SEMINARIO DE JÓVENES PARA JÓVENES

“INVITACIÓN A LA MATEMÁTICA MODERNA”

EL SALVADOR 2012

CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS EN

LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI USANDO EL

MODELO DE POINCARÉ

BR. DARWING JOSÉ MENA GUTIÉRREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA

Br. Darwing Mena 1

Contenido

Introducción ............................................................................................................................ 2

Conocimientos fundamentales ................................................................................................ 4

Construcciones con regla y compás ................................................................................... 4

Inversión ............................................................................................................................. 6

Circunferencias ortogonales ............................................................................................... 7

La geometría no euclidiana de Lobachevski ........................................................................ 10

El modelo de Poincaré ...................................................................................................... 10

Conceptos primitivos y definiciones ............................................................................ 10

Postulados ..................................................................................................................... 11

Construcciones en la geometría hiperbólica ......................................................................... 13

Primeras construcciones ................................................................................................... 13

Triángulos: sus rectas y puntos notables .......................................................................... 15

Cuadriláteros ..................................................................................................................... 17

Cónicas a través del círculo hiperbólico ........................................................................... 18

Bibliografía ........................................................................................................................... 19

Anexo ................................................................................................................................... 20

Br. Darwing Mena 2

INTRODUCCIÓN

Es conocido por muchos el quinto postulado de Euclides: “Si una recta que cae sobre dos

rectas forma con ellas ángulos interiores del mismo lado cuya suma sea menor que dos

rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán de lado un que la suma

de los ángulos sea menor que dos rectos”. Para muchos matemáticos este postulado

presento grandes retos ya que es muy extenso y no es tan claro, características con las que

debería contar un postulado.

Muchos intentaron demostrar que el postulado de las paralelas era un teorema y no un

postulado, pero fracasaron en el intento. Fue hasta 1733 que el padre jesuita italiano

Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó una investigación científica llamada Euclides ab

omni nævo vindicacatus, pero se centró en que el postulado era un teorema y no pudo hallar

la contradicción que buscaba; no se imaginó que podían existir otras geometrías. Pasaron

treinta años hasta que apareció otro trabajo de gran importancia titulado Die Theorie der

Parallellinien, escrito por Johann Heinrich Lambert (1728-1777), que seguía la misma idea

de Saccheri, pero sus conclusiones no fueron satisfactorias. Un tercer intento de gran

importancia fue presentado por el italiano-francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en

sus Eléments de géométrie, aunque sin llegar a la demostración.

Luego de esto, los matemáticos Karl Friedrich Gauss (1777-1855) de Alemania, János

Bolyai (1802-1860) de Hungría y Nikolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856) de Rusia

trabajaron en el quinto postulado de Euclides considerando tres posibilidades: por un punto

dado que no esté en una recta pueden trazarse más de una, o únicamente una, o ninguna

paralela a otra dada, a estas por su equivalencia se les llamo la hipótesis de los ángulos

agudo, recto u obtuso. Estos tres matemáticos trabajaron en la hipótesis del ángulo agudo

que lograron obtener resultados importantes al pensar que esta puede ser compatible con

algunos postulados de la geometría euclidiana. Aunque todos aportaron la fama del

descubrimiento se le atribuye en mayor medida a Lobachevski por la prioridad en sus

publicaciones.

Sin lugar a dudas la geometría lobachevskiana ha demostrado ser de gran importancia para

las aplicaciones físicas; por ende descartarlas y no darles importancia sería un gran error.

No obstante los matemáticos se maravillan de las muchas geometrías que se han creado

desde la primera crisis de la matemática y de sus fundamentos, no viendo sus aplicaciones a

la vida diaria, sino mas bien desarrollando teorías que hagan más visible al mundo de esta

ciencia.

El presente documento presenta la geometría de Lobachevski desde el punto de vista de las

construcciones geométricas. Retomaré la frase de mi profesor de geometría no euclidiana:

“no se puede ver geometría sin construir la geometría”. Desde mi punto de vista son unas

palabras muy interesantes porque al escuchar por primera vez el nombre de “geometría no

euclidiana” parece que esta no fuera de este mundo. Podría decirse que se presenta este

artículo en el sentido en que Euclides utilizó las construcciones, esto es para “demostrar

que algunas entidades existen realmente”. La recomendación para este seminario es agarrar

regla y compás y realizar las construcciones presentadas.

Br. Darwing Mena 3

En Eves, 1969 se puede leer: “Los geómetras griegos de la antigüedad idearon un juego,

que podemos llamar solitario geométrico, el cual… debe estar realmente a la cabeza de

cualquier lista de juegos que pueden realizarse por una sola persona. Durante las diversas

épocas ha atraído multitud de jugadores y, aunque hayan pasado más de 2000 años,

parece que no ha perdido nada de estímulo y singular encanto.” Ahora el juego se ha

ampliado, ya que no sólo se trabajará con la geometría euclidiana sino que se presentaran

resultados en la geometría no euclidiana.

En la construcción no solo es necesario hacer la construcción sino que también hay que

justificar el hecho de que la construcción es correcta. Esta justificación no está dada en el

documento, pero es una propuesta el justificar el porqué de las construcciones dadas.

Br. Darwing Mena 4

CONOCIMIENTOS FUNDAMENTALES

Para el desarrollo de este material es necesario tener ciertos conocimientos de la geometría

euclidiana, como las definiciones básicas y las construcciones con regla y compás. A

continuación se presentas las construcciones de la geometría euclidiana que serán de mayor

utilidad en la construcción de la geometría de Lobachevski.

Con el fin de no hacer un documento extenso, se resumirán los pasos y se tratará de ir

tomando cierta notación que nos facilite un uso posterior.

Construcciones con regla y compás

No entraremos en detalles los fundamentos de las construcciones con regla y compás;

acerca del compás sólo diremos que nos ayuda a realizar circunferencias y transportar

distancias, y la regla euclidiana nos permite trazar todo lo que se desee de la recta

determinada por dos puntos dados.

Después de cada construcción, para decir que ha concluido utilizaremos el símbolo (■).

Algo importante que no se puede pasar por alto es que no sólo hay un camino para hacer

una construcción geométrica, por lo que en lo sucesivo queda la invitación a buscar

caminos alternativos para las construcciones dadas.

Mediatriz de un segmento

Definición: La mediatriz es el lugar geométrico de todos los

puntos que equidistan de dos puntos fijos.

Sea dado el segmento AB (Figura 1).

i. Se traza una circunferencia (o arco de circunferencia)

de centro A y radio 2r AB .

ii. Con el mismo radio r se traza otra circunferencia con

centro en B, quedando determinados los puntos C y D.

iii. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D , que es

la mediatriz buscada ■

Punto medio de un segmento

Definición: Sea el segmento AB . Si M AB es tal que AM MB , entonces M es el punto

medio de AB .

Sea dado el segmento AB (Figura 1).

i. Se traza la mediatriz del segmento AB

ii. Sea E la intersección de AB con la mediatriz CD .

iii. E es el punto buscado ■

Figura 1

Br. Darwing Mena 5

Perpendicular dado un punto y una recta (segmento)

Aquí se presentan dos casos:

Primero, cuando el punto pertenece a la recta (Figura 2).

Sea dada la recta AB y un punto P que pertenece a la recta

i. Se traza una circunferencia de centro P y radio

0r , determinándose los puntos E y D sobre la

recta.

ii. Con centro en E trazar un arco de circunferencia a

un lado de AB , con un radio 1r EP

iii. Con centro en D trazar un arco de circunferencia de

radio 1r al mismo lado que el arco anterior,

determinándose el punto J.

iv. Se traza la recta que pasa por J y P, esta es la recta

perpendicular buscada ■

Segundo caso: cuando el punto no pertenece a la recta

(Figura 3). Sea dada la recta AB y un punto P que no

pertenece a la recta

i. Desde el punto P se traza una circunferencia que

corte a la recta en los puntos E y D.

ii. con centro en E y D trazamos circunferencias de

radio igual a la circunferencia anterior.

iii. Queda determinado el punto F.

iv. La recta buscada es la que pasa por P y F ■

Método alternativo. Dado un segmento (o rayo), construir

una recta perpendicular que pase por uno de sus extremos

(Figura 4).

Sea dado el segmento AB , se construirá la recta

perpendicular al segmento que pasa por B.

i. Se escoge un punto O que no pertenezca a la recta

AB de tal forma que al trazar la circunferencia con

centro en O y radio OB corte AB en el punto D.

ii. Se traza el diámetro de la circunferencia que pasa

por O, determinando el punto E.

iii. La recta que pasa por E y B es perpendicular al

segmento dado■

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Br. Darwing Mena 6

Bisectriz de un ángulo

Definición: Sea el ángulo ∠BAC con vértice en A. La bisectriz es el rayo que divide al

ángulo en dos ángulos congruentes.

Dado el ∠BAC (Figura 5):

i. Se traza un arco de radio 0r que corte a AB en E

y a AC en D.

ii. Con centros en C y D trazar arcos de circunferencias

de radio 2r ED que se corten en el punto P.

iii. La bisectriz del ángulo dado es el rayo con vértice

en A que pasa por P ■

Tangentes desde un punto a una circunferencia

Definición: Una recta tangente a una circunferencia es la

recta que toca a la circunferencia en un punto. Se puede demostrar que si una recta es

tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio que llega al mismo punto.

En esta construcción se deben entender dos casos, el primero que el punto sea exterior a la

circunferencia.

Sea dada una circunferencia de centro O y radio r, y un

punto P exterior a la circunferencia (Figura 6).

i. Se traza el segmento OP

ii. Se encuentra el punto medio de OP , que

denotaremos por M.

iii. Con centro en M se traza la circunferencia de radio

OM , quedando determinados los puntos A y B al

interceptar a la circunferencia dada.

iv. Las rectas PA y PB son las tangentes a la

circunferencia dada ■

En el caso de que el punto pertenezca a la circunferencia, se traza el radio del centro de la

circunferencia al punto dado y se construye una perpendicular por el punto dado.

Si el punto pertenece al interior de la circunferencia no se pueden trazar tangentes.

Inversión

Podría decirse que la inversión es el principal recurso en las construcciones con regla y

compas de la geometría lobachevskiana, que se expondrá en este documento; esto es por la

facilidad con la que se pueden construir circunferencias ortogonales.

Primero se da la definición de inversión y luego la construcción de del inverso de un punto;

las construcciones de la inversión de una recta o de una circunferencia se dejan para

investigación del lector.

Figura 5

Figura 6

Br. Darwing Mena 7

Definición: Sea O un punto en el plano y r una constante positiva distinta de cero. La

inversión respecto del punto O y de potencia 2r es una transformación en la que la imagen

B de un punto A distinto de O es tal que los tres puntos son colineales y el producto de las

distancias OA OB es igual a 2r . Al punto O se le llama centro de inversión, a r se le llama

radio de inversión y a la circunferencia con centro en O y radio r se le llama circunferencia

de inversión.

Invertir un punto: Dado O (centro de inversión) y un punto A, construir la imagen de A si

la potencia de inversión es 2r .

Primeramente veamos el caso en el que el punto A está dentro

de la circunferencia de inversión (Figura 7).

i. Trazamos la recta OA .

ii. Por A trazamos una recta 1m OA , quedando

determinados los puntos C y B al intersecar 1m con la

circunferencia de inversión.

iii. Trazamos el segmento OC .

iv. Por C trazamos una recta 2m OC , donde se

determina el punto A en la intersección de la recta

2m con OA . El punto A es la imagen de la inversión de A, respecto de la

circunferencia de inversión ■

Ahora veamos el caso en el que el punto A está fuera de la circunferencia de inversión

(Figura 8).

i. Trazamos el segmento OA .

ii. Encontramos el punto medio de OA ,que llamaremos

M, por medio de la mediatriz de OA .

iii. Con centro en M y radio OM MA , trazamos la

circunferencia 1c que corta a la circunferencia de

inversión en los puntos B y C.

iv. Trazamos el segmento BC que corta a OA por un

punto que llamaremos A . El punto A es el inverso

del punto A respecto a O y r ■

Circunferencias ortogonales

Definición: El ángulo de intesección de dos curvas en un punto que ellas tengan en común

es el ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto común.

Definición: Dos curvas son ortogonales si su ángulo de intersección es un ángulo recto.

Figura 7

Figura 8

Br. Darwing Mena 8

De la definición anterior se sigue que un dos circunferencias son ortogonales si sus

tangentes en los puntos de intersección son perpendiculares.

Teorema. Toda circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión 1 de centro O y

radio r, es invariante en la inversión.

Demostración: Sea 2 una circunferencia ortogonal, de

centro O , a la circunferencia de inversión 1 (Figura 9).

Digamos que se intersecan en C. Como son ortogonales,

entonces los radios son perpendiculares y por tanto por la

potencia del centro de inversión respecto de 2 , se tiene

que para la secante OB , 2B que corta a la

circunferencia 2 en A:

2OA OB r

que es la definición de inversión. El punto B es cualquier

punto de 2 y A se escogió para que 2A y por tanto, para cualquier punto de la

circunferencia 2 su imagen estará en la misma circunferencia, por lo que concluimos que

2 es invariante en la inversión (siempre que 2 sea ortogonal a 1 ) ▄

Siguiendo con las construcciones se tiene la siguiente construcción de relativa importancia

en las construcciones que se verán mas adelante.

