sifat penampang datar

Download Sifat Penampang Datar

If you can't read please download the document

Upload: fitraandikaparse

Post on 09-Apr-2016

137 views

Category:

Documents


38 download

DESCRIPTION

teknik sipil

TRANSCRIPT

  • Universitas Gadjah Mada

    Bab 3

    Sifat Penampang Datar

    3.1. Umum

    Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifat-

    sifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh,

    untuk mengetahui besarnya tegangan yang tidak lain sama dengan besarnya gaya tiap

    satuan luas. Luas atau penampang termasuk besaran geornetrik perrnukaan datar

    perlu diketahui. Besaran-besaran yang lain antara lain momen statis, momen inersia

    terhadap titik berat penampang atau garis yang melalui titik berat penampang.

    Besaran-besaan ini masih dipengaruhi oleh letak sumbu-sumbunya, yang dikenal

    dengan rumus-rumus transformasi. Pemakaian sifat-sifat penampang datar ini akan

    dijumpai pada hab-bab herikutnya.

    3.2. Luas bidang, momen statis dan pusat berat penampang

    Besaran-besaran geometrik penampang datar diperlukan dalam analisis

    mekanika bahan untuk mendapatkan besaran-besaran fisika, misalnya gaya, momen,

    tegangan, regangan, lendutan dan lain sebagainya. Untuk mengetahui besaran-

    besaran geometrik ini, ditinjau suatu bagian kecil seluas dA yang berjarak x dan y dari

    sumbu koordinat Kartesius x dan y, seperti terlihat pada Gambar 3.1. Titik 0 adalah titik

    sembarang yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan koordinat suatu titik

    pada penampang. Besaran-besaran geometrik penampang datar antara lain: luas

    penampang, momen statis dan titik berat. Luas penampang total dapat diperoleh

    dengan persamaan:

    dydxdAAAA

    == (3.1)

  • Universitas Gadjah Mada

    Gambar 3.1. Penampang datar

    Momen statis penampang A terhadap suatu sumbu adalah besarnya perkalian antara

    luas penam pang dengan jarak dan titik pusat penampang ini luasan ke sumbu yang

    ditinjau. Momen statis penampang terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan sebagai

    berikut:

    Letak titik pusat berat penampang dihitung dengan membagi momen statis dengan

    luas bagian yang ditinjau, atau:

    Tentu saja tidak semua bidang dapat dinyatakan dengan mudah dengan

    persamaanpersamaan matematika. Untuk memudahkan pemakaian rumus-rurnus di

    atas pada sembarang luasan dapat dituliskan dengan cara lain, misalnya ditinjau

    menjadi elemen-elemen 1,2,3,.. .,n, seperti diperlihatkan pada Gambar 3.2.

  • Universitas Gadjah Mada

    Gambar 3.2. Penampang datar yang dibagi menjadi elemen- lemen

    Dengan membagi penampang menjadi elernen-elernen, besaran-besaran geometri di

    atas dapat dituliskan sebagai berikut ini.

    Luas penampang: =

    =++++=n

    in AAAAAA

    11321 .......... (3.4)

    Momen statis:

    Letak pusat berat:

    3.3. Momen Inersia Penampang

    Secara umum momen inersia penampang terhadap sumbu x dan y (lihat

    Gambar 3.1) adalah sebagai berikut ini.

  • Universitas Gadjah Mada

    3.4. Momen Inersia dalam Transformasi Sumbu

    3.4.1. Penggeseran Sumbu

    Adanya penggeseran (translasi) sumbu akan berpengaruh terhadap mornen

    inersia. Jika sumbu x dan h sembarang dan sejajar dengan sumbu x dan y dengan

    jarak antar keduanya adalah a dan b (lihat Gambar 3.3), maka dari definisi dasar

    didapatkan:

  • Universitas Gadjah Mada

    Gambar 3.3. Penggeseran sumbu

    Jika sumbu x dan h melalui titik O yang merupakan titik berat penampang, maka

    besarnya momen statis S x = S h = 0, sehingga Persamaan (3.11) - (3.13) dapat

    dituliskan:

    3.4.2. Perputaran Sumbu

    Momen inersia penampang juga tergantung dan perputaran sumbu. Tinjaulah suatu

    sumbu st yang diperoleh dengan memutar (rotasi) sumbu .xy dengan pusat 0 dan

    sudut putar q arah positif (berlawanan arah jarum jam). Dengan memperhatikan

    Gambar 3.4, akibat rotasi ini akan diperoleh koordinat s dan t dalam x dan y sebagai

    berikut ini.

