simetrija molekula i orbitala -...
TRANSCRIPT
-
Simetrija molekula i orbitala
Matija Zlatar
Centar za hemiju, IHTM, Univerzitet u [email protected]
Teorija hemijske veze15-ti novembar 2011
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 1 / 81
-
Simetrija svuda oko nas
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 2 / 81
-
Simetrija
Neki objekat (molekul) je simetričan ako je jedan njegov deo (npr.jedna strana) isti kao i svi ostali delovi. Intuitivno se može znati da li jenešto simetrično. Neophodan je precizan metod za opis simetrijemolekula.
Teorija grupa(formalni matematički aparat) nam olakšava da racionalizujemo iklasifikujemo simetrijske osobine sistema koji proučavamo.
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 3 / 81
-
Simetrija molekula
Simetrijske osobine molekula—objekti definisani u 3D realnomprostoru, odred̄ene su skupom elemenata simetrije i odgovarajućihoperacija simetrije.
Simetrijaje svojstvo ponavljanja jednakih delova neke celine po odred̄enompravilu.
Skup operacija simetrije koje telo ostavljaju invarijantnim čini grupu(matematički pojam). Molekuli se mogu klasifikovati na osnovu skupaoperacija simetrije koji ga definišu— tačkovne grupe.
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 4 / 81
-
Elementi simetrije
Element simetrije je geometrijska veličina (tačka, prava, ravan) okokoje se može izvesti jedna ili više operacija simetrije
Ravan simetrije
Centar inverzije
Osa rotacije n-tog reda (prava osa)
Rotaciono-refleksiona osa rotacijen-tog reda (neprava osa)
Identičnost
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 5 / 81
-
Elementi i operacije simetrije
Uz svaki element simetrije pridružuje se odgovarajuća operacijasimetrije. Svi elementi simetrije moraju prolaziti kroz centar mase(tačka).
Operacija simetrije predstavlja pokret (molekula) u odnosu na datielement simetrije kojim se molekul dovodi u položaj ekvivalentanprvobitnom.
Element simetrije Operacija simetrije OznakaRavan Refleksija σCentar inverzije Inverzija iOsa rotacije n-tog reda Rotacija za 2π/n CnRotaciono-refleksiona osa Rotacija za 2π/n pa refleksija Snn-tog reda u ravni normalnoj na osuIdentičnost Identičnost (ništa) E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 6 / 81
-
Cn rotacije, H2O, NH3, BrF5 primeri
C2 H2O
(C2 H2O)
C3 NH3
(C3 NH3)
C4 BrF5
(C4 BrF5)
Rotacija Cn za ugao 2π/n u radijanima suprotno od kretanja kazaljkena satu, n je red ose; odgovarajući element simetrije je osa rotacijen-tog reda.
Molekul može posedovati više različitih osa rotacije. Glavna osarotacije je osa sa najvećim n.
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 7 / 81
C2v(1).aviMedia File (video/avi)
C3v(2).aviMedia File (video/avi)
C4v.aviMedia File (video/avi)
-
C3 rotacija, NH3
H(2)
H(3)H(4)
N(1)
H(2)
H(3)
H(4)
N(1)
H(2)H(3)
H(4)
N(1)
C31 C32
C33 = E
H(2)
H(3)H(4)
N(1)
Može se izvršiti više (n) sukcesivnih rotacija: CnCn . . . = Cmn ; Cnn = E
C3 Rotacija za 2π/3 suprotno od kretanja kazaljke na satu;C23 Rotacija za 4π/3; rotacija za −2π/3; C3C23 = EC33 = E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 8 / 81
-
C6 rotacija, C6H6
Može se izvršiti više n sukcesivnih rotacija: Cmn ; Cnn = E
C6, C26 , C36 , C
46 , C
56 , C
66 = E ; C6C
56 = E ;
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 9 / 81
D6h.aviMedia File (video/avi)
-
C6 rotacija, C6H6
H6
H1
H2
H3
H4
H5
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H2
H3
H4
H5
H6
H1
H3
H4
H5
H6
H1
H2
H4
H5
H6
H1
H2
H3
H5
H6
H1
H2
H3
H4
C6C6
C6
C6C6
C6
C62=C3
C63=C2C64=C32C65
C62=E
Cn može da generiše više operacija, npr. C6 rotacija u C6H6 generiše:
C26 = C3C36 = C2
C46 = C23
C56 ; C6C56 = E
C66 = E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 10 / 81
-
C∞: rotacije u linearnim molekulima
OC
n v
CO
Linearni molekuli poseduju beskonačan broj C∞h
COO O
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 11 / 81
-
Cn rotacije, C6H6
Molekul može posedovati više različitih osa rotacije. Glavna osarotacije je osa sa najvećim n; po konvenciji poklapa se sa z-osom; Npr.C6H6:
3C′2
3C′′2 C6, C56 , C3, C
23 , C2
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 12 / 81
-
σ refleksije, H2O, NH3, C6H6 primeriσv H2O
(σ H2O)
σv NH3
(σ NH3)
σv C6H6
(σ C6H6)
σd C6H6
(σ C6H6)
σh C6H6
Svaka tačka se reflektuje na drugu stranu ravni (element simetrije)
σh Horizontalna ravan: refleksija u ravni normalnoj na glavnu osusimetrije (xy ravan)
σv Vertikalna ravan: refleksija u ravni koja sadrži glavnu osu rotacije
σd Diedarska ravan: refleksija u vertikalnoj ravni koja polovi ugaoizmed̄u dve horizontalne C2 ose normalne na glavnu osu simetrije
σ2 = E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 13 / 81
C2vs.aviMedia File (video/avi)
C3vs.aviMedia File (video/avi)
D6hsv.aviMedia File (video/avi)
D6hsd.aviMedia File (video/avi)
-
Inverzija, i
j
i
Br
Cl
F
F
Cl
Br
Br
Cl
F
F
Cl
Br
1
1
1 1
1
12
2
2 2
2
2
2 2 11
Svaki deo objekta se reflektuje kroz centar inverzije, koji mora biti ucentru mase objekta. Svi elementi simetrije prolaze kroz tu tačku;centar simetrije. i2 = E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 14 / 81
-
Sn
Rotacija za ugao 2π/n pa refleksija nomalno na osu rotacije; iakosložena operacija to je jedna operacija; molekul ne mora (ali može) daposeduje pojedinačne operacije;
S1 = C1σ = Eσ = σS2 = C2σ = iMože generisati druge operacije:S24 = C
24σ
2 = C2E = C2;
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 15 / 81
-
Sn
(S6 ch)
S6 stoličasticikloheksan
(S6 CH4)
S4 CH4
(S6 C3H6)
S6 etan
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 16 / 81
chS6.aviMedia File (video/avi)
S4td.aviMedia File (video/avi)
S6etan.aviMedia File (video/avi)
-
Sn generiše više operacija
S1 = C1σ = Eσ = σS2 = C2σ = iS3 = C3σS23 = C
23σ
2 = C23S33 = C
33σ
3 = σ
S43 = C43σ
4 = C3S53 = C
53σ
5 = C23σS63 = C
63σ
6 = E
S4 = C4σS24 = C
24σ
2 = C2E = C2;S34 = C
34σ
3 = C34σ;S44 = C
44σ
4 = E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 17 / 81
-
Rezime: operacije i elementi simetrije
Simetrijaje svojstvo ponavljanja jednakih delova neke celine po odred̄enompravilu.
Molekuli kao 3D objekti poseduju odredjene elemente simetrije(geometrijske veličine) kojima se pridružuju odgovarajuće operacijesimetrije. Skup operacija simetrije odred̄uje simetrijske osobinemolekula.
Operacije simetrije:E (trivijalna), Cn, σ, i , Sn
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 18 / 81
-
Rezime: operacije i elementi simetrije
Molekuli mogu imati neke operacije simetrije ali ne moraju imati sve(trivijalno?)
