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SEM0104 SEM0104 -- Aula Aula 1414Sistema de Múltiplos CorposSistema de Múltiplos CorposSistema de Múltiplos CorposSistema de Múltiplos Corpos

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

•• IntroduçãoIntrodução

• Sist. Multi-corpos no Plano

• Sist. Multi-corpos no Espaço

Sumário da AulaSumário da Aula


• Princípio de Jourdain

• Aplicações

EESC-USP © M. Becker 2/67

IntroduçãoIntrodução

Objetivos:

» Relembrar o procedimento do cálculo de velocidades e acelerações de sistemas de Múltiplos corpos;

3

» Apresentar uma aplicação do procedimento de obtenção das equações de equilíbrio dinâmico e das variáveis nela contidas.

EESC-USP © M. Becker


•• Sist. Sist. MultiMulti--corposcorpos no Planono Plano





• Aplicações


Apresentação do MecanismoApresentação do Mecanismo

5EESC-USP © M. Becker

Cinemática Cinemática do Mecanismodo Mecanismo

1.1 - Sistemas de Referência

1.2 - Matrizes de transformação

1.3 - Escrevendo os ângulos em função do ângulo de acionamento

6

1.4 - Velocidades e Acelerações dos Sistemas Móveis

1.5 - Velocidades e acelerações em relação ao Sistema Inercial


1.1 – Sistemas de Referência

Nome Tipo Eixos Cursores Origem

I Inercial X, Y, Z i, j, kCentro do disco

B1 MóvelX1, Y1,

Z1

i1, j1, k1

Centro do disco, solidário a ele

7

Z1 k1ele

B2 MóvelX2, Y2,

Z2

i2, j2, k2

Ponto B, solidário ao corpo 2 (braço)

B3 MóvelX3, Y3,

Z3

i3, j3, k3

Ponto B, solidário ao corpo 4 (pêndulo)

Obs: Nenhum sistema móvel foi utilizado para descrever o movimento do corpo 3 (pistão) pois este é facilmente descrito (translação pura) através do inercial.


1.2 – Matrizes de Transformação

Sistema I para base B1 (Rotação em θ)

−= 0cos

0cos

θθ

θθ

θ sin

sin

T

8

−=

100

0cosθθθ sinT

sTs IB θ=1

θ > 0 nesta posição



Sistema I para base B2 (Rotação negativa em torno de Z,

com ângulo β)

−= 0cos

0cos

ββ

ββ

β sin

sin

T

9

100

β

sTs IB β=2

β > 0 nesta posição



Sistema I para base B3 (Rotação positiva em torno de Z,

com ângulo ψ)

−= 0cos

0cos

ψψ

ψψ

ψ sin

sin

T

10

−=

100

0cosψψψ sinT

sTs IB ψ=3

ψ > 0 nesta posição


1.3 – Escrevendo os ângulos em função do ângulo de acionamento

r

l

h

11

h

θ β

θθ sinrhr

hsin =⇒=

=⇒==

l

sinrarcsin

l

sinr

l

hsin

θβ

θβ


1.4 – Velocidades dos Sistemas Móveis

Corpo 1

Valores conhecidos

12

=⇒

=

0

0

0

0

0

11 ω

θ

ω &

&I pois θ é constante.


Corpo 2

Valores desconhecidos. Sabe-se que o corpo gira em torno de Z, no plano XY

Incógnitas: β& e β&&


13

Incógnitas: β& e β&&

Duas possíveis soluções:

• Pelas relações trigonométricas (triângulo);

• Equações de velocidade e aceleração absolutas de uma base móvel.


Corpo 2

θ

cosrr

Definição das grandezas na forma vetorial (em relação ao Sistema Inercial)


14

θ=⇒=⇒

= θ

0

.

0

0 11 sinrrrTrr IB

T

IB

β

β−

=⇒=⇒

−

= β

0

cos

ll.l

0

0l 22 sinl

l

T

l

IB

T

IB

ψ

ψ

=⇒=⇒

= ψ

0

cos

ll.l

0

0l 1

1

1131

1

3 sinl

l

T

l

IB

T

IB


Cálculo das velocidades

Do Sistema B1:

(Velocidade absoluta do ponto A, fixo no disco):


15

(Velocidade absoluta do ponto A, fixo no disco):

)1(1

0

Re1

0

OAIIOAlIOAIIOIAI rvrvv ×ω=+×ω+=

==321

OI v

OAlI vRe

=0 pois a velocidade do Ponto O é zero

= 0 pois não há movimento relativo entre A e O (corpo rígido)



Do Sistema B2:

(Velocidade absoluta do ponto A, fixo no braço):


16

(Velocidade absoluta do ponto A, fixo no braço):

(2)ll 2

0

Re2 IIBIABlIIIBIAI vvvv ×ω+=+×ω+=

=

321

Igualando (1) e (2), tem-se:

OAII r×ω1 l

2 IIBI v ×ω+=



Escrevendo na forma matricial:

kjivkji B


17

0cos

00

0

0

0cos

00

ββ−

β−+

=

θθ

θ

sinllsinrr

B

&&

Resolvendo os determinantes:

ββ

ββ

+

=

θθ

θθ−

0

cos

0

0

0

cos &

&

&

&

l

sinlv

r

sinr B



Reescrevendo na forma matricial, em função das incógnitas

θθ−

=

β1 &

&

sinrvsinl B


18

θθ−=

β

β coscos0 && rl

cuja solução é:

β

β+θθ−=

β

β

βθθ

βθθ−

=cos

)(

cos0

1

coscos sinr

l

sinl

lr

sinlsinr

vB

&&

&

β

θθ=

β

β

θθ

θθ−

=βcos

cos

cos0

1

cos0

1

l

r

l

sinl

r

sinr

&&

&

&


Cálculo das acelerações

Do sistema B1:

(aceleração absoluta do ponto A, solidário ao disco):

32132143421&

0

Re

0

Re1

0

111

0

.2

====

+×+×+××+= lIlIIIIIIIOIAI avrraa ωωωω

1.4 - Acelerações dos Sistemas Móveis

19

000 ===

OI a

rII ×1ω&

lI vRe

lI aRe

= 0 pois não existe movimento relativo entre o ponto O e a origem do

Sist. Inercial

= 0 pois ω1= constante

= 0 pois a velocidade relativa do Sistema Inercial com relação a ele

mesmo é zero.

= 0 pois a aceleração relativa do Sistema Inercial com relação a ele mesmo é zero.



Do sistema B2:

(aceleração absoluta do ponto A, solidário ao braço):


20

321321&

0

Re

0

Re2222 .2ll

==

+×+×+××+= lIlIIIIIIIBIAI avaa ωωωω

Como o ponto A é o mesmo para os dois corpos, pode-se igualar as acelerações:

ll 22211 IIIIIBIIII ar ×+××+=×× ωωωωω &



Matricialmente

+−+

=

− 0

cos

0cos

00

0

0

0cos

00 ββ

ββ

ββββ

β

θθθθ

θ &&

&&

&&

&

&&

& l

sinl

lsinl

kjia

rsinr

kji B


21

− 00cos00cos ββββθθθθ lsinlrsinr

+−

−−=

ββθθ

ββθθ

ββ

β

sinlsinr

lra

l

sinl B

22

22coscos

cos0

1

&&

&&

&&

Cuja solução

β

ββθθ

β

β

βββθθ

βββθθ

cos

)cos(

cos0

1

cos)(

)coscos(

2222

22

&&&&

&&

lr

l

sinl

lsinlsinr

sinllr

aB

−+−=

+−

−−

=β

ββθθ

β

β

ββθθ

ββθθ

βcos

cos0

1

)(0

)coscos(1

2222

22

l

sinlsinr

l

sinl

sinlsinr

lr

&&&&

&&

&& −−=

+−

−−

=



Do sistema B3:

(aceleração absoluta do ponto 3, que é a mesma da massa do pêndulo):

ReRe11 .2ll +×+×+××+= llIIIIIIBIPI avaa ψψψψ &&&&&


22

0

Re

0

Re11

==

llIIIIIIBIPI

0cos

00

0cos

000

0

0

0

1111 ψψ

ψ

ψψ

ψ

ψ sinll

kji

sinll

kjia

a

B

PI&&&

&

+×

+

=

+−

−−

=

0

cos

cos

11

2

11

2

ψψψψ

ψψψψ

lsinl

sinlla

a

B

PI&&&

&&&

+−

−

==

0

cos

.1

2

1

3ψψ

ψψ

ψ&&

&

lsina

la

aTa B

B

PIPB

Base Inercial Base B3


Dinâmica Dinâmica do Mecanismodo Mecanismo

Diagramas de corpo livre

23

Corpos 1 e 2 modelados como corpos rígidos

Para cada corpo rígido no plano, tem-se 3 equações de equilíbrio dinâmico (duas de força e uma de momento).


Diagramas de corpo livre


24

Corpos 3 e 4 modelados como partículas

Para cada partícula no plano tem-se duas equações de equilíbrio dinâmico (equações de força)


Incógnitas:

TNFFFFFFM YXYXYX ,,,,,,, 332,2111

10 equações (três do corpo 01, três do corpo 2, duas do corpo 3 e duas do corpo 04): a restante se refere ao


25

movimento do pêndulo, montado na manivela.


Do corpo 04 - pêndulo (base B3):

Forças atuantes:

−==⇒

=

cos

.0 4

4

443

4

4 ψ

ψ

ψ singm

gm

PTP

gm

P IBI


26

−==⇒

=

0

.

0

0 44434 ψψ singmPTPP IBI

−

=−

0

0)( 3

T

TB


2ª Lei de Newton (base B3):


+−

−

=

−

+

−⇒=∑cos

0

cos

1

2

1

4

2

4

4

343ψψ

ψψ

ψ

ψ

&&

&

lsina

la

m

T

singm

gm

amF B

B

PBiB


27

+−=

+

−⇒=∑=

00

0

0

14

1

4343ψψψ &&lsinamsingmamF B

i

PBiB

Resolvendo o sistema de equações:

1ª - Equação de movimento do pêndulo:

0)(414

=+−+ ψψ singamlm B&&

(eq. diferencial não linear) – Solução numérica




Re-arranjando

0)cos(1

22

=

+++

+ ψββθθ

ψ singlr &&

&&


28

0cos

)cos(1

1

=

+

+++ ψ

β

ββθθψ sing

lr

l&&

θ=β

l

sinrarcsin

β

θθ=β

cos

cos

l

r &&




2ª - Equação da força T em função da posição angular ψ:

[ ]2cos)( lagmT ψ+ψ−= &


29

[ ]14 cos)( lagmT B ψ+ψ−= &

Ou seja, para calcular T precisa-se resolver (numericamente) a equação diferencial não linear para ψ.


Do corpo 03 – massa concentrada na extremidade do braço (base Inercial):

Forças atuantes

= 0

3

3

gm

PI

=

0

NNI


30

0

3I

ψ

ψ

==⇒

= ψ

0

cos

.

0

0 33 sinT

T

TTT

T

T B

T

IB

=

0

NNI

−

−

=−

0

)(3

3

3 y

x

I F

F

F Reação

Ação


2ª Lei de Newton (base Inercial):

=

−

−

+

ψ

ψ

+

+

==∑=

0

cos0

0 33

34

1

3

3

B

y

x

i

BIiI

a

mF

F

sinT

T

N

gm

amF


31

∑=

000001i

São três incógnitas (N, F3x, F3y) para duas equações.

Utilizar-se-á o corpo 2 para completá-las.


Do corpo 02 – braço (base Inercial):

Forças atuantes

=

0

0

2

2

gm

PI


32

0

−

−

=−

0

)( 2

2

2 y

x

I F

F

F

=

0

)( 3

3

3 y

x

I F

F

F Ação

Reação




=

+

−

−

+

==∑=

0 2

2

23

3

2

24 2

*

22 y

x

y

x

y

x

IiI a

a

mF

F

F

Fgm

amF


33

∑=

00001i

*

2a a aceleração do centro de massa do braço, calculada como sendo:

=×ω+×ω×ω+=

0

ll2

2

*

2

*

22

*

2 y

x

IIIIIBII a

a

aa &

β

β−

=

0

2/

cos2/

l*

sinl

l

I

o que aumenta mais duas eq. de equilíbrio dinâmico



Como o comportamento do corpo 2 é de corpo rígido, acrescenta-se as equações de rotação.

Utilizando Euler com o somatório de forças em relação ao ponto B:


34

22

*

2222

22222222

22

1

22222

Pl)F(-l

a).I().I(

aH)H(M

BBBB

BBcmBBBBBBBBB

BB

n

i

cmBBBBBBBBB

mrdt

d

mrdt

di

×+×=

=×+β×β+β=

=×+×β+=

−

=−∑

&&&

&

H = quantidade de movimento angular



Calculando em relação ao centro de massa e usando o Teorema dos Eixos paralelos para transladar as inércias do centro de massa para o ponto B, obtém-se:

00I


35

=

2

2

2

00

00

00

I2

zz

yy

xx

OB

I

I

I

Somando-se as duas equações de equilíbrio dinâmico do corpo 2 às 3 do corpo 3, tem-se 05 equações que permitem calcular:

yxyx FFFFN 2233 ,,,,


Do corpo 01 – disco (base Inercial):

Forças e momentos atuantes

= 0P

1

1

gm

I

=F 2

2

2 y

x

I F

F


36

0

1I

=

0

F 22 yI F

−=

0

F 1

1

1 y

x

I F

F

=

1

10

0

M

M

I



=

−+

+

==∑=

0

0

0

000

0aF 11

1

2

23

1

1

*

11 mF

F

F

Fgm

m y

x

y

x

i

IiI


37

Como o comportamento do corpo 1 é de corpo rígido, acrescenta-se as equações de rotação.

11211

0

11

0

111111

1

1 MFra).I().I(M BBBOBcgOBBOBBBOB

n

i

OB mrdt

di

+×=×+θ×θ+θ===

−=

∑321

&&&

Utilizando Euler com o somatório de momentos em relação ao ponto O:




•• Sist. Sist. MultiMulti--corposcorpos no Espaçono Espaço




• Aplicações


Sist. Sist. MultiMulti--corposcorpos no Espaçono Espaço

• GIROSCÓPIOAplicação dos Ângulos de Euler na modelagem do movimento:

– Equações de

39

– Equações de Movimento

– Reações Dinâmicas

(O momento da força peso e

anulado devido aos momentos

de reação aplicados pelos

mancais sobre o rotor)


Método de Método de NewtonNewton--EulerEuler

Definição de sistemas de referência inercial e móveis

Giroscópio

40

móveis

– Ψ Precessão

– Θ Nutação

– Φ Spin



• Sistema inercial I - base X, Y, Z no corpo I

• Sistema móvel B1 - base X1, Y1, Z1 no corpo II

Giroscópio

41

X1, Y1, Z1 no corpo II

• Sistema móvel B2 - base X2, Y2, Z2 no corpo III

• Corpo IV, rotor do giroscópio

Ω Corpos


• Rotação e Matrizes de transformação de

Método de Método de NewtonNewton--EulerEulerGiroscópio

42

de coordenadas

•Precessão

•Nutação

•Spin



• Velocidade angular absoluta dos sistemas

Giroscópio

43

dos sistemas móveis de referência;



