Chapter 3

STEADY HEAT CONDUCTION

การน าความรอนแบบคงตว

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

Heat and Mass Transfer: Fundamentals & Applications Fourth Edition in SI Units

Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar

McGraw-Hill, 2011

Mehmet Kanoglu University of Gaziantep

ปรบปรงและถอดความโดย ผศ.ดร.ชชวาลย ชยชนะ ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม

2

Objectives

• เขาใจหลกการและขอจ ากดของ thermal resistance แลละสามารถน าไปประยกตใชในการแกปญหาดานการถายเทความรอนได

• แกปญหาเกยวกบการน าความรอนของแผนราบหลายชน ทรงกระบอก และทรงกลมได multilayer rectangular, cylindrical, or spherical geometries.

• เขาใจหลกการและความส าคญของ Thermal contact resistance

• ระบไดวาในเหตการณใดหรอสภาวะการณบางทการหมฉนวนอาจท าใหการถายเทความรอนสงขน

• วเคราะหระบบครบแบบตางๆ และประเมนประสทธภาพและประสทธผลในการเพมการถายเทความรอนได

• แกปญหาการน าความรอนแบบหลายมตโดยใชหลกการของ conduction shape factors.

3

STEADY HEAT CONDUCTION IN PLANE WALLS

for steady operation

ในสภาวะคงตว อตราการถายเทความรอนผานผนงจงมอตราคงท ดงสมการ

Fourier’s law of

heat conduction

ปกตแลว การถายเทความรอนผานผนงจะถอวาเปนแบบ steady and one-dimensional.

อณหภมของผนงแปรผนในแนวเดยว (x-direction) และสามารถเขยนในรปของตวแปรไดเปน T(x).

4

Under steady conditions, the

temperature distribution in a plane

wall is a straight line: dT/dx = const.

• อตราการน าความรอนผานผนงแปรผนตรงกบคาการน าความรอน (thermal conductivity) พนทผนง (wall area) และอณหภมแตกตางระหวางทงสองดานของผนง (temperature difference)

• อตราการน าความรอนผานผนงแปรผกผนกบความหนาของผนง (wall thickness)

ถาเราทราบอตราการน าความรอน เรากจะสามารถหาอณหภมภายในผนง ณ จดใดๆได

5

เปรยบเทยบความตานทานไฟฟาและความตานทานความรอน

rate of heat transfer electric current thermal resistance electrical resistance temperature difference voltage difference

Thermal Resistance Concept

Conduction resistance : เปนคาความตานทานการน าความรอนของวตถ มคาขนอยกบรปราง ขนาด และคณสมบตของวตถนนๆ

6

Schematic for convection resistance at a surface.

Newton’s law of cooling

Convection resistance of the surface: เปนคาความตานทานการพาความรอนของพนผว

ถาคา h, convection heat transfer coefficient สงมาก (h → ) จะท าให

คาความตานทานการพาความรอนของพนผวเขาไกลศนย และจะท าให อณหภมผวกบอณหภมอากาศใกลเคยงกนมาก Ts T.

แสดงวาพนผว ไมตานทานการพาความรอนเลย

มกพบในระหวาทมการเปลยนสถานะของสสาร เชน boiling and condensation

7

Radiation resistance of the surface: เปนความตานทานการแผรงสของพนผว

Radiation heat transfer coefficient

where hcombined is the combined heat transfer coefficient.

Schematic for convection and radiation resistances at a surface.

8

Thermal Resistance Network

การวเคราะหถายเทความรอนผานผนงทอยในของไหลทงสองดาน ตองค านงถงคา h ของทงสองดาน และหากดานใดมอณหภมสงมาก อาจตองน าการแผรงสมาวเคราะหเพมดวย

9

U is the overall heat transfer coefficient

ถาหาคา Q ไดแลว จะสามารถหาคาอณหภมผว T1 ไดจากสมการขางลาง

Temperature drop

อณหภมทลดลงขนอยกบ (แปรผนตรง) ความตานทานความรอนของผนง

10

• คดเหมอนเพมตวตานทานเพมเขามาอก 1 ตว

• Q ในแตละสวน มคาเทากนเสมอ (เหมอนน าไหลในทอ วดตรงไหนของทอ กมอตราการไหลเทากน)

Multilayer Plane Walls

11

12

THERMAL CONTACT RESISTANCE

ในกรณทแผนเรยบไมประกบกนอยางสมบรณ จะท าใหเกดชองวางหรอโพรงอากาศระหวางทงสองแผน และท าใหการถายเทความรอนแยลง (ความตานทานสงขน)

13

A typical experimental setup for the

determination of thermal contact resistance.

