülmesi
DüzenlemeKısıt
Gevşek “Slack” değişken ilavesi
Suni değişken ilavesi
Artık “Surplus” değişkenin çıkartılması ve suni değişkenin ilave edilmesi
Amaç Fonksiyonunun Katsayısı
Maksimizasyon Minimizasyon
42 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 22
M k i iMaksimizasyon
s.t.
43 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
2. Adım : Mümkün olan ilk temel çözüm için başlangıç tablosunun hazırlanması ve Zj, Cj-Zj sıra değerlerinin tespiti.
Temel
Miktar
Temel
Değişkenler
44 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 23
3. Adım : cj – zj satırındaki en yüksek pozitif değere sahip olan kolonun belirlenerek Pivot Sütunu”nun tespiti
Temel
Miktar
Temel
Değişkenler
45 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
4. Adım : Pivot satırının tespit edilmesi (miktar sütunundaki değerlerin kendilerine karşılık gelen pivot sütunu değerlerine
bölünmesi sonucu en küçük değerli sütun elemanının seçilerek “Pivot elemanın belirlenmesi.
Miktar
Temel
Değişkenler
46 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 24
Yeni tablodaki pivot satırı değerleri = Yeni tablodaki pivot satırı değerleri
Pivot elemanı
5. Adım : Aşağıdaki formülün kullanılarak Pivot Satırındaki elemanların hesaplanması
Temel
MiktarDeğişkenler
80 / 8 = 102 / 8 = 1/4
8 / 8 = 1-1 / 8 = -1/8 1 / 8 = 1/8
47 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
6. Diğer tüm satır değerlerinin aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanması:
Yeni tablodaki sıra değerleri = Eski tablo sıra değerleri –
Pivot sütuna karşılık gelen
katsayılar
Yeni tabloda X hesaplanan
pivot satır değerleri
( )değerleri
Miktar
Temel
Değişkenler
30 – (1 x 10) = 20 1 – (0 x 0) = 120 – (0 x 10) = 20
48 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 25
7. Adım : Yeni Zj ve Cj – Zj sıra değerlerinin tespit edilmesi.
Miktar
Temel
Değişkenler
49 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
8. Adım : Cj – Zj satırındaki değerler incelenir ve söz konusu değerler sıfır veya negatif değilse optimal çözüme ulaşıldığı
kabul edilir. Ancak, pozitif değerler var ise Adım 3’ten itibaren yapılan işlemler tekrarlanarak Cj-Zj farkının sıfır veya negatif
olana dek devam ettirilmesi (iterasyon) sağlanır, diğer ifadeyle simplex adımlarına devam edilir.
Miktar
Temel
Değişkenler
50 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 26
3 ncü Simplex Tablosu
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
51 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
The Optimal Simplex Tableau
Miktar
Temel
Değişkenlerğ ş
x1 = 20 adet çantax2 = 10 adet bavuls1 = 40 m2 fazla deri hammaddesiZ = 10.000 $ aylık kar
52 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 27
Düzensiz Yapıdaki Düzensiz Yapıdaki Doğrusal Programlama
Problemeleri
53Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
B Noktası C Noktası
54 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 28
Çoklu Optimal Çözümler
Miktar
Temel
Değişkenler
55 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Maksimizasyon Z = 5x1 + 3x2
s.t.4x1 + 2x2 8x1 4x2 62
x1, x2 0
56 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 29
57 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Mümkün Bir Çözümü Olmayan Problem
Temel
Miktar
Temel
Değişkenler
58 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 30
Maksimizasyons.t.
59 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
60 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 31
Sınırsız Yapıdaki Bir Problem
Temel
Değişkenler Miktar
Sınırsız yapıdaki bir problemde pivot satırın seçimi yapılamamaktadır.
61 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Bağlı olan iki sutün rastgele seçilmektedir.
Pivot Sutünunun Bağlanması
62 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 32
Pivot Satırı Dejenerasyonu için Yaılan Bağ
Temel
Miktar
Temel
Değişkenler
Bağ
63 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
64 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 33
65 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
Standart bir Simpleks çözümü pozitif sağ-el değerlerine
Negatif Miktarlı Değerler
- 6x1 + 2x2 - 30
(-1) (- 6x1 + 2x2 -30)
sahip olmalıdır.
6x1 - 2x2 30
66 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 34
Primer Yapı İkili (Dual) Yapı
67 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
68 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 35
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
69 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
70 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 36
Orjinal Optimal ÇözümOrjinal Optimal Çözüm
q2 de değişiklik yapılması sonucu oluşan yeni optimal çözüm
71 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
72 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ
Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 37
T l
Miktar
Temel
Değişkenler
73 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