selamat hari pi

27
Selamat Hari Pi - Sejarah Matematika Pi. Anti Login mengucapkan selamat hari pi yang jatuh pada tanggal 14 maret. Anda semua tahu kan apa itu pi ? Penjelasannya, misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter trus kita ukur kelilingnya dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah sekitar 3,14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3,14159. Pi juga biasanya diartikan sebagai 1 putaran penuh lingkaran atau 1 pi = 360derajat. Ada lagi, kadang angka 3,14 itu suka digantiin sama 22/7 kan, kalau mau diuraikan 22/7 hasilnya adalah : ( perhatikan ) 3,142857142857142857.. dst dan pi adalah : 3,1415926535897932384626433832795.. dst Apa bedanya? 22/7 menghasilkan bilangan dengan angka berulang dibelakang koma.. yaitu angka 142857 yang terus berulang2..

Upload: praptiaf

Post on 25-Jun-2015

161 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Selamat Hari Pi

Selamat Hari Pi - Sejarah Matematika Pi. Anti Login mengucapkan selamat hari pi yang jatuh pada tanggal 14 maret. Anda semua tahu kan apa itu pi ?

Penjelasannya, misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter trus kita ukur kelilingnya dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah sekitar 3,14159 meter.

Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3,14159. Pi juga biasanya diartikan sebagai 1 putaran penuh lingkaran atau 1 pi = 360derajat.

Ada lagi, kadang angka 3,14 itu suka digantiin sama 22/7 kan,kalau mau diuraikan 22/7 hasilnya adalah : ( perhatikan )3,142857142857142857.. dst

dan pi adalah :3,1415926535897932384626433832795.. dst

Apa bedanya?

22/7 menghasilkan bilangan dengan angka berulang dibelakang koma..yaitu angka 142857 yang terus berulang2..

sedangkan pi menghasilkan angka dibelakang koma tanpa pengulangan sama sekali..

keliatan simple dan "mendekati" tapiiiii... untuk perhitungan science internasional jelas itu kesalahan FATAL...

so, gw gk heran kalo "kebanyakan" juara olimpiade matematika atau fisika yang berasal dari Indonesia, biasanya sekolah di sekolah2 swasta yang perhitungannya bertaraf internasional..

disini gw bukanlah pihak yang membodohi bangsa sendiri, tapi kiranya menjadi acuan kedepan

Page 2: Selamat Hari Pi

untuk lebih memajukan mata pelajaran yang sampe sekarang (keponakan gw juga) masih diajarkan..

mungkin ada yang berpendapat "itu agar anak2 lebih memahami" tapi kalo para juara olimpiade itu bisa, kenapa yang lain tidak? gw rasa segala hal yang diajarkan pasti bisa dipelajari..

jadi 22/7 > pi

Fakta-Fakta Menarik Mengenai Pi

Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani pi untuk mewakili nilai yang dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol ini untuk mewakili bilangan.

Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat untuk pi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil.

Sebagian besar orang pada waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas. Nilai dari pi adalah banyaknya diameter lingkaran yang akan dipaskan dengan keliling lingkaran.

Nilai dari pi adalah 22 / 7 dan ditulis sebagai = 22 / 7 atau = 3,14.

Nilai phi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445923078164062862089986280348253421170679...

Fakta menarik lainnya adalah Anda tidak akan menemukan nol dalam 31 digit pertama dalam dari pi.

Di samping perhitungan geometri sehari-hari, nilai pi juga digunakan dalam berbagai persamaan ilmiah termasuk rekayasa genetika, mengukur reaksi, distribusi normal, dan sebagainya.

Tahukah Anda bahwa pi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami?Fakta menarik lainnya tentang phi diambil dari huruf Yunani "Piwas". Itu juga merupakan Abjad Yunani yang ke-16.

Seorang pengusaha di Cleveland, AS, menerbitkan buku pada pada tahun 1931 untuk mengumumkan bahwa nilai pi adalah 256/81.Jika Anda mencetak miliaran dari desimal pi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.

Fakta-Fakta Menarik Lainnya Lagi Mengenai Phi

Tahukah Anda Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo?? Ia membutukan waktu sekitar 116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Pi dengan komputer.

Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai pi, yaitu :/ 4 = 4 * arc tan (1 / 5) - arc tan (1 / 239).

Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat

Page 3: Selamat Hari Pi

desimal pi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer).

Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama pi.

Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Pi adalah sebuah bilangan irasional, dan pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang juga Ahli matematika terkenal membuktikan Pi adalah bilangan yang sulit dipahami.

Ada orang yang hafal semua angka desimal pi. Orang tersebut membuat lagu dan musik berdasarkan digit dari pi. Dalam kehidupan ini, memang terdapat banyak fakta yang menarik dan menyenangkan mengenai pi.

