Seminarvortrag über dieSeminarvortrag über dieOrientierbarkeit von Orientierbarkeit von

FlächenFlächen

vonvon

Katrin BrunnthalerKatrin Brunnthaler

Martin PfurnerMartin Pfurner

InhaltInhalt

Flatland – Die Vorgeschichte:Flatland – Die Vorgeschichte: kurze Vorstellung der Geschichte von A Squarekurze Vorstellung der Geschichte von A Square

Mysteriöse Ereignisse in Flatland:Mysteriöse Ereignisse in Flatland: über die Rückkehr A Squares von einer Reiseüber die Rückkehr A Squares von einer Reise

Tic Tac Toe:Tic Tac Toe: gespielt auf einer Klein‘schen Flächegespielt auf einer Klein‘schen Fläche

Definition von Orientierbarkeit:Definition von Orientierbarkeit: mit Beispielenmit Beispielen

Die Klein‘sche Fläche:Die Klein‘sche Fläche: im 3-dimensionalen Euklidischen Raumim 3-dimensionalen Euklidischen Raum

Die Projektive EbeneDie Projektive Ebene

Die Boy‘sche FlächeDie Boy‘sche Fläche

Quellen: The Shape Of Space, J.R. WeeksQuellen: The Shape Of Space, J.R. Weeks Das Topologikon, J.-P. Petit Das Topologikon, J.-P. Petit

§1 Flatland – Die Vorgeschichte§1 Flatland – Die VorgeschichteA Square glaubt nicht, dass Flatland eine Ebene mit einem Rand ist.

Geht mit rotem Faden in Richtung Norden, und kommt nach einiger Zeit aus Süden zurück

Alle glauben, er ist im Kreis gegangen

Um das Gegenteil zu beweisen geht er mit Um das Gegenteil zu beweisen geht er mit einem blauen Faden Richtung Westen. Kommt einem blauen Faden Richtung Westen. Kommt dann nach kürzerer Zeit aus Osten wieder dann nach kürzerer Zeit aus Osten wieder zurück.zurück.

Also kursiert die Meinung, Flatland sieht so aus:Also kursiert die Meinung, Flatland sieht so aus:

Aber A Square bemerkte, dass er den roten Aber A Square bemerkte, dass er den roten Faden nie überquert hat! Faden nie überquert hat!

Außerdem war der zweite Weg wesentlich Außerdem war der zweite Weg wesentlich kürzer als der erste. kürzer als der erste.

Deshalb muss für A Square Flatland eine Deshalb muss für A Square Flatland eine solche Fläche sein:solche Fläche sein:

§2 Mysteriöse Ereignisse in §2 Mysteriöse Ereignisse in FlatlandFlatland

A Square begibt sich abermals mit einem A Square begibt sich abermals mit einem Freund auf eine Reise.Freund auf eine Reise.

Als sie zurückkommen bemerken sie, dass Als sie zurückkommen bemerken sie, dass alle Schilder in der Stadt gespiegelt sind, alle Schilder in der Stadt gespiegelt sind, alle Menschen auf der falschen alle Menschen auf der falschen Straßenseite gehen und fahren.Straßenseite gehen und fahren.

Die Einwohner behaupten aber, es hätte Die Einwohner behaupten aber, es hätte sich nichts in der Stadt verändert.sich nichts in der Stadt verändert.

Die beiden haben sich Die beiden haben sich also auf einem also auf einem Möbiusband fortbewegt:Möbiusband fortbewegt:

Ein solches befindet Ein solches befindet sich z.B. auf einer sich z.B. auf einer Klein‘schen Fläche:Klein‘schen Fläche:

Mehr von A Square und seiner Mehr von A Square und seiner Geschichte rund um die Gestalt von Geschichte rund um die Gestalt von Flatland in einem der nächsten Flatland in einem der nächsten Vorträge!Vorträge!

§3 Tic Tac Toe §3 Tic Tac Toe

Nun wollen wir auf Nun wollen wir auf der Klein‘schen der Klein‘schen Fläche Tic Tac Toe Fläche Tic Tac Toe spielen:spielen:

Aufgabe:Aufgabe: Finde Finde heraus, was der beste heraus, was der beste Zug für X wäreZug für X wäre

Was passiert, wenn wir dieses Spielfeld über Was passiert, wenn wir dieses Spielfeld über eine Ecke verlassen?eine Ecke verlassen?

Eine Möglichkeit sich das besser vorzustellen ist Eine Möglichkeit sich das besser vorzustellen ist die folgende: die folgende:

Eine Fläche heißt orientierbar, wenn sie Eine Fläche heißt orientierbar, wenn sie keinen Pfad enthält, auf dem sich die keinen Pfad enthält, auf dem sich die Orientierung umkehrt!Orientierung umkehrt!

