SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMAS

DE

CIRCUITOS ELECTRICOS

JOSEPH A. EDMINISTER, M. S. E. Assistant Professor of E/ectrical Engineering

The University of Akron

TRADUCCION Y AUAl'TACION

JOS BESCS BllLARRA _ - _. ___ ... Me ""'rmt1men10 Licenciad

Prlogo

Este libro se ha concebido como complemento a los textos usuales de electricidad o bien como libro de texto bsico para un primer curso de anlisis de circuitos. En l se ha dado una importancia especial a las leyes fundamentales, a los teoremas y a las tcnicas que son comunes a los diversos enfo-ques expuestos en otras obras.

Est dividido en captulos que tratan los campos de teora y estudio ya reconocidos. Cada cap-rulo empieza por establecer las definiciones, teoremas y principios pertinentes, junto con ejemp'1os, 5guras y dems material aclaratorio. A continuacin, se presentan dos series, adecuadamente gradua-das, de problemas resueltos y de problemas propuestos. Los primeros sirven para aclarar y ampliar la teora. Presentan mtodos de anlisis, proporcionan ejemplos prcticos y centran la atencin en aque-:Jos aspectos de detalle que son esenciales para que el alumno pueda aplicar correctamente y con segu-:-idad los principios fundamentales. El gran nmero de problemas propuestos como complemento per-mite realizar un repaso de todas las materias Contenidas en el captulo.

Los temas tratados incluyen el anlisis de respuestas y formas de ondas, sistema de nmeros com-~ejos . notacin macricial, circuitos en serie y paralelos, potencia y factor de potencia, fenmenos de :-:sooanc1a. Se han utilizado ampliamente las matrices y determinantes en el estudio de los mtodos ~ anljsis basados en las corrientes, en las mallas y las tensiones en los nudos. Tambin se ha empleado

~: clculo matricial en el estudio de las transformaciones estrella-tringulo y en los teoremas de circuitos, :a:e~ como los de superposicin y reciprocidad. Se ha procurado explicar con sumo detalle el tema de los :-..r.:uitos con acoplo magntico y lo mismo puede decirse de los sistemas polifsicos de todos los tipos, ~:rlcando atencin especial al circuito equivalente monofsico por sus importantes aplicaciones. Se !:5.J:-lcin . :\ mi esposa Ni na le debo mucho ms que un simple agradecimiento por su continuo apoyo

: cs:.:mulo que tanto han contribuido a la realizacin de esta obra.

L :::. ers;:!ad de Ak ron : l de agosto de I 965

JOSEPH A. EDMINISTER

crhk 2

Capltulo 5

Captado 6

C1pblo 7

Ctphak> 8

Ctphlo 9

Tabla de materias Pg.

DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO............ J Sistema de unidades. Ley de Coulomb. DiCereocia de polenciaJ. Corriente elctrica. Potencia. Energa. Elemento resistivo, bobina y condensador. Resistencia. Autoin-dUOC:in. Capacidad. Leyes de Kirchhoff.

VALORES MEDIO Y EFICAZ . .. ......... .. ..... .. ......... . ... . Fonnas de onda. Valor medio. Valor eficaz. Valor eficaz de una funcin de senos y cosenos. Factor de fonna.

INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALFS . . . . .. . Introduccin. Intensidades de corriente senoidales. Tensiones senoidales. Impe-dancia. Angulo de fase. Circuitos serie y paralelo.

NUMEROS COMPLEJOS ..... .. ... . .. . .. . ................... ". .. .. Nmeros reales. Nmeros imaginarios. Nmeros e-0mplejos. Distintas formas de

expresar un nmero complejo. O>njugado de un nmero complejo. Suma y resta de nmeros complejos. Multiplicacin de nmeros complejos. Divisin de nmeros complejos. Raz de un nmero complejo. Logaritmo de un nmero complejo. Em pico de la regla de clculo en el lgebra de los nmeros complejos. Operaciones con ngulos menores de seis gragos.

IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACJON FASORIAL ........ .. . Introduccin. Impedancia compleja. Notacin fasorial.

CIRCUITOS SERIE Y PARALELO ........ .. .... . ............... . lntroduocio. Circuito serie. Circuito paralelo. Circuito de dos ramas en paralelo. Admitancia. Conversin ZY.

POTENClA ELECfRICA Y FACTOR DE POTENOA . . ....... . .. . Introduccin. Potencia en rgimen permanente senoidal: Potencia activa. Potencia aparente. Potencia reactiva. Tringulo de pot.encias. Potencia compleja. Corree cin del factor de potencia.

16

24

35

43

68

RESONANClA SERIE Y PARALELO.. . . . . .. . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . 81 Introduccin. Resonancia de un circuito serie RLC. Resonancia de un circuito pa-ralelo RLC. Resonancia de un circuito paralelo de dos ramas. Factor de cll.lidad. Lugares geomtricos de impedancias. Lugares geomtricos de intensidades de co-rriente.

ANALISIS DE UN CIRCUITO POR EL METOOO DE LAS CORRIEN-TES DE MALLA ........ . .... . ...... . . . .......... . ... . . . . . . . 99 Introduccin. Mtodo de resolucin por las corrientes de malla. Eleccin de las mallas. Nmero mnimo de mallas independientes. Planteamiento directo del sis-tema de ecuaciones de mallas. ~atriccs . Suma algebraica de matrices. Multiplica-cin de matrices. Inversin. Determinante de una matriz cuadrada. Menor com-plementario y adjunto de un elemento. Desarrollo de un detenninante por los ele-mentos de una lnea. Propiedades de los determinantes. Solucin de los sistemas de ecuaciones lineales por determinantes: Regla de Cramer. Aplicacin del lgebra matncial aI anlisis de circuitos. Impedancia de entrada. Impedancia de transfe-rencia.

Capitulo 10

Captlllo 11

CapilUlo 12

Capitulo 13

Captulo 14

Capitulo 15

Capitulo 16

Capitulo 17

ANALlSIS DE UN CIRCUITO POR EL METODO DE LAS TENSIO-NES EN LOS NUDOS.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 lntr.oduccin. Tensiones en los nudos. Nmero de ecuaciones de tensiones en los nudos. Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de nudos. Admitancia de entrada. Admitancia de transferencia.

TEOREMAS DE THEVENIN '\' NORTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Introduccin. Teorema de Thevenin. Teorema de Norton. Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton.

TEOREMAS GENERALES DE CIRCUITOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ISS Introduccin. Transfonnacn estrella-tringulo ( Y- ). Teorema de superposicin. Teorema de reciprocidad. Teorema de compensacin . Teoremas de transferencia de In potencia mxima .

AUTOINDUCCION E INDUCCION MUTUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 lntroduccion. Autoinduccin. Induccin mutua. Coeficiente de acoplo. Anlisis de circuitos con acoplo magntico. Corriente natural. Regla de los puntos para bobi-nas con acoplo magntico. Circuitos equivalentes con acoplo conductivo.

SISTEMAS POLIFASICOS.. . ............. . ..... . ..... ... .. ..... . 195 Introduccin. Sistemas bifsicos. Sistemas trifsicos. Tensiones en el sistema trif-sico. Cargas equilibradas en un sistema trifsico. Circuito equivalente monofsico para cargas equilibradas. Carga de>equilibrada coneclada en tringulo. Carga desequilibrada conectada en estrella con cuatro conductores. Carga desequilibrada

conectada en estrella con tres conductores. Carga desequilibrada en estrella ~on tres conductores: Mtodo del desplazamiento del neu1ro. Potencia en cargas trif-sicas equilibradas. Vatimetros y cargas en estrella con cuatro conductores. Mtodo de los dos vatimetros. Mtodo de los dos vatimetros aplicado a cargas equilibradas.

ANALISIS DE LAS FORMAS DE O~DA POR EL METODO DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Introduccin . Series trigonomtricas de Fouricr. Expresin exponencial de las se-ries de Fourier. Smctria de las formas de onda. Espectro de lneas. Sntesis de ondas. Vak>r efica z y potencia. Aplicacin al anlisis de circuitos.

REGJMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS ......... .. ~ . . . . . . . . . 242 Introduccin. Rgimen transitorio en corriente continua. Rgimen transitorio en circuitos RL. Rgimen transitorio en circuitos RC. Rgimen transitorio en circui-tos RC referido a la carga. Rgimen transitorio en circuitos RLC. Rgimen transi-torio en corriente alterna. Rgimen transitorio en circuitos RL con alimentacin senoidal. Rgimen transitorio en circuitos RC con alimentacin senoidal. Rgimen transitorio en circuitos RLC con alimentacin senoidal. Rgimen transitorio en circuitos de dos mallas.

ANALISIS DEL REGIMEN TRANSO'ORIO POR EL METODO DE LA TRANSFORl\.-1ADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Introduccin. La transfonnada de Laplace. Aplicacin al anlisis de circuitos. M-todos de desarrollo. Teorema del valor inicial. Teorema del valor final. Anlisis de circuitos en el dominio de Ja variable s de Laplace.

INDICE . . ... . . .. .. . .... . .................. .. ... . . . ... . ... . ... . .. 286

Captulo 1 Definiciones y parmetros de un circuito

SISTEMAS DE lJNIDADES En ingeniera elctrica se emplea el sistema internacional de unidades S. l., que considera como

magnitudes fundamentales la longitud (L), la masa (M), el tiempo (T) y la intensidad de corriente (/), cuyas unidades respectivas son el metro (m), el kilogramo (kg), el segundo (s) y el amperio (A). Abre-viadamente, este sistema se llama mksa, que corresponde a las iniciales de las unidades citadas.

Todas las frmulas del libro aparecen racionalizadas, es decir, la constante de la ley de Coulomb de la electrosttica se iguala a l/4m:, y la correspondiente a la ley de Laplace del magnetismo se iguala a /4n.

La unidad de fuerza en el sistema racionalizado mksa es derivada; se llama newton y tiene de sim-bo lo N. Una fuerza de 1 newton es aquella que aplicada a un slido del kilogramo de masa le comunica una aceleracin de t metro por segundo en cada segundo. Por consiguiente:

Fuerza (N) = masa (kg) x aceleracin (m/s2) La unidad de trabajo y, por tanto, la de energa, tambin es derivada; se llama julio (J) y correspon-

de al trabajo realizado por una fuer?:a de l newton cuando su punto de aplicacin se desplaza 1 metro en la direccin del movimiento. La unidad de potencia, en estas condiciones, se llama vatio (W) y co-rresponde al julio por segundo. Resumiendo, pues, 1 J = 1 N m y 1 W = J J/s. LEY DE COULOMB

Establece que la fuerza (de atraccin o de repulsin) entre dos cargas elctricas puntuales, q y q', es drectamente proporcional al producto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia r. Matemticamente, se escribe en la forma

qq' F = k-r2

siendo k la constante de proporcionalidad (con dimensiones) y que depende, por una parte, del sistema de unidades empleado y, por otra, del medio donde estn situadas las cargas. Concretamente, en el sis-tema mksa en el que la unidad de carga elctrica es derivada y se llama culombio (C), y en el vaco o espacio libre el valor de dicha constante es

ko = 9 x 109 N m2/C2 Como ya hemos adelantado, el sistema mksa racionalizado es aquel que hace k0 = -4

1 con lo

1rEo que ta ley de Coulomb adquiere la forma F =-4

1 ~-En el vaco (subndice cero) tendremos Ko = -4

1

:irE0 r nE0 de donde 1 l 10-9

E 885 x 10- 12 C2/Nm2 0 = 4irk0 = 4n(9 x 109) = """16 = '

Si el medio donde se hallan las cargas no es el vaco, la fuerza que aparece entre las cargas inducidas reduce la resultante. En el aire, el valor de e es ligeramente superior a Eo y, en la prctica, se consideran iguales. Para otros medios distintos del aire, el valor de e se define por

E= KE0

en donde K es una constante de proporcionalidad adimensional que se llama constante dielctrica re larita o capacidad inductiva especifica del medio en cuestin. El valor E = KE0 se denomina permitividad o cofl.Slante dielctrica absoluta del medo, con lo que Eo es la permitividad del vaco. Para el espacio libre, pues. K = 1 y E = E0.

Hemos dicho anteriormente que la unidad de carga en el sistema mksa es el culombio (C); se puede definir como aquella carga que, situada frente a otra igual a 1 metro de distancia y en el vaco, se repelen con una fuerza de 9 x 109 newton. Los submltiplos ms utilizados del culombio son

1 C = 1 microculombio = 1o-6 e l pC == 1 picoculombio = 10- 12 e

La carga elemental correspondiente al electrn (-e), o al protn (+e), vale e= 1,602 x 10- 19 C. 1

2 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO (CAP. 1

DIFERENCIA DE POTENCIAL v La diferencia de potencial o tensin v entre dos puntos de un campo elctrico es, por definicin,

el trabajo necesario para desplazar la unidad de carga elctrica positiva de un punto al otro en contra o a favor de las fuerzas del campo. En el sistema mksa, la unidad de diferencia de potencial es el voltio (V) y corresponde al trabajo de 1 julo (J) al desplazar 1 culombio (C) de carga de uno al otro punto, es decir, 1 V = 1 J/C.