• When two such surfaces are pressed against each other, the peaks form good material contact but the valleys form voids filled with air.

• These numerous air gaps of varying sizes act as insulation because of the low thermal conductivity of air.

• Thus, an interface offers some resistance to heat transfer, and this resistance per unit interface area is called the thermal contact resistance, Rc.

14

hc is called the thermal contact conductance

คาของ thermal contact resistance ขนอยกบหลายปจจย เชน:

• surface roughness • material properties • temperature and

pressure at the interface

• type of fluid trapped at the interface

Thermal contact resistance มความส าคญมาก บางครงสามารถท าให โลหะทมความสามารถในการน าความรอนสง ไมสามารถน าความรอนไดดตามทคาดไวได

15 Effect of metallic coatings on thermal contact conductance.

หากตองการลด thermal contact resistance สามารถท าไดโดย

• ใช thermal grease เชน silicon oil

• ใช better conducting gas เชน helium or hydrogen

• ใช soft metallic foil เชน tin, silver, copper, nickel, or aluminum

16

The thermal contact conductance is highest (and thus the contact resistance is lowest) for soft metals with smooth surfaces at high pressure.

17

GENERALIZED THERMAL RESISTANCE NETWORKS

การประยกตใช Thermal resistance network กบวตถ

หลายชนดขนานกน

18

Thermal resistance network ในรปแบบผสม ทงขนานและตอเนอง

การตงสมมตฐานในการแกปญหาการน าความรอนหลายมตทมความซบซอนโดยการใช

รปแบบการน าความรอนแบบมตเดยว

(1) ใหทกพนผวทตงฉากกบแกน X มอณหภมคงท (isothermal ) หรออกนยหนงคอ อณหภมมการเปลยนแปลงในแกน X เทานน

(2) ใหทกพนผวทขนานกบแกน X ไมมการแลกเปลยนความรอน (adiabatic ) หรอ มาการถายเทความรอนเฉพาะในแกน X เทานน

19

HEAT CONDUCTION IN CYLINDERS AND SPHERES

ตวอยาง – การถายเทความรอนจากทอน ารอนสอากาศ

การถานเทความรอนผานทอ สามารถสมมตเปน steady และ one-dimensional ได

อณหภมของทอมการเปลยนแปลงในแนวรศมเทานน หรอเขยนไดเปน T = T(r).

อณหภมไมมการเปลยนแปลงตามแนวเสนผานศนยกลางทอ

สามารถประยกตใชกบทอยาวๆ และถงทรงกระบอกแนวนอนได

20

หนาตดของทอทมอณหภมผว ณ รศมภายใน รศมภายนอกเปน T1 and T2

conduction resistance of the cylinder layer.

21 conduction resistance of the spherical layer.

หนาตดของทรงกลมทมอณหภมผว ณ รศมภายใน รศมภายนอกเปน T1 and T2

22

Thermal resistance network ส าหรบ cylindrical (or spherical) ขนอยกบ convection จากทงดานนอกและดานใน

ส าหรบทรงกระบอก

ส าหรบทรงกลม

การถายเทความรอนรวม

23

Multilayered Cylinders and Spheres

Thermal resistance network ส าหรบการถายเทความรอนผานผนง 3 ชน ทรงกระบอกทมการพาความรอนทงดานนอกและดานใน

24

ถาหาการถายเทความรอน Q ไดแลว จะสามารถค านวณหาคา T2 ไดจากสวนใดของสมการกได

25

CRITICAL RADIUS OF INSULATION

การหมฉนวนกนความรอนใหกบผนงจะท าใหการถายเทความรอนลดลง เนองจาก thermal resistance ของผนงเพมขนในขณะทพนทแลกเปลยนความรอนคงท

อยางไรกตาม ส าหรบกรณทอทรงกระบอกหรอทรงกลม การเพมฉนวนกนความรอนท าใหการถายเทความรอนลดลง เนองจาก thermal resistance เพมข น แตการใชฉนวนท าใหพนทผวดานอกของทอเพมขน

ดงนนการถายเทความรอนจากทอทรงกระบอกทหมฉนวนอาจเพมขนเมอมการหมฉนวน ความหนาทเปนตวแบงหรอท าใหเกดการถายเทความรอนสงสด เรยกวา Critical radius

อตราการถายเทความรอนทความหนาตางๆ เมอความหนาของฉนวนคอ r2 - r1 และ r1 < rcr.