PAHLAWAN MATEMATIKA YANG DILUPAKAN

Kamis, 11 Juni 2009 18:30:23 - oleh : admin

Pahlawan-pahlawan Matematika yang Terlupakan SAAT ini ilmu pengetahuan, khususnya matematika, berkiblat ke negeri Barat (Eropa dan Amerika). Kita hampir tidak pernah mendengar ahli matematika yang berasal dari negeri Timur (Arab Muslim, India, Cina). Yang paling populer kita dengar sebagai matematikawan Arab Muslim yang mempunyai kontribusi terhadap perkembangan matematika adalah Al-Khawarizmi, dikenal sebagai bapak Aljabar, memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani kuno. Apakah benar hanya itu kontribusi negeri-negeri timur (khususnya umat Islam) terhadap perkembangan matematika? Kisah angka nol Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu. Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan, dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa "sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap". Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu. Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal. Zaman Kegelapan Sebenarnya stagnasi ilmu pengetahuan tidak pernah terjadi, yang terjadi adalah berpindahnya pusat-pusat ilmu pengetahuan. Sejarah mencatat bahwa setelah Yunani runtuh, muncul era baru, yaitu era kejayaan Islam di tanah Arab. Hal ini berakibat bahwa perkembangan kebudayaan dan ilmu pengetahuan berpusat dan didominasi oleh umat Islam-Arab. Yang dimaksud dengan Arab di sini meliputi wilayah Timur Tengah, Turki, Afrika utara, daerah perbatasan Cina, dan sebagian dari Spanyol, sesuai dengan wilayah kekuasaan kekhalifahan Islam pada saat itu. Khalifah Harun Al-Rashid, khalifah kelima pada masa dinasti Abassiyah, sangat memerhatikan perkembangan ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya, yang dimulai pada

Page 4: Selamat Hari Pi

sekitar tahun 786, terjadi proses penerjemahan besar-besaran naskah-naskah matematika (juga ilmu pengetahuan lainnya) bangsa Yunani kuno ke dalam bahasa Arab. Bahkan khalifah berikutnya, yaitu khalifah Al-Ma’mun lebih besar lagi perhatiannya terhadap perkembangan ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya di Bagdad didirikan Dewan Kearifan, yang menjadi pusat penelitian dan penerjemahan naskah Yunani. Beasiswa disediakan bagi para penerjemah dan umumnya mereka bukan hanya ahli bahasa, tetapi juga merupakan ilmuwan yang ahli dalam matematika. Misalnya Al-Hajjaj menerjemahkan naskah Elements (berisi kumpulan pengetahuan matematika) yang ditulis Euclid. Beberapa penerjemah lainnya misalnya Al-Kindi, Banu Musa bersaudara, dan Hunayn Ibnu Ishaq. Seperti yang banyak dikemukakan ahli sejarah matematika, terutama yang ditulis oleh orang Barat, kontribusi Muslim bagi perkembangan matematika adalah terbatas pada aktivitas penerjemahan naskah Yunani kuno ke dalam bahasa Arab. Banyak ahli sejarah matematika yang tidak menampilkan tentang sumbangan besar Muslim terhadap perkembangan matematika, baik karena sengaja atau ketidaktahuannya. Namun tidak sedikit pula ahli sejarah matematika dari Barat yang lebih objektif dalam mengemukakan fakta-fakta yang sebenarnya terjadi. Dalam satu sumber yang ditulis oleh J. J. O’Connor dan E. F. Robertson dikatakan bahwa dunia barat sebenarnya telah banyak berutang pada para ilmuwan/matematikawan Muslim. Lebih lanjut bahwa perkembangan yang sangat pesat dalam matematika pada abad ke-16 hingga abad ke-18 di dunia barat, sebenarnya telah dimulai oleh para matematikawan Muslim berabad-abad sebelumnya. Kontribusi matematikawan Muslim Salah seorang matematikawan brilian pada masa permulaan adalah Al-Khawarizmi. Selain kontribusinya seperti yang telah dikemukakan, Al-Khawarizmi dikenal pula sebagai pionir dalam bidang aljabar. Penelitian-penelitian Al-Khawarizmi adalah suatu revolusi besar dalam dunia matematika, yang menghubungkan konsep-konsep geometri dari matematika Yunani kuno ke dalam konsep baru. Penelitian-penelitian Al-Khawarizmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional/irasional, besaran-besaran geometri diperlakukan sebagai “objek-objek aljabar”. Generasi penerus Al-Khawarizmi, misalnya Al-Mahani (lahir tahun 820), Abu Kamil (lahir tahun 850) memusatkan penelitian pada aplikasi-aplikasi sistematis dari aljabar. Misalnya aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-penelitian ini mendasari penciptaan aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan. Al-Karaji (lahir tahun 953) diyakini sebagai orang pertama yang secara menyeluruh memisahkan pengaruh operasi geometri dalam aljabar. Al-Karaji mendefinisikan monomial x, x2, x3,…dan 1/x, 1/x2, 1/x3,…dan memberikan aturan-aturan untuk perkalian dari dua suku darinya. Selain itu, ia juga berhasil menemukan teorema binomial untuk pangkat bilangan bulat. Selanjutnya untuk memajukan matematika, ia mendirikan sekolah aljabar. Generasi penerusnya (200 tahun kemudian), yaitu Al-Samawal adalah orang pertama yang membahas topik baru dalam aljabar. Menurutnya bahwa mengoperasikan sesuatu yang tidak diketahui (variabel) adalah sama saja dengan mengoperasikan sesuatu yang diketahui. Matematikawan Muslim lainnya adalah Omar Khayyam yang lahir sekitar tahun 1048. Dia berjasa besar melalui penelitiannya, memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan pangkat tiga melalui penyelesaian geometri dengan menggunakan konsep pemotongan kerucut. Dia juga memberikan sebuah konjektur (dugaan) tentang deskripsi lengkap dari penyelesaian aljabar dari persamaan-persamaan pangkat tiga. Matematikawan berikutnya adalah Sharaf al-Din al-Tusi yang lahir tahun 1135. Dia mengikuti Omar Khayyam dalam mengaplikasikan aljabar pada geometri, yang pada akhirnya menjadi permulaan bagi cabang algebraic geometry. Di luar bidang aljabar, matematikawan Muslim juga mempunyai andil. Salah seorang dari Banu Musa bersaudara, yaitu Thabit Ibnu Qurra (lahir tahun 836), mempunyai kontribusi yang banyak bagi matematika. Salah satunya adalah dalam teori bilangan, yaitu penemuan pasangan bilangan yang mempunyai sifat unik; dua bilangan yang masing-masingnya adalah jumlah dari pembagi sejati bilangan lainnya dan disebut pasangan bilangan bersahabat (amicable number). Teorema Thabit Ibnu Qura ini kemudian dikembangkan oleh Al-Baghdadi (lahir tahun 980). Berikutnya adalah Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (lahir tahun 965 di Basrah Irak), yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah

Page 5: Selamat Hari Pi

orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p. Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770 menyatakan bahwa John Wilson telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang matematika, Al-Haytam juga dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika pergerakan dari suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu benda bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang memengaruhinya. Ini tidak lain adalah hukum gerak pertama, yang umumnya dikenal sebagai hukum Newton pertama. Selain itu, Al-Haytam memberikan andil yang sangat besar bagi perkembangan teori dan praktik optik. Al-Farisi (lahir tahun 1260) memberikan metode pembuktian yang baru untuk teorema Thabit Ibnu Qurra. Dia memperkenalkan ide baru berkenaan faktorisasi dan metode kombinatorik. Matematikawan lainnya adalah Al-Kashi (lahir tahun 1380) yang memberikan kontribusi besar bagi perkembangan teori pecahan desimal. Teori ini mempunyai kaitan yang sangat erat dengan teori bilangan riil dan sejarah penemuan bilangan (pi). Selanjutnya ia mengembangkan algoritma penghitungan akar pangkat n. Metode ini beberapa abad kemudian dikembangkan oleh matematikawan barat Ruffini dan Horner. Bidang astronomi Masalah-masalah astronomi, penentuan waktu, dan masalah geografi merupakan motivasi lain bagi matematikawan Muslim untuk melakukan penelitian. Misalnya saja Ibrahim Ibnu Sinan (lahir sekitar tahun 910-an) dan kakeknya Thabit Ibnu Qurra, mempelajari kurva-kurva yang diperlukan dalam mengonstruksi jam matahari. Abul-Wafa (lahir tahun 940-an) dan Abu Nasr Mansur (lahir tahun 970-an) mengaplikasikan geometri bola terhadap astronomi dan menggunakan rumus-rumus yang melibatkan sinus dan tangen. Kemudian Al-Biruni (lahir tahun 973) menggunakan rumus sinus baik dalam astronomi maupun dalam perhitungan garis bujur dan lintang dari kota-kota. Dalam kasus ini, Al-Biruni melakukan penelitian yang sangat gencar dalam proyeksi dari bola pada bidang. Thabit Ibnu Qurra juga mempunyai kontribusi bagi teori dan observasi dalam astronomi. Al-Batanni (lahir tahun 850) membuat observasi yang akurat yang memungkinkannya untuk memperbaiki data-data dari Ptolemy tentang bulan dan matahari. Nadir al-Din al-Tusi (lahir tahun 1201), berdasarkan astronomi teoritisnya dalam pekerjaan Ptolemy, membuat pengembangan yang sangat signifikan dalam model sistem planet. Pembuatan tabel-tabel fungsi trigonometri adalah bagian dari pekerjaan para matematikawan Muslim dalam penelitian bidang astronomi, seperti yang dilakukan oleh Ulugh Beg (lahir tahun 1393) dan Al-Kashi. Konstruksi alat-alat astronomi juga tak lepas dari pengaruh para matematikawan Muslim. