SEQÜÊNCIAS

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Seqüências

Representação amostral de um sinal Processo de amostragem

Conversor AD (analógico-digital) Decorrente do uso de computadores em:

Aquisição via sensores e conversores AD Controle digital Atuação via atuadores e conversores DA

Seqüências

Definição

onde: x(t) é um sinal/função contínua (t ∈ R) Ta é o período de amostragem n é o instante de tempo (n ∈ Z)

n é adimensional

Obs: não existe informação em x[n] entre n e n+1

)nT(x]n[x a

Seqüências

Definição Representação gráfica

Seqüência

Efeito do período de amostragem

Sequências

Efeito do período de amostragem Ao invés de reproduzir x(t) em x[n],

reproduzimos outro sinal xT(t) com propriedades espectrais distintas. Aliasing

Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam em componentes de alta-freqüência em xT(t)

x(t) conversão AD x[n] conversão DA xT(t) x(t) ≠ xT (t)

Resolução do problema Teorema de Nyquist

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas

onde σ e ω ∈ R

Incluem-se também

)n(jsen)ncos(Ae

Ae]n[x j

)ncos(A]n[x

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas Para todo x(t) periódico, x[n] é periódico?

A freqüência de amostragem influencia a periodicidade da seqüência?

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas Definição de periodicidade

x[n] = x[n+N] N ∈ Z*

Para seqüência senoidais, f = ω / 2π = m / N x[n] = A cos(ωn + θ)

Referência para seqüência senoidal f é razão entre números inteiros (f ∈ Q) Condição para x[n] senoidal ser periódica

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas Considerando o processo de amostragem

Temos:

Condição para sinal periódico amostrado produzir seqüência periódica

)tcos(A)t(x

)ncos(A]n[x

Qa

a

F

F

T

Tf

N

m

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, zero ≤ m ≤ 3 zero ≤ f < 0,5

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, 5 ≤ m < 8 0,5 < f < 1

m=8

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas Padrão senoidal discreto se repete a

múltiplos de f

Intervalos úteis zero ≤ f < 1 [ciclos/amostra] zero ≤ ω < 2π [radianos/amostra]

ncosncos

nN

mk2cosn

N

m2cos

nkf2cosnf2cos

Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas Interpretação

N Número de amostras de um período discreto

m Número de ciclos contínuos reproduzidos em um período discreto

m/N Fração do ciclo contínuo usado na amostragem

f ou ω Freqüência discreta

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Similaridade com sinais singulares

Não existe conceito de descontinuidade Representação de fenômenos como

Liga-desliga Amostragem

Representação matemática de séries numéricas

Série de Fourier

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Delta unitário

Ou delta de Kronecker

Observe que não há problemas na definição para n=0, como ocorre com o delta de Dirac.

Não há problemas de escala como no delta de Dirac

δ[an] = δ[n]

0n,0

0n,1]n[

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Degrau unitário

Observe que para n=0, u[0] = 1, não havendo problema de definição como em u(t)

0n,0

0n,1]n[u

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Sinal unitário

Rampa unitária

0n1

0n0

0n1

]nsgn[

]n[un

0n0

0n,n]n[rampa

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Pulso unitário

Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com um total par de amostras?

)]1N(n[u]Nn[u

Nn,0

Nn,1]n[rect

Seqüências

Seqüências com “singularidades” Trem de impulsos unitário

k

N ]kNn[]n[

Seqüências

Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais

São realizadas amostra-a-amostra Deslocamento temporal

Operação de atraso ou avanço de seqüências f[n] = g[n + n0] f(t) está adiantado em relação a

g[n] h[n] = g[t – t0] h[n] está atrasada em relação a

g[n]

Escala em amplitude y[n] = α x[n]

Seqüências

Operações básicas Escala no “tempo”

Escala dos instantes “n” y[n] = x[A n] y[n] = x[n/A]

Os resultados da escala no “tempo” para seqüências são equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de sinais?

Seqüências

Operações básicas Escala no “tempo”

Primeiro caso: compressão ou decimação y[n] = x [A n]

Perda de amostras decorrente de n ∈ Z Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t)

Se a é par apenas amostras em instantes pares serão

mantidas

Seqüências

Operações básicas Escala no “tempo”

Segundo caso: dilatação ou interpolação y[n] = x [n/A]

Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido O que fazer?

Seqüências

Operações básicas Escala no “tempo”

Segundo caso: dilatação ou “interpolação” y[n] = x [n/A]

Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido Redefinição de escala no “tempo” para

“interpolação”

.c.c0

An],An[x]n[y

Z

Seqüências

Operações básicas Acumulação

Semelhante à integração no domínio contínuo Mesma ambigüidade da integração

Problema da constante de integração

n

k

]k[x]n[y

Seqüências

Operações básicas Diferença finita

Semelhante à diferenciação no domínio contínuo

Pode gerar várias expressões

2

]1n[x]1n[x

]n[x]1n[x

]1n[x]n[x]n[y

Seqüências

Energia e Potência de Seqüências Equivalente às grandezas de x(t) Estimativa de energia que a seqüência

carrega

Energia da seqüência

Usado quando o somatório converge Seqüências finitas, por exemplo

n

2

x ]n[xE

Seqüências

Energia e Potência de Seqüências Potência da seqüência

Usado em seqüências periódicas N é um período completo da seqüência

Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)

1N

Nn

2

Nx ]n[x

N2

1limP

1Nk

kn

2

Nx ]n[x

N

1limP