Klett und Balmer Verlag

Mathematik in eigenen Worten

Sieglinde Waasmaier

Lernumgebungen für die Sekundarstufe I

Mathematik in eigenen Worten

Von den praktischen Erfahrungen der Autorin profitieren

Sieglinde Waasmaier unterrichtet an einer bayerischen Mit-

telschule Jugendliche der Sekundarstufe I. In den vergan-

genen Jahren hat sie mit zahlreichen Lernumgebungen ge-

arbeitet – darunter auch einigen aus dem « mathbu.ch » –,

diese weiter entwickelt und an das Begabungsspektrum

ihrer Schülerinnen und Schüler angepasst. Die Aufgaben

sind natürlich differenzierend. Ihre Erfahrungen möchte

die Autorin in diesem Buch mit allen Lehrpersonen teilen,

die ihren Schülerinnen und Schülern nicht nur helfen, son-

dern auch etwas zutrauen wollen.

Auch für schwächere Schülerinnen und Schüler

Neben der neuen Arbeitsweise, die Lernumgebungen mit

sich bringen, gewöhnten sich die Schülerinnen und Schüler

auch daran, ihre Lern- und Denkwege schriftlich zu doku-

mentieren. Die Autorin zeigt und kommentiert zahlreiche

solche Dokumente. Sie belegt, dass durch das Protokollie-

ren nicht nur starke, sondern gerade auch schwächere Ler-

nende mathematische Einsichten gewinnen und ihr Selbst-

vertrauen stärken. Für die Lehrpersonen sind die notierten

Gedanken der Lernenden ebenfalls nützlich und informa-

tiv, denn sie enthalten ein grosses Diagnosepotenzial. Diese

Erkenntnis findet übrigens auch im neuen « mathbuch » Ein-

gang, indem die Lernenden angeregt werden, im « Merkheft »

regelmässig « Arbeitsrückschau » zu halten.

Sieglinde Waasmaier ermuntert Lehrpersonen, sich auf

diese erfolgversprechende Unterrichtsart einzulassen. Sie

zeigt Wege auf, wie Schwierigkeiten beim Protokollieren im

Mathematikunterricht überwunden werden können.

Informativer einführender Teil

Der einführende, theoretische Teil bietet Kapitel zu :

• Definition, Konzeption von Lernumgebungen

• Aufbau von Unterrichtseinheiten

• Arbeit mit Lerntagebüchern

• Bedeutung von Lernumgebungen für die Lernenden

und die Lehrpersonen

• Anforderungen an Lehrpersonen

• Lernumgebungen und Bildungsstandards

Umfangreicher praktischer Teil

Der Hauptteil des Buches ist den praktischen Beispielen

gewidmet. Er enthält 31 Lernumgebungen zu Arithmetik,

Geometrie und Sachrechnen.

Schülerinnen und Schüler schreiben ihre Lern- und Denkwege auf :

Sieglinde Waasmaier zeigt in ihrem Buch, wie sehr es sich für das mathe-

matische Verständnis lohnt, diesen Weg zu gehen. « Mathematik in eige-

nen Worten » bietet praxiserprobte Lernumgebungen, aufschlussreiche

Schüler dokumente sowie Arbeitsblätter und Kopiervorlagen als Download.

Eines der zahlreichen Schülerdokumente

aus « Mathematik in eigenen Worten »

90 | Wurzeln

Dokumente aus der Erprobung

Schülerinnen und Schüler lösen Aufgabe 1,

indem sie ihr Vorwissen einbringen.

Arbeitsblatt11,Aufgabe1

DieSchülerinbestimmtdieSeitenlängederQuadrate

undverwendetbeiihrenErklärungenbereitsden

BegriffderWurzel.BeiderFlächenangabeverwendet

siefälschlicherweisecmalsEinheitanstattcm².

DieseSchülerinbeziehtsichaufeinealsHausaufgabe

durchgeführteAufgabe.InihrerErklärungdesWurzel-

begriffsverwendetsiedenBegriffdesVerdoppelns,

ergänztdannaber«dieselbeZahl».UmihreVorstellung

zuveranschaulichen,nenntsiezweiBeispiele.

Mathematik in eigenen Worten © Klett und Balmer AG, 2013; als Kopiervorlage freigegeben

11Wurzeln

DerSatzvonPythagoraszeigt,wiesichzweibeliebigeQuadrateineingrossesQuadratver-wandelnlassen.DasgrosseQuadrathatdiegleicheFlächewiediebeidenkleinerenzusammen.OftbestehtdasProblemdarin,dieSeitenlängedesgrossenQuadrateszuberechnen.DazubrauchtesWurzeln.TreffenderistderBegriffderQuadratwurzeln.DiesesteheninengerBeziehungzuQuadratzahlen.

1 BeiQuadraten,derenFlächeeineQuadratzahlist,lässtsichdieSeitenlängeeinfachbestimmen.BestimmedieSeitenlängendereinzelnenQuadrate.

2 BeiQuadraten,derenFlächenzahlAkeineQuadratzahlist,bezeichnetmandieSeitenlängemit A.Sprich:«WurzelausA».

A WiegrosssinddiefolgendenWurzelnungefähr?SchreibedeineÜberlegungenauf.10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100

B QuadrieredeinegeschätztenWerteausAufgabeAmitdemTaschenrechner.SchreibedeineErgebnisseauf.Wasstellstdufest?

C VerwendenundieWurzeltasteaufdeinemTaschenrechnerundbestimmediefolgendenWurzeln: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100.

3 DasBerechnenvonWurzelnbrauchtmanbeiAnwendungendesSatzesdesPythagoras.

A BerechnedieSeitena,b,c,d,eundf.SchreibedeineÜber-legungenauf.

B ZeichnediefolgendenLängen:13; 18; 26; 29; 32; 34.Wasüberlegstdudirdabei?

C ZeichnedieWurzelnandererZahlen,schätzeundberechnesie.

Aus:Affolter,W.u.a.(2003):mathbu.ch8,S.30

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1

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1

a

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Ar

ith

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tik

Phase tätigkeiten der Schülerinnen und Schüler / Lehrperson materialien

Kopfrechnen SuSgestaltendieKopfrechenphase. Folie

Inszenierung LPteiltdieArbeitsblätteraus. Arbeitsblatt11

Eigentätigkeit SuSlesenselbstständigInformationenzurWurzelundbringen

Vorerfahrungenein.

Austausch SuSberichtenübergewonneneErkenntnisseundErfahrungen

mitdemneuenThema.

SuS-Dokumente

reflexion SuSschreibenüberdenInhaltderLerneinheit,übersichtbargewordene

VerbindungenzuanderenThemenbereichenundüberdeneigenen

Lernzuwachs.

SuS-Dokumente

hausaufgabe SuSbearbeitenweiterführendeAufgabenzurWurzel. Arbeitsblatt11

Worum geht es?

Das Berechnen von Wurzeln beschäftigte schon die alten Grie­

chen. Sie glaubten noch, dass alle Wurzeln sich auch als Brü­

che bzw. als Quotienten zweier natürlicher Zahlen darstellen

liessen. Diese klassische mathematische Problemstellung ist

nicht Gegenstand dieser Lernumgebung. Der Taschenrechner

gibt für 2 einen Wert an, der sich von rationalen Zahlen op­

tisch nicht unterscheidet. Ausserdem lässt sich die Wurzel ex­

akt konstruieren.

In der Lernumgebung setzen sich die Schülerinnen und

Schüler mit Wurzeln auseinander, sammeln erste Erfahrun­

gen und vertiefen geometrische Deutungen. Sie berechnen

Längen von Dreiecks­ und Quadratseiten und stellen sie dar.

Durch meist strukturierte Übungen bauen sie ein Verständnis

für den Wurzelbegriff auf.

mögliches Vorgehen

Die Schülerinnen und Schüler setzen sich zunächst in Einzel­

arbeit mit den Aufgaben auf dem Arbeitsblatt auseinander. Sie

knüpfen mit den ersten Aufgaben an das Vorwissen an, bestim­

men durch Schätzen näherungsweise die Wurzeln und wen­

den diese Ergebnisse bei der Berechnung von Seitenlängen von

Quadraten in Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras an.

Nach der Einzelarbeit tauschen sie ihre Erfahrungen und

Erkenntnisse im Klassenverband aus und schreiben eine Refle­

xion über gewonnene Erkenntnisse, Erfahrungen und Schwie­

rigkeiten. Weitere Aufgaben enthalten strukturierte Aufgaben

zur Berechnung der Wurzel. Dabei kann den Schülerinnen und

Schülern bewusst werden, wie sich aus bekannten Ergebnissen

die Ergebnisse anderer Wurzeln ableiten lassen.

In einer Reflexionsphase am Lektionsende halten die Schü­

lerinnen und Schüler Rückschau auf die Unterrichtsstunde

und schreiben diese auf. Als Hausaufgabe ist die Weiterfüh­

rung strukturierter Übungen zu Wurzeln möglich.

In einer weiteren Lektion bearbeiten die Schülerinnen und

Schüler Aufgaben, in denen sie Wurzeln am Zahlenstrahl dar­

stellen und Vorstellungen bezüglich der Wurzeln weiterent­

wickeln. Das Berechnen von Seitenlängen in Rechtecken und

Quadraten üben sie mithilfe des Satzes des Pythagoras und der

daraus resultierenden Wurzelberechnung.

Wurzeln

Stufe 9.Schuljahr

Dauer 2Lektionen

Download Arbeitsblatt11

material –

11

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In den Rubriken « Worum geht es ? »

und « Mögliches Vorgehen » findet

die Lehr person eine kurze Beschreibung

der Lernumgebung mit den Zielen

sowie Vorschläge zum Vorgehen. Anschliessend folgt eine Tabelle,

die die einzelnen Phasen der

Lern umgebung und die Tätigkeiten

der Schülerinnen und Schüler

beschreibt.

Eine Übersichtsbox zu Beginn

jeder Lernumgebung gibt Auskunft über :

• Stufe bzw. Schuljahr

• Anzahl benötigter Lektionen

• Arbeitsblatt oder Kopiervorlage,

die dazu als Download angeboten wird

• zusätzlich benötigtes Material

Die verkleinerten Abbildungen von

Arbeitsblättern oder Kopiervorlagen

stellen den Bezug zu den Aufgaben

rasch und verständlich her.

Klarer Aufbau der Lernumgebungen

91

Schülerinnen und Schüler bestimmen Wurzeln

durch Schätzen und anschliessendes Quadrieren.

Arbeitsblatt11,Aufgabe2

WiesiedieWurzelvorgegebenerZehnerzahlen

bestimmt,beschreibtdieseSchülerinsehrgenau.

DieSchülerinbestimmtdieWurzelndervorgegebenen

ZehnerzahlenzumTeilaufzweiDezimalstellen.

BeiderÜberprüfungdurchQuadrierenstelltsiefest,

dasssiedieWurzelnrechtgenaubestimmenkonnte.

Schülerinnen und Schüler beschreiben die Ergebnisse

aus Aufgabe 3.

Arbeitsblatt11,Aufgabe3

DieSchülerinskizziertdieFigurenaufdemArbeits-

blattundnotiertihrenRechenwegzurBestimmung

derfehlendenSeitenlänge.

AufdemArbeitsblattzeichnetdieSchülerindierech-

tenWinkelsowiedieKatheten-unddasHypotenusen-

quadratmitunterschiedlichenFarbenein.

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Schülerinnen und Schüler schreiben

in der reflexionsphase.

DerSchülerformuliertseineErkenntnisse.Wurzeln

unddenSatzdesPythagoraserkennteralsnotwendig

undhilfreich.ErstelltfürsicheinenLernerfolgund

denSpassanMathematikfest.

EineVerbindungzwischenzweimathematischen

ThemenbereichenstelltdieserSchülerher.Ererkennt

damitderenBedeutsamkeit.

DieseSchülerinformuliertihrenLernzuwachs

bezüglichdesBegriffsderWurzelalsSeitenlänge

einesQuadrats.SiestelltdenSatzdesPythagoras

alsNotwendigkeitfürdenUmgangmitderWurzel

heraus.

11

Was war bei der Durchführung zu beobachten?

Die Schülerinnen und Schüler arbeiteten sehr selbstständig und motiviert. Da die Ler­

nenden bereits früher beim Kopfrechnen eine Seite eines Quadrats oder den Radius eines

Kreises bei gegebenem Flächeninhalt berechneten, war ihnen der Rechenweg im Prinzip

bekannt. Sie wussten nur nicht, dass man dies als Wurzel bezeichnet und dass diese mit

dem Taschenrechner für jede beliebige Zahl berechnet werden kann.

Schwierigkeiten hatten einige Schülerinnen und Schüler anfangs bei Aufgabe 3. Ihnen

war nicht klar, dass das angegebene Quadrat jeweils die Summe aus zwei Quadraten ist.

Für sie war es zuerst schwierig, jeweils die zwei passenden Summanden zu finden und die

Quadrate (Kathetenquadrate) zum vorgegebenen Quadrat (Hypotenusenquadrat) zu zeich­

nen. Nach einem kurzen individuellen Gespräch fanden sie dann eine Lösung.

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Von der Autorin kommentierte

Schülerdokumente aus

der Praxis bieten eine wertvolle

Unterstützung. Eine Schlussfolgerung in der Rubrik

« Was war bei der Durchführung

zu beobachten ? » rundet die Lern­

umgebung ab.

