seminarski rad

15
Prirodno- matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu Institut za matematiku i informatiku Seminarski rad Kompleksni brojevi u geometriji Mentor: Mirjana Pavlovi Studenti: Marina Karovi !"#$%!$ &ulijana 'e(evi $!#$%!$ )anijela *ikodijevi +!#$%!$ &elena Petrovi ++#$%!$ )ejan ,usi !%% #$%!

Upload: snezanamilosevic

Post on 03-Nov-2015

33 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

seminarski rad odlican. sve najbolje

TRANSCRIPT

Prirodno- matematiki fakultetUniverzitet u KragujevcuInstitut za matematiku i informatiku

Seminarski radKompleksni brojevi u geometriji

Mentor: Mirjana PavloviStudenti: Marina Karovi 17/2012 Julijana Leevi 21/2012 Danijela Nikodijevi 31/2012 Jelena Petrovi 33/2012 Dejan usi 1004/2014

Sadraj:

1. Kompleksna ravan i kompleksni brojevi2. Kompleksni brojevi u geometriji-Geometrijska interpretacija sabiranja kompleksnih brojeva-Geometrijska interpretacija mnoenja kompleksnih brojeva Literatura

1. Kompleksna ravan i kompleksni brojevi

Jednaina kao to je nema reenja u skupu realnih brojeva, jer ne postoji realan broj takav da je njegov kvadrat jednak nenegativnom realnom broju. Ovaj problem je reen uvoenjem kompleksnih brojeva u matematiku. Uvedena je imaginarna jedinica za koju je . Oznaku za imaginarnu jedinicu uveo je Leonard Ojler. Na ovaj nain smo proirili skup realnih brojeva na skup kompleksnih brojeva, u oznaci . Definicija 1. Skup svih kompleksnih brojeva, u oznaci , je skup svih ureenih parova realnih brojeva za koje vae aksiome:1. Aksioma sabiranja: 2. Aksioma mnoenja:.Za ureene parove usvaja se aksioma akko i .Uvoenjem imaginarne jedinice, odnosno proirivanjem skupa realnih brojeva do skupa kompleksnih brojeva, stvara se mogunost da se rei ma koja jednaina oblika , gde su realni brojevi, jer i u sluaju da je moemo pisati , tj. .Na ovaj nain smo uveli operacije sabiranja i mnoenja, pa je Abelova grupa, tj. vae osobine:1. -komutativnost2. asocijativnost3. -desni neutralni element4. -desni inverzni element.

Vai i da je skup , *) Abelova grupa i vae osobine:1. -komutativnost2. asocijativnost3. -desni neutralni element4. -desni inverzni element.Takoe vai distributivnost mnoenja prema sabiranju tj. .

Iz prethodnih osobina zakljuujemo da je struktura polje.Oblik kompleksnog broja naziva se algebarski oblik kompleksnog broja, realan broj naziva se realnim delom kompleksnog broja, dok se realan broj naziva imaginarnim delom kompleksnog broja.Da bi bilo jasnije ureeni par koji predstavlja kompleksni broj poistoveuje se sa tano jednom takom u koordinatnoj ravni, odnosno polje kompleksnih brojeva se identifikuje sa vektorskim prostorom .

Realnom delu kompleknog broja tj. broju odgovaraju take na -osi a imaginarnom delu kompleksnog broja tj. broju odgovaraju take na -osi.Definicija 2. Moduo kompleksnog broja , , je realan nenegativan broj i oznaava se sa .Moduo kompleksnog broja predstavlja odstojanje od koordinatnog poetka do take na prethodnoj slici.

Da bi definisali broj prvo uvodimo trigonometrijski zapis kompleksnog broja. Svaki kompleksan broj razliit od nule moe se predstaviti u obliku:.Kako su i realni brojevi takvi da je i , i kako je = 1 uvek je mogue odrediti realan broj takav da je: (1) i . Dakle, imamo , to predstavlja trigonometrijski oblik kompleksnog broja.Definicija 3. Svaki broj koji zadovoljava jednakosti (1) zove se argument kompleksnog broja i obeleava se sa . Broj koji ispunjava uslov zove se glavna vrednost argumenta broja i obeleava se sa .Argument broja 0 se ne definie.Ako je jedna vrednost odreena pomou (1) sve ostale vrednosti sistema jednaina (1) date su sa , . Prema tome, izmeu i postoji veza: =.

2. Kompleksni brojevi u geometriji-Geometrijska interpretacija sabiranja kompleksnih brojeva-

Neka su dati kompleksni brojevi i . Zbir je kompleksan broj iji je vektor poloaja u kompleksnoj ravni jednak zbiru vektora poloaja kompleksnih brojeva i . Ovim sabiranjem e taka koja odgovara broju biti translirana za vektor , gde je kao na sledeoj slici.

Neka je neka figura u kompleksnoj ravni i proizvoljna taka u kompleksnoj ravni, svaka taka te figure e preslikavanjem biti translirana za vrednost , pa e figura biti preslikana na njoj podudarnu figuru dobijenu translacijom za vektor figure kao to je prikazano na sledeoj slici.

-Geometrijska interpretacija mnoenja kompleksnih brojeva-Neka je . Tada je .Ako kompleksnom broju dodelimo odgovarajuci vector poloaja koordinate krajnje take vektora bie , dok e coordinate vektora biti .

Za vektore i znamo da je =

kao i da su uglovi koje zaklapaju vektor poloaja sa realnom osom i vektor poloaja sa imaginarnom osom jednaki. Na osnovu ovoga moemo zakljuiti da je mnoenje imaginarnom jedinicom zapravo rotacija za prav ugao u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Razmotrimo sada sledeci sluaj. Neka je dat kompleksan broj takav da je i neka je njegov trigonometrijski zapis i neka je proizvoljan kompleksan broj i neka je njegov trigonometrijski zapis . Proizvod je kompleksan broj: . Ako su i take u kompleksnoj ravni koje odgovaraju redom brojevima i vidimo da se taka dobija rotacijom oko take take za ugao , a imamo i da vai to moemo videti na sledeoj slici. Pri tome se argument broja broja nalazi kao , tako da .

Neka je figura u kompleksnoj ravni, pri preslikavanju svaka taka figure e biti rotirana za isti ugao, pa e figura biti preslikana na njoj podudarnu figuru , dobijenu rotacijom figure oko take za ugao .

Ramotrimo sluaj kada kompleksan broj mnoimo skalarom (mnoimo kompleksnim brojem iji je imaginarni deo 0). Neka je dat proizvoljan realan broj i neka je dat proizvoljan kompleksan broj i neka je njegov trigonometrijski zapis . Proizvod je takoe jedan kompleksan broj. Sada ako je , onda je , ako je pri tome i taka koja odgovara kompleksnom broju , bie izmeu taaka i koje odgovaraju redom koordinatnom poetku i kompleksnom broju . Ako je taka bie izmeu i , a ako je tada vai .

Ako je onda je pa je =.Dakle u sluaju kada je imamo da je i to znai da taka pripada pravoj ali su take sa razliitih strana take .

Neka je sada , i neka su i proizvoljni kompleksni brojevi, a i odgovarajuce take u kompleksnoj ravni. Neka take i odgovaraju kompleksnim brojevima i . Trouglovi i su slini, pa je odnosno .

Neka je data figura u kompleksnoj ravni. Preslikavanje pri kome svakoj taki odgovara taka takva da je naziva se homotetija sa centrom i koeficijentom (faktorom) homotetije , pri tome slika figure bie homotetina slika figure sa faktorom homotetije .

Na kraju razmotrimo sluaj kada mnoimo dva proizvoljna kompleksna broja. Neka su dati kompleksni brojevi i i neka imaju trigonometrijske zapise

.Tada je proizvod oblika.Znai, moduo proizvoda ovih kompleksnih brojeva jednak je proizvodu modula ovih brojeva, a njegov argument jednak je zbiru argumenata ovih brojeva. Proizvod ova dva kompleksna broja u geometrijskom smislu predstavlja kompoziciju homotetije sa centrom u koordinatnom poetku i koeficijentom i rotacije oko take za ugao u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu, primenjenu na taku koja odgovara kompleksnom broju .

Literatura:1. Vojin Dajovi, Teorija funkcija kompleksne promenljive2. Dragoslav S. Mitrinovi, Kompleksna analiza3. Internet