shodná zobrazení

Shodná zobrazení

Shodné zobrazení (shodnost)Shodné zobrazení (shodnost)

Definice:Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí:

X´Y´ = XY

Dělení shodností: Přímá shodnost Nepřímá shodnost

Přímá shodnost

Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz)

BA

C

LK

M

Platí:

AB = KL

BC = LM

AC = KM

BA

C

KL

M Platí:

AB = KL

BC = LM

AC = KM

SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Identické Identické zobrazenízobrazení (identita) (identita)

zvláštní případ shodnosti přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním

totožný: X´ = X

SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním).

Př. 1:

SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Př. 2:

Obr. :přímá shodnost

Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM).

Obr. : nepřímá shodnost

Obraz (KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (ABC).

BA

C

LK

M

SHODNÁ ZOBRAZENÍ

BA

C

KL

M

Platí:

AB = KL

BC = LM

AC = KM

zrcadlo

Platí:

AB = LK

BC = KM

AC = LM

Typy shodných zobrazení:

Středová souměrnost Osová souměrnost Posunutí Otočení

SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Středová souměrnostStředová souměrnost

Definice:

Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí:1) pro X S; X´leží na přímce XS a X´S=XS2) pro X = S; X´ = X =S

Zápis: S(S): X→ X´

Obraz bodu: S(N):A → A´

Postup konstrukce:1. A,N2. ⇥ AN3. n; n(N; AN )4. A´; A´ n AN⇥

x

A´

x

A

x

N

Z definice víme:

1. AN = A´N

2. N je střed úsečky AA´

n

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´

Postup konstrukce:1. AB,N2. ⇥ AN3. n; n(N; AN )4. A´; A´ n AN⇥5. BN⇥6. m; m(N; BN )7. B´; B´ m BN⇥8. A´B´

x

A´

x

A

x

N

Z definice víme:

1. AN = A´N 1. BN = B´N

2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´

nx

B

x B´

m


Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r)

X O X

N

X O´

k´Postup konstrukce:1. k(O,r), N2. přímka ON3. m; m(N,ON)4. O´; O´ n přímka ON5. k´; k´(O´,r)Přesnější konstrukce6. X; X k (libovolný)7. X´; S(N): X → X8. k´; k´(O´,X´O)

X

X

X

X´


Z definice víme:1. ON = O´N 2. N je střed úsečky OO´3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)

k

m

Obraz útvaru: S(N):u → u´

C

A

B

X

N

X

C´

X

B´X A´

Postup konstrukce:1. ABC, N2. A´; S(N):A → A´3. B´; S(N):B → B´4. C´; S(N):C → C´5. A´B´C´


Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.

Př.: S(N): ABC → A´B´C´

Osová souměrnostOsová souměrnost

Definice:Definice:

Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí:

1) pro X o; X´leží na kolmici k ose o a osa o půlí úsečku X´X (tj. oX= oX´2) pro X o; X´= X

Zápis: O(o): X → X´

Zobrazení bodu: O(o):A A´

Postup konstrukce:1. A, o2. p; p o; Ao3. P; Po p4. k; k(P; XP) 5. A´; A´ p k

X

A

X

A´o

p

k

OSOVÁ SOUMĚRNOST

Z definice víme:

1.A´ leží na přímce kolmé k ose o.

2. Osa o půlí úsečku AA´.

X

P

Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´

Postup konstrukce:1.AB, o2.a; a o; Ao3.P; P a o4.k; k(P; XP) 5.A´; A´ a k6.b; b o; Bo7.Q; Qo p8.l; l(Q; XQ) 9.B´; B´ b l10.A´B´

X

A

o ak

X

B

X

P b

l

X

Q

X

A´

X

B´

OSOVÁ SOUMĚRNOST

Z definice víme:

1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o.

2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´.

Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r)OSOVÁ SOUMĚRNOST

Postup konstrukce:1. k(S,r), o2. p; p o; S o3. P; P p o4. l; l(P; SP) 5. S´; S´ l p6. k´; k´(S´, r)Přesnější konstrukce:6. X ; X k (X je libovolný)7. O(o):X → X´8. k´; k´(S´,S´X´)

Z definice víme:

1. O´ leží na přímce kolmé k ose o.

2. Osa o půlí úsečku OO´.3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)

xS

k

o

xP

l

p

xS´

k´

xX

xX´

Obraz útvaru: O(o):u → uÓSOVÁ SOUMĚRNOST

BA

C

o

Postup konstrukce:1. ABC, N2. A´; O(o):A → A´3. B´; O(o):B → B´4. C´; O(o):C → C´5. A´BĆ´

x

C´

x

x A´

= B´


Př.: O(o): ABC → A´BĆ´

PosunutíPosunutí

Definice:Definice:

Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB, XX´AB a jsou souhlasně orientované.