Andernfalls heißt die Fläche Andernfalls heißt die Fläche nichtorientierbar.nichtorientierbar.

§4 Definition von Orientierbarkeit§4 Definition von Orientierbarkeit

Bemerkungen:Bemerkungen:

- eine orientierbare, geschlossene Fläche - eine orientierbare, geschlossene Fläche teilt den Raum in ein Inneres und ein teilt den Raum in ein Inneres und ein Äußeres Äußeres

- orientierbar => zweiseitige Fläche- orientierbar => zweiseitige Fläche- nichtorientierbat => einseitige Fläche- nichtorientierbat => einseitige Fläche

- eine nicht orientierbare geschlossene - eine nicht orientierbare geschlossene Fläche durchdringt sich im 3-dim. Raum Fläche durchdringt sich im 3-dim. Raum selbst selbst

Beispiele zu orientierbaren Flächen:Beispiele zu orientierbaren Flächen:

KugelKugelTorus, flacher TorusTorus, flacher Torus3-Torus3-TorusEbene …Ebene …

Beispiele zu nicht orientierbaren Flächen:Beispiele zu nicht orientierbaren Flächen:

Möbius BandMöbius BandKlein‘sche FlächeKlein‘sche FlächeProjektive Ebene (kommt später) …Projektive Ebene (kommt später) …

Ein Beispiel einer nicht orientierbaren 3-Ein Beispiel einer nicht orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit:Mannigfaltigkeit:

Wir nehmen einen Würfel, kleben die linke Wir nehmen einen Würfel, kleben die linke und die rechte Wand, den Boden und die und die rechte Wand, den Boden und die Decke zusammen. Die vordere und die Decke zusammen. Die vordere und die hintere Wand sollten spiegelbildlich hintere Wand sollten spiegelbildlich zusammengeklebt werden (rechte Kante zusammengeklebt werden (rechte Kante vorne mit linker Kante hinten und vorne mit linker Kante hinten und umgekehrt).umgekehrt).

Aufgabe:Aufgabe:

Was siehst du, wenn du im inneren dieser Was siehst du, wenn du im inneren dieser 3-Mannigfaltigkeit stehst und durch die 3-Mannigfaltigkeit stehst und durch die hintere Wand schaust?hintere Wand schaust?

Es wäre z.B. ein witziges Spiel, wenn man Es wäre z.B. ein witziges Spiel, wenn man in einer solchen Mannigfaltigkeit fangen in einer solchen Mannigfaltigkeit fangen spielen würde, und dann nicht gefangen spielen würde, und dann nicht gefangen ist, wenn man erratet, mit welcher Hand ist, wenn man erratet, mit welcher Hand man gefangen wurde…man gefangen wurde…

Und so sieht Und so sieht eine Klein‘sche eine Klein‘sche Fläche im Fläche im 3-dimensionalen 3-dimensionalen Euklidischen Euklidischen Raum aus:Raum aus:

§5 Die Klein‘sche Fläche§5 Die Klein‘sche Fläche

§6 Die Projektive Ebene§6 Die Projektive Ebene

Ein anschauliches Modell einer Projektiven Ein anschauliches Modell einer Projektiven Ebene ist das folgende:Ebene ist das folgende:

Aufgaben:Aufgaben:

1.1. Ist die Projektive Ebene orientierbar?Ist die Projektive Ebene orientierbar?2.2. Ein Flatlander lebt am „Südpol“. Wo ist er Ein Flatlander lebt am „Südpol“. Wo ist er

am weitesten von zu Hause entfernt, am weitesten von zu Hause entfernt, wenn er immer gerade aus geht?wenn er immer gerade aus geht?

3.3. Die Flatlander wollen 2 (bzw. 3) Die Flatlander wollen 2 (bzw. 3) Feuerwehrhäuser bauen. Wo sollen sie Feuerwehrhäuser bauen. Wo sollen sie gebaut werden, um die beste gebaut werden, um die beste Flächendeckung zu erbauenFlächendeckung zu erbauen

§7 Die Boy‘sche Fläche§7 Die Boy‘sche Fläche

Die Boy‘sche Fläche Die Boy‘sche Fläche entsteht, synthetisch entsteht, synthetisch so:so:Ich nähe ein Stück Ich nähe ein Stück Stoff, das nur einen, Stoff, das nur einen, stetigen Rand besitzt, stetigen Rand besitzt, auf ein Möbiusband:auf ein Möbiusband:

Auf dieser Fläche befinden Auf dieser Fläche befinden sich sehr viele Möbius sich sehr viele Möbius Bänder:Bänder:

Mehr dazu kann man unter:Mehr dazu kann man unter:http://www.hu-berlin.de/rz/mstat/avs/http://www.hu-berlin.de/rz/mstat/avs/

Danke für eureDanke für eureAufmerksamkeitAufmerksamkeit