Si entre dos puntos existe una diforencia de potencial v (d.d.p.), el trabajo necesario para desplazar una carga q ser qv y la carga se mover del punto de mayor al de menor potencial.

Un agente o dispositivo, tal como una batera o un generador, posee una fuerza electromotriz (f.e.m.) si es capaz de suministrar a una carga elctrica la energa suficienle para hacerla ci.rcular por l, del ter-minal de menor al de mayor potencial. La f.e.m. se mide por la d.d.p. en bornes del generador cuando no suministra corriente elctrica, es decir, en circuito abierto.

CORRIENTE ELECTRICA i Todo cuerpo con electrones libres capaces de moverse entre los tomos de la red cristalina del mismo

se Jlama conductor. Una de las causas que origina este movimiento es la aplicacin al conductor de una diferencia de potencial.

Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o ms cargas elctricas diremos que circula por l una corriente elctrica. Si la carga se transfiere a una velocidad de 1 culombio por segun-do (C/s) la corriente por el conductor tiene una intensidad de 1 amperio (A); es decir, 1 A = 1 C/s. En general, la intensdad de corriente instantnea i en un conductor es

. dq (C) 1 (A) ,.,, dt (s)

Por convenio, se ha establecido como sen-tido positivo de la inlensidad de la corriente elctrica el opuesto al del movimiento de los electrones. Vase Figura 1-1.

---~=::::;:::.~.~. -...,_ movimiento de los electrones

sen1ido de la cotritnt-Fir.1-1

POTENCIA p La potencia eJctrica p se define por el producto de la diferencia de potencial o tensin aplicada v

y la intensidad de corriente i a que da lugar. La unidad de potencia es el vatio (W), de manera que 1 W = 1 V A. Matemtica se escribe:

p (W) = V (V) X i (A) Por definicin, corriente elctrca positiva es aquella que circu-

la en el sentido indicado por la flecha que aparece en el generador o fuente de tensin, es decir, del terminal o polo negativo al positivo, como se indica en la Fig. 1-2. S la potencia p es positiva quiere decr que la fuente entrega corriente al circuito, esto es, suministra energa.

En el caso de que la potencia p sea una funcin peridica del tiempo t, de periodo T, se define el valor medio por:

'J'

Potencia media P = ~ i P dt ENERGIA w

t V

Fig.12

Como la potencia p es la variacin de energa transferida en la unidad de tiempo, d fC2

p === d~ de donde lV = . 11

p dt

siendo W la energa total suministrada durante un intervalo de tiempo dado. La unidad de energa, como ya dijimos, es el juJio: 1 J = l W s.

i

CAP. 1) DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 3

ELEMENTO RESISTIVO. BOBINA Y CONDENSADOR

AJ suministrar energa elctrica a un elemento pasivo de un circuito, ste se comporta o responde de una, o ms, de estas tres formas. Si la energa la disipa el elemento, es resistivo puro; si la almacena en un campo magntico, es una bobina pura, y si la acumula en un campo elctrico, es un condensatk?r puro. En la prctica, los componentes de un circuito se comportan de ms de una de dichas formas, y muchas veces de las tres simultneamente; pero Jo normal es que predomine uno de los efectos citados sobre los otros. Se puede disear una bobina con un gran coeficiente de autoinduccin ; sin embargo, el hilo con el que se fabrica presenta cierta resistencia imposible de anular ; es un ejemplo tpico de un elemento. bobina, que se comporta ante la energa elctrica de dos maneras, es decir, tiene dos propie-dades.

~ISTENCIA R La d iferencia de potencial v(I) en bornes o terminales de un elemento

resistivo puro es directamente proporcional a Ja intensidad de corriente i(I) que circula por l. La constante de proporcionalidad .R se llama resis-tencia elctrica del elemento. Matemticamente se expresa en la forma .

v(t) = Ri(t) obien i(t) = v~) La unidad de medida de Ja resistencia en el sistema mksa es el ohmio (l) y corresponde a la resistencia de un elemento que al aplicarle una d.d.p. de 1 voltio circula por l 1 amperio. es decir, 1 n;::: 1 V/A.

i(t)

v(t)

Fi.: 1.3

Obsrvese que no se ha hecho restriccin alguna sobre la forma de las funciones v(t) e i(I); pueden ser constantes en el tiempo, como ocurre en los circuitos de corriente continua (e.e.) o funciones trigo-nomtricas seno o coseno, como en los circuitos de corriente alterna (e.a.).

Respecto a la notacin, las funciones del tiempo las representaremos por letras minsculas (v, i, p); las magnitudes constantes se jndicarn por las maysculas correspondientes (V, /, P), as como los pi cos, valores mximos o aro plitudes con el subndice m (V m, 1 m> P ,,.). AUfOINDUCCION L

Al variar con respecto al tiempo la corriente que circula por un cir-cuito, el flujo magntico que lo atraviesa experimenta los mismos cambios. Ahora bien, toda variacin de fiujo magntico origina una fuerza electro-motriz que se opone a dicha variacin. En estas condiciones, si por una bobina circula una corriente de intensidad variable. se origina en ella una f.e.m. inducida v que es directamente proporcional, siempre que la permeabilidad magntica sea constante, a la variacin con respecto al tiempo de dicha intensidad. Matemticamente se expresa en la forma

v(t) = L~; o bien i(t) = if v dt

i(t)

L v(t)

El coeficiente de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinduccin o, simplemente, autoinducc~n de la bobina .

S1 la tensin v se expresa en voltios (V) y di/dt en amperios/segundo (A/s) el coeficiente de autoin-d uccin L se mide en voltios x segundo/amperio y se llama henrio (H) ; es decir, l H = 1 V s/A. Segn esto, uaa bobina tiene un coeficiente de autoinduccin de 1 H si al circular por ella una corriente que \aric a razn de l A/s se induce una f. e.m. entre sus bornes de 1 V.

CAPACIDAD C La diferencia de potencial ven bornes de un condensador es propor-

ciooal a la carga q en l almacenada. La cons~ante de proporcionalidad C se llama capacidad del condensador . Matemticamente s~ expresa en la forma

q{t) = e v{t}, i = ~~ = e~~. v(t} = ~ J i dt

. .

-1(-t) _C_tJ(I) Fil'. 1 5

4 DEFINJClONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO (CAP. 1

En el sistema mksa la unidad de capacidad se llama faradio {F). La capacidad de un condensador es de 1 faradio cuando almacena l culombio (C) de carga al aplicarle una d.d .p. de 1 voltio; es decir, 1 F = l C/V. Como se trata de una unidad muy grande, se emplean los submltiplos siguientes :

1 F = 1 microfaradio = 10- 6 F y 1 pF = 1 picofaradio = io- i.2 F

LEYES DE KIRCHHOFF 1. La suma de las intensidades de corriente que llegan a un nudo es igual a la suma de las inten-

sidades que salen de l. Si se consideran positivas las corrientes que llegan y negativas las que salen, esta ley establece que la suma algebraica de las intensidades de todas las corrientes que concurren en un nudo es cero.

! intensidades que cnlran ... I: intensidades 4uc salen i1 + i, = i, + ~ + i:.

o bien i1 + - is - i4 - i) = O Fig. 1 ~

t

R L-

I subidas de tensin = E ca1das de tensin VA - v . :::: R i + L(di/dt) '

o bien v - v1 - Ri - L (di/dt) = O Fig. .7

t

2. En un circujto cerrado o malla, la suma algebraica de Jas fuerzas electromotrices aplicadas, o subidas de tensin, es igual a la suma algebraica de las cadas de tensin en todos los elementos pasi-vos. En otras palabras, Ja suma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado es nula. Es importante observar que las fuerzas electromotrices de las fuentes o gener?.dores que contenga la malla han de sumarse algebraicamente, ~onsiderando como positivas las fuentes cyo sentido de polaridades (de - a +) coincida con e] asignado pr.eviamente a la corriente en el circuito.

Respuesta de los elementos pasivos de un circuito

Elemento Tensin Corriente en bornes del elemento por el etemenro

Resistencia R 11( t) - R i(t) i(t) - v{t) - - R (resisuvo) Autoindutc1n L L di l/f v( t) = i{ t) - i vdt (bobina) dt Capacidad C

v(t) ~ J" i dt i( t) - cdv - -(condensador) dt Sititema internacional d~ unidades mksa

Magn.itud Unidad Magnitud Unidad

Longitud I metro m Carga Q. q cuJombo e Masa m kilogramo kg . Potencial V, i : vohio V Tiempo I segundo s Corriente l. i ampeno A Fuerza F.f newlon N Resistencia R ohmio o Energa w. w

1

julio J Auroinducci6n L henn.o H Porencia P. I' vauo w Capacidad e faradio F

CAP. 1) DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 5

Problemas resueltos J.J En el circuito cerrado de la Fg. 1-8 la tensin aplicada es V = 45 voltios. HaHar la intensidad de

la corriente que circula por J, as como la cada de tensin y la potencia disipada en cada elemento resistivo del mismo.

En una malla o circulo cerrado la suma aJgebraica de las subi-das de la Lensin (originadas por las fuerzas electromatrices de las fuentes) es igual a la suma correspondiente de las cadas en sus ele-

mento~. Por tanto,

V= (2)/ + (6)/ + (7)/, 45 = 15/, J = 3 A La cada de tensin en el elemento resstivo de 2 n es V2 = R21 =

(2)(3) = 6 V. Anlogamenle, V6 = (6)(3) =. 18 V, y V1 = 21 V. La potencia disipada por el elemento de 2 n es P2 = V21 ~ (6)(3) =

J8WobienP2 = R 2l 2 = (2){3)2 = I8 W.Anlogamente,P6 = V6 / = S4 w. y P, = v, 1 = 63 w.

f

2n

45 V 611

7fl

Fir. 1 8

l l Una corriente Ir se divide entre dos ramas ,en paralelo de resistencias R1 y R 2 respectivamente, como indica la Fig. 1-9. Deducir las expresiones de las intensidades de corriente 11 e 12 en cada una de Jas ramas. ,

En cada rama, la cada de tensin ha de ser la misma: V = R1/1 = R211 Por consiguiente,

1-l Tres resistencias, R1, R2 y R3 estn asociadas en paralelo-, como indica la Fig. 1-10. Deducir la expresin de la resis tencia equivaJente Re del circuito.

Se supone aplicada una tensin v(r) entre los puntos A y B. con lo cual circularn por las resistencias R1, R2 y R3 unas corrientes de intensidades i 1(t), i 2(1), i 3(t), respectivamente. La corriente por Rt debe ser la intensidad total ir(t). Por taoto, v(t) = R1ii(t) = R 2i2(t) = RJJ(t) = RtirU). Y

i,.(t) = i1(t) + ~(t) + i,(t} o bien v~:) Es decir. 1 1 1 1 - = - + - +-R. Ri R1 R1

En un circuito paralelo de dos ramas,

b , R R,R, o ien - Rt + Ri .

1 1 1 - +- Rl Rs

1-4 El circuito de la Fig. 1-11 contiene dos fuentes de tensin constante, VA y V8 . Qu energa suministra cada una de

eHas~ La suma de las subidas de tensin es igual a la suma de las cadas

de tensin en todo circuito cerrado; por consiguiente, 20 - 50 = ( 1 Jl + ( 2 )/ , I :;: - 1 O A

Polcncia suministrada por V" = V"'/ = 20(-10) = -200 W. Potencia sumjaislrada por V8 = V8 1 = 50(10) = 500 W.

Ir

A

-:-+ tr

t

la Ra -

I V Fig. 1-9

i1 R1 -

.

Ra 1 -

ta Ra -

1. v(t)

Flg. l-10

1

~ 1 V,. 20 V

2

Fig. l-11

B

t v. 50 V

6 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO (CAP. 1

15 En el circuito de la Fig. l-12(a) la tensin del generador viene dada por v(l) = 15-0 sen cut. Ha!Jar la intensidad i(r), la potencia instantnea p(t) y la potencia media P.