Circunferencia ortogonal a una circunferencia dada que pase por un punto que no sea

el centro de la circunferencia dada.

Sea dada una circunferencia de centro O y un punto P

interior a la circunferencia (Figura 10).

i. Se invierte el punto P obteniéndose P .

ii. Se traza el segmento OP .

iii. Se traza una perpendicular a OP que pase por P.

iv. Sea A el punto de intersección de la perpendicular y

la circunferencia dada.

v. Se construye el punto medio del segmento AP ,

llamado B.

vi. La circunferencia de radio AB y centro B es la

circunferencia buscada ■

En el caso en que el punto sea exterior a la circunferencia dada se hace un proceso similar,

que se deja como ejercicio al lector.

Figura 9

Figura 10

Br. Darwing Mena 9

Circunferencia ortogonal a una circunferencia dada que pase por dos puntos

interiores a la circunferencia dada.

Sea dada la circunferencia de centro O y radio r, y los puntos A y B interiores a la

circunferencia (Figura 11).

i. Se construye el inverso del punto A, obteniéndose

A .

ii. Se construye el inverso del punto B, obteniéndose

B .

iii. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB ,

AA y BB . iv. La intersección de las tres mediatrices determina

el punto O .

v. La circunferencia de centro O y radio 1r O A

es la circunferencia ortogonal a la circunferencia

dada ■

Figura 11

Br. Darwing Mena 10

LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA DE LOBACHEVSKI

Al igual que la geometría euclidiana y las distintas ramas de la matemática, la geometría de

Lobachevski se basa de conceptos primitivos, postulados, definiciones y teoremas que

ayudan a formar una teoría matemática.

H. Poincaré, propuso un modelo donde cumplen todos los axiomas de la geometría de

Lobachevski. Se puede demostrar que al usar el modelo de Poincaré, cada uno de los

postulados de la geometría plana lobachevskiana se convierten en teoremas en la geometría

euclidiana. De donde resulta que si existe una contradicción en los fundamentos de la

geometría de Lobachevski, esta tendría que existir en la geometría euclidiana.

Como se mencionaba anteriormente, no daremos las demostraciones de cada postulado

respecto de la geometría euclidiana, sino que se propone como ejercicio o para consulta en

la bibliografía. Nos centraremos en las construcciones; los postulados están para sustentar

nuestras construcciones.

Existen varios modelos para representar la geometría plana de Lobachevski, podemos

mencionar el modelo de Klein, el modelo de Poincaré en una circunferencia y el modelo de

Poincaré en un semiplano.

El modelo de Poincaré

Sea una circunferencia fija denotada por en el plano euclidiano, llamada circunferencia

fundamental. Se entenderán los siguientes conceptos primitivos, definiciones y postulados.

Conceptos primitivos y definiciones

Punto: punto en el interior de .

Recta: la parte interior a de cualquier “circunferencia” (recta o circunferencia)

ortogonal a .

Punto en una recta: este concepto es equivalente a tener “recta que pasa por un

punto” o “recta que contiene un punto”.

Punto entre dos puntos: interpretación evidente.

Definición: Longitud de un segmento ln , lnAB AB TS AT BT BS AS , donde

S y T son los puntos en que la “circunferencia” que contiene al segmento AB corta a ,

siendo puestos S y T de modo que A quede entre S y B. Obsérvese que , 1AB TS , de

donde ln , 0AB TS . Aquí “ln” denota al logaritmo natural.

Definición: Medida de un ángulo entre dos rectas que se cortan es equivalente a la

medida en radianes del ángulo entre las dos “circunferencias” que contienen a las dos

rectas.

Br. Darwing Mena 11

Segmentos congruentes: segmentos de igual longitud.

Ángulos congruentes: Ángulos de igual medida.

Postulados

Los postulados que se muestran a continuación se han obtenido a partir de del conjunto de

postulados de Hilbert para la geometría plana euclidiana, simplemente sustituyendo el

postulado de las paralelas.

GRUPO I: Postulados de conexión

I-1. Hay una y sólo una recta que pasa por dos puntos distintos cualesquiera.

I-2. Toda recta contiene al menos dos puntos distintos y para cada recta hay al menos un

punto que no está en ella.

GRUPO II: Postulados de orden

II-1. Si el punto C está entre los puntos A y B, entonces A, B, C están todos en la misma

recta, y C está entre B y A, y B no está entre C y A, y A no está entre C y B.

II-2. Para dos puntos distintos cualesquiera, A y B, hay siempre un punto C que está entre

A y B, y un punto D que es tal que B está entre A y D.

II-3. Si A, B, C son tres puntos distintos cualesquiera que están en la misma recta, entonces

uno de los puntos está entre los otros dos.

II-4. (Postulado de Pasch) Una recta que corte a un lado de un triángulo pero que no pase

por ninguno de sus vértices tiene también que cortar a otro lado del triángulo.

GRUPO III: Postulados de congruencia

III-1. Si A y B son puntos distintos y si A es un punto que está en la recta m, entonces hay

dos y sólo dos puntos, B y B , que están en m tales que el par de puntos ,A B sea

congruente con el par A, B y el par de puntos ,A B sea congruente con el par A, B;

además, A está entre B y B .

III-2. Si dos pares de puntos son congruentes al mismo par de puntos, entonces son

congruentes entre sí.

III-3. Si el punto C está entre los puntos A y B y el punto C está entre los puntos A y B ,

y si el par de puntos A, C es congruente al par ,A C y el par de puntos C, B es

congruente al ,C B , entonces el par de puntos A, B es congruente al ,A B .

III-4. Si BAC es un ángulo cuyos lados no están en la misma recta, y si A y B son dos

puntos distintos, entonces hay dos y sólo dos rayos distintos A C y A C tales que el

ángulo B A C sea congruente al ángulo BAC y el ángulo B A C sea congruente al

BAC; además, si D es un punto que está en el rayo A C y D es un punto en el rayo

A C , entonces el segmento D D corta a la recta determinada por A y B .

III-5. Todo ángulo es congruente a sí mismo.

Br. Darwing Mena 12

III-6. Si dos lados y su ángulo comprendido de un triángulo son congruentes,

respectivamente, a dos lados y su ángulo comprendido de otro triángulo, entonces

cada uno de los ángulos restantes del primer triángulo es congruente al ángulo

correspondiente del segundo triángulo.

GRUPO IV: Postulado de las paralelas

IV-1. Por un punto dado A que no esté en una recta dada m pasan al menos dos rectas que

no cortan a la recta m.

GRUPO V: Alternativo

V-1. Si los puntos de un segmento ordenado con origen A y extremo B se separan en dos

clases de modo que

1) cada punto de AB pertenezca a una y sólo una de las clases,

2) los puntos A y B pertenezcan a distintas clases (que llamaremos respectivamente,

primera y segunda clase),

3) cada punto de la primera clase precede a cada punto de la segunda.

Entonces existe un punto C en AB tal que todo punto que preceda a C pertenecerá a

la primera clase y todo punto que siga a C pertenecerá a la segunda clase.

Br. Darwing Mena 13

CONSTRUCCIONES EN LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

En las siguientes construcciones será dada la circunferencia fundamental , cuyo centro lo

denotaremos por H. Se empezará por construcciones de conceptos primitivos, postulados y

definiciones que serán de ayuda en construcciones posteriores. Para hacer diferencia entre

la geometría euclidiana e hiperbólica, se dirá qué tipo de trazo se está haciendo. En caso

que no se indique, se entenderá que es hiperbólico.

Primeras construcciones

Recta

Recordando definición de recta, se tiene que una recta es la

parte interior a de cualquier “circunferencia” (recta o

circunferencia) ortogonal a . Por tanto usando la

construcción vista en la primera parte, se tiene la

construcción de una recta que pase por dos puntos A y B

(Figura 12).

i. Se invierte A respecto de , obteniéndose A .

ii. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y

AA , determinándose el punto abL

iii. Con centro en abL , se traza el arco de circunferencia interior a . Este es la recta

hiperbólica ■

El hecho de que en la definición “circunferencia” se encuentre entre comillas es el hecho de

que si los puntos A y B se encuentran en el diámetro de , entonces ese diámetro resulta

ser la recta que pasa por los puntos A y B. De ahora en adelante llamaremos a la recta que

pasa por los puntos A y B como “ele recta a-b” y se usará abL en su notación. Y abL es la

notación para indicar el centro de la circunferencia que contiene a los puntos A y B.

Circunferencia

Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de

un punto fijo llamado centro.

Sea dada la circunferencia fundamental con centro H, y los puntos O y A en el plano

hiperbólico. Se construirá la circunferencia hiperbólica de centro O y radio OA (Figura 13).

i. Se traza el segmento de recta euclidiano oaL .

ii. Se traza la recta euclidiana perpendicular al

segmento oaAL que pasa por el punto A.

iii. Se traza el segmento euclidiano OH y se determina

el punto O en la intersección con la recta

perpendicular.

iv. Con centro en O y radio O A se traza una

circunferencia euclidiana. Esta circunferencia es la

circunferencia hiperbólica de centro O y radio OA ■

Figura 12

Figura 13

Br. Darwing Mena 14

Mediatriz de un segmento hiperbólico

Utilizando la definición que se dio para la geometría

euclidiana y un procedimiento similar que el que se uso en

la construcción de la mediatriz en la geometría de Euclides

se tiene que si es dado el segmento abL en (Figura 14):

i. Se traza el círculo hiperbólico con centro en B que

pase por A.

ii. Se traza el círculo hiperbólico con centro en A que

pase por B. La intersección de estos determina los

puntos C y D.

iii. Se traza cdL , que es la mediatriz del segmento

buscado ■

Recta perpendicular a una recta abL que pasa por un punto fuera de la recta

abL .

Sea dado un punto P interior a que no pertenezca a la recta

dada abL (Figura 15).

i. Se encuentra el inverso euclidiano de P respecto de ,

encontrándose P .

ii. Se encuentra el inverso euclidiano de P respecto del

arco AB encontrándose 1P .

iii. Se trazan las mediatrices de PP y 1PP para

determinar el centro pL .

iv. Se traza pL , que es la recta buscada ■

Bisectriz de un ángulo hiperbólico.

En la construcción de un ángulo se puede proceder como en la geometría euclidiana, esto es

desde el “vértice” se trazan rayos por los puntos que limitan el ángulo.

Ahora sea dado el ángulo hiperbólico ∠BAC.

i. Se invierte euclidianamente el punto A, para

determinar A .

ii. Se determina la mediatriz euclidiana del AA . iii. Dado que se tiene ∠BAC se pueden calcular los

puntos abL y acL . Se traza la bisectriz euclidiana del

∠LabALac.

iv. Se determina el punto zaL en la intersección de la

mediatriz y la bisectriz trazada.

v. Se traza un arco de circunferencia con centro en zaL

y radio zaAL . Este último será la bisectriz buscada ■

De ahora en adelante el símbolo zaL nos indica la bisectriz hiperbólica con vértice en A.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Br. Darwing Mena 15

Quinto postulado de Euclides

Es importante la construcción de la negación del quinto postulado de Euclides en la

geometría de Lobachevski. Recordándolo dice: “Por un punto dado A que no esté en una

recta dada m pasan al menos dos rectas que no cortan a la recta m”.

Adaptando un poco la notación que se ha visto se tendrá

que es dado la abL y un punto P que no está contenida en la

recta, lo que se hará será construir dos rectas que no tengan

ningún punto en común abL (Figura 17).

i. Se escoge un punto Q de forma que pqL no

interseque a la recta abL ; entonces

pqL es paralela a

abL .

ii. Se traza la phL , que en este caso resulta ser paralela

a abL ; con esto queda probado la negación del

quinto postulado. Este último puede variar de

acuerdo a la posición del punto P respecto de la recta dada.

Triángulos: sus rectas y puntos notables

Primeramente se verá la definición de triángulo y luego se describirá su construcción,

similar con todas las construcciones siguientes.

Definición: Un triángulo es un conjunto de tres puntos no

colineales conectados por tres segmentos de línea. Cada

punto se denomina vértice y cada segmento se llama un

lado.

Sean dados tres puntos A, B y C no colineales en la

circunferencia fundamental.

i. Se construye abL

ii. Se traza acL

iii. Se traza bcL , y con esto termina la construcción ■

a. Altura

Definición: Una altura de un triángulo es una línea a través de un vértice que es

perpendicular al lado opuesto de ese vértice.

Figura 17

Figura 18

Br. Darwing Mena 16

Dado el triángulo ABC, construir la altura del triángulo que

respecto del punto B (Figura 19).

i. Se construye el segmento de recta hbL que es

perpendicular a acL que parte de un punto exterior a

ella (que se vio antes), este es la altura del triángulo

respecto del vértice B ■

Se tendrá la siguiente notación para las alturas, que el

símbolo hbL es la altura del triángulo respecto del punto B.

Ortocentro

Equivalente a la geometría euclidiana, el ortocentro sería el punto donde se intersecan las

tres alturas del triángulo ABC. Surge una pregunta: ¿será que en la geometría no euclidiana

las tres alturas son concurrentes? Queda como ejercicio su

comprobación.

Dado el triángulo ABC (Figura 20).

i. Se construye la altura haL

ii. Se construye la altura hbL

iii. Se construye la altura hcL . El punto de intersección

de los tres segmentos es el punto O, que es el

ortocentro■

b. Bisectriz

Con el concepto que se había visto antes de bisectriz de un ángulo, se trabaja de manera

similar para la bisectriz de un ángulo en un triángulo (Figura 21). Por ese motivo

trabajaremos con la siguiente construcción.

