seminarski - fizika

19
Univerzitet u Istočnom Sarajevu SAOBRAĆAJNI FAKULTET DOBOJ ZORAN DRAGOJLOVIĆ 268/11 ADIS MEJRUŠIĆ 272/11 SEMINARSKI RAD IZ FIZIKE NA TEME: 1) Njutnov zakon gravitacije, 2) Gravitaciono polje, 3) Gravitaciono potencijalna energija u potencijal, 4) Moment inercije, 5) Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja, 6) Rad, snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja, 7) Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja.

Upload: dragojlozox

Post on 24-Jul-2015

2.164 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

Page 1: Seminarski - Fizika

Univerzitet u Istočnom Sarajevu

SAOBRAĆAJNI FAKULTET

DOBOJ

ZORAN DRAGOJLOVIĆ 26811

ADIS MEJRUŠIĆ 27211

SEMINARSKI RAD IZ FIZIKE NA TEME

1) Njutnov zakon gravitacije

2) Gravitaciono polje

3) Gravitaciono potencijalna energija u potencijal

4) Moment inercije

5) Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

6) Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

7) Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

ASISTENT Mr Zoran Ćurguz dipl fiz

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

DOBOJ novembar 2011 godina

NJUTNOV ZAKON GRAVITACIJE

Njutnov zakon opšte gravitacije glasiSvako telo privlači drugo telo silom koja je proporcionalna proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja između njihovih centara i deluje duž prave koja ih spaja

Gravitaciona sila deluje duž prave koja prolazi kroz centre dva tijela

Slika 1 Vektorski prikaz dijelovanja gravitacije između dva tijela

A Sila (F) iz formule je intenzitet (jačina) gravitacione sile između dva tijela (pravac i smijer gravitacione sile kao vektorske fizičke veličine nije određen ovom jednačinom)

B Gama (γ) iz formule je gravitaciona konstanta kao čest simbol može biti i slovo g

C Masa prvog tijela iz formule je m1 a masa drugog tijela je m2

D Prečnik (r) je međusobno rastojanje dva tijela (u idealnom rastojanju između centara dvije masivne sfere)

E Pošto je rastojanje vektorska veličina zato je i sila vektor odnosno zakon u vektorsko obliku izgleda ovako

1

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

gde je jedinični vektor pravca Odavde je jasno da je sila obrnutog smijera u odnosu na rastojanje zato stoji znak minus a to istovremeno označava da je sila uvek privlačna

U Međunarodnom sistemu jedinica (SI sistem jedinica) F se mijeri u njutnima (N) masa m1 i m2 u kilogramima (kg) rastojanje r u metrima (m) a vrijednost konstante gama (γ) je približno jednaka 667 times 10minus11 N m2kgminus2 (njutna puta metar kvadratni po kilogramu kvadratnom)

Njutnov zakon opšte gravitacije važi samo za materijalne tačke i sferna tijela Za nas je najznačajnije ispoljavanje gravitacione sile između Zemlje koja je približno sfernog oblika i tela na njoj ili u blizini njene površine

Dimenzije tijela su zanemarljivo male u odnosu na dimenzije Zemlje tako da se mogu smatrati materijalnim tačkama Ta gravitaciona sila zbog posebnog značaja koji ima za ljude na Zemlji dobila je posebno ime ndash sila Zemljine teže ili samo sila teže (ne smije se miješati sa težinom tijela)

2

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POLJE

Grаvitаciono polje je mаterijаlni posrednik preko kojeg se prenosi grаvitаciono djelovаnje odnosno grаvitаcionа silа sа jednog nа drugo tijelo U sklаdu sа klаsičnom (Njutnovom) mehаnikom intenziteta prаvаca i smjera grаvitаcionog poljа opisаni su vektorskom fizičkom veličinom G kojа nosi nаziv jаčinа grаvitаcionog poljа i brojno je jednаkа jаčini grаvitаcione sile kojа deluje nа tijelo jedinične mаse koje se nаlаzi u dаtoj tаčki grаvitаcionog poljа (G=Fm )

Prema drugom Njutnovom zakonu sila koja deluje na tijelo jednaka je proizvodu mase i ubrzanja F = ma

Kako je intenzitet sile Zemljine teže

Slika 2 Formula za silu Zemljine teže

to znači da je intenzitet gravitacionog polja Zemlje brojno jednak ubrzanju koje tijelo dobija uslijed privlačne sile Zemlje To se ubrzanje naziva ubrzanje Zemljine teže i najčešće se obilježava sa g

Slika 3 Veličina gravitacione sile Zemlje

Sila Zemljine teže kao i intenzitet gravitacionog polja različit je na različitim udaljenostima od centra Zemlje Ali na određenom mjestu ubrzanje Zemljine teže ne zavisi od mase tijela

Kretanje tijela u gravitacionom polju može biti

1) Slobodan pad2) Vertikalni hitac naniže3) Vertikalni hitac naviše4) Horizontalni hitac5) Kosi hitac

Slobodni padJedan od najvažnijih primjera kretanja sa konstantnim ubrzanjem je slobodni pad na

Zemljinoj površini U vakumu sva tijela padaju jednako dugo bez obzira na njihov oblik veličinu i materijal od kojeg su napravljenaSlobodno padanje je kretanje tijela u gravitacionom poljubez početne brzinesamo pod uticajem sile Zemljine težeTo je ravnomjerno promijenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

3

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Vertikalni hitac nanižeVertikalni hitac naniže je kretanje tela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smera nanižeTo je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

Vertikalni hitac navišeVertikalni hitac naviše je kretanje tijela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smijera navišeTo je ravnomjerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem koje ima suprotan smijer smijeru kretanja tijelaBrzina tijela se smanjuje i tijelo dostiže maksimalnu visinu onda kada mu je krajnja brzina nula

Horizontalni hitacBrzina se u horizontalnom (vodoravnom) smjeru s vremenom ne povećava niti

smanjuje a put (horizontalni) je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule zajednoliko gibanje

s = vt

Kosi hitacKosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom Vₒ po pravcu koji

zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada

4

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 2: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

DOBOJ novembar 2011 godina

NJUTNOV ZAKON GRAVITACIJE

Njutnov zakon opšte gravitacije glasiSvako telo privlači drugo telo silom koja je proporcionalna proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja između njihovih centara i deluje duž prave koja ih spaja

Gravitaciona sila deluje duž prave koja prolazi kroz centre dva tijela

Slika 1 Vektorski prikaz dijelovanja gravitacije između dva tijela

A Sila (F) iz formule je intenzitet (jačina) gravitacione sile između dva tijela (pravac i smijer gravitacione sile kao vektorske fizičke veličine nije određen ovom jednačinom)

B Gama (γ) iz formule je gravitaciona konstanta kao čest simbol može biti i slovo g

C Masa prvog tijela iz formule je m1 a masa drugog tijela je m2

D Prečnik (r) je međusobno rastojanje dva tijela (u idealnom rastojanju između centara dvije masivne sfere)

E Pošto je rastojanje vektorska veličina zato je i sila vektor odnosno zakon u vektorsko obliku izgleda ovako

1

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

gde je jedinični vektor pravca Odavde je jasno da je sila obrnutog smijera u odnosu na rastojanje zato stoji znak minus a to istovremeno označava da je sila uvek privlačna

U Međunarodnom sistemu jedinica (SI sistem jedinica) F se mijeri u njutnima (N) masa m1 i m2 u kilogramima (kg) rastojanje r u metrima (m) a vrijednost konstante gama (γ) je približno jednaka 667 times 10minus11 N m2kgminus2 (njutna puta metar kvadratni po kilogramu kvadratnom)

Njutnov zakon opšte gravitacije važi samo za materijalne tačke i sferna tijela Za nas je najznačajnije ispoljavanje gravitacione sile između Zemlje koja je približno sfernog oblika i tela na njoj ili u blizini njene površine

Dimenzije tijela su zanemarljivo male u odnosu na dimenzije Zemlje tako da se mogu smatrati materijalnim tačkama Ta gravitaciona sila zbog posebnog značaja koji ima za ljude na Zemlji dobila je posebno ime ndash sila Zemljine teže ili samo sila teže (ne smije se miješati sa težinom tijela)

2

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POLJE

Grаvitаciono polje je mаterijаlni posrednik preko kojeg se prenosi grаvitаciono djelovаnje odnosno grаvitаcionа silа sа jednog nа drugo tijelo U sklаdu sа klаsičnom (Njutnovom) mehаnikom intenziteta prаvаca i smjera grаvitаcionog poljа opisаni su vektorskom fizičkom veličinom G kojа nosi nаziv jаčinа grаvitаcionog poljа i brojno je jednаkа jаčini grаvitаcione sile kojа deluje nа tijelo jedinične mаse koje se nаlаzi u dаtoj tаčki grаvitаcionog poljа (G=Fm )

Prema drugom Njutnovom zakonu sila koja deluje na tijelo jednaka je proizvodu mase i ubrzanja F = ma

Kako je intenzitet sile Zemljine teže

Slika 2 Formula za silu Zemljine teže

to znači da je intenzitet gravitacionog polja Zemlje brojno jednak ubrzanju koje tijelo dobija uslijed privlačne sile Zemlje To se ubrzanje naziva ubrzanje Zemljine teže i najčešće se obilježava sa g

Slika 3 Veličina gravitacione sile Zemlje

Sila Zemljine teže kao i intenzitet gravitacionog polja različit je na različitim udaljenostima od centra Zemlje Ali na određenom mjestu ubrzanje Zemljine teže ne zavisi od mase tijela

Kretanje tijela u gravitacionom polju može biti

1) Slobodan pad2) Vertikalni hitac naniže3) Vertikalni hitac naviše4) Horizontalni hitac5) Kosi hitac

Slobodni padJedan od najvažnijih primjera kretanja sa konstantnim ubrzanjem je slobodni pad na

Zemljinoj površini U vakumu sva tijela padaju jednako dugo bez obzira na njihov oblik veličinu i materijal od kojeg su napravljenaSlobodno padanje je kretanje tijela u gravitacionom poljubez početne brzinesamo pod uticajem sile Zemljine težeTo je ravnomjerno promijenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

3

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Vertikalni hitac nanižeVertikalni hitac naniže je kretanje tela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smera nanižeTo je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

Vertikalni hitac navišeVertikalni hitac naviše je kretanje tijela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smijera navišeTo je ravnomjerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem koje ima suprotan smijer smijeru kretanja tijelaBrzina tijela se smanjuje i tijelo dostiže maksimalnu visinu onda kada mu je krajnja brzina nula

Horizontalni hitacBrzina se u horizontalnom (vodoravnom) smjeru s vremenom ne povećava niti

smanjuje a put (horizontalni) je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule zajednoliko gibanje

s = vt

Kosi hitacKosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom Vₒ po pravcu koji

zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada

4

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 3: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

gde je jedinični vektor pravca Odavde je jasno da je sila obrnutog smijera u odnosu na rastojanje zato stoji znak minus a to istovremeno označava da je sila uvek privlačna

U Međunarodnom sistemu jedinica (SI sistem jedinica) F se mijeri u njutnima (N) masa m1 i m2 u kilogramima (kg) rastojanje r u metrima (m) a vrijednost konstante gama (γ) je približno jednaka 667 times 10minus11 N m2kgminus2 (njutna puta metar kvadratni po kilogramu kvadratnom)

Njutnov zakon opšte gravitacije važi samo za materijalne tačke i sferna tijela Za nas je najznačajnije ispoljavanje gravitacione sile između Zemlje koja je približno sfernog oblika i tela na njoj ili u blizini njene površine

Dimenzije tijela su zanemarljivo male u odnosu na dimenzije Zemlje tako da se mogu smatrati materijalnim tačkama Ta gravitaciona sila zbog posebnog značaja koji ima za ljude na Zemlji dobila je posebno ime ndash sila Zemljine teže ili samo sila teže (ne smije se miješati sa težinom tijela)

2

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POLJE

Grаvitаciono polje je mаterijаlni posrednik preko kojeg se prenosi grаvitаciono djelovаnje odnosno grаvitаcionа silа sа jednog nа drugo tijelo U sklаdu sа klаsičnom (Njutnovom) mehаnikom intenziteta prаvаca i smjera grаvitаcionog poljа opisаni su vektorskom fizičkom veličinom G kojа nosi nаziv jаčinа grаvitаcionog poljа i brojno je jednаkа jаčini grаvitаcione sile kojа deluje nа tijelo jedinične mаse koje se nаlаzi u dаtoj tаčki grаvitаcionog poljа (G=Fm )

Prema drugom Njutnovom zakonu sila koja deluje na tijelo jednaka je proizvodu mase i ubrzanja F = ma

Kako je intenzitet sile Zemljine teže

Slika 2 Formula za silu Zemljine teže

to znači da je intenzitet gravitacionog polja Zemlje brojno jednak ubrzanju koje tijelo dobija uslijed privlačne sile Zemlje To se ubrzanje naziva ubrzanje Zemljine teže i najčešće se obilježava sa g

Slika 3 Veličina gravitacione sile Zemlje

Sila Zemljine teže kao i intenzitet gravitacionog polja različit je na različitim udaljenostima od centra Zemlje Ali na određenom mjestu ubrzanje Zemljine teže ne zavisi od mase tijela

Kretanje tijela u gravitacionom polju može biti

1) Slobodan pad2) Vertikalni hitac naniže3) Vertikalni hitac naviše4) Horizontalni hitac5) Kosi hitac

Slobodni padJedan od najvažnijih primjera kretanja sa konstantnim ubrzanjem je slobodni pad na

Zemljinoj površini U vakumu sva tijela padaju jednako dugo bez obzira na njihov oblik veličinu i materijal od kojeg su napravljenaSlobodno padanje je kretanje tijela u gravitacionom poljubez početne brzinesamo pod uticajem sile Zemljine težeTo je ravnomjerno promijenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

3

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Vertikalni hitac nanižeVertikalni hitac naniže je kretanje tela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smera nanižeTo je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

Vertikalni hitac navišeVertikalni hitac naviše je kretanje tijela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smijera navišeTo je ravnomjerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem koje ima suprotan smijer smijeru kretanja tijelaBrzina tijela se smanjuje i tijelo dostiže maksimalnu visinu onda kada mu je krajnja brzina nula

Horizontalni hitacBrzina se u horizontalnom (vodoravnom) smjeru s vremenom ne povećava niti

smanjuje a put (horizontalni) je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule zajednoliko gibanje

s = vt

Kosi hitacKosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom Vₒ po pravcu koji

zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada

4

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 4: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POLJE

Grаvitаciono polje je mаterijаlni posrednik preko kojeg se prenosi grаvitаciono djelovаnje odnosno grаvitаcionа silа sа jednog nа drugo tijelo U sklаdu sа klаsičnom (Njutnovom) mehаnikom intenziteta prаvаca i smjera grаvitаcionog poljа opisаni su vektorskom fizičkom veličinom G kojа nosi nаziv jаčinа grаvitаcionog poljа i brojno je jednаkа jаčini grаvitаcione sile kojа deluje nа tijelo jedinične mаse koje se nаlаzi u dаtoj tаčki grаvitаcionog poljа (G=Fm )

Prema drugom Njutnovom zakonu sila koja deluje na tijelo jednaka je proizvodu mase i ubrzanja F = ma

Kako je intenzitet sile Zemljine teže

Slika 2 Formula za silu Zemljine teže

to znači da je intenzitet gravitacionog polja Zemlje brojno jednak ubrzanju koje tijelo dobija uslijed privlačne sile Zemlje To se ubrzanje naziva ubrzanje Zemljine teže i najčešće se obilježava sa g

Slika 3 Veličina gravitacione sile Zemlje

Sila Zemljine teže kao i intenzitet gravitacionog polja različit je na različitim udaljenostima od centra Zemlje Ali na određenom mjestu ubrzanje Zemljine teže ne zavisi od mase tijela

Kretanje tijela u gravitacionom polju može biti

1) Slobodan pad2) Vertikalni hitac naniže3) Vertikalni hitac naviše4) Horizontalni hitac5) Kosi hitac

Slobodni padJedan od najvažnijih primjera kretanja sa konstantnim ubrzanjem je slobodni pad na

Zemljinoj površini U vakumu sva tijela padaju jednako dugo bez obzira na njihov oblik veličinu i materijal od kojeg su napravljenaSlobodno padanje je kretanje tijela u gravitacionom poljubez početne brzinesamo pod uticajem sile Zemljine težeTo je ravnomjerno promijenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

3

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Vertikalni hitac nanižeVertikalni hitac naniže je kretanje tela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smera nanižeTo je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

Vertikalni hitac navišeVertikalni hitac naviše je kretanje tijela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smijera navišeTo je ravnomjerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem koje ima suprotan smijer smijeru kretanja tijelaBrzina tijela se smanjuje i tijelo dostiže maksimalnu visinu onda kada mu je krajnja brzina nula

Horizontalni hitacBrzina se u horizontalnom (vodoravnom) smjeru s vremenom ne povećava niti

smanjuje a put (horizontalni) je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule zajednoliko gibanje

s = vt

Kosi hitacKosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom Vₒ po pravcu koji

zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada

4

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 5: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Vertikalni hitac nanižeVertikalni hitac naniže je kretanje tela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smera nanižeTo je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem

Vertikalni hitac navišeVertikalni hitac naviše je kretanje tijela u gravitacionom polju sa početnom brzinom

vertikalnog pravca i smijera navišeTo je ravnomjerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa gravitacionim ubrzanjem koje ima suprotan smijer smijeru kretanja tijelaBrzina tijela se smanjuje i tijelo dostiže maksimalnu visinu onda kada mu je krajnja brzina nula

Horizontalni hitacBrzina se u horizontalnom (vodoravnom) smjeru s vremenom ne povećava niti

smanjuje a put (horizontalni) je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule zajednoliko gibanje

s = vt

Kosi hitacKosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom Vₒ po pravcu koji

zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada

4

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 6: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

GRAVITACIONO POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Gravitaciona potencijalna energija je takva vrsta potnecijalne energije koja je posledica činjenice da tijelo ima masu i da na tijelo deluje gravitaciona sila

U svakodnevnom životu gravitaciona potencijalna energija se sreće u situaciji kada se tijelo diže u Zemljinom gravitacionom polju

Uzimajući da je gravitaciona sila konstantna (na visinama koje su relativno male u odnosu na Zemljinu površinu) rad izvršen pri podizanju objekta jednak je proizvodu gravitacione sile i visinske razlike ostvarene podizanjem Gravitaciona sila koju treba savladati jednaka je proizvodu mase objekta i gravitacionog ubrzanja te je potencijalna energija objekta Ug data izrazom

gde jem - masa objektag - ubrzanje zemljine teže (približno 981 ms2 na nivou mora)h - visina na koju je objekat podignut u odnosu na referentni nivo (što može biti površina zemlje ili veoma često nivo mora)

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал) Електрично поље врши померање наелектрисаних честица убрзавајући их у смеру вектора електричног поља односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља у зависности од врсте наелектрисања

Гравитациони потенцијал је потенцијална енергија објекта која потиче од његовог положаја у гравитационом пољу За тачкасту масу гравитациони потенцијал је

где је

универзална гравитациона константа

растојање мjерено од центра масе објекта

маса тачкастог објекта

5

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 7: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za kružno gibanje Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotacijuMeđutim za razliku od mase moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase m za neku osu a je

gdje je r udaljenost te tačke od ose rotacije Mjerna jedinica za moment inercije je kg msup2 Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka dobivamo

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve uopšteno moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i logaritma mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od trežene ose

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno Logaritam mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na slijedeći način

6

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 8: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

ROTACIONO KRETANJE

Rotaciono kretanje ili rotacija krutog tijela je takvo kretanje pri kojem sve tačke tijela opisuju koncentrične kružnice u paralelnim ravnima Centri kružnica leže na pravoj koju nazivamo osa rotacije ili osa obrtanja Tačke na osi rotacije su nepokretne

MOMENT SILE

Da bismo izazvali rotiranje krutog tijela oko neke nepokretne ose rotacije na njega treba djelovati silom Iskustvo i ogledi pokazuju nam da ne može svaka sila izazvati rotiranje tijela Samo sila čiji pravac djelovanja ne prolazi kroz osu rotacije i nije paralelan sa njom može izazvati rotiranje tijelaVeličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile je moment sile M Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i poluprečnika

M = F middot r

Pravac momenta sile je pravac ose rotacije a smjer je određen pravilom desnog zavrtnja Definicija momenta sile je

M = F middot r = middot L =

Moment sile

SI-jedinica momenta sile je Njutn metar ( Nm )

7

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 9: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

MOMENT INERCIJE

Kod translatornog kretanja mjera inertnosti je masa Kod rotacionog kretanja masa nije dovoljna da objasni inertnost tijela Kod rotacionog kretanja pored mase treba uvažiti raspored mase u odnosu na osu rotacije Stoga uvodimo još jednu fizikalnu veličinu - moment inercije Moment inercije tijela zavisi od mase tijela i rasporeda mase u odnosu na izabranu osu rotacije Znači moment inercije je mjera inertnosti tijela pri promjeni stanja rotacionog kretanja Moment inercije materijalne tačke mase m koja se nalazi na normalnoj udaljenosti r od ose rotiranja po definiciji je

I = m middot rsup2 SI-jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat ( kgmsup2 )

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja

Na ovom mjestu ćemo primijeniti formalnu metodu kojom se iz jednačine za translatorno kretanje tijela po analogiji mogu dobiti jednačine odnosno zakoni rotacionog kretanja Analogija se može uspostaviti između dinamičkih veličina koje opisuju ova dva oblika kretanja

1) masa je mjera inertnosti tijela pri translaciji a moment inercije je mjera inertnosti tijela pri rotacionom kretanju ( m rarr I )

2) impuls je dinamička karakteristika translatornog kretanjaa moment impulsa je dinamička karakteristika rotacionog kretanja ( p rarr L )

3) sila mijenja stanje translatornog kretanja tijelaa moment sile mijenja stanje rotacionog kretanja tijela ( F rarr M )

Koristeći se ovom analogijom drugi Njutnov zakon koji u slučaju translatornog kretanja glasi

F =

A za rotaciono kretanje ima oblik

8

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 10: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

M =

i možemo ga iskazati na slijedeći način

Brzina promjene momenta impulsa tijela jednaka je momentu vanjske sile

Ovo je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja U odnosu na nepomičnu osu moment inercije krutog tijela je konstantan pa je promjena momenta impulsa

ΔL = L2 ndash L 1 = Iω2 ndash Iω1 = I ( ω2 ndash ω1 ) = I middot Δω

M = I = Iα ili α =

Znači ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose proporcionalno je momentu vanjskih sila koje na njega djeluju računatom u odnosu na tu osu

Kada je moment vanjskih sila (M = 0) moment impulsa je konstanta kretanja (L = const) Ovo je poznato kao zakon održanja momenta impulsa

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

RAD

Rad se određuje skalarnim proizvodom sile i rastojanja po kome se pomijerala materijalna tačka

Sila ne vrši rad kad sa pomjeranjem zaklapa pravi ugao ili ako se čestica ne pomjera Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje

9

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 11: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz prethodne jednačine kao granični slučaj kad a

Rad je jednak integralu projekcije sile i pomaka Ako je početna i krajnja tačka zadana vektorima položaja i rad se definiše izrazom

Jedinica za rad je 1 džul (1J=1Nm)

SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije

Snaga je skalarni proizvod sile i trenutne brzine

Jedinica za snagu je 1 wat (1 W= 1 )

KINETIČKA ENERGIJA

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu vršiti rad zbog toga što imaju određenu brzinu Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v izračunajmo rad koji je potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja (v = 0) do brzine v

Slično ako sila F ubrzava tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 rad potreban za to ubrzavanje je

10

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 12: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Dakle promjena kinetičke energije je jednaka izvršenom radu

Moment količine kretanja i zakon održanja momenta količine kretanja

Moment količine kretanja (poznat i kao moment impulsa ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se mjeri nastojanje materijalnog tijela da nastavi da rotira Formalno se definiše kao

Vektorski proizvod vektora položaja tijela mjerenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa

Proizvod momenta inercije i ugaone brzine

Momentom količine kretanja se izražava kako kretanje tijela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tijela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose) Moment količine kretanja je vektorska veličina posjeduje intezitet pravac i smijer Pravac vektora momenta količine kretanja je normalan na ravan orbite tijela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine Moment količine kretanja ima dimenzije dejstva ML2T-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama Js ili Nms a SI jedinica za moment količine kretanja je kgm2s-1 (kilogram metar na kvadrat u sekundi )

Moment količine kretanja je održan dakle za njega važi zakon održanja (konzervacije) Prema ovom zakonu moment količine kretanja fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromijenjen) dok ga ne promijeni spoljašnja sila tačnije moment sile ili ekvivalentno tome moment sile jednak je brzini promijene momenta količine kretanja Kada kruto tijelo rotira njegovo protivljenje promijeni rotacionog kretanja mjeri se njegovim momentom inercije

DEFINICIJA MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

11

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 13: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Moment količine kretanja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao

gdje je

- moment količine kretanja čestice

- vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

ndash moment količine kretanja čestice

A možemo ga iskazati na slijedeći način Vektor momenta količine kretanja jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i momenta količine kretanja čestice

SI jedinica za moment količine kretanja je Njutn metar sekund a njegova oznaka je Nms (kgm2s1)

ODRŽANJE MOMENTA KOLIČINE KRETANJA

U izolovanom sistemu moment količine kretanja se održava (konstantan je) Ovaj zakon održanja matematički slijedi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti)

Prvi izvod momenta količine kretanja po vremenu naziva se moment sile

Tako da uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom

gdje je bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje djeluju na sistem čestica

12

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13

Page 14: Seminarski - Fizika

Seminarski rad Saobraćajni fakultet Doboj

Literatura

Esad Jakupović Fizika I Bihać 1998 Srboljub Stamenković Uvod u fiziku Kragujevac 1995 Internet adrese

httpsrwikipediaorgsr-elMoment_impulsa

httpwwwforumftnunsacrsindexphp act=attachamptype=postampid=5578

13