• Velocidade angular absoluta dos corpos II, III,

Giroscópio

44

corpos II, III, IV

Giroscópio



• Aceleração angular absoluta

Giroscópio

45

absoluta dos corpos II, III, IV



• Velocidade linear absoluta do centro de massa dos corpos II, III, IV

Giroscópio

46

• Aceleração linear absoluta do centro de massa dos corpos II, III, IV



• Diagrama de corpo livreReações Dinâmicas



• Equilíbrio Dinâmico

Reações Dinâmicas


Método de Método de NewtonNewton--EulerEuler• Momentos gerados pelas forças Reativas


Método de Método de NewtonNewton--EulerEulerEquilíbrio de Euler


Método de Método de NewtonNewton--EulerEulerReações Dinâmicas• Equilíbrio Dinâmico



• Momentos gerados pelas forças Reativas



Método de Newton-Euler




Método de Método de NewtonNewton--EulerEulerReações Dinâmicas



• Agrupando todas as equações, chega-se a um sistema de 18 equações. Têm-se 15 incógnitas, que são as forças dinâmicas de reação nos pontos A, B, C, D e E;

Resolvendo o sistema de equações


61

pontos A, B, C, D e E;

• As três equações restantes são as equações diferenciais para os ângulos de precessão, nutação e spin;


Equações de Movimento



Método de Método de NewtonNewton--EulerEulerEquações dos Ângulos


Simulações


• Experimental 1 Spin 1


65

• Simulação 1



• Simulação 2







•• Princípio de Princípio de JourdainJourdain

• Aplicações


Princípio de JourdainPrincípio de Jourdain

• Princípio do trabalho Virtual – D`Alembert

Equações de Movimento sem o Cálculo dasReações Dinâmicas

67

– As forças e momentos aplicados sobre um corpo rígido podem ser divididos em :

•Passivos

•Ativos


• PassivasSão aquelas que não realizam trabalho, como é o caso das forças e momentos de reação R e M ;

Princípio de JourdainPrincípio de JourdainForças e Momentos

68

é o caso das forças e momentos de reação R e MR;

• AtivasSão aquelas que realizam trabalho FE e ME;


• Num plano onde um corpo é obrigado a realizar determinada trajetória, a reação normal do plano sobre o corpo estará sempre perpendicular à sua trajetória. Por


69

sempre perpendicular à sua trajetória. Por isso a força normal não realiza trabalho e é chamada e força “perdida” ou “passiva”;


• Reescrevendo a equação de Newton-Euler




• De outra forma temos



• Multiplicando agora pelos vetores de deslocamento virtual que estão na direção do movimento, e conseqüentemente são perpendiculares às forças e momentos de

ξBes ∆∆Ι

72

perpendiculares às forças e momentos de reação;



• Somando-se o trabalho “ virtual ” realizado pelas forças e momentos de reação temos:



• Fazendo o uso agora dos vetores de velocidade virtual, tem-se o princípio da potência formulado por Jourdain;

ξ&&Bes ∆∆Ι



• Sabe-se que os vetores devem respeitar as condições de vínculo, ou seja, estes vetores só variam nas direções em que se têm graus de liberdade;

ξ&&Bes ∆∆Ι

75

se têm graus de liberdade;



• Defini-se então o vetor q , composto pelas coordenadas dos graus de liberdade do sistema mecânico;

• Mas os movimentos de um corpo rígido livre

76

• Mas os movimentos de um corpo rígido livre (sem vínculos) no espaço são descritos por 6 coordenas: 3 de translação de 3 de rotação;



• Logo:

Tqqqqqqq 654321=

77

Tqqqqqqq

ou

qqqqqqq

654321

654321

&&&&&&& =

=



• Sabe-se que esses vetores de velocidade só variam nas direções dos graus de liberdade do corpo. Logo, os mesmos podes ser obtidos quando as derivadas dos mesmos em relação

78

quando as derivadas dos mesmos em relação aos graus de liberdade do sistema são calculadas. Essa ferramenta é denominada de Jacobiano;