  • Universitas Gadjah Mada

    Momen inersia terhadap sumbu baru st adalah sebagai berikut:

    Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri, yaitu:

    maka Persamaan (3. 18) menjadi

    Dengan menjumlahkan lss dan ltt pada Persamaan (3.20) akan didapatkan:

    lss + ltt =lxx + lyy (3.21)

  • Universitas Gadjah Mada

    yang menunjukkan bahwa jumlah momen inersia terhadap suatu tata sumbu tidak

    berubah, walaupun sumbu tersebut mengalami perputaran.

    3.5. Momen Inersia Ekstrim

    Sekarang ditinjau titik () sebagai titik berat potongan, dan momen nersia

    dihitung berdasarkan sumbu-sumbu yang melalui titik ini. Persamaan (3.20)

    memperlihatkan ketergantungan momen inersia terhadap sudut rotasi. Pada sudut

    rotasi tertentu akan didapatkan pasangan Iss, ltt, dan lst. OIeh karena momen inersia

    merupakan fungsi dan sudut rotasi q, maka pada sudut rotasi tertentu, momen inersia

    ini akan mencapai nilai ekstrim (maksimun atau minimum). Untuk mendapatkan

    momen inersia ekstrim ini dapat diperoleh dengan menurunan fungsi terhadap q dan

    menyamakannya dengan nol, atau:

    Turunan dari Persamaan (3.20) masing-masing terhadap q akan didapat:

    dimana masing-masing q dari persamaan di atas menyatakan sudut rotasi yang

    menghasilkan momen inersia ekstrim. Sumbu yang menghasilkan nilai ekstrim ini

    disebut sumbu utama dan momen inersia ektrim ini disebut momen inersia utama yang

    dapat berupa nilai maksimum dan minimum. Dari Persamaan (3.23) dapat disimpulkan

    beberapa hal sebagai berikut ini.

    1) Sudut rotasi q sumbu-sumbu yang memberikan nilai ekstrim lss dan ltt, adalah

    sama, jika yang satu memberikan nilai maksimum yang lain memberikan nilai

    minimum.

    2) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus q1 dan q2 = q1 + p/2, dimana nilai lst = 0,

    dalam hal ini berlaku:

  • Universitas Gadjah Mada

    Sudut rotasi ini menghasilkan sumbu utama yang mempunyai momen inersia

    ekstrim atau disebut juga momen inersia utama, masing-masing:

    Momen inersia maksimum:

    Momen inersia minimum:

    3) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus, dimana momen inersia sentrifugal lxy

    mencapai nilai ekstrim. Arah sumbunya membentuk sudut 45o dari sumbu utama.

    Nilai-nilai ekstrim dari lxy dapat dihitung dengan:

    sedangkan besarnya momen inersia pada sudut ini adalah:

    Untuk mendapatkan arah sumbu dan momen inersia utama dapat dicari dengan

    cara grafis yaitu Lingkaran Mohr. Dari persamaan dasar momen inersia yang

    mengacu pada sumbu st (Persamaan 3.20) didapatkan:

    Dengan mengkuadratkan kedua persamaan di atas, kemudian keduanya

    dijumlahkan, maka akan diperoleh:

    Dalam hal ini lxx, lyy dan lxy adalah tiga buah besaran yang telah diketahui,

    sedangkan lss dan lst, berupa variabel. Persamaan (3.30) dapat juga ditulis dalam

    bentuk persamaan Iingkaran sebagai berikut:

  • Universitas Gadjah Mada

    Persamaan ini tidak lain adalah persamaan sebuah lingkaran dengan sumbu lss.

    dan Ist yang mempunyai koordinat titik pusat Iingkaran (a,0) dan jari-jari b.