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 19 / 81
-
Rezime: operacije i elementi simetrije
Postepeno izvod̄enje dve operacije simetrije smatramo njihovimproizvodom; B × A, prvo A, pa onda B
C3C3 = C23C6C6 = C3S4S4 = C2C6σh = S6
Dve simetrijske operacije ponekad uslovljavaju postojanje neke treceoperacije; Cn i Sn mogu generisati više operacija;
C1 = ES1 = σS2 = i
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 20 / 81
-
Rezime: operacije i elementi simetrije
IdentičnostA× E = E × A = A
Svaka operacija ima inverznu operaciju:AA−1 = E
ii = Eσσ = ECnCn−1n = ESnSn−1n = E za n parno;SnS2n−1n = E za n neparno;
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 21 / 81
-
Rezime: operacije i elementi simetrije
Operacije koje pripadaju elementima simetrije koje su povezanesimetrijskim operacijama pripadaju istoj klasi.
A i B su povezani transformacijama slicnosti (A i B pripadaju istoj klasi)ako važi:XAX−1 = B
3C′2C6C′2aC
56 = C
′2b
2C6,3σv
C6σv C56 = σ′v
σv C6σv = C56
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 22 / 81
-
Teorija grupa
Skup operacija simetrije koje telo ostavljaju invarijantnim cinimatematičku grupu
GrupaProizvod bilo koja dva člana ili kvadrat bilo kog clana grupe je članiste grupePostoji član identičnosti: A× E = E × A = AVaži zakon asocijativnosti: A(BC) = (AB)CSvaki član mora da ima inverzni član (takod̄e član grupe):AA−1 = E
Proizvod: postepeno izvod̄enje dve operacije simetrije
Elementi grupe ne moraju da komutiraju: AB 6= BAUkoliko važi komutativnost grupa se naziva Abelova (abelijanska)
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 23 / 81
-
Amonijak, C3v
�
�
�
NH H
H
E ,2C3,3σv
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 24 / 81
-
Amonijak, C3v
First: E C+3 C−3 σv σ
′v σ
′′v
E E C+3 C−3 σv σ
′v σ
′′v
C+3 C+3 C
−3 E σ
′v σ
′′v σv
C−3 C−3 E C
+3 σ
′′v σv σ
′v
σv σv σ′′v σ′v E C
−3 C
+3
σ′v σ′v σv σ
′′v C
+3 E C
−3
σ′′v σ′′v σ
′v σv C
−3 C
+3 E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 25 / 81
-
C6H6, D6h
E ,2C6,2C3,C2,3C′2,3C′′2σh,3σv ,3σd
i ,2S6
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 26 / 81
-
Tačkovne grupe
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 27 / 81
-
Specijalne grupe: Td ,Oh, Ih
Td Oh
Ih
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 28 / 81
-
Specijalne grupe: C∞v ,D∞h
OC
n v
CO
C∞vh
COO O
D∞h
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 29 / 81
-
Niska simetrija: Ci ,C1
Br
Cl
F
F
Cl
Br
Ci
F
BrCl
H
C1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 30 / 81
-
C3h,C2h
O
H
H
B
O
O
H
C3h
H
O O
H
C2h
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 31 / 81
-
C3,C2
H
H
HN
B
N
N
H
H
H
C3
H
H
O O
C2
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 32 / 81
-
C3v ,C2v ,C5v
H
HH
N
C3v
HH
OO
C2v
C5v
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 33 / 81
-
D3h,D4h
H
B
H
H
HH BH
D3h
Cl(4)
Cl(3)
Ni(1)
Cl(2)
Cl(5)
ClCl Ni ClCl
Cl ClNiCl Cl
D4h
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 34 / 81
-
D3
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 35 / 81
-
D3d ,D2d
H H
H
H
H H
H
H
H
H
H
H
D3d
D2d
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 36 / 81
-
Tačkovne grupe
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 37 / 81
-
Polarni molekuli
Polarni molekulje molekul sa permanentnim dipolnim momentom
Postoje odredjeni elementi simetrije koji isključuju postojanje dipola umolekulu ili zabranjuju da leži u odred̄enim orjentacijama u molekulu
Molekul ne može biti polaran akoIma centar inverzijeEl. diploni moment ⊥ na bilo koju σ, CnNe može pripadati: grupi koja sadrži i , Dgrupi, kubnim grupama (T , O),ikosahedralnim grupama (I) i njihovimmodifikacijamaMora pripadati: Cn, Cs ili Cnv
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 38 / 81
-
Hiralnost
(a)
Br
H
CH3
CH3CH2
(b)
Br
H
CH3
CH3CH2
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 39 / 81
-
Hiralnost
Hiralni molekul nema Sn
H2O2C2
1,3,5,7-tetrafluorocyclooctatetraeneS4
[Co(en)3]3+
D3
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 40 / 81
-
Simetrija molekula i orbitala
Matija Zlatar
Centar za hemiju, IHTM, Univerzitet u [email protected]
Teorija hemijske veze15-ti novembar 2011
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 41 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
s-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vs ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs 1 1 1 1
pz-orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpz ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpz 1 1 1 1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 42 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Orbitale na O u H2O, C2v
py -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpy ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpy 1 -1 -1 1
px -orbitala na O?
C2v E C2 σv σ′vpx ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vpx 1 -1 1 -1
R︸︷︷︸operacija
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
= χ︸︷︷︸karakter
× f︸︷︷︸funkcija bazisa
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 43 / 81
-
Karakteri i prikazi
Moguće je klasifikovati funkcije na osnovu uticaja operacija simetrijeodred̄ene tačkovne grupe na njih.
Karakteri (brojevi) predstavljaju efekat operacije u datoj tačkovnoj grupina odredenu funkciju. Karakteri se mogu množiti (kombinovati) na istinacin kao simetrijske operacije
Postoji tačno odred̄en broj različitih načina na koje se funkcije mogumenjati pod uticajem operacija simetrije, odred̄ene tačkovne grupe.Svaki od tih načina se naziva nesvodljiv prikaz. Karakteri za svakimogući nesvodljiv prikaz se nalaze u tablici karaktera za datu grupu.
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 44 / 81
-
Tablica karaktera za C2v
C2v E C2 σv σ′vA1 1 1 1 1 z x2, y2, z2
A2 1 1 -1 -1 Rz xyB1 1 -1 1 -1 x ,Ry xzB2 1 -1 -1 1 y ,Rx yz
A Jednodimenzionalan prikaz simetrican (+1) pri rotaciji za 2π/noko glavne Cn oseB Jednodimenzionalan prikaz anti-simetrican (-1) pri rotaciji za2π/n oko glavne Cn ose1 Prikaz simetrican (+1) pri refleksiji u vertikalnim ravnimasimetrije ili simetrican (+1) pri rotaciji oko C2 ose ⊥ na glavnu osusimetrije2 Prikaz anti-simetrican (-1) pri refleksiji u vertikalnim ravnimasimetrije ili anti-simetrican (-1) pri rotaciji oko C2 ose ⊥ na glavnuosu simetrije
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 45 / 81
-
Tablica karaktera za C2v
C2v E C2 σv σ′vA1 1 1 1 1 z x2, y2, z2
A2 1 1 -1 -1 Rz xyB1 1 -1 1 -1 x ,Ry xzB2 1 -1 -1 1 y ,Rx yz
EH H
O
H H
O
C2
H H
O
H H
O
�v (xz)H H
O
H H
O
�v (yz)H H
O
H H
O
+1 -1 +1-1
EH H
O
H H
O
C2
H H
O
H H
O
�v (xz)H H
O
H H
O
�v (yz)H H
O
H H
O
+1 +1 -1-1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 46 / 81
-
Simetrijske osobine atomskih orbitala
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 47 / 81
-
Simetrijske osobine atomskih orbitala
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 48 / 81
-
Mulliken-ove oznake za nesvodljive prikazeA Jednodimenzionalan prikaz simetričan pri rotaciji za 2π/n oko glavne Cn ose
B Jednodimenzionalan prikaz antisimetričan pri rotaciji za 2π/n oko glavne Cn ose
E Dvodimenzionalni prikaz
T Trodimenzionalni prikaz
G Četvorodimenzionalni prikaz
H Petodimenzionalni prikaz
1 Prikaz simetričan pri refleksiji u vertikalnim ravnima simetrije ili simetričan pri rotaciji oko C2 ose normalne na glavnu osu simetrije
2 Prikaz antisimetričan pri refleksiji u vertikalnim ravnima simetrije ili antisimetričan pri rotaciji oko C2 ose normalne na glavnu osu simetrije
g Prikaz simetričan pri inverziji u centru
u Prikaz antisimetričan pri inverziji u centru
’ Prikaz simetričan pri refleksiji u horizontalnoj ravni simetrije
’’ Prikaz antisimetričan pri refleksiji u horizontalnoj ravni simetrije
Σ+ Jednodimenzionalan prikaz simetričan pri refleksiji u vertikalnoj ili horizontalnoj ravni
Σ‐ Jednodimenzionalan prikaz antisimetričan pri refleksiji u vertikalnoj ili horizontalnoj ravni
Δ, Φ, Π... Dvodimenzionalni prikazi
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 49 / 81
-
s-orbitale na H u H2O, C2v
C2v E C2 σv σ′vs+ ? ? ? ?s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− ? ? ? ?s+ − s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− 1 1 1 1 A1s+ − s− 1 -1 1 -1 B1
Kombinacije simetrijski ekvivalentnih orbitala se transformišu kao nesvodljiviprikazi tačkovne grupe. SALC (Symmetry Adapted Linear Combinations) iliLGO (Ligand Group Orbitals).