1-6

i(t) = Rl v{t) = 160 sen wt = 6 sen wt A 25 p(t) = v(t)i(t) = (l0sen"'t)(6senwt) = 900senwtW

p ~ J' ;; 900 sen1 wt d(wt) = o

900 j' ll' 7 0

!(1 - COS 2wt) d(411t) 900 [ . ]

11

- 2" "'t - ! sen 2wt 0

450 w

250

Fig. 1 12(a)

La corriente i(l) est relacionada, como hemos visto, con la tensin v(t) por Ja conslante R. La curva de po-tencia instantnea se puede deducir puoto a punto multiplicando las ordenadas correspondientes de v e i, como se indica en la Fig. l l2(b). Obsrvese que as como v e i son ambas positivas o ambas negativas en cualquier instante, su producto siempre es positivo. Esto concuerda con el principio de conservacin de la energa, esto es : siempre que circula una corriente elctrica a travs de una resistencia se consume una energa elctrica que ha de ser proporc1onada constantemente por algn generador.

160 V i

s o wt

o t 2 3 6 s x 10 ,

-lC>O 6 l

l l

o it ~o

-6 o 1> 2 3 6

6 x 10 -1

900 --

p

250

o wt o 1 ir 1' lr 2,,. 2 3 "

5 6 x 10 1 1 2

Fig. l-12(h) Fig. 113 La funcn de intensidad de corriente de la Fig. J -13 es una onda cuadrada peridica. Con esta corriente, circulando por una resistencia pura de 10 ohmios, obtener las curvas de tensip v(t ) y de potencia p(I) instantneas.

La tensin es directamente proporcional a la intensidad de corriente, v(t} = R i(t) . EJ valor mximo es Ri_, = (5)(l0) ;;:: 50 V.

La curva de potencia se obtiene punto a punto por el produclo p = vi. El valor mximo es v-'ma = (50){5) = 250 w.

.. 7 La funcin de intensidad de cqrriente de la Fig. 1-14 es un diente de sierra peridico que se aplica a una resistencia pura de 5 ohmios. Hallar los valores instantneos v(t) y p(t) y la potencia. piedia P.

Como v( t} = R i(t), v"' = Ri.,~,, = (5)(10) = 50 V Para 0 < t < 2 X l 0 - 3 S. i = . lO . i t = 5 x tO"t . Por tanto. 2 X 10-

t X 10 - ) 11 = vi = 125 X lO't', P = l i 126 X lO't' dt r 2 X 10 - 3 ., V ;: Ri = 25 X l0

3 t, 167 w

,

CAP. lJ DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 7 i

~ M . ~o-! 1511

e

Fir. 114 Fig. J . JS

l.S En el circuito de la Fg. 1-15, la intensidad de corriente por la resistencia de 5 ohmios es i(t) = 6 sen wt amperios. (a) Hallar la corriente en las resistencias de 15 y de 10 ohmios, as como las tensiones entre a y by entre by c. (b) Calcular la potencia media e instantnea consumida en cada resistencia.

(a) La tensin 11.k en las resistencias de S n y JS O ha de ser la misma; por tanto, 11k = Rsi! = (5)(6 sen wl) = 30 sen wt e u = vkfRu = 2 sen wt

Ahora bien, i10 = ;., + 5 = 8 sen wt, con lo que v.,. = R10i10 = 80 seo wt

b} La potencia instantnea es p = vi. De esta forma, p5 = (30 sen wt)(6 sen wt) = 180 sen2 wt. Anlogamen-te, p15 = 60 sen2 Wl y p10 = 640 sen2 wt.

La potencia media en Ja resistencia de 5 O es

P, = !. f." 180sen 1 wt d(wt) = ! f 11' 180[ lCl - cos 2

8 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO (CAP. 1 V

150

1 -6or---- -------

i '1,S l~~!~~-'-----~-..----'l~~--L~~~

-:io -- __ --~-- __ : .. 1.1 __ _,Is 8 10 x tos wi ,P

3001-- ... -- ------ -- -l ' '

4 1ox1oa i -1so r- ----- -. ---

1 -300 1---- --- - - - -

Fig. ll6(b) Fig. 117 1-11 Por una bobina pura de autoinduccin igual a 3 milhenrios circula l

CAP. 1) DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 9

1-13 Hallar la autonduccn Le de la bobina equivalente a dos bobinas de autoinducciones L1 y L2 asociadas en paralelo como se representa en la Figura 1-19.

Supongamos aplicada una tensin v(t) en los bornes de la asociacin en paralelo, y que las corrientes que circulan por L1 y L2 .sean i1 e i 2, respectivamente. Como la intensidad total iT es la suma de las intensidades en cada rama,

ir - i1 + ia o bien l. J vdt - L f vdt + Lf vdt Por tanto. 1 1 1 b L, L1L1 L. - - + - o 1en - L,+Ls L, L1 .

El recproco de la auloinduccin de la bobina equivalente a un nmero cualquiera de bobinas asociadas en paralelo es la suma de los recprocos de las autoinducciones individuales.

- L, 0.J H i1 0.2 u

ir it Lt 0.6 H -

1 J v(t)

Fig. 1-19 Fig. 120

114 Tres bobinas puras estn conectadas como indica la Fig. 1-20. Cul es la autoinduccn equiva-lente L. de la bobina que puede sustituir a todo el circuito?

L nd . . 1 d I . 1 1 L L1L2 (0,3)(0,6) a auto1 ucc1on equ1va ente e a asoc1ac1 n en para e o es ,, = = = 0,2 H. L1 + L2 0,3 + 0,6

La autoinduccin equvalente del circuito es L. = 0,2 + L,, "" 0,4 H.

1-15 Por una bobina pura circuJa una corriente de intensidad i(t) = /"' sen wt. Suponiendo que la energa almacenada en el campo magntico es cero para t = O, obtener y dibujar la funcin. de energa w(t).

. 1'(t)

p(t)

d - L dt (l. sen wt) = wLI. eos wt

vi wL 1 ! sen i.it cos ..it !wLJ! sen 2..it 1

w(t) - f f...,I,J~ sen 2,.t dt - iLI! [-coa 2wt + 1] - !Ll! i:ens ..,f

Para wt = n/2, 3rrJ2, 5n/2, etc., la energa almacenada es mxima e igual a !LJ;,. Para wt = O, n, 2tr, 3n, ele., dicha energa es cero. En la Fig. 1-21 se pueden obseTVar estos resultados.

Cuando p(t) es positiva, la energia se almacena en la bobina. En los intervalos de p(t) negativa, la energa del campo magntico pasa de la bobina al generador. Asj, pues, una bobina pura no consume energa. Lapo-tencia media es nula y no existe transmisin de energa.

w w. -----

-rJ-______ _ Fir. 1-21

10 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO [CAP. 1

116 Consideremos un condensador puro al que se le aplica una tensin v(t) = V,,. sen wt. Hallar la intensidad (t), la pMencia p(I), la carga q(t) y la energa w(t) almacenada en el campo elctrico suponiendo que w(t) = O en el instante t = O.

i(t) Cdv/dt - ..,CV R COS wt A p(t)

-vi - ~ ... cv! sen 2wt W

q(t) Cv -

cv .. sen ..it e

w(t) :::: j'' p dt iCV~ (1 - cos 2wtJ !CV! sen ..,t J o

Para wl = n/2, 3n/2, 5tc2. etc,, la energa almacenada es mxima e igual a fCV,!. Cuando t = O, n, 211:, 3ir, etc., Ja energa almacenada es nula. Todo esto se pone de manifiesto en la Figura 1-22.

Durante Jos intervalos en que p(t) es positiva, la energa pasa del generador al campo elctrico del c~mdensador y se va almacenando en l. Cuando p(t) es negativa, la energa almacenada retoma al generador. La potencia media es nula y no existe transmisin de energa.

V

-v .. -------------

wCV. 1 ________________ _

-wCV ...

1-"ig. 1-22

p wCV!

2

2 w

1-17 Hallar la capacidad equivalente de la asociacin en paralelo de les dos condensadores C 1 y C2 que se indican en la Figura 1-23.

Supongamos aplicada una tensin v(t) a la combinacin en paralelo de dichos condensadores, y sean i 1 e i 2 las intensidades de corrientes que circulan por C1 y C2 , respectivamente. En estas condciones, si la inten. sidad total es i T

d d d i'I' = i1 + i. o bien c. dt v(tl = e, dt v(t) + c. dt v(t). con lo que c. = e,+ c.

La capacidad del condensador equivalente de un nmero cualquiera de condensadores asociados en pa-ralelo es la suma de las capacidades individuales.

e,

-, ~ 1 ~(c. I tr lr i

\ , 1 - c. v(t)

i(O J:o'ig. 1-Z3 Fig. 1-24

CAP. 1) DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 11

1-18 Hallar la capacidad equivalente c. de la asociacin en serie de lo!'i dos condensadores C 1 y C2 que se indican en la Figura 1-24.

Supongamos aplicada una detenninada tensin al circuito serie. Se ha de verificar : Tensin aplicada = cada de tensin en C1 + caida de tensin en C2

, J i(t) dt = J f i(t) dt + l:: f i(t) dt Por tanto. o bien

El recproco de la capacidad del condensador equivalente de un nmero cualquiera de condensac!ores asociados en serie es la suma de los recprocos de las capacidades individuales.

1-19 Hallar la capacidad equivalente Ce de la asociacn de con-densadores representada en la Figura 1-25. 4 "F'

La capacidad equivalente de la rama serie es

C. = C1C1 = 13)(6) = 2 F C1+C2 3+6 Por tanto, la capacidad equivalente pedida es

c. ;;; 4 + c .. ;::: 6 F = 6 X 10- F.

1-20 Por el circuito serie de la figura circula una co-rriente de intensidad i(t) cuya forma de onda se indica en la Fig. 1-26. Hallar Ja tensn en cada elemento y representarlas grficamente con la misma escala de tiempos. Representar, asimismo, la carga q(I) del condensador.

En bornes de la resistencia: vR = Ri La grfica de vR es semejante a la de intensidad de

corriente, pero con un valor de pico igual a (2)(10) = 20 V. En bornes de la bobina: v 1. = L d il c/t (1) o < t < 1 ms i = 10 x l03 t

VL = (2 )( 10- 3)(10 X 103) :::: 20

(2) 1 < t < 2 ms i = 10 v 1 = (2 X 10-)(0) - 0

etc.

En bornes del condensador: Ve = ~ f idt (1) O < t < 1 ms v .. 1 f'

- 500 X 10- (lO X lO~t) dt o

- 10 X 101t 1

1 f' (2) 1 < t < 2 ms Ve - 10 + 500 x 10_0 (10) dt 10- :1

= 10 + 20 X lO(t -10- 1) etc.

La grfica de q se obtiene fcilmente a partir de la relacin q = Cvc. Obsrvese que cuando i es positiva, q y Ve aumentan, es decir. la carga del condensador y la ten-sin entre sus annaduras aumentan simultneamente. Cuando i es negativa. ambas disminuyen.

J ,,: 6 ,,f

'----'H....___. Fg. I 25

-i

"'- 1 1 I ~~ 2 a "-.... 4 _..,,s/ r. .x 1 o

-20 - - ---

20--

t Of.....----1~-...r----+-~....-~+ ---

-20

V

12 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO [CAP. 1

Problemas propuestos 1-21 Tres elementos de resistencias R 1, Rl R 3 estn asociados en serie y el conjunto se alimenta con una tensin cons-

tante V. La cada de tensin en R 1 es de 20 voltios, la potencia disipada en Rl es de 25 vatios y la resistencia R3 vale 2 ohmios. Hallar la tensin V sabiendo que la intensidad que circula por el c\rcuito es de 5 amperios. So/. 35 V

1-22 La resistencia equivalente R, de dos en paralelo, R 1 y R1 , vale ~O ohmios. Una corriente circulando por el cir-cuito en paralelo se divide entre las dos resistencias en la proporcin 2 a l. Hallar Jos valores de R1 y R1

1-23 Sol. R 1 = 5 O; R.1 "" 10 O.

(a) Hallar la resistencia equivalente R, de las cuatro re-sistencias de la Figura l-27.

(b) Aplicando una tensin constante V,.., 100 volt ios al conjunto, qu resistencia disipar mayor potencia'/

Sol. (a) R. = 5,42 O; lb) La resistenca de 5 !l disipa P = 95'1 W

100 611

211 15fl

Fir. 1Z7

1-24 Un circuito se alimenta por dos generadores de tensin constante, como se indica en la Fig. 1-28. Hallar lapo-tencia P suministrada por cada generador. Sol. Pu = 75 W ; P, = 15 W

20

7.RIJ

t 611

100 t V so ton 25 V s \

Fir. 1-2S Fig. 1-29

1-lS En el circuito de la Fig. l 29 hallar Ja tensin constante V sabiendo que la intensidad de la corriente que circu-la por la resistencia de 5 ohmios es de 14 amperios. Sol. 126 V

1-26 Cul es la intensidad de corriente suministrada por el generador de 50 voltios de d .d .p. en bornes a la asocia-cin de resistencias del circuito de la Figura 1-30? Sol. 13,7 A

50

120 80 60 30

Fir. 130 1-27 Hallar el valor de la resistencia R de la fig. 1-31 si Ja cada de ten-

sin en ella vale 25 voltios. Sol. 4,76 O.