Předpis: T(AB): X → X´

Zobrazení bodu: T(AB): X X´

Postup konsturkce:

1. AB, X

2. ⇥ XY; XY AB

3. k; k(X, AB)

4. X´; X´ k p

POSUNUTÍ

Z definice víme:

1. XX´ a AB jsou souhlasně orientované

2. XX´ = AB

xA

xB

xX

xY

x X´

k

POSUNUTÍ

Postup konstrukce:1. AB, KL2. ⇥ KX; KX AB3. k; k(K, AB)4. K´; K´ k ⇥ KX5. ⇥ LY; LY AB 6. l; l(L, AB)7. L´; L´ l LY⇥8. K´L´

Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´

xA

xB

xK

xL

x K´

x L´

k l

xX

xY

Z definice víme:

1. KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované.

2. KK´ = AB , , LL´ = AB.

Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r)

Postup konstrukce:1. AB, k (S,r)2. ⇥ SX; SX AB3. l; l(S, AB)4. S´; S´ l SX5. k´; k´( S´, r)Přesnější konstrukce:5. K; K k (K libovolný)6. ⇥ KY; KY AB7. m; m(K, AB)8. K´; K´ m KY9. k´; k´(S, SK)

Z definice víme:

1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB

2. SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)

xA

xB

x S

x S´

k´k

xK

xY

xX

l

m

xK´

POSUNUTÍ

POSUNUTÍ

Obraz útvaru: T(AB):u → u´

M

K

L

Postup konstrukce:1. KLM, AB2. K´; T(AB): K → K´3. L´; T(AB): L → L´4. M´;T(AB): M → M´5. K´L´M´

xA

xB

M´

x

xK´

xL´


Př.: T(AB): KLM → K´L´M´

OtočeníOtočení

Definice::

Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí:

1. je – li X S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom XSY = α Ů SX´ = SX2. X = S, je X´ = X

Zápis: R(S, α): X → X´

OTOČENÍ

Zobrazení bodu: R(S, α): X → X´

Postup konstrukce:1. S, α, X2.2. ⇥ SX3. XSY; XSY = α4. k; k(S,SX)5. X´; X´ k ⇥ SY

x

X

x

S

α

k

x

X´ x

Y

Z definice víme:

1. XSX´ = α

(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně

velký, jako úhel α)

2. SX´ = SX

OTOČENÍ

Zobrazení bodu: R(S, α): AB A´B´OTOČENÍ

Postup konstrukce:1. S, α, AB2.2. ⇥ SA3. ASX; ASX = α4. k; k(S,SA)5. A´; A´ k ⇥ SA6.6. ⇥ SB7. BSY; BSY = α8. l; l(S,SB)9. B´; B´ l ⇥ SB10. A´B´

x

S

αk

l

Z definice víme:

1. ASA´ = α

(tj. X´ leží na rameni SX úhlu ASX , který je stejně velký, jako úhel α)

2. SA´ = SA

3. BSB´ = α

(tj. X´ leží na rameni SX úhlu BSY , který je stejně velký, jako úhel α)

4. SB´ = SB

xA

x Bx

A´

x B´

xX

xY

OTOČENÍ

Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r)Z definice víme:1. XSX´ = α

(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α)2. SX´ = SX 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´)

Postup konstrukce:1. S, α, k(O,r)2. ⇥ SO3. OSX; OSX = α4. m; m(O,OS)5. O´; O´ m ⇥ SA6. k´; k´(O´,r)Přesnější konstrukce:6. K; K k (libovolný)7. ⇥ SK8. KSY; KSY = α9. n; n(S,SK)10. K´; K´ n SK11. k´; k´(O´,K´O´)

α

x O

xS

xK

x Y

xX

xO´

xK´

k´

k

n

m

OTOČENÍ

Obraz útvaru: R(S, α): u → u´Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme.

Př.: P(S KLM → K´L´M´

Postup konstrukce:1. KLM, S, 2. K´; R(S, α): K → K´3. L´; R(S, α): L → L´4. M´; R(S, α): M → M´5. K´L´M´

M

K

L

xS

α

x L´

M´x

K´x

Konec prezentace

Děkuji za pozornost.

shodná zobrazení

Documents