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 50 / 81
-
s-orbitale na H u H2O, C2v
C2v E C2 σv σ′vs+ ? ? ? ?s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− ? ? ? ?s+ − s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− 1 1 1 1 A1s+ − s− 1 -1 1 -1 B1
Kombinacije simetrijski ekvivalentnih orbitala se transformišu kao nesvodljiviprikazi tačkovne grupe. SALC (Symmetry Adapted Linear Combinations) iliLGO (Ligand Group Orbitals).
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 50 / 81
-
s-orbitale na H u H2O, C2v
C2v E C2 σv σ′vs+ ? ? ? ?s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− ? ? ? ?s+ − s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− 1 1 1 1 A1s+ − s− 1 -1 1 -1 B1
Kombinacije simetrijski ekvivalentnih orbitala se transformišu kao nesvodljiviprikazi tačkovne grupe. SALC (Symmetry Adapted Linear Combinations) iliLGO (Ligand Group Orbitals).
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 50 / 81
-
s-orbitale na H u H2O, C2v
C2v E C2 σv σ′vs+ ? ? ? ?s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− ? ? ? ?s+ − s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− 1 1 1 1 A1s+ − s− 1 -1 1 -1 B1
Kombinacije simetrijski ekvivalentnih orbitala se transformišu kao nesvodljiviprikazi tačkovne grupe. SALC (Symmetry Adapted Linear Combinations) iliLGO (Ligand Group Orbitals).
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 50 / 81
-
s-orbitale na H u H2O, C2v
C2v E C2 σv σ′vs+ ? ? ? ?s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− ? ? ? ?s+ − s− ? ? ? ?
C2v E C2 σv σ′vs+ + s− 1 1 1 1 A1s+ − s− 1 -1 1 -1 B1
Kombinacije simetrijski ekvivalentnih orbitala se transformišu kao nesvodljiviprikazi tačkovne grupe. SALC (Symmetry Adapted Linear Combinations) iliLGO (Ligand Group Orbitals).