1-28 A qu valor debe ajustarse la resistencia R de Ja Fig. 1-32 para que la potencia disipada en la resistenca de 5 ohmios sea de 20 vatios? Sol. 16 O

1-29 Una resistencia de 10 ohmios est conectada en serie con la aso-ciacin en paralelo de dos resistencias de 15 y 5 ohmios. Si la in-tensidad de corriente constante que circula por la resistencia de 5 ohmios es de 6 amperios, hallar la potencia total disipada en las tres resistencias. Sol. 880 W

t

200

600 100 V R

Fir. 131

60

t 20fl

SO V

Fi . lSZ

12 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO [CAP. 1

Problemas propuestos 1-21 Tres elementos de resistencias R1, R2, R 3 estn asociados en serie y el conjunto se alimenta con una tensin cons-

tante V. La cada de tensin en R 1 es de 20 voltios, la potencia disipada en R2 es de 25 vatios y la resistencia R3 vale 2 ohmios. Hallar la tensin V sabiendo que la intensidad que circula por el circuito es de S amperios. Sol. 35 V

l 22 L . lO . u . . l d 1 . - a resistencia equivalente R. de dos en paralelo, R1 y R2, vale J ohmios. na cornente cucu an o por e cir-cuito en paralelo se divide entre las dos resistencias en la proporcin 2 a l. Hallar Jos valores de R1 y R2

1-23 Sol. R1 = S O; R.i = 10 O. {a) Hallar Ja resistencia equivalente R. de las cuatro re-

sistencias de la Figura 1-27. (b) Aplicando una teosin constante V .... 100 voltios al

conjunto, qu resistencia disipar mayor potencia'? Sol. (a) R. = 5,42 n;

(b) La resistenca de 5 O disipa P = 957 W

tOll 60

21l un

Fiir.1-27

1-24 Un circuito se almenta por dos generadores de tensin constante, como se indica en la Fig. 1-28. Hallar lapo-tencia P suministrada por cada generador. Sol. Pu = 7 5 W ; P 5 = J 5 W

21l

7.611

t t V 1011 50 1011

25 V S V l Fig. 1-28 f'ig. l-29

1-25 En el circuito de la Fig. 1-29 hallar Ja tensin constante V sabiendo que la intensidad de la corriente que circu-la por la resistencia de 5 ohmios es de 14 amperios. Sol. 126 V

1-26 Cul es Ja intensidad de corriente suministrada por el generador de 50 voltios de d.d.p. en bornes a la asocia-cin de resistencias del circuito de la Figura 1-30? Sol. 13,7 A

6!1

12ll 811 60 30

~(j V

Fir. 1-30 1-27 Hallar el valor de Ja resistencia R de la Fig. 1-31 si la cada de ten-

sin en ella vale 25 voltios. Sol. 4,76 n

1-28 A qu valor debe ajustarse la resistencia R de la Fig. 1-32 para que la pote11ca disipada en la resistencia de 5 ohmios sea de 20 va tos? Sol. 16 O

1-29 Una resistencia de 10 ohmios est conectada en serie con la aso-ciacin en paralelo de dos resistencias de 15 y 5 ohmios. Si la in-tensidad de corriente constante que circula por la resistencia de 5 ohmios es de 6 amperios, hallar la potencia total disipada en las tres resistencias. Sol. 880 W

t

2011

600 100 V R

Fig.1-31

5l

t ~O V

Fig. 1-lZ

CAP. lJ DEFINIClONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 13

1-30 Las autoinduccones L 1 y L 2 de las bobinas de la Fig. 1-33 estn en la relacin 2 a l. Sabiendo que la autoin-duu:io equivalente L, de las tres vale 0,7 henrios, ballar los valores de L 1 y L 2 Sol. L 1 = 0,6 H ; L1 = 0,3 H

1-31 Las tres bobinas en paralelo de la Fig. 1-34 equivalen a una bobina de autoinduccin L. igual a 0,0755 henrios. (a) Hallar el valor de Ja autoinduccin desconocida l . (b) Existe algn valor de L que haga l, igual a 0,5 hen-rios? {e) Cul sera el valor mximo de L. si la autoinduccin L se pudiera ajustar sin lmites? Sol. (a) l = 0,1 H; (b) no; (e) 0,308 H

0.5 ti O.S f 0.6 I'

0. 5 tt L, O.& H

Lt L 0.2 f e

i''ig-. J .JJ Fig. l 3-1 Fig. 1.35

1-31 Hallar el valor de C para que la capacidad dl'l condensador equivalente a la asociacin de la Fig. 1-35 sea de 0,5 microfaradios. Sol. 0,4 F

133 A la asociacin de los cuatro condensadores representados en la Fig. 1-36 se aplica una tensin constante de 100 voltios. Hallar Ja carga q en clilombios que adquiere cada condensador.

Sel. q0 ,8 = 40 C ; q02 = 10 C ; q0 ,3 = 15 C ; q0.1 = 35 C

134 Los dos condensadores de la Fig. 1-37 se cargan mediante una conexin momentnea a tensin constante de 50 vol tios entre los bornes A y B. A continuacin, se unen dichos tenni.nales A. y B sin el generador de 50 voltios. Detenninar la carga final de cada condensador. Sol. q10 = 444,33 C; q40 = 888,67 C

AO

0.1 pf O.i' 11F f'ig. 1-36

1( 1( oB 20

14 DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO [CAP. 1

1-41 Hallar la expresin de la inlensidad de corriente que atravesa un condensador s la tensin entre sus placas viene dada por

11 = V [ ,,t - (.,ts + (wt) - (.,t)1 + ]

- - 3! 5! 7! .

Sol. i = wCV [ 1 - (wt)2 + (.,t - ( .. t)' + . lj o bien i = 1o1CV .. cos wt - 2! 4! 6!

1-42 Por un condensador puro de 25 microfaradios de capacidad circula una corriente cuya fonna de onda es la re-presentada en la Fig. 1-40. Obtener la fonna de onda de la tensin y detenninar los valores mximos V., y Q,..

1) CU

Sol. l 2 v, .. = 0.1 v.

Jo'ig. 1-40

3 Q ..

4 X 10"1 1 2.5 C

143 La funcin que expresa la carga de un condensador de 2 microfaradios de capacidad es q = 100[ 1 + e-'" 101] microculombios. Determinar las funciones correspondientes de la tensin y de intensidad de corriente. Sol. v = 50(1 + e- 5 101J V; = -se-5 101 A.

1-44 Por una bobina de autoinduccin L circula una corriente cuya forma de onda de su intensidad es la represen-tada en la Fig. 1-41. Sabiendo que la forma de onda de la tensin correspondiente tiene un valor de pico de 100 voltios, hallar el coeficiente L. Dibujar la fonna de onda de la tensin. Sol. L = O,S H.

:k1 J ~r , 1 1 ., .... , t 2 3 4 X 10. 1 1 2 3 Fig.1-41

-. _ ..

Nota. En la prctica, no es posible que la corriente que circula por una bobina sea una funcin discon-tinua, como ocurre con Ja fom1a de onda de esta corriente en los instantes t = J ms y l = 4 ms, ya que la ten- sin es la primera derivada de la intensidad respecto del tiempo y esta derivada tiene un valor negativo infinito en los puntos de discontinuidad, en los que la forma de onda de la tensin tendra unos valores negativos infinitos.

1-45 En los bornes o terminales de una bobina pura de autoinduccin 0,05 henrios se aplica una tensin cuya forma de onda es Ja representada en la Fig. 1-42. Obtener la fonna de onda correspondiente a la intensidad de corriente asi como la expresin de i en el intervalo O < t < 2 milisegundos. Sol. i = 5 x l05tl.

V

1-'ig. 1-~2 1-46 En la fig. 1-43 se muestra la intensidad de co-

rriente que circula por un circuito serie cons-tituido por una resistencia de 20 ohmios y una bobina de l henrio de autoinduccin. Obtener las formas de onda de la cada de tensin en la resistencia 1111, en la autoinduccin vL y su suma. Sol. Para O < t < 0,1 s;

v.R = 2ooe- 2001; "L = - 2ooe- 2001; VT = O. ,. ..

10

t 0.4.

Fig. 1-43 . ,

CAP. 1) DEFINICIONES Y PARAMETROS DE UN CIRCUITO 15

1-t7 Por un circuto serie compuesto por una resistencia R ~ 5 ohmios y una bobina de L ~ 0,004 henrios circula una corriente cuya fonna de onda de su ntensidad es la representada en la Fig. 1-44. O.btener las grficas de v11 y vL.

26 v,.

Sol. o

6 o -26

2

r 1 ~ _:~ 2 1 Fig. 144 __ .... 16 8 X 10- a _,.

1_. A un circuilo serie RL, con R = 1 O ohmios y L == 0,5 henrios, se Je aplica una tensin senoidal. La intensidad de corriente resultante es i = 0,822 e- 201 + 0,822 sen (377t - 86,96). Hallar las cadas de tensin correspon dientes V11, VL Y VT . Sol. va = 8,22 e- 201 + 8,22 sen (3771 - 86,96);

VL = -8,22 e-lOi + 155 COS (3771 - 86,96); v1 = 155 sen 3771.

1.-8 Por un circuito serie RL, con R = 100 ohmios y [,. = 0,05 henrios, circula una corriente cuya funcin de inten-sidad se detalla a continuacin. HaJlar los valores de v11 y vL en cada intervalo. (1) 0 < I < 10 X 10-.) S, = 5(1 - e-2000i]. (2) 10 x Q-3 < t, = 5 e-20000-IO IO'I .. Sol. (l) v11 = 500[1 - e- 20001], vi= 500 e- 20001 : (2) t'a = 500e-200011-1010,1, vL = -500e-200011-1ox 1oli.

1-50 La intensidad de corrieme en un circuito serie RC es = 10 e-'001 Sabiendo que el condensador est incial mente descargado y que la tensin aplicada es V= 100 voltios y Ve = 100[1 - e-''], hallar e y 1111. Sol. e= 200 F; V.11 = 100 e-~001 V.

1-51 Por un circuito serie LC, con L = 0,02 henrios y C = 30 F. crcu)a una corriente de intensidad = l,5 cos 10001. Hallar la tensin total vT. Sol. vT = 20 sen 10001.

l..sl A un circuito paralelo RL se le aplica Ja tensn de onda cuadrada que se representa en la Fig. 145. Hallar la in1ensidad de corriente total.

fi. 145 11

20

o

-20

s

-17 ~ '" .. ~ t

10 15 20 X 10"1

Sol.

16 10 5

-5

1-53 A un circuito paralelo RC se le aplica una tensin cuya forma de onda se representa en la Fig. 146. Hallar la corriente rotal iT.

Captulo 2 Valores medio y eficaz

FORMAS DE ONDA

Las representaciones de las funciones v(t), i(t), p(t), etc., se llaman formas de onda de tensin, in-tensidad de corriente, potencia elctrica, etc., respectivamente. En el anlisis d circuitos preliminar solo estudiaremos las funciones peridicas, es decir, aquellas en las que /(t) = f(t + nT), siendo n un nmero entero y T el periodo que se muestra en la Fig. 2-1. Para ver la forma de onda de una funcin peridica debe representarse, al menos, un periodo.

T

Fi;. 2-1. Formas de onda peridicas

Las funciones de tensin e intensidad, v(t) e i(t), son expresiones matemticas que se pueden dar de varias maneras, segn los casos. Por ejemplo, las funciones seno y coseno se pueden expresar mediante series potenciales infinitas. Sin embargo, sera muy penoso aplicar estas fonnas matemticas a las ecua-ciones bsicas relativas a la tensin e intensidad en los tres elementos fundamentales de los circuitos.

VALOR MEDIO

El valor medio Y rnd de una funcin peridii;;i1 y(t) de periodo T es, por definicin,

1 fT Ymcd = T O y(t)dt

VALOR EFICAZ

Al circular una corriente de intensidad i(t) por un elemento resistivo puro de resistencia R, ste disipa una potencia p(t) con un valor medi P. Pues bien , esta misma potencia P la puede disipar una corriente constante de intensidad I circulando por dicha R. En estas condiciones, diremos que i(t) tiene un valor eficaz l.r equivalente a la corriente constante l. Lo mismo diramos respecto de la tensin efi-caz Vcf . Matemticamente, dada la funcin y(t) de periodo T, su valor eficaz - o raz cuadrtica media-es, por definici_n,

Y.r Jl rT-1 T J o y(t) dt El valor eficaz de las funciones a sen wt y a cos wt durante un periodo es a/j2.. (Vase Problema 2-2.)

16

CAP. 2J V A LORES MEDIO Y EFICAZ 17

VALOR EFICAZ DE UNA FUNCION DE SENOS Y COSENOS EJ valor eficaz de la funcin y(t) = a0 + (a 1 cos wt + a1 cos 2wt + -) + (b 1 sen wt + b2 sen 2w1

+ ) viene dado por Y.r - Va~+ !(ai+ a~+)+ i(bJ + b~ + ) Ll~mando A al valor eficaz de la funcin a 1 cos wt, segn lo dichQ en la seccin anterior, A 1 = Ji o bien

2 ll --

01'

.11. 2 por tanto

Y., Va~ + (A~+ A~+ ) + (B~ + B~ + ) . FACTOR DE FORMA

El factor de forma de una onda es la relacin entre los valores eficaz y medio de la misma.

Factor de forma Y.e - Ymcd . -

} rT-2 T Jo y(t) dt

lJ:T - y(t) dt T o

Las formas de onda tales quef(t) = -f(t + fT), es decir, aquellas ondas cuyos semiperiodos son simtricos con respecto al eje de tiempos, tienen un valor medio igual a cero, como puede observarse en la Fig. 2-2. Para salvar la dificultad en este tipo de ondas, de las que la funcin seno es el ejemplo ms caracterstico, se suele tomar el valor medio Y mcd del semiperiodo positivo. Este valor se llama a veces valor medio de un semiciclo.

\ .

T

T Fig. 2-2. Ondas de semiperiodo simtrko

Existen, sin embargo, otras formas de onda cuyo valor medio en un periodo es nulo y que no pre-sentan aquella simetra, como }as representadas en la Fig. 2-3. El clculo del valor Y 111011 para obtener el factor de forma tambin se realiza en un semiperiodo, anlogamente a como dijimos para las ante-riores.

T

Fig. z.3

18 VALORES MEDIO Y EFlCAZ [CAP. 2

Problemas resueltos 2-1 Por una resistencia circula (a) una corriente de jntensidad constante/, (b) una corriente peridica

i(J) de periodo T. (Vase Fig. 2-4.) Demostrar que si fer = / , la potencia media Pes la misma en ambos casos.

Corriente constante l :

Corriente peridica i(1) : p = v = R(' y I' = ( ~ ( '" i2 dt l R .Jo /

- 1 I l'""'---v------4

Y.~~ -1

R

R

i(l} ...... _____ _ 11{t)

Fig. 2-4 Fig. 2-5

2-2 Hallar Jos valores medio y eficaz de la funcin y(l) = YJtl sen wr. El periodo de la funcin ~ 2n. La grfica se representa con wr como variable independiente (Figura 2-5).

1 r r 1 f ~;r Y mtd = T y(t) dt -- 2r 0 Y - sen ut d(wt) o = o =

1 1 211' 2

'1T

0

(Y.., sen c.it)' d(w t) = Y .. = 0,707Y,,,

El valor eficaz de una f ur{cin pura senoidal o cosenoidal es l i .. /2 o bien O, 707 veces el valor mximo. 2-3 Hallar Ja potencia media P disipada en una resistencia de l O ohmios por Ja que circula una corriente

i(t) = 14,14 cos wr amperios. Corno p = vi = Ri2 = 2000 cos2 wr y su periodo es n:, la potencia media vale

11"' . P = - 2000 cos wt d(wt) .,,. o

1000 w

Otro mtodo. La potencia media d isipada por una resistencia pura por Ja que circula una corriente pe-ridica es

P = RP,, = { i, f.'" ( 14,14 COI ..,i)' d{wl) } 10 = (14,14/..;2 )' (10) 1000 w 2-4 HaJlar los valores medio y eficaz de la forma de onda .en diente de sierra representada en la Fi-

gura 2-6.

Evidentemente, Y mrc1. = 25. En el intervalo O < t < 2, y c. 251 ; por tanto, 1 f1' Y;r = T yi dt

o

= -21 f i 625t2 dt = 834, d~ donde Y~, = 28,9

... o

11 50 ---------- -

t o 2 t 6

Fig. Z-6

CAP. 2] V AL ORES MEDIO Y EFICAZ 19

2-5 Hallar los valores medo y eficaz de la forma de onda representada en la Fig. 2-7 en cuyo primer ntervalo y= 1oe-:1:001

= ~ 10 e-soot dt -J' v,05 0 -IOOt 10 [ ]5 0,05(-200) e 0 = 1,00

l f.T O.OS - - Jl1 dt = ..!.. J 100 e-eoi dt -T 0 0,05 6,00, de donde Y., = 2,24

t O,llS 0.10 0,15.

Fi. 27 Fic. 28

2-6 Hallar el factor de forma de la onda triangular representada en la Figura 2-8.

- -0.01 < t

20 VALORES MEDIO Y EFICAZ [CAP. 2

2-9 Hallar los valores medio y eficaz de la onda cuadrada representada en la Figura 2-11. Para O < t < 0,01, y = 10; para 0,01 < t < 0,03, y= o. El periodo es 0,03 s.

1 ,.O.OI 10(0,01) Y md = O,OJJo 10 dr = 0,03 == 3,33

1 0.01 r;, = o.o~ 102 dt = 33.3, Y.e = 5,77

11

10

' t

J _____ _ L1-r o

0.01 0.02 0.03 0.04 ' 0.1 o 2 O.l 0.4 ~

Fig. 2-ll Fig. Z-12

2-10 Hallar el valor eficaz de la funcn representada en la Fig. 2-12 definida por: O < 1 < 0.1 .v = 20(1 - e- 100 i; 0,1 < t < 0,2 y = 20e- ~0(- 0 1 >

y;r == _1 f o,1 400(1 - 2e-'' + e-ioo1) dt +Co.2 400e-100(r-o.11 d1} 0.2 Jo Jo.1

== 2000 { r, + 0,02 t'-1001 - 0,005 e-200] 0.1 + [-0,01 e-1000-0.1] 0,2} L 0,1

== 190. de donde Y,1 = 13,78. (El trmino en e- o y en e- 20 no son significativos.)

2-11 Hallar el valor eficaz de la funcin y = 50 + 30 sen wt . ....

r;, - i,,. o (2600 + 3000 sen wt + 900~n1 wt) d(r.it) -

2: [2500(21r) +O + 900v] = 2960, Yet = 54,3

Otro mtodo: Y,r = y(50)' + !(301) = y2960 = 64,3

2-l:Z Hallar el valor eficaz de la funcin de tensin v = 50 + 141,4 sen wt + 35,5 sen 3c.ot.

v.,= J150)2 + f(l41,4)2 + j(35,5)2 == 114,6 V

2-13 Una onda completa senoidal rectificada est cortada a 0,707 9e su valor mximo, como indca la Fig. 2-13. Hallar los va-lores medio y eficaz de dicha funcin.

La funcin tiene de periodo n y est de-finida por

O< wt < v/4 'IT/4 < wt < Sv/4

Sr/ 4 < r.it < rr

'11 - Y. sen wt 'JI - 707 y .. u - Y. sen r.it

1 {f "'4 Jiir!4 - Y .. sen 1>1t d(r.>t) + O, 707 Y. d(c.it) fT O flH

Fig. 2-13

,-, ,

, .

+ J.,.. Y .. sc:n wt d(4'1t)} = 0,54Y., , .. ,.

r;, - .! {f "'14 (Y .. sen wt)1 d(wt) + J "'(o,707 Y,.)2 d(lolt) + (" (Y. sen "'t)1 d(wt) 'lf' o 11'14 J ,4 0,341 Y! Y.r "" 0,584 Y.,

CAP. 2] VALORES MEDIO Y EFICAZ

2-14 Hallar el ngulo de fase 9 que debe tener la onda completa senoidal rectificada de Ja Fi-gura 2-14 para que su valor medio sea Ja mitad de su valor mximo.

1 f." - Y. sen 1.o1t d(..it) 11' 9

Y,.(-cosv +coas) ,,

Por tanto, 0,5 Y., = (Y ,,,/n )(1 + cos 8), cos O= 0,57, 8 = 55,25.

11

Y ..

,

I ,

o '

21

, ,

I ' , ,

'

, , ,

1 I wt ,. (v + 1) 2v

Fig. 2.14

2-15 La intensidad de corriente que circula por una resistencia de 2 ohmios tiene Ja forma de onda del Problema 2-14 con un valor mximo de 5 amperios. La potencia media disipada por la resis-tencia es de 20 vatios. Hallar el ngulo O.

P = R1:,. 20 = (2)/;r. 1;,, 1;, = 10. Por tanto,

10 = ! r" (5 sen ,t)' d(..it) = 26 [wt - sen 21o>t]11' ")9 v 2 4 8

de donde sen 20 = 20 - IOn/25 y 8 = 60,5' (solucin grfica).

Problemas propuestos 2-16 La potencia media disipada en una resistencia de 25 ohmios es de 400 vatios. Hallar el valor mximo de la in-

tensidad de corriente s sta es (a) senodal, (b) triangular. Sol. (a) 5,66 A. (b) 6,93 A.

2-17 Hallar el valor eficaz v., de la tensin v(I) = lOO + 25 sen 3w1 + 10 sen 5wt. Sol. 101,8 V. 2-18 Hallar la potencia media disipada en una resistencia de 25 ohmios cuando por ella circula una corriente (t) =

2 + 3 sen wt + 2 sen 2wt + 1 sen 3wt2 Sol. 275 W.

2-J9 Hallar el valor de Y., de la funcin y(t) = SO + 40 sen wr. Sol. 57,4.

2-20 Hallar el valor de Y., de la uncin y(t) = 150 + 50 sen wt + 25 sen 2wt. Sol. 155,3.

2-21 Sabiendo que el valor eficaz de la funcin y(1) = 100 + A sen wt es 103,1, hallar la amplitud A del trmino se-noidal. Sol. 35.5.

2-22 Una cierta funcin consta de un trmino constante, un annnco fundamental y un tercer annnico. El valor mxmo del fundamental es el 80 % y el valor mximo del tercer armnico e~ el 50 %, del trmino constante. Sabiendo que el valor eficaz de esta funcin es 180,3, hallar el trmino constante y los dos annnicos. Sol. 150, 120, 75.

2-23 Si el valor eficaz de meda onda senoidal rectificada es 20, cul es su valor medio? Sol. 12.7. :~1 l. 1 Lr t -h~ 2-24 Hallar Y md e Y.r de la forma de onda representada en la Fig. 2-15. Sol. Y.,..d = 40; Y., = 72,1. Fig. 2-15 ,

22 VALORES MEDIO Y EFICAZ [CAP. 2

2-25 Hallar Y.,,,4 e Y..- de la fonna de onda representada en la Figura 2-16. Sol. Y..,.d = 10; Y1r = 52,9.

100

o -20

V ....._

L..

-

!T r -

Fig. 216

11 -

2T t t

-0.02 O.Ol 0.04 o.os '

2-26 Hallar Y.r de la forma de onda representada en la Figura 2-17.

2-27 Hallar r., de la forma de onda representada en la Figura 218. Sol. r., = 6,67. Sol. Y,, = Y .J .Jj = 0,577 Y .

t

Fig. 218

111

y+ /'1 /'1 / .~. 1

Fig .219

2-28 Hallar el valor eficaz de la fonna de onda representada en la Fig. 219 y compararlo con el del Problema 2-27. 2-29 HaJlar el valor eficaz de la onda triangular representada en la Fig. 2-20 y compararlo con el del P'roblema 2-27.

kT T (T + kT)

Fig. 2-20 Fig .221

2-30 Hallar el valor de k en Ja fonna de onda representada en la Fig. 2-21 sabiendo que es una fraccin del periodo T tal que el valor eficaz es (a) 2, (b) 5. Cul ser el mximo valor eficaz de la forma de onda dada al variar k? Sol. (a) 0,12; (b) 0,75; 5,71 para k = l.