26

Critical radius ของการหมฉนวนทอหาไดจาก:

Critical radius ของการหมฉนวน ทรงกลม:

ดงนน เราสามารถหมฉนวนทอไดโดยไมตองกงวลกบเรอง critical radius หรอการท าใหการถายเทความรอนเพมข น

คาของ critical radius ทมากทสดทอาจะเจอคอ

ทอหมฉนวน และ thermal resistant network

27

HEAT TRANSFER FROM FINNED SURFACES

เมออณหภมผว Ts และอณหภมส งแวดลอม T คงท ดงน นเราสามารถเพมการถายเทความรอนได 2 วธ คอ :

• เพม convection heat transfer coefficient h. กรณนอาจจะตองตดตงปมหรอพดลม เพอเพมความเรวของของไหล

• เพมพนทผวระบายความรอน surface area As โดยการตดตงพนทผวพเศษเพมเขาไป ซงเรยกวา ครบ fins ปกตท าจากวสดทน าความรอนไดดเชน aluminum.

Newton’s law of cooling: อตราการถายเทความรอนส

อากาศหรอของไหลรอบๆ

28

ตวอยางของการใชครบในการระบายความรอน

29

Fin Equation

ครบทระยะ X มความยาวเทากบ x, มพนทหนาตดทตงฉากกบทศทางการไหลของความรอน Ac, และมเสนรอบรป p

จะไดสมการใหมเปน

ให

สมมต kAc คงท

30

ค าตอบทวไปของสมการ

Boundary condition ทโคนครบ

Boundary conditions ทโคนและปลายครบ

1. ครบยาวมาก (Tfin tip = T)

Boundary condition ทปลายครบ

Temperature distribution ของครบ

การถายเทความรอนรวมออกจากครบ (คดทโคนครบ)

ค าตอบเฉพาะส าหรบกรณตางๆ

31

ตวอยางกรณครบทรงกระบอกทมหนาตดคงท

ในสภาวะคงตว (steady conditions) การถายเทความรอนรวมของครบเทากบการถายเทความรอนทโคนครบ

อตราการถายเทความรอนออกจากครบอาจหาไดจากการ integrate การพาความรอนออกจากหนวยยอยๆ

32

2 ไมคดการถายเทความรอนออกจากปลายครบ (Adiabatic fin tip, Qfin tip = 0)

Boundary condition ทปลาบครบ

Temperature distribution ของครบ

ครบทใชในทางปฏบตมความยาวจ ากด ดงนนการสมมตใหปลายครบมอณหภมเทากบอณหภมส งแวดลอมในกรณแรกจงไมเหมาะสม ดงนนการสมมตใหปลายครบไมมการถายเทความรอนจงเหมาะสมกวาเพราะสวนใหญแลวพนทปลายครบนนนอยมาก เมอเทยบกบพนทผวครบทงหมด

การถายเทความรอนออกจากครบทงหมด (คดทโคนครบ)

33

3 ก าหนดอณหภมปลายครบ (Tfin,tip = TL)

ในกรณน อณหภมปลายครบจะถกก าหนดใหเปนคาหนงๆ TL.

ซงจะเปนกรณทคลายกรณท 1 คออณหภมปลายครบเทากบอณหภมส งแวดลอม Infinitely Long Fin

34

4 มการพาความรอนทปลายครบ

โดยทวไปแลว ครบทใชงานมปลายทอยในสงแวดลอมอยแลว ดงนนเราสามารถสมมตให ปลายครบมการถายเทความรอนแบบ “การพาความรอน” ได (บางครงอาจคดการแผรงส

ดวยกได)

35

วธค านวณการสญเสยความรอนของครบปกต อาจใชหลกการของกรณปลายหมฉนวน (insulated tip case) ในการค านวณ ท าไดโดยการแทนทความยาวของครบ (L) ดวย “ความยาวเทยบเทา” corrected length (Lc) โดย

“ความยาวเทยบเทา” Corrected fin length Lc คอ ความยาวของครบปลายหมฉนวนทเพมข นและท าใหมการสญเสยความรอนเทากบกรณของครบทไมหมฉนวน

t เปนความหนาของครบ D เปนเสนผานศนยกลางของทรงกระบอก P เปนเสนรอบรปของครบ

36

ประสทธภาพของครบ - Fin Efficiency

พนทปกต ไมมครบ

พนทท เพมครบเขาไป

การถายเทความรอนในอดมคต

การถายเทความรอนในทางปฏบต

37

คดเสมอนการไมมความตานทานความรอน (Zero thermal resistance ) หรอ การน าความรอนสงมาก (infinite thermal conductivity ) ซ งท าให อณหภมของครบสม าเสมอตลอดความยาว Tfin = Tb