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 50 / 81
-
MO dijagram za H2O
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 51 / 81
-
MO dijagram za H2O
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 52 / 81
-
MO dijagram za H2O
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 53 / 81
-
MO dijagram za H2O
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 54 / 81
-
Linearni BeH2, D∞h
D∞h E ∞σv iΣ+g 1 1 1 x
2 + y2, z2
Σ+u 1 1 -1 zΠ+u 2 0 -2 (x, y)
D∞h E ∞σv is+ + s− 1 1 1 Σ
+g
s+ − s− 1 1 -1 Σ+u
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 55 / 81
-
Walsh-ov dijagram za AH2 molekule
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 56 / 81
-
Korelacione tablice
R3 O D4 D3S A1 A1 A1P T1 A2 + E A2 + E D E + T2 A1 + B1 +B2 + E A1 + 2E F A2 + T1 +T2 A2+ B1 +B2 + 2E A1 + 2A2 + 2E G A1 + E + T1 + T2 2A1 + A2 +B1 + B2 + 2E 2A1+ A2 + 3E H E + 2T1 + T2 A1 + 2A2 + B1 + B2 + 3E A1 + 2A2 + 4E
D3h
C3h
C3v
C2� �h���
Cs�h
Cs��
1A� A� A1 A1 A� A�
2A� A� A2 BB2 A� A" E' E' E A1 + B2 2A' A A' + "
1A�� A" A2 A2 A" A"
2A�� A" A1 BB1 A" A� E" E" E A2 + B1 2A" A A' + "
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 57 / 81
-
Prikazi ponovo
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
E[
s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
C2
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
σv
[s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
σ′v
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vs1 = s+ + s− 1 1 1 1s2 = s+ − s− 1 -1 1 -1
E[
s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
C2
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
σv
[s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
σ′v
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vΓ 2 0 2 0A1 + B1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 58 / 81
-
Prikazi ponovo
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
E[
s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
C2
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
σv
[s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
σ′v
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vs1 = s+ + s− 1 1 1 1s2 = s+ − s− 1 -1 1 -1
E[
s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
C2
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
σv
[s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
σ′v
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vΓ 2 0 2 0A1 + B1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 58 / 81
-
Prikazi ponovo
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
E[
s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
C2
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
σv
[s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
σ′v
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vs1 = s+ + s− 1 1 1 1s2 = s+ − s− 1 -1 1 -1
E[
s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
C2
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
σv
[s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
σ′v
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vΓ 2 0 2 0A1 + B1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 58 / 81
-
Prikazi ponovo
C2v E C2 σv σ′vs+ s+ s− s+ s−s− s− s+ s− s+
E[
s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
C2
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
σv
[s+s−
]=
[1 00 1
] [s+s−
]χ = 2
σ′v
[s+s−
]=
[0 11 0
] [s+s−
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vs1 = s+ + s− 1 1 1 1s2 = s+ − s− 1 -1 1 -1
E[
s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
C2
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
σv
[s1s2
]=
[1 00 1
] [s1s2
]χ = 2
σ′v
[s1s2
]=
[1 00 -1
] [s1s2
]χ = 0
C2v E C2 σv σ′vΓ 2 0 2 0A1 + B1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 58 / 81
-
Prikazi ponovo
Različite funkcije bazisa generišu različite prikaze.Prikazi su u opštem slučaju skup matrica, koje pokazuju kakav jeuticaj operacija grupe na funkciju bazisa.Karakteri prikaza predstavljaju trag odgovarajućih matrica (sumaduž dijagonale).Ukoliko se se matrice mogu transformisati u blok-dijagonalni oblik(ne menjaju se karakteri) onda je prikaz koji generišu svodljiv —može se prikazati kao direktan zbir nesvodljivih prikaza. Zbirkaraktera nesvodljivih prikaza daje karaktere svodljivog.
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 59 / 81
-
Amonijak, C3v
�
�
�
NH H
H
E ,2C3,3σv
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 60 / 81
-
Amonijak, C3v
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 61 / 81
-
Amonijak, C3v
C3v E C3 σvs 1 1 1 A1pz 1 1 1 A1px 1 −1/2px − 1/2py 1 ?py 1 −
√3/2px − 1/2py -1 ?