2-31 Hallar Jos valores V..,td y V" de la fonna de onda de la Figura 2-22. Sol. Vmd = 21,6; v., = 24,75

2-32 En el Problema 2-31 determinar los valores V..,,..i y v., si la funcin se define en el primer intervalo por (a) s0e-2001, (b) soe-soo . Sol. (a) v,...6 = 12,25. V,,= 17,67;

(h) vmcd = 5,0, v.,= ll,18. 2-33 Hallar los valores Y.,td e Y., correspondientes a la

forma de onda de la Fig. 2-23 definida por

0 < I < 0,025 y(t) = 4-00t 0,025 < t < 0,050 y(t > = 1oe-100011-o.02S1

Sol. Y ....i = 2, 7, Y,, = 4,2

'U &o

11

0.025

t 0.02 0.04 $

Fig. 222

0.050 0.075 o. 100 s

Fig. 2-23

,.,-

CAP. 2] VALORES MEDIO Y EFICAZ

2-34 La forma de onda de la Fig. 2-24 es anloga a la del Problema 2-33, pero con un tiempo de eleva-cin ms pequeo. Hallar los valores Yami e Y.,.

o < ' < 0,01 y(t) == 10001 0,01 < r < 0,05 y(t) = IOe- '

Captulo 3

Intensidad de corriente y tensin senoidales

INTRODUCCION

Al aplicar las leyes de KirchhofT a un circuito cualquiera de una malla el resultado es, en general, una ecuacin integrodiferencial. Los mtodos de resolucin clsicos de ecuaciones diferenciales propor-cionan la solucin del problema elctrico. Ahora bien, la intensidad de corriente, que suele ser la incg-nita, debida a una determinada tensin aplicada, viene dada por una suma de dos funciones. Una de ellas corresponde a la intensidad del rgimen transitorio que, nonnalmente, se anula a las pocas frac-ciones de segundo, y la otra constituye la intensidad en rgimen permanente, la cual perdura mjentras existe la excitacin.

Como muchos estudiantes cuando comienzan el estudio del anlisis de circuitosno conocen todava la tcnica de resolucin de ecuaciones diferenciales, solo veremos en este captulo el rgimen perma-nente prescindiendo, de momento, del transitorio correspondiente. No obstante, en el Captulo 16 se estudiarn las ecuaciones diferenciales aplicadas a los circuitos elctricos en donde veremos algunos ejemplos ilustrativos de los regfmenes transitorio y permanente de la solucin general.

INTENSIDADES DE CORRmNTE SENOIDALES En l_a Tabla 3-1 aparecen las tensiones en bornes de los tres elementos R, L .y C puros en el caso

de que la corriente que circule por ellos sea de tipo seno o coseno.

Tabla J.l Tensin eo bornes de un elemento puro si la corriente es senoidal

Elemento Tensin s Temin si Tensin si i es general i = J,.senc.it i = I.co11wt

Resistencia R " -

Ri 1111 = RI. sen wt 11a = RI. COI wt

Autoinduccin L 11J. - L di dt ti" = wLI. co111.1t vL = w.LJ,,.(- scn1.1t)

Capacidad C 'lle - ~ f idt 11c = ~C(-co1111t) 1 ... 11c = ... e sen wt

Tabl11 3-2 Corriente en los elementos puros si la corriente es senoidal

Elemento Corriente si Corriente si Corriente si v es general 11 = V .. sen wt 11 = V"' co11 wt

Resistencia R 11 ' = R

. v.. t i ... = 1f senw . v .. 1a = R COB 1t

Autoinduccin L it. = i f 11 dt i,_ = ~L (~coa wt) . v .. i,, = wL senwt Capacidad e . cdv

'le= dt ic = 1o1CV. coa wt ic = c.iCV. (-sen wt)

24

CAP. 3) INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES 25

TENSIONES SENOIDALES En la Tabla 3-2 aparecen las intensidades de corriente por Jos tres elementos R, l y C puros en el

caso de la que la tensin aplicada a cada uno de ellos sea de tipo seno o coseno.

IMPEDANCIA

La impedancia de un elemento aislado, o de una rama de varios elementos, o de un circuito com-pleto, es Ja relacin entre la tensin aplicada y la intensidad de corriente que circula.

1 d . _ Funcin de tensin mpe anc1a - F . , d . .d d unc1on e mtens1 a

Si las tensiones e intensidades de corriente son senoidales, esta relacin tiene un mdulo y un argumen-to (ngulo). En el Captulo 5 se estudia la impedancia con mucho detalle y all se considera el argumento. En este capitulo solo estudiaremos el mdulo de la impedancia . El argumento o ngulo entre la tensin v y la intensidad de corriente i se Uama ngulo de fase o, simplemente, fase.

ANGULO DE .FASE

Si tanto la tensin como la intensidad de corriente son funciones senoidales del tiempo y se repre-senta n grficamente con Ja misma escala de tiempos, aparece un desplazamiento relativo entre ambas magnitudes que solo es nulo en el caso de tratarse de un elemento resistivo puro. Dicho desplazamiento es cJ ngulo de fase y nunca puede ser superior a 90 o tt/2 radianes. Por convenio, al hablar del ngulo de fase se considera el que forma la intensidad de corriente i con la tensin v. En un co:ndensador, por ejemplo, i adelanta 90 o tt/2 radianes a v; en un circuito serie RL, con R igual a wl, v adelanta 45 o n4 a i (o bien i est retrasada tt/4 respecto de v); en una resistencia pura, i est en fase con v; etc. Las representaciones de las figuras siguientes aclaran Jos conceptos de impedancia y ngul o de fase.

Resistencia R. En uo elemento resistivo puro Ja intensidad de corriente y Ja tensin est n en fase. (Vase Fig. 3-1.) El mdulo de Ja impedancia es R.

i.it 2 ..

f ig. 3-1 Fig. 3-Z

Autoinducdn L. En una bobina pura la intensidad de corriente se retrasa 90" o n,'2 respecto de Ja tensin. (Vase Fig. 3-2.) El mdulo de la impedancia es wL.

Capacidad C. En un condensador puro, Ja intensidad de corriente adelanta 90 o 11/2 a la tensin. 1 (Vase Fig. 3-3.) El mdulo de la impedancia es wc

Fi. 3.3

26 lNTE!':'SlDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES (CAP. 3

Circuito serie RL. La intensidad de corriente se retrasa respecto de la tensin un ngulo igual

a are tg (wL/R). (Vase Fig. 3-4.) El mdulo de la impedancia es jR2 + (wL)2

2ir

f'ig. 3-4 Fig. 3-S

Circuito serie RC. La intensidad de corriente adelanta a la tensin en un ngulo igual a are tg

(l/~C). (Vase Fig. 3-5.) El mdulo de la impedancia es jR2 + .(l /wC)2 CIRCUITOS SERIE Y PARALELO

En un circuito cuyos elementos (impedancias) estn conectados en paralelo la intensidad de cortien-es igual a la suma de las cadas de tensin en dichos elementos individuales. Por ejemplo, en la Fig. 3-6(a) se verifica: vr = v1 + v2 + v3 .

~~ 1, l _ ll~ i d -i

(a) (b) Fig. 3-6

En un circuito cuyos elementos (impedancias) estn conectados en paralelo la intensidad de corrien-te total es igual a la suma de las intensidades que circulan por cada uno de dichos elementos individuales. Por ejemplo, en la Fig. 3-6(b) se verifica: ;T = i 1 + i2 + i3 Se puede observar que esto es una aplica-cin de Ja primera ley de Kirchhoff, pues las cuatro intensidades tienen un nudo comn.

Problemas resueltos

3-1 Por un circuito serie formado por un elemento r~si stivo de resistencia R ohmios y una bobina de autoinduccin L henrios, como se indica en la Fig. 3-7(a), circula una corriente de intensidad i = !,,, sen wt amperios. ExpresaF'la tensin total aplicada vT mediante una funcin senoidal.

! 0 11~ 1 1 11L . --~hVWM-__,r 000 ,._.,...1 __ ~1 R ~

Vr (a) Fig. 3-7

R (b)

28 INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENS10N SEN~lDALES (CAP. 3

~5 Por el circuito serie RC represen tacto en la Fig. 3-9 circula una corriente de intensidad i = 1,,, cos wt. Expresar la tensin total aplicada mediante una funcin cosenoidal simple.

-i(t) R

Fig. 3-9

11r = 1.IA + 'lle = RI., cos "'t + (l/wC)I. sen 111t Expresando vT por un nico trmino coseno de amplitud A y fase 4>.

-1/wC

1.1, = A cos (wt + ot>) A cos ..,t cos of> - A sen i.1t sen r/> Igualando los coeficientes de sen wt y cos wt en (1 ) "i (2) resulta,

RI.. = A cos of>, (l/ ... C)l., = -A sen .p

. s;~n r/> 1 Ahora bien, tg r/> = -- = - CR ,

cos '/> "' R

cos"' = ' yR' + (1/"'C)' A = V R1 + (1/"'C)' l., con lo que

tlr = A cos (wt + 9') - .../R1 + (1/wC)1 1. coa (wt - are tg l/wC R

(1)

(!)

es dedr, la corriente est adelantada respecto de Ja tensin. (Como sen 4> es negativo y cos 4> es positivo, el ngulo 4> est en el cuarto cuadrante.)

El mdulo de la impedancia es J~R"""'2_+_(1_/w-C~J2 1 wc ,i,, o d 1 1 d 1 Si R ~ l/wC. -R -+ O y .,, -+ , es ec1r, e mismo resu ta o que con un e emento pos1t1vo puro.

Si l/wC ~ R. l;C - r;o y ~-+ n/2. es decir, el mismo resultado que obtuvimos con un condensador puro. En una asociacin serie RC la corriente est adelantada resi>ecto de la tensin un ngulo comprendido entre

O y 90 o n/2 radianes. segn los valores relativos de R y l/coC.

3-6 Por el circuito serie de la Fig. 3-10 circula una corriente de intensidad i = 2 cos 50001 amperios. Hallar la tensin total aplicada Vr-

i

'""J __ _ t'ig. 3-10

------ t iwc Vr = ./ R2 + (l/wCJ2 1,,, cos (wt - are tg "7-) = 22,4 cos (50001 - 63,4) 1/wC .

en donde R = 5, liwC = 1(5000 x 20 x ro 6 ) = 10, are tg R = are tg 10/5 = 63,4u, /,. = 2. La corriente est adelantada respecto de la tensin un ngulo de 63,4. El valor absoluto de la impedan-

cia es 11,18 a.

CAP. 3) INTENSIDAD. DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES

3-7 Por el circuito serie RLC representado en la Fig. 3-J J crcula una corriente de intensidad i - /.,,. sen wt. Hallar la cada de tensin en bornes de cada elemento.

"' -Ri

-RI ... sen c.1t

d c.1LI. coa wt 11L - L dt (l .. sen wt) -

~ f 1. senwt dt 1 11c --

c.1C 1.(-cos c.1t)

1111 e ; VL e i

Fir. 311

Ve

~e e i li en fase con 1111 J li relrasada 90 res pecio de u d l adelanlada 90' respecto de lle 1

Fig.3-12

29

3-8 En el Problema 3-7 expresar la tensin total aplicada Vr mediante una funcin senoidal nicamente. Rl. sen t + (..,L - 1/wC)I. cos 1.1t

Expresando "T mediante una funcin seno de amplitud A y ngulo ~e fase q,, vT = A sen (1.1t + t/>)

= A sen c.>t cos tfl + A coa "'t sen tfl Igualando Jos coeficientes de sen wr y cos wr en (1) y (~) resulta,

Rl. = A COll "" I ... (wL - l/wC) = A sen t/> . wL-1/wC R Ahora bien, tg t/> = R , coa t/> = -;;;;:;:::::;::;==.~;:o:

,at + (wL - 1/wC)1 con lo que

111' = A sen (c.1t + ..) - ,R + (wL - 1/wC) J. sen [wt + are tg - 1 (t.1L - 1/1.1C)/R]

(1)

. (S)

en donde J R2 + (wL' - 1 (l)C )2 es el valor absoluto de fa impedancia, y are tg ((l)L - l/wC)/ R el n gulo de fase.

Si wL > l/wC, el ngulo de fase 4' es positivo, la corriente retrasa respecto de la tensin y en el circuito pre-domina el efecto inductivo.

Si l/wC > wL, el ngulo de fase~ es negativo, la corriente adelanta a la tensin y en el crcujto predomi na el efecto capacitivo -

Si wL = l/wC, el ngulo de fase 4' es nulo, la corriente y la tensin estn en fase y el valor de la impedan-cia es R. Esta condicin se llama de resonancia serie.

3-9 Demostrar que si wL se expresa en radianes por segundo (rad/s), Len henrios (H) y C en faradios (F), (JJL y 1/wC vienen dados en ohmios (0).

rad 1 V s V wL = - H = - - = - = O

s s A A l s 1 V V -=--=s--=-=l wC rad F A s A

Obsrvese que el radin, medida de un ngulo, es un nmero puro (adimensional).

30 INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES (CAP. 3

3-10 En un circuito serie RLC tiene Jos valores R = 15 ohmios, L = 0,08 henrios y C = 30 microfa-radios. La tensin aplicada es de una pulsacin igual a 500 radianes por segundo. Hallar el n-g1,1lo de fase de la corriente respecto de la tensin.