การถายเทความรอนในอดมคต

ประสทธภาพของครบ (หนาตดสเหลยม) ค านวณไดจาก

38

ประสทธภาพของครบในกรณตางๆ (rectangular, triangular, and parabolic)

39

ประสทธภาพของครบทรงกระบอก (annular fins of constant thickness t)

40

41

• ครบในลกษณะขางบน (triangular and parabolic profiles) ใชวสดนอยกวา และมประสทธภาพดกวาครบหนาตดสเหลยมสม าเสมอทความยาวเทากน

• ประสทธภาพของครบลดลงเมอความยาวครบเพมขน (ท าไม?)

• การเลอกความยาวครบ? จะมความยาวครบทเหมาะสมหนงคาเทานน

• ปกตการเลอกความยาวครบจะไมใหประสทธภาพของครบนอยกวา 60 percent ถาต ากวานถอวาไมคมคาทางเศรษฐศาสตร

• ครบทใชงานจรงมกมประสทธภาพมากกวา 90 percent.

42

ประสทธผลของครบ - Fin Effectiveness

Effectiveness

of a fin

การใชงานครบใหไดผลดตองค านงถง

• คา thermal conductivity k ของวสดทใชท าครบตองมคามาก เชน aluminum, copper, iron.

• สดสวนของเสนรอบรปและพนทหนาตด p/Ac ตองมคาสง หรอครบนนตองเรยวหรอเพรยว (ครบเลกๆหลายอนดกวาครบใหญอนเดยว)

• คา convection heat transfer coefficient h ของของไหลทครบตองถายเทความรอนให จะตองมคาต า เชน อากาศ

43

การค านวณพนทถายเทความรอน

ประสทธผลรวม

ประสทธผลรวมของครบขนอยกบจ านวนครบ นนคอถาจ านวนครบมากกจะดกวา ทงนแตละครบตองมประสทธผลทดดวย

ประสทธผลรวมใชบอกความสามารถของครบไดดกวาประสทธผลของครบอนเดยว (ความสามคค ดกวา one man show)

การถายเทความรอนรวมของพนทตดครบ ตองคดทงพนททตดและไมตดครบ

44

เมอความยาวของครบเพมขน ทปลายครบกมอณหภมลดลงเรองยๆ ท าใหไมคอยมผลตอการถายเทความรอน

mL = 5 an infinitely long fin mL = 1 สดสวนทดส าหรบการถายเทความรอนและขนาดของครบ

ความยาวทเหมาะสมของครบ

45

ปกตแลวในการวเคราะหการถายเทความรอนของครบ เราจะใชการประมาณวามการถายเทความรอนในทศทางเดยวหรอแบบ 1 มต ในขณะทการถายเทความรอนในทศทางอนมนอยมาก จนไมเอามาคด

?? แลวการถายเทความรอนในทศทางอนมคาเทาไหร และมผลตอการประมาณไหม??

ปกตแลวครบทใชจะมลกษณะบาง เชนครบในหมอน ารถยนต ครบทมลกษณะหนามกไมคอยพบในการใชงานจรง

ส าหรบกรณน ไดมการศกษาและพบวา การสมมตการถายเทความรอนแบบ 1 มต นนมความคลาดเคลอนนอยกวา 1 percent เมอ

เมอ คอความหนาของครบ (กรณครบสเหลยม) หรอเสนผานศนยกลางของครบ (กรณครบทรงกระบอก)

46

Heat sinks:

• เปนการออกแบบครบแบบพเศษ ใชกบอปกรณอเลกทรอนกส

• ความสามารถในการถายเทความรอนของ Heat sinks ดจาก thermal resistances R.

• คา thermal resistance ทต าของ heat sinks แสดงวาอณหภมของครบคอนขางสม าเสมอตลอดความยาว ท าให ครบมประสทธภาพสง

51

Summary • Steady Heat Conduction in Plane Walls

Thermal Resistance Concept

Thermal Resistance Network

Multilayer Plane Walls

• Thermal Contact Resistance

• Generalized Thermal Resistance Networks

• Heat Conduction in Cylinders and Spheres

Multilayered Cylinders and Spheres

• Critical Radius of Insulation

• Heat Transfer from Finned Surfaces

Fin Equation

Fin Efficiency

Fin Effectiveness

Proper Length of a Fin

• Heat Transfer in Common Configurations