    Sembarang titik pada lingkaran mempunyai ordinat Ist (momen inersia sentrifugal)

    dan absis Iss (momen inersia terhadap sumbu s). Lingkaran ini disebut Lingkaran

    Mohr (Mohrs circle), yang dapat dilihat pada Gambar 3.5. Sedangkan urutan

    penggambaran lingkaran Mohr adalah sebagai berikut:

    1. Buatlah sumbu mendatar lxx dan vertikal Ixy

    2. Tentukan titik C dengan koordinat (a,0) sebagai pusat lingkaran

    3. Dengan titik C sebagai pusatnya, buatlah lingkaran dengan jari-jari b

    4. Perpotongan lingkaran dengan absis memberikan nilai momen inersia ekstrim I1

    (maksimum, berada di sebelah kanan) dan I2 (minimum, berada di sebelah kiri)

    5. Buatlah titik A dan B pada lingkaran dengan koordinat masing-masing (lxx, lxy)

    dan (Iyy, -lxy). Titik A menunjukkan besaran momen inersia dengan sudut rotasi q

    = 0o, pada titik ini lss = Ixx dan Ist = lxy. Jika AA/CA = Ixy [(Ixx - Iyy)/2], maka sudut

    ACA sama dengan 2q1.

    Gambar 3.5. Lingkaran Mohr untuk menentukan arah dan momen inersia utama

    3.6. Jari-jari Girasi

    Jari-jari girasi (radius of giration) didefinisikan sebagai akar kuadrat momen inersia

    dibagi dengan luar bidang, atau:

  • Universitas Gadjah Mada

    Jari-jari girasi terhadap sumbu x : Al

    r xxx = (3.31)

    Jari-jari girasi terhadap sumbu y : A

    lr yyy = (3.31)

    Jari-jari girasi menunjukkan letak suatu titik terhadap sumbu yang melalui titik berat,

    pada mana seluruh luas dapat dipusatkan dan akan memberikan momen inersia yang

    sama terhadap sumbu tersebut (lihat rangkuman no. 6).

    3.7. Contoh-contoh

    Contoh 3.1: Hitunglah luas, letak titik berat penampang seperti terlihat pada Gambar

    3.6.

    Penyelesaian:

    Gambar 3.6. Penampang I

    Luas penampang:

    Momen statis terhadap sumbu x:

    Momen statis terhadap sumbu y:

    Penampang dibagi dalam 3 luasan, yaitu

    sayap atas dengan ukuran 15x3 cm2,

    badan 40x2 cm2 dan sayap bawah

    15x5cm2.

  • Universitas Gadjah Mada

    Letak titik pusat berat penampang:

    Contob 3.2: Hitunglah momen inersia sebuah potongan berbentuk persegi panjang

    (ukuran lebar: b dan tinggi: h) terhadap sumbu xy dengan titik pangkal pada salah satu

    sudutnya. Tentukan pula momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat

    potongan tersebut.

    Penyelesaian:

    Karena potongan simetris, maka letak titik

    berat adalah h dari sisi bawah dan b

    dari sisi kiri.

    Gambar 3.6. Penampang persegi panjang

    Momen inersia terhadap sumbu xy:

  • Universitas Gadjah Mada

    Momen inersia terhadap sumbu (melalui titik berat penampang):

    Contoh 3.3: Sebuah potongan berbentuk segitiga dengan sumbu atas sejajar sumbu x

    (lihat Gambar 3.8). Hitunglah momen inersia terhadap sumbu x, x dan V .

    Penyelesaian:

    Ditinjau elemen kecil dA yang berbentuk

    pita tipis dengan tebal dy dan lebar b1.

    Perbandingan segitiga:

    yhb

    bhb

    yb

    == 11

    dyyhb

    dybdA . Luas 1 ==

    O : titik berat potongan

    Gambar 3.8. Penampang segitiga

    Momen inersia terhadap sumbu x:

    Momen inersia terhadap sumbu x :

    Momen inersia terhadap sumbu V :

  • Universitas Gadjah Mada

    Contoh 3.4: Hitunglah momen inersia penampang pada Contoh 3.1 terhadap

    sumusumbu yang melalui titik berat penampang total.

    Penyelesaian:

    Momen inersia lxx (sejajar x yang melalui titik berat):

    Contoh 3.5: Hitunglah besarnya momen inersia xxl , yyl dan xyl terhadap sumbu yang

    melalui titik berat potongan seperti tampak pada Gambar 3.9. Tentukan orientasi

    sumbu-sumbu serta besarnya momen inersia utama dan potongan tersebut.

    Penyelesaian:

    O : titik berat potongan

    Potongan dapat dibagi menjadi

    3 buah empat persegi panjang,

    selanjutnya dalam menghitung

    momen inersia digunakan

    teorema penggeseran sumbu

    Gambar 3.9 Penampang beserta sumbu-sumbunya

    Momen inersia:

  • Universitas Gadjah Mada

    Dengan mensubstitusikan harga-harga tersebut di atas ke dalam Persamaan (3.24),

    maka akan diperoleh arah sumbu utama St yang membentuk sudut 1q dari sumbu xy,

    dengan:

    Sudut rotasi 1q = 19,660 dan 109,66 ini didapatkan momen inersia ekstrirn, masing-

    masing:

    Momen inersia maksimum:

    Momen inersia minimum:

    Contoh 3.6: Besaran geometrik dari berbagai tampang di sajikan pada Lampiran A.

  • Universitas Gadjah Mada

    3.8. Rangkuman

    Beberapa hal penting yang dapat disimpulkan dan bab mi adalah sebagai berikut:

    1. Sifat-sifat penampang datar diperlukan untuk menghitung besaran-besaran fisika.

    Sifat-sifat penampang datar dapat dihitung dengan cara penjumlahan atau

    pengurangan dan bagian-bagian bidang pembentuk penampang.

    2. Momen statis penampang terhadap suatu garis yang melalui titik beratnya sama

    dengan nol.

    3. Momen inersia terhadap suatu tata sumbu xxl , yyl dan xyl selalu bernilai positif,

    sedang xyl , dapat bernilai positif maupun negatif. Jika salah satu sumbu yang

    saling tegak lurus adalah sumbu simetri, maka nilai momen inersia silang xyl ,

    selalu sama dengan nol.

    4. Momen inersia penampang terhadap suatu tata sumbu tertentu xz misalnya

    dapat dihitung dan momen inersia terhadap tata sumbu yang lain asalkan diketahui

    penggeseran atau rotasi tata sumbu tersebut terhadap tata sumbu yang momen

    inersianya telah diketahui.

    5. Momen inersia ekstrim suatu penampang thpat dicani dengan cara analisis

    maupun grafis (Iingkaran Mohr).

    6. Jari-jari girasi menunjukkan penyebaran luasan penampang terhadap titik beratnya.

    Dengan luasan yang sama, permukaan yang menyebar dan titik berat, nilai radius

    girasi semakin besar, begitu pula sebaliknya.

    3.9. Soal-soal

    1. Diketahui sebuah tampang dengan

    gambar seperti disamping lengkap

    dengan ukuran-ukurannya (dalam

    cm). Dimanakah letak titik berat

    penampang terhadap sumbu x dan

    y.

    xo : 4,5 cm

    yo = 3,5 cm

  • Universitas Gadjah Mada

    2. Dari gambar penampang tersebut hitunglah momen inersia terhadap sumbu xy,

    yaitu : xxl , yyl dan xyl

    3. Jika sumbu dan zx dan masing-masing melalui titik berat penampang, hitunglah

    besarnya xxl , zzl dan xzl

    4. Berapakah momen inersia ekstrim dan penampang di atas dengan cara analitis

    dan grafis.