E[
pxpy
]=
[1 00 1
] [pxpy
]χ = 2
C3[
pxpy
]=
[−1/2 −
√3/2
−√
3/2 −1/2
] [pxpy
]χ = −1
σv
[pxpy
]=
[1 00 -1
] [pxpy
]χ = 0
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 62 / 81
-
Amonijak, C3v
sA sB sCE sA sB sCC−3 sC sA sBC+3 sB sC sAσv sA sC sBσ′v sB sA sCσ′′v sC sB sA
0@1 0 00 1 00 0 1
1A
0@0 0 11 0 00 1 0
1A
0@1 0 00 0 10 1 0
1A
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 63 / 81
-
Amonijak, C3v
C3v E 2C3 3σv
A1 1 1 1
A2 1 1 -1
E 2 -1 0
LGOs 3 0 1 a1 + e
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 64 / 81
-
Amonijak, C3v
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 65 / 81
-
Amonijak, C3v
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 66 / 81
-
BH3, D3h
B HH
H
z
y
xM. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 67 / 81
-
BH3, D3h
D3h E 2C3 3C2 σh 2S3 3σv
A1’ 1 1 1 1 1 1
A2’ 1 1 -1 1 1 -1
E’ 2 -1 0 2 -1 0
A1” 1 1 1 -1 -1 -1
A2” 1 1 -1 -1 -1 1
E” 2 -1 0 -2 1 0
2s
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 68 / 81
-
BH3, D3h
D3h E 2C3 3C2 σh 2S3 3σv
A1’ 1 1 1 1 1 1
A2’ 1 1 -1 1 1 -1
E’ 2 -1 0 2 -1 0
A1” 1 1 1 -1 -1 -1
A2” 1 1 -1 -1 -1 1
E” 2 -1 0 -2 1 0
���
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 69 / 81
-
BH3, D3h
D3h E 2C3 3C2 σh 2S3 3σv
A1’ 1 1 1 1 1 1
A2’ 1 1 -1 1 1 -1
E’ 2 -1 0 2 -1 0
A1” 1 1 1 -1 -1 -1
A2” 1 1 -1 -1 -1 1
E” 2 -1 0 -2 1 02px 2py
doubly degenerate
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 70 / 81
-
BH3, D3h
Ψ(a1’) = (1/�3)(Ψ1 + Ψ2 + Ψ3)
Ψ(e’)1 = (1/�6)(2Ψ1 – Ψ2 – Ψ3)
Ψ(e’)2 = (1/�2)(Ψ2 – Ψ3)
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 71 / 81
-
BH3, D3h
D3h E 2C3
3C2
σh 2S3
3σv
A1’ 1 1 1 1 1 1
E’ 2 -1 0 2 -1 0
LGOs 3 0 1 3 0 1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 72 / 81
-
BH3, D3h
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 73 / 81
-
CH4, Td
C3
z
xy
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 74 / 81
-
CH4, Td
TdA1 x2+y2+z2
A2
E
T1
T2 (x,y,z)
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 75 / 81
-
CH4, Td
�(a1) = ½ (�1 + �2 + �3 + �4)
�(t2)1 = ½ (�1 - �2 + �3 - �4)
�(t2)2 = ½ (�1 + �2 - �3 - �4)
�(t2)3 = ½ (�1 - �2 - �3 + �4)
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 76 / 81
-
CH4, Td
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 77 / 81
-
CH4, Td
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 78 / 81
-
Direktni proizvodi
Pitanje:Ako se funkcija f1 tarnsformiše kao Γ1, a f2 kao Γ2, kako setransformiše funkcija f1f2?
C3� (3m)
E 2C3 3��
A1 1 1 1 z x2 + y2, z2
A2 1 1 –1 Rz E 2 –1 0 (x, y)(Rx, Ry) (x2 – y2, 2xy)(xz, yz)
E ⊗ A2 = 2 − 1 0 = EE ⊗ E = 4 1 0 = A1 + A2 + E
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 79 / 81
-
Tablice direktnih proizvoda
C3v A1 A2 EA1 A1 A2 EA2 A2 A1 EE E E A1 + A2 +E
Td A1 A2 E T1 T2A1 A1 A2 E T1 T2A2 A2 A1 E T2 T1E E E A1 + A2 + E T1 + T2 T1 + T2T1 T1 T2 T1 + T2 A1 + E + T1 + T2 A2 +E + T1 + T2T2 T2 T1 T1 + T2 A2 + E + T1 + T2 A1 +E + T1 + T2( )
g u g g u u g
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 80 / 81
-
Direktni proizvodi
Kada je neki integral različit od nule?∫f1f2dτ 6= 0 Γf1 ⊗ Γf2 ⊂ A1∫f1f2f3dτ 6= 0 Γf1 ⊗ Γf2 ⊗ Γf3 ⊂ A1〈Ψ|O|Ψ〉 6= 0 ΓΨ ⊗ ΓO ⊗ ΓΨ ⊂ A1
M. Zlatar ([email protected]) Simetrija THV 2011 81 / 81