1 - = -- = 667 n wC 500(30 x 10-) ' ()JL = 500(0,08) = 40 1"2,

w L - l wC - 26,7 are lg ---- = are tg = - 60,65c

R 15

La reaclancia capacitiva, o capacitancia, 1/wC, es mayor que la reactancia inductiva, o inductancia, wL. La corriente est adelantada con respecto a la tensin un ngulo de 60,65, y en el circuito predomina el efecto capacitivo. El mdulo de la impedancia es ,/ R 2 + (wl - l/wC)l = 30, O.

3-11 La diferencia de potencia! aplicada a la asociacin en paralelo RL representada en la Fig. 3-13 es v = v ... cos wt voltios. Hallar la intensidad de la corriente que circula poi cada rama y expresar la intensidad total ir mediante una funcin coseno.

= - 1! + - V dt l l J' R L = v.. v .. R cos .it + wL sen"'t Por tactto, 4 v(l/R) + (l/i.>L)1 v. COll ("'t - are tg R/wL) La corriente est adr lantada respec.to de la tensin un ngulo ."' a re tg R/wl.

Si R p wL, rp 4 n2, con lo cual, ir :::: (V ,,jwL) cos (coi - n/2). Con esta resistencia, relativamente grande, la corriente que circula por la rama resis-tiva es muy pequea. Es decir, ir est formada esencialmente por iL. y esta corriente inductiva gobierna la corriente tota l que circula.

Si wl ~ R. {2) Fig. 3-15

CAP. 3] INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES 31

Igualando Jos coeficientes de sen wt y cos wt en (1) y (2) resulta, V,./R = A cos.p, (,.,C - 1/wL)V., - Asen,,,.

wC - l/wL 1/R A Por lanto. tg t/> = , cos '1> = , = y(l/ R)' + (wC - l/wL)2 V .. , l/R ../(l!R)' + {wC - l/..iL)1

con Jo que 4 = V(l/R)2 + (wC - l/.iL)1 V .. sen [wt +are tg (wG - l/wL)Rj Como era de esperar,. el signo del ngulo de fase depende de los valores relativos de wC y l/wL.

La corriente que circula por la rama inductiva est recrasada 90 o 11/2 radianes respecto de la tensin apli-cada. La corriente que circula por la rama capacitiva, por el contrario, est adelantada 9()0 o te/2 radianes res-pecto de dicha tensin. Estas dos corrientes pueden anularse cuando tengan el mismo valor numrico. S la corriente en la rama inductiva es mayor, la intensidad total estar retrasada respecto de la tensin aplicada; si es mayor la corriente en la rama capaciliva, Ja corriente total estar adelantada respecto de la lensi?n aplicada.

3--14 Dos elementos puros de un circuito serie tienen la siguiente corriente y tensin : P = 150 sen (500t + 10) voltios, i = 13,42 sen (500r - 53,4) amperios

Determinar dichos elementos. Evidentemente, la corriente est retrasada respecto de la tensin en un valor 53,4 + 10 == 63,4; por

tanto, el circuito es inductivo y estar formado por una resistencia R y una bobina de autooduccin L.

tg 63.4 = 2 = wL/R, .,L = 2R

V.JI .. = yR1 +(wL)1, 150/13,42 = yR1 t(2R)1, R = 5 n con lo que: L = 2R/w = 0,02 H . El circuito est fonnado por una resistencia R = 5 fl y una autoinduccn L = 0,02 H.

J..15 Un circuito serie compuesto por dos elementos puros tiene la siguiente corriente y tensin (am-perios y voltios):

v = 200 sen (2000t + 50 ) voltios, i = 4 cos (2000t + 13,2 ) amperios Detenninar dichos elementos.

Como cos x = sen (x + 90~). podemos poner = 4 sen (2000r + 103,2c). De aqu que la corriente ade-lante a la tensin en un ngulo de 103,2 - 50 = 53,2. En estas condiciones, el circuito debe estar fonnado por una resistencia R y un condensador de capacidad C.

tg 53,2 = 1,33 = 1/ wCR, 1/wC = l ,33R

V.JI,.. = .jR2 + (l/wC)2, 200/4 = j R2 + (l,33R)2, R = 30 O y e= l /(l,33wR) = 1,25 X 10- ' F = 12,5 F .

3--16 En e1 circuito serie de la Fig. 3-16 la tensin y la corrien-te son

v = 353,5 cos (3000r - 10 ) voltios, i = 12,5 cos (3000t - 55) amperios

y la autoinduccin de la bobina es igual a 0,01 henrios. Hallar los valores de R y de C.

La corriente est retrasada respecto de Ja tensin un ngulo de 55 - 10 = 45. Es decir, la reactancia inductiva, wL, es mayor que la reactancia capacitiva, 1/wC.

tg 46 = 1 = (wL - 1/wC)/R, V.ti .. = yR" + (.iL - l/"'C),

R=20 O

y de (wL - l/.,C) = R se deduce

(wL - l/wC} = R 363,6/12,6 = V2ii'

e= 3.33 X IO- s F = 33.3 F'

-1

FJ. !-16

32 INTENSIDAD DE CORRI ENTE Y TENSION SENOIDALES [CAP. 3

3-17 En el circuito paralelo de la Fig. 3-17 la funcin de tensin es v = 100 sen (1000r + 50:;) voltios. Expresar la in tensidad de la corriente tota l median te una funcin seno.

l T .A + j L := i + t J~ V dt 20 sen (l OOOt + 50 ) - 5 cos (lOOOt + 50) A sen(lOOOt + 50 ) cos + A cos (lOOOt + 50) sen

de donde 20 = A cos y - 5 = A sen . Por tanto, tg O l.b mH .lO F

Fig.3-17 Fg.3-18

3-18 La tensin aplicada al circuito representado en Ja Fig. 3-18 es v = 50 sen (5000t + 45) voltios. Hallar las intensidades de corriente en todas las ramas as como la intensidad total.

= .!. + ! J' v dt + e dv R L, dt = 2,5 sen (50001 + 45") - 6,25 cos (50001 + 45") + 5 cos (5000t + 45) = 2,5 sen (50001 + 45) - 1,25 cos (50001 + 4 5"} = 2,8 sen (50001. + 18,4), empleando los mtodos de este captulo.

La corriente est retrasada respecto de la tensin aplicada un ngulo de 45 - 18,4" = 26,6.

Obsrvese que la intensidad total tiene un valor mximo de 2,8 A. Este valor es menor que cualquiera de los valores mcimos de las intensidades qu1: 1.;ilculan por las ramas inductiva y capacitiva que son 6,26 y S am-perios, respectivamente. La explicacin se deduce fcilmente de !as representaciones grficas, a la misma es-cala, de las intensidades que circulan por las tres ramas.

3-19 Por la asociacin en serie RLC de Ja Fig. 3-19 circula una corriente i = 3 cos (5000t - 60 ) am-perios. Hallar la cada de tensin en cada elemento y la cada de tensin total.

11r - 11,. + 1/L +Ve == Ri + L~f + ~ ,f idt = 6 cos (5000t - 60") -- 24 sen (5000t - 60 ) + 30 sen (5000t - 60) -- 6 cos (5000t- 60") -~ 6 sen (50001. - 60) - 8.49 cos (5000t - 105 ); empleando los metodos de este capitulo. La corriente est adelantad!! respecto de la tensin total un ngulo de

105 - 60 = 45.

--=---1

l.b m H

Obsrvese que Ja tensin mll.ima aplicada es de 8,49 V. La tensin en los elementos individuales del circuito es mayor cue sta para los elementos in-ductivo y capacitivo. Haciendo una representacin grfica a escala se verla in-mediatamente.

____ T... 2u ,,F

Fic. 3-19

CAP. 3) INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOIDALES .33

Problemas propuestos . .

3-20 Por una bobina pura de autoinduccin L = 0,01 henrios circula una corriente i = 5 cos 20001 amperios. Hallar su tensin en bornes. Sol. 100 cos (2000t + 90) V.

3-21 Por uo condensador puro de capacidad C = 30 microfaradios circula una corriente i = 12 sen 2000t amperios. Hallar su tensin en bornes. Sol. 200 sen (2000t - 90) V.

3-ll Eo un circuito serie RL. con R == 5 ohmios y L = 0,06 henrios, la tensin en bornes de la bobina es vL = 15 sen 200t voltios. Hallar la tensin total, la intensidad de corriente, el ngulo de fase de i respecto de vr y el mdu-lo de la impedancia. Sol. i = 1,25 sen (2Ot - 90) A; vr = 16,25 sen (2001 - 22,65) V; 67,35 ; V,./I,. = 13 n.

3-23 En el mismo circuito serie del Problema 3-22 Ja tensin en la resistencr es v11 = 15 sen 2001. Hallar la tensin total, Ja intensidad de corriente, el ngulo de fase de i respecto de vr y. el mdulo de la impedancia. Sol. i = 3 sen 200t A ; 11r = 39 sen (200t + 67,35~ ) V; 67,35; V.JI,. = 13 n.

3-2' En un circuito serie de dos elementos simples la tensin y la corriente son (voltios y amperios): ... v7 = 2.S.S sen (300t + 45); i = 8,5 sen (300t + 15 )

Determinar d ichos elementos. Sol. R = 26 O; L = 0,05 H.

3-25 En un circuito serie de dos elementos simples la tensin y la corriente son (voltios y amperios): Vr = 150 COS (2001 - 30'' ); ; = 4,48 cos (2001 - 56,6)

..

Determinar dichos eiementos. Sol. R = 30 O; L = 0,075 H.

3-1'6 Dos elementos simples R = 12 ohmios y C = 31,3 microfaradios se unen en serie y se les aplica una tensin v = 100 cos (20001 - 20) vol tios. Los dos mismos elementos se unen ahora en paralelo con la misma ten-sin aplicada. Hallar la intensidad total que circula en cada conexin. Sol. Serie : i = 5 cos {20001 + 33,2) A; paralelo: i = 10.4 cos (20001 + 16,8) A.

3-27 Una resistencia R = 27,5 ohmios y un condensador C = 66,7 microfaradios se unen en serie. La tensin en el condensador es ve = 50 cos 1 SOOt voltios. Hallar la tensin total Pr, el ngulo de fase de la corriente sobre la tensin y el mdulo de la impedancia. Sol. Vr = 146,3 cos (l 500t + 70) V; 20; V ,.J !,,, = 29,3 n.

3-28 Una resistencia R = 5 ohmios y un cierto condensador se unen en serie. La tensin en la resistencia es v.ll = 25 sen (20001 + 30) voltios. Si la corriente est adelantada 60 respecto de la tensin, cul es el valor de la capaci dad C del condensador? Sol. 57,7 F.

3-29 Un circuito serie LC, con L = 0,0.S henrios y una capacidad desconocida, tiene la tensin e intensidad de co rriente (voltios y amperios):

v7 = 100 sen 50001, = 2 sen (50001 + 90) Hallar el valor de la capacidad C. S

: .. ":.:: ...

. . =

: : .. ;~ ;.~g

.: ;:. '.:~

. - -~ - : _.;;: :: ~ .. ! -- - --=

34 INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSION SENOlDALES (CAP. 3

3-34 Una resistencia R ""' 1 O ohmios y una autoindu~in l = 0,005 henrios estn en paralelo. La corriente que circula por la rama inductiva es ii, "' 5 sen (20001 - 45) amperios. Hallar la inteMidad de corriente total y el ngulo de fase entre iT y la tensin aplicada. Sol. ir = 7.07 sen (20001 + O") A; 45 Ur retrasada respecto de u) .

3-35 Un circuito paralelo tiene en una de sus ramas una resistencia R = 5 ohmios y en la otra un elemento deseo nocido; Ja tensin aplicada y la corriente total son (voltios y amperios):

V = 10 COS (501 + 60 ); i = 5,38 cos (501 - 8,2]

Captulo 4 Nmeros complejos

NUMEROS REALES El cuerpo de los nmeros reales se compone de los correspondientes a los nmeros racionales e irra-

cionales. El conjunto de los nmeros reales se puede poner en correspondencia biunvoca con el conjunto de los puntos de una recta que se llama eje real; es decir, cada punto de la recta representa un nico n-mero real y cualquier nmero real se representa por un nico punto de la recta, como muestra la Fig. 4-1. La suma, resta, multiplcacin y divisin de dos nmeros reales es otro nmero real. La raz cuadrada de un nmero real positivo es tambin otro nmero real; pero si es negacivo, su raz cuadrada no es un nmero real o bien no corresponde a ningn punto de Ja citada recta.

- 14/3 -r

36 NUMEROS COMPLEJOS (CAP. 4

Si se traza el eje real perpendicular al eje imaginario, como se representa en la Fig. 4-3, siendo O el punto de interseccin llamado origen, el conjunto de los nmeros complejos se puede poner en corres-pondencia biunvoca con el conjunto de punlos del plano complejo as formado. En dicha Fig. 4-3, se han situado los seis nmeros complejos (z1, . , z6 ) que aparecen a su izquierda.