Dokumente aus der Erprobung

Schülerinnen und Schüler aktivieren ihr Vorwissen.

Arbeitsblatt 22.1, Aufgabe 1

Die Schülerin findet Ähnlichkeiten zwischen Prismen

und Pyramiden. Sie weiss, dass es auch Pyramiden

gibt, die nicht aus Rechtecken/Quadraten und vier

Dreiecken aufgebaut sind.

Zeichnung des fehlenden Schrägbildes.

Arbeitsblatt 22.1, Aufgabe 3 B

Der Schüler beschreibt, wie er zum fehlenden Schräg-

bild kommt. Zunächst trifft er die Unterscheidung

Pyramide – Dreieckssäule. Anschliessend ordnet er

die Flächen entsprechend zu.

Schülerinnen und Schüler wenden das neu erworbene

Wissen selbstständig an.

Arbeitsblatt 22.2, Aufgabe 4

Die Schülerin wendet die neu gewonnene

Erkenntnis an.

Schülerinnen und Schüler formulieren

in der Reflexionsphase.

Der Schüler beschreibt das intensive Arbeiten,

die Bedeutung der Gruppenarbeit und den Lernerfolg

dieser Arbeitsweisen.

Mathematik in eigenen Worten © Klett und Balmer AG, 2013; als Kopiervorlage freigegeben

Pyramiden 1

ÄgyptischePharaonenliessenvormehrals4500JahrenihreGräbermitPyramidenüberbauen.DiemächtigstePyramideistdieCheops-PyramideinGiseh.Sieentstandetwaum2500v.Chr.undzähltzudensiebenWeltwundern.IhreursprünglicheHöhebetrug146,6m.Heuteistsienurnoch138,75mhoch.DieLängeeinerKanteamBodenmisst230,37m.DieCheops-Pyramidebestehtausetwa2,3MillionenSteinblöckenmitjeeinemDurchschnittsgewichtvon2,5t.

1 WasweisstduüberPyramiden?Wokommensievor?Schreibeauf.

2 Schrägbilder

I II III IV

BeschreibedievierimSchrägbilddargestelltenKörper.

22.1

3 Schnittbogen

a) a=10cm,b= 10²+10²= 200≈14,1cm

b) a=10cm,b= 10²+10²= 200≈14,1cm

c) a=10cm

d) a=10cm,h=7,1cm

e) a=10cmDerSchnittbogenistunvollständig.EinTeilfehlt.

a a a

b b

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b b

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ac c

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a a

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0,5·a

a

0,5·a

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A OrdnedievierSchrägbilderausAufgabe2denSchnittbogenzu.BegründedeineZuordnunggenau.

B EinSchrägbildfehlt.Zeichnees.C StelledieKörperausdenSchnittbogen(abise)her.

Aus:Affolter,W.u.a.(2004):mathbu.ch9,S.14;Foto:iStockphoto/sculpies

Ausschnitte aus dem Buch

P 264 - 1513 ( 08/2013 )

Klett und Balmer AG, Verlag, Grabenstrasse 17, Postfach 1464, 6341 BaarTelefon 041 726 28 00, Telefax 041 726 28 01, info@klett.chwww.klett.ch

Mathematik in eigenen Worten

Aus der Reihe « Spektrum Schule »

Buch mit 54 Kopiervorlagen | 208 Seiten

978-3-264-84039-1 | Fr. 54.00

Spektrum Schule Beiträge zur Unterrichtspraxis

Lernumgebungen für die Sekundarstufe I

Mit Schülerbeispielen und Kopiervorlagen

Mathematik in eigenen Worten

Sieglinde Waasmaier

Klett und Balmer Verlag

Zur Autorin

Dr. Sieglinde Waasmaier ist Lehrerin und Konrektorin an der Mittelschule

Frontenhausen ( Niederbayern ) sowie Lehrbeauftragte am Mathematischen

Institut der Universität München. Inspiriert vom « Zahlenbuch 5/6 »,

vom « mathbu.ch » sowie vom Dialogischen Lernen hat sie in den Jahren 2005

bis 2008 ein Konzept zur mathematischen Förderung durch aktiv-

entdeckendes und metakognitives Lernen entwickelt und durchgeführt.

Dafür wurde sie mit dem 1. Preis des Mathe-Könner-Wettbewerbs 2011

in der Kategorie « Förderkonzepte einzelner Lehrkräfte » ausgezeichnet.

Der aufgeführte Preis beinhaltet die Mehrwertsteuer und gilt für den Direktkauf bei Klett und Balmer. Änderungen vorbehalten, Preisstand 1. 9. 2013.