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Sesión 09: Teoría de las Probabilidades
Santa Anita, 22 de Enero de 2015
Dra. Alejandrina Gonzales Ochoa
1
ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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CAPACIDAD:
Plantea y aplica modelos probabilísticos a partir de conceptos y teoremas de probabilidad, enfocándose en los entornos empresariales.
UNIDAD 3
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES
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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS
PROBABILIDADES
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1. Experimento Aleatorio
• Un experimento es aleatorio si los resultados del experimento no se pueden predecir a partir del estado inicial.
• Se denota por E.
2. Espacio Muestral
• Se denomina espacio muestral a todos los posibles resultados del experimento aleatorio.
• Se denota por S.
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3. EVENTO O SUCESO:Al realizar un experimento se puede plantear algunas proposiciones respecto al resultado a observarse.A cada proposición le corresponderá una colección de elementos o subconjunto del espacio muestral (S), a este subconjunto se le denomina evento o suceso.
4. PROBABILIDAD:Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de un evento o suceso, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
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La p robab ilidad de l ev en to A es tá com prend ida en tre 0 y 1 . E n tonces :
1)(0 AP
S i A es un ev en to im pos ib le , en tonces : P (A ) = 0
S í A es un ev en to seguro , en tonces : P (S ) = 1
5. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
6. AXIOMAS DE PROBABILIDAD
)()(
)(SnAn
muestralespaciodelelementosdeNúmeroAeventoalfavorablescasosdeNúmero
AP
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( A B ) =
S A B
a. Eventos mutuamente excluyentes
b. Eventos colectivamente exhaustivos
7. OPERACIONES CON EVENTOS
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S
A_
Complemento de A
A
S
A B
c. Eventos complementarios
d. Unión de dos eventos: A o B (P U B)
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S
BA
e. Intersección de dos eventos: A y B (P ∩ B)
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1. Ley general de la adición
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)
2. Ley especial de la adiciónPara eventos mutuamente excluyentes (cuando no hay intersección).
P(A U B) = P(A) + P(B)
LEYES DE PROBABILIDAD
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Ejemplo 1:
Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces. Definimos los siguientes eventos:
A: Se obtiene a lo más una suma de ocho puntos.B: Se obtiene por lo menos una suma de seis puntos.
a) Describa los elementos del espacio muestral.b) Describa los elementos del evento A y del evento B, calcule sus
probabilidades.c) Calcule P(A U B)d) ¿Son independientes los eventos?
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PROBABILIDAD CONJUNTA
PROBABILIDAD INCONDICIONAL
PROBABILIDAD CONDICIONAL
INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA
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PROBABILIDADES EN TABLAS DE CONTINGENCIA
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Ejemplo 2:
La siguiente tabla de contingencia proporciona información de 400 empleados respecto a las variables Satisfacción en el trabajo y progreso en la organización.
Progreso de la organización
Satisfacción con el trabajoSi No
B B´
Si A 194 162No A´ 14 30
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Ejemplo 2
Realizar lo siguiente:
a) Calcular las probabilidades incondicionalesb) Calcular las probabilidades conjuntas.c) Calcular la siguiente probabilidad condicional: Si un empleado ha
progresado en la organización. ¿Cuál será la probabilidad que estuviera satisfecho con su trabajo?
d) Determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización.
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a) Probabilidad Incondicional o Marginal
Si No TotalB B´
Si A 194 162 356
No A´ 14 30 44
208 192 400
Progreso en la Organización
Satisfacción con el trabajo
Total
P(Satisfecho con su trabajo) = Número de empleados satisfechos con su trabajo Número total de empleados
P(Satisfecho con su trabajo) = P(A) = 356 = 0.89400
Solución:
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b) Probabilidad Conjunta
Si No TotalB B´
Si A 194 162 356
No A´ 14 30 44
208 192 400
Progreso en la Organización
Satisfacción con el trabajo
Total
P(Satisfecho y Progresado) = P(A B)=194 = 0.485400
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c) Probabilidad Condicional
)(Pr)Pr(
)Pr/(ogresoP
ogresoySatisfechoPogresoSatisfechoP
)(
)(
argPr
Pr)/(
BP
BAP
Bdeinalmobabilidad
ByAdeConjuntaobabilidadBAP
194= 400 = 194 = 0.93
208 208400
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De la definición de probabilidad condicional tenemos:
Ley General del la Multiplicación
1. )/()()( BAPBPBAP
2. )/()()( ABPAPBAP
Ley especial del la Multiplicación
)()()( BPAPBAP
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d) Independencia estadística
)()/( APBAP
Para nuestro ejemplo: Determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización Entonces: P(están satisfecho con el trabajo / han progresado) = 194/208 = 0.93 P(todos los empleados que están satisfecho con el trabajo) = 356/400 = 0.89
Quiere decir que:
La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad incondicional de A.
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