; j&

la j4 ;3 - - - -1t le

6 %1 - z. 1 2 - j3

,_ - ...... - ;2 1 Zz - 1 jJ 1 Z3 - j4 1

:11

Jl4 --3 + j2 -r; '-'-a -i -1 o 1 2 3 -;1 1

-4- j4 Zs - 1 -j?. 1

Ze - 3 + j3 1 -13 ... z. ------ ...

-;4 ~

-;5

Fig. 4-3

DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERO COMPLEJO

En la Fig. 4-4, x = r cos 8, y = r sen O, con lo que el n-mero complejo z es

z = x + jy = r(cos (} + j sen 0)

en donde la expresin r = J x2 + y2 se llama mdulo de z, y el ngulo (} = are tg y/x recibe el nombre de argumento de z.

La frmula de Euler, e9 = (cos (} + j sen O), pennte. ex-presar en otra forma, que se llama exponencial, un nmero complejo (vase Problema 4-1 ).

z = r cos (} + jr sen (J = r el9

j

ill

o %

Representacin polar de un nmero complejo z

Fig. -4

En teora de circuitos es muy frecuente emplear la forma polar o de Steinmetz de un nmero com-plejo z y se suele escribir as:

r/O

en donde (} se mide en 'grados o en radianes. A continuacin se resumen las cuatro formas de representar un nmero complejo; el empleo de

una u otra depende, fundamentalmente, de la operacin que se trate de efectuar.

Forma binmica Forma polar o de Steinmetz Forma exponencial Forma trigonomtrica

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO

Z =X+ jy z = r/O z = r ei6 z = r(cos O + j sen 0)

El conjugado del nmero complejo z = x + jy es el complejo z* = x - jy. Por ejemplo, son n meros complejos conjugados los pares: (1) 3 - 12 y 3 + J2, (2) - 5 + j4 y - 5 - j4.

CAP. 4] NUMEROS COMPLEJOS

En forma polar, el conjunto de z = r /O es z-= r/-0.Comocos (-0) = cos Oysen (-0) = - sen 8, el conjugado de z = r(cos (} + j sen O) es z = r(cos (} - j sen 0). Por ejemplo, el conjuga do de z = 7/30 es z = 7/-30.

En el plano complejo, el conjugado z de un nmero complejo z es siempre el simtrico de z respecto del eje real, como se muestra en la fj. gura 45.

;

'I

2 3 4 ' ' '

Z1 = 3 + j4, Z~ = 3 - j4

37

Por consiguiente, las cuatro formas de escri-bir un nmero complejo z y su conjugado corres. pondente son: Z2 = 5/143.1 o, z; = 5/-143,1 o

Fig. 4-S. Nmeros complejos y sus conjugados Z = X+ jy z* = X - jy

z = r/!_ z* = r/ 8

z = rei11 z = re-16

z = r(cos8 + j sen8) z =. r(cos 8 - j sen 8)

SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS Para sumar (restar} dos nmeros complejos se suman (restan) sus partes reales y sus partes imagi-

narias independientemente. En la prctica, para sumar (restar) complejos lo ms cmodo es escribirlos en forma binmica.

Ejemplo l. Sean los complejos z1 = 5 - j2 y z2 = -3 - jB. Entonces, Z1 + Z2 (5 - 3) + j(-2 - 8) = 2 - jlO Z2 - Z = (-3 - 5) + j(-8 + 2) = -8 - j6

MULTIPUCACION DE NUMEROS COMPLEJOS El producto de dos nmeros complejos, escritos en forma exponencial, se deduce inmediatamente

de las propiedades de la potenciacin.

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que z1z2 - (r1f!..:. )(ri.flJ.) - r1r2/(Ji + 02

Por ltimo, si los complejos vienen dados en forma binmica se multiplican como si fueran po-linomios.

Ejemplo 2. Si Ejemplo J. Si Ejemplo 4. Si

Z1Z2 = (x1 + jy.)(x2 + Y2} = X1X2 + }X1Y2 + JY1X2 + }2Y1Y2 = (X1X2 - Y1Y2} + j(X1Y2 + Y1X2)

.z1 = 5e;ir1:1 y z2 = 2t1-Jir1e, resulta z1z2 = (5e1rt3)(2e-J1r18) = lOeJ1rte. z1 = 2/30 y z2 = 5/-45, resulta z1z2 = (2/30 l (5/-45) = 10/-16. z1 = 2 + j3 Y z2 = -1- j3, resulta z1z2 = (2 + j3)(-l- j3) = 7- j9.

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS El cociente de dos nmeros complejos, escritos en forma exponencial, se deduce inmediatamente

de las propiedades de la potenciacin.

38 NUMEROS COMPLEJOS

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que

z1

Z2

[CAP. 4

Por ltimo, si los complejos vienen dados en forma binmica se multiplica el numerador y deno-minador por el conjugado del denominador.

Zt

z2

Ejemplo S. Sean z1 = 4e;"13 y z2 = 2eJ1ri11 ; entonces 11 4eJ11'/a 2eJr1e. Z;; - 2eir/8 . -

Ejemplo 6. Sean z1 = 81-:30 y z2 = 2/-60; entonces Zi Z2

Ejemplo 7. Sean z1 = 4 - j5 y i 2 = 1 + j2;entonces z, Z2

RAIZ DE UN NUMERO COMPLEJO

8/-80 2/-60

4-j5 (1-j2) 1 + i2 l -j2

4/30.

-6-jlS 15

Cualquier nmero complejo dado en la forma z = r e19 equivale a escribir z = r eilk ~ == {/r/(6 +n860)/k

Dando a k los valores O, 1, 2, 3, ... , (k - l ), se deducen las k races distintas que posee un nmero com-plejo.

Ejemplo 8. Si z "' 8!60, se deduce que _y; = ,YS/(60 + n360)/3 = 2/(20 + nl20"). Como n se le pueden dar los

valores O, 1 y 2 se obtenen las tres races 2/20, 2/J40 y 2/260".

Ejemplo 9. Hallar las races quintas de Ja unidad (real). Como l = 1 ei2, se tiene .e/ = .ji ei2""'5 = Je.i1 .. "'5 . Como n se le pueden dar los valores O, 1, 2, 3 'j 4,

las cinco races quintas son IL['. 1, IL72, 1/144, lfil6 y 1/288.

LOGARITMO DE UN NUMERO COMPI .. EJO El logaritmo neperiano o natural de un nmero complejo se halla muy fcilmente si ste se escribe

en forma exponencial. ln z -- In r ejlB+2n> - ln r + In e;ce+hn> - In T + j(6 + 2'11'7!.)

El resultado que se obtiene, pues, no es nco. Se llama valor principal del logaritmo al que corres-ponde a /1 = O, y es el que se consdera con ms frecuencia.

Ejemplo 10. Si z "' 3f>'''", se deduce In z ,., In z ei"16 = In 3 + jtr./6 = 1,099 + j0,523.

EMPLEO DE LA REGLA DE CAI,CULO EN EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Introduccin

En Ja notacin fasorial que veremos en el Captulo 5, la tensin, la intensidad de corriente y la im-pedancia son nmeros complejos. Las formas de expresin ms frecuente de estas magnitudes son la binmica y la polar. Es necesario, pues, pasar rpidamente de una a otra forma, ya que lo ms cmodo para multiplicar y dividir compleJns es escribirlos en forma polar y, en cambio, para sumarlos o restar-los lo mejor es hacerlo en forma binmica,

CAP. 4) NUMEROS COMPLEJOS 39

Para estas conversiones, es muy aconsejable manejar con soltura la regla de clculo decimal-trigo-nomtrica. Existen diversas reglas de clculo y recomendamos aprender bien su utilizacin leyendo el libro de instruc.ciones que la acompaan.

Como el propsito de esta parte es llegar a una rpida y eficaz conversin en cualquier sentido, las explicaciones trigonomtricas se reducen al mnimo.

PASO DE FORMA POLAR A BINOJ\1ICA

Ejemplo U. Expresar 5~ en forma bnmica'. x + jy.

l. Se hace un mono o dibujo expresando el hecho de que el angulo es mayor de 45. 2. X = 50 COS 53,l = 50 X 0,600 = 30,

y = 50 sen 53,1 = 50 x 0,800 = 40. 3. Las partes real e imaginaria son ambas positivas. 4. 50/53,1 = 30 + j40.

Ejemplo 12. Expresar l 00/ - 120 en forma binmica, x + jy.

l. Se dibuja el

40 NUMEROS COMPLEJOS (CAP. 4

OPERACIONES CON ANGULOS MENORES DE SEIS GRADOS

Cuando el valor numrico de! ngulo O de la forma polar de un nmero complejo es muy pequeo, el mdulo r y la parte real x de ta forma binmica son aproximadamente iguales. Para IOI < 5. 73 , los valores de r y de x se consideran iguales . La parte imaginaria jy = jr seo () se detennina empleando la cscaJa de senos tangentes (ST) de la reglilJa en la que se hace la sustitucin de los infinitsmos equi-valentes: seno. arco y tangente. La misma hiptesis se hace cuando el ngulo O es prximo a 180, .cuyo ngulo de referencia para los clculos es menor que 5,73 .

Si el valor numrico de O es prximo a 90 , el mdulo r y el valor de y de la parte imaginaria co-rrespondiente al complejo escrito en forma binmica son apro~madamente iguales .. Para 84,27 < O ~ 95,73, los valores de re y se suponen iguales. La. parte real x = r cos 8 se determina empleando la escala de senos tangentes de la reglilla. teniendo en cuenta que cos O = sen (90 - 9). Esta misma considera cin se hace para valores de O prximos a 270, en los que el ngl.llo de referencia es igual o mayor que 84,27.

Ejemplo 15. Expresar 10/3.5 en forma binmica. x .,. jy. 1. Se hace un mono o dibujo exagerando el valor del ngulo. 2. Como el ngulo es menor de 5,73. la parte real x = 10. 3. sen 3.5 = 0,061. de donde y = JO x 0,06? = 0,61. 4. Las partes real e imaginaria son ambas positivas. S. I0/3,5 = 1 O + 10.6J. (Para ngulos muy pequeos. la relacin entre las partes real

e imaginaria es de l O a 1.)

Ejemplo 16. Expresar 450/94 en forma binmica. :e + jy. 1. Se hace el mono correspondiente. El ngulo de referencia es 86=>. 2. Como el ngulo de referencia e~ mayor. que 84,27. la parte imaginaria y = 450. 3. cos 86 = sen 4v = 0.070, de donde x = 450 x 0.070 = 31 ,5. 4. La parle real es negativcl y Ja imaginaria es positiva.

5. 450/94:. = - 31.5 + j450.

Ejemplo 17. Expresar 50 + j 500 en fo rma polar. r/ 0 l. Se hace el mono corrcspondente. La relacin de partes imaginaria a real es ma-

yor que 10 a 1. lo cuai ind ica que el ngulo es mayor de 84.27 : por tanto. r = 500.

2. 0 1 ""' are tg .. 20

= are tg 0.04 = 2.3 ~. Por tanto. O= 90' - 2.J ::i = 87.7. 500

J. so + soo = 500/87.r. . 1---

Ejemplo 18. Expresar -4 - )85 en forma polar. ri..Q. 1. Se hace el amono>' corre!\pondiente. La relacin de partes imaginaria a real es ma-

yor que 1 O a i . lo cua l indica que el ngulo es mayor Je 84,27": por tanto. r = 85.

2. 01 = 90 - aic 1g ~ = 90'' - arctg0.047 = 90:- - 2.7~ = 87,3". Por tanto, O= 85 87.3 180"' = 267.Y o bien - 92.7.

3. - 4 - j 85 == 85 267.3: = 85/ -92.7". l-. - ..__ ___ _

j

/1

j

j

20

] - f

CAP. 4} NUMEROS COMPLEJOS 41

Problemas +1 Demostrar la frmula de Euler.

Supocgamos que una funcin se puede representar por una serie de potencias de x de tipo Maclaurin:

/(xi == /(0) + X /'(0) + %~ /"(0) + X~ /"'(0) + + xln-U fht-1> (0) + ... 2. 3. (n - 1) !

siendo connuas, en x = O, Ja funcin y lodas sus derivadas. Los desarrollos de Maclaurin de cos O, sen 8 y el' en potencias de 8 son:

cose 83 19:> 97

sen 9 = 6 - - + - - - + 3! 5! 7! 81 e~ e .. 81 4! + } 5! - 6T - J 7! +

Agrupando trminos en la serie correspondiente a el' tendremos,

:::; 1--+----+ +, 8--+---+ ( 82 194 96 ) ( 83 19:> 91 \ 2! 4 ! 6 ! 3 ! 5 ! 7 ! ... ) cos 11 + j