Incentro

Definiendo el incentro como el punto donde se intersecan

las tres bisectrices se tendrá que si es dado el triángulo ABC

(Figura 21), Entonces

i. Se construye la bisectriz zaL ; el centro de este no

aparece porque sería muy grande la imagen.

ii. Se construye la bisectriz zcL

.

iii. Se construye la bisectriz zbL . El punto de

intersección de las tres bisectrices es el incentro ■

Recordando la geometría euclidiana, el incentro es el centro de la circunferencia inscrita en

el triángulo, de donde se deduce que es similar para la geometría hiperbólica. La

construcción del incírculo hiperbólico se ha puesto en los anexos.

Figura 19

Figura 20

Figura 21

Br. Darwing Mena 17

c. Mediatriz

De igual manera que la bisectriz, ya se había hecho la

construcción de la mediatriz de un segmento; las

mediatrices de un triángulo son nada más las mediatrices de

tres segmentos. Lo sorprendente es que las tres mediatrices

son concurrentes en el punto llamado circuncentro.

Circuncentro

i. Trazar la mediatriz de abL , determinada por los

puntos D y E por donde pasa la mediatriz.

ii. Trazar la mediatriz de bcL , determinada por los

puntos K y J por donde pasa la mediatriz.

iii. Trazar la mediatriz de acL , determinada por los puntos G y F por donde pasa la

mediatriz.

iv. En la intersección de las tres mediatrices, se obtiene el punto Q, que es el

circuncentro ■

En los anexos se muestra la construcción del circuncírculo, que es el círculo que pasa a

través de los tres vértices del triángulo, cuyo centro es Q.

d. Mediana

Como es de suponer la mediana de un triángulo se define

como el segmento que va del vértice al punto medio del

lado opuesto al vértice. Por eso para construir las tres

medianas primero hay que construir las mediatrices de los

lados para encontrar el punto medio de cada segmento.

Baricentro

Sea dado el triángulo ABC (Figura 23).

i. Se construyen las tres mediatrices para obtener los

puntos medios de los lados, esto es N, O y R.

ii. Se construyen los segmentos aoL ,

bnL y crL que

son las tres medianas, el punto de intersección de las

tres medianas es el baricentro G ■

¿Será que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo hiperbólico? ¿O que cada

mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área?

Cuadriláteros

Definición: Dados cuatro puntos A, B, C, y D, de tal manera que todos están situados en el

mismo plano, pero cualesquiera tres no son colineales, si los segmentos abL ,

bcL , cdL y

daL se cruzan sólo en sus puntos finales, a su unión se le llama un cuadrilátero.

Figura 22

Figura 23

Br. Darwing Mena 18

Usando esta definición se puede decir que si cuatro puntos cumplen la definición anterior,

entonces sólo se construyen los cuatro segmentos que unen los vértices. Ahora se analizará

qué pasa con la construcción del cuadrado hiperbólico.

La Figura 24 fue hecha de la siguiente manera: dado el

segmento abL , se pretende construir un cuadrilátero de la

siguiente manera

i. Se debe trazar el punto C de tal forma que ∠ABC=

π/2 y AB BC ; esto es primero se busca una recta

perpendicular que pase por B y luego una

circunferencia de centro B que pase por A, esto

último para asegurar la misma longitud.

ii. De manera similar se traza el punto D, tal que

∠BCD=π/2 y BC CD .

iii. El punto E debe cumplir con ∠CDE=π /2 y

CD DE ■

¿Qué se observa? Si se realizara esta construcción en la geometría euclidiana, seguramente

la figura ABCD sería un cuadrado, pero en la geometría de Lobachevski la suma de los

ángulos interiores en un cuadrilátero es menor que 2 radianes, y como la suma que se dio

era igual a 2 la figura no cierra, esto es no tiene forma de cuadrilátero.

De manera similar queda la definición de otros polígonos en la geometría hiperbólica.

Queda la invitación a la construcción de diversas figuras euclidianas y sus equivalentes en

la geometría de Lobachevski.

Cónicas a través del círculo hiperbólico

Para finalizar se da una relación de las cónicas con un

círculo hiperbólico.

Primero se verá la construcción de una tangente hiperbólica

a un círculo hiperbólico.

Sea el centro en O y radio OA (Figura 25).

i. Se construye el circulo hiperbólico de centro en O y

radio OA; el centro euclidiano quedaría en 1O .

ii. Se traza el rayo euclidiano 1O A .

iii. Se toma el inverso euclidiano de A respecto de .

iv. Se traza la mediatriz euclidiana del segmento AA .

v. La intersección de la mediatriz y el rayo nos da el punto taL , que determina la recta

taL . Esta es la recta tangente al círculo hiperbólico por el punto A ■

Figura 24

Figura 25

Br. Darwing Mena 19

Las tangentes hiperbólicas se denotan comotaL , que

significa la recta tangente por el punto A. Aquí taL es el

centro euclidiano del círculo que contiene a taL .

En la Figura 26 se trazan varias rectas tangentes por los

puntos A, B, C, D, E y F, cuyos centros son taL , tbL , tcL ,

tdL , teL y tfL . Si se trazaran todos los centros euclidianos

de las tangentes, su lugar geométrico está contenido en

una cónica. ¿Podría decir bajo qué condiciones esta cónica

sería una hipérbola?

BIBLIOGRAFÍA

Bonola, Roberto. Non-Euclidean Geometry: a Critical and Historical Study of its

Development. The Open Court Publishing Company. USA. 1912.

Catellanos, Joel. Dan Austin, Joe. Darnell, Ervan. Interactive Constructions in

Hiperbolic Geometry. http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html

Eves, Howard. Estudio de las Geometrías. Tomo 1. Unión Tipográfica Editorial

Hispano Americano. México.1969.

Ivorra Castillo, Carlos. Geometría. http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf

Moise, Edwin E. Elementos de Geometría Superior. Cía. Editorial Continental.

México. 1968.

Poenisch, Ricardo. Froemel, Enrique. Construcciones Planimétricas. Libro

Segundo. Soc. Imp. y Lito. Universo. Chile. 1938.

Shively, Levi S. Introducción a la Geometría Moderna. Cía. Editorial Continental.

México. 1984.

Figura 26

Br. Darwing Mena 20

ANEXO

[1] Postulados de construcción en los Elementos

En los Elementos de Euclides, los tres primeros postulados nos indican las construcciones

primitivas. Las demás construcciones deben componerse de estas.

a) Puede trazarse una recta de un punto a otro.

b) Una recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta.

c) Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y una distancia.

Cabe mencionar el hecho de que Euclides trató de evitar el uso del quinto postulado en sus

demostraciones y que la geometría de Lobachevski difiere del quinto postulado de la

geometría de Euclides, esto es, estos postulados son aplicables en la geometría hiperbólica

sin ningún temor.

[2] Construcción de la bisectriz hiperbólica, método general

Como es de suponer, el método visto

anteriormente en la construcción de

una bisectriz hiperbólica presenta

algunas dificultades; por eso este

método viene a resolver esos

problemas.

Sea dado el ángulo hiperbólico ∠

BAC y por ende los puntos abL y acL

(Figura de la derecha).

i. Se trazan los segmentos

euclidianos abAL y

acAL .

ii. Se trazan las perpendiculares

abt y act a abAL y

acAL por el

punto A, respectivamente.

iii. Se traza la bisectriz euclidiana

ab , del ángulo formado por los

rayos abt y act .

iv. Se traza la perpendicular euclidiana m respecto de ab , que pasa por el punto A.

v. Se encuentra el inverso euclidiano de A denotado por A .

vi. Se encuentra la mediatriz del segmento AA .

vii. La intersección de esta mediatriz con la recta m, genera al punto zaL .

viii. El rayo zaL es la bisectriz buscada ■

Br. Darwing Mena 21

[3] Construcción del incírculo hiperbólico

i. Se construye el Incentro I del triángulo ABC.

ii. Desde I se traza un segmento perpendicular al lado AB (puede ser cualquiera de los

otros lados del triángulo), determinando el punto M en la intersección con AB

Br. Darwing Mena 22

iii. Se traza la circunferencia hiperbólica de centro I, que pase por M. Esta será tangente

a los tres lados y por tanto es el incírculo del triángulo ABC. El punto P es el centro

de la circunferencia euclidiana que pasa por M.

A continuación se muestra un acercamiento para observar detalles en esta construcción.

■

Se observa que cnL es la bisectriz que pasa por I, mientras que

imL es el segmento

perpendicular a abL . De aquí que el radio de la circunferencia hiperbólica es IM, no IN.

Br. Darwing Mena 23

[4] Construcción del circuncírculo hiperbólico

i. Se construye el circuncentro hiperbólico Q del triángulo ABC.

ii. Se construye la circunferencia de centro Q y radio CQ. Esta sería el circuncírculo

hiperbólico del triángulo ABC.

■