• Jacobiano de Translação



• Jacobiano de Rotação



• Substituindo esse Jacobianos na equação do princípio da potência temos a formulação de Jourdain;


Usando o Método de Usando o Método de JourdainJourdainSistemas de Corpos Rígidos - Giroscópio

• O objetivo deste exemplo é ilustrar a aplicação do princípio de Jourdain para a obtenção das equações diferenciais de movimento do Giroscópio sem que seja

82

movimento do Giroscópio sem que seja necessário a representação e cálculo das forças de reação entre os vário corpos;


Usando o Método de Usando o Método de JourdainJourdainGiroscópio

• 3 equações responsáveis por descrever o comportament

83

comportamento dos ângulos de precessão, nutação e spin;



• Velocidade angular absoluta dos sistemas B1

e B2



• Velocidade angular absoluta dos corpos II, III, IV

85

Jacobiano


Usando o Método de JourdainGiroscópio

• Aceleração angular absoluta dos corpos II, III, IV



• Velocidade Linear absoluta dos corpos II, III, IV

87

• Aceleração Linear absoluta dos corpos II, III, IV



• Vetor formado pelas coordenadas mínimas de velocidade dos corpos;

q&



• Jacobiano de Translação do corpo II;



• Jacobiano de Translação do corpo III;



• Jacobiano de Translação do corpo IV;



• Jacobiano de Rotação do corpo II;

92

ω



• Jacobiano de Rotação do corpo III;



• Jacobiano de Rotação do corpo IV;



• As únicas forças externas aplicadas sobre os corpos II, III, IV são as forças peso;



• Com o auxílio do tensor de inércia dos corpos II, III e IV, substituindo os termos na equação;



• Temos então:



• Substituindo os Jacobianos nas equações anteriores e resolvendo os respectivos produtos escalares e vetoriais chega-se então às 3 equações diferenciais de movimento;

98

equações diferenciais de movimento;



• Isolando-se as acelerações, tem-se:



• E também:







•• Princípio de Princípio de JordainJordain

•• AplicaçõesAplicações


Aplicações em SatélitesSatélite

• Nesse item, o método Newton-Euler-Jourdain é aplicado a um sistema mecânico de corpos rígidos, distante da grande maioria de nos estudantes;

102

estudantes;• O sistema em questão é composto por um corpo

principal e 3 rotores internos dispostos ortogonalmente entre si.



• O modelo mecânico para o satélite é apresentado a seguir. É claramente visível os 4 corpos que o compõem;



• O satélite, que representa um sistema de múltiplos corpos sem equações de vínculo, apresenta 6 graus de liberdade, sendo 3 deslocamentos lineares, que definem sua órbita em torno da terra,

104

lineares, que definem sua órbita em torno da terra, e 3 rotações em torno de seu centro de massa, que definem sua atitude;



• Os ângulos que definem a atitude do satélite são apresentados na

105

apresentados na figura, juntamente com os sistemas de referência;

• φ1• φ2• φ3


Aplicações em SatélitesÓrbitas

• Órbitas descritas por vetores ortogonais ao centro de cada face do satélite. Estas trajetórias são resultados das simulações em que apenas um rotor interno na direção X3 esta em funcionamento;

106

rotor interno na direção X3 esta em funcionamento;

]/[35][0 33 sraderad RR == ϕϕ &


Aplicações em Satélites

• Perturbação:

Órbitas

][0 rad=== ϕϕϕ

107

]/[0

]/[0

]/[01,0

][0

3

2

1

321

srad

srad

srad

rad

=

=

=

===

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

&

&

&



• Perturbação:

Órbitas

][0 rad=== ϕϕϕ

108

]/[0

]/[01,0

]/[0

][0

3

2

1

321

srad

srad

srad

rad

=

=

=

===

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

&

&

&



• Perturbação

Órbitas

][0 rad=== ϕϕϕ

109

]/[01,0

]/[0

]/[0

][0

3

2

1

321

srad

srad

srad

rad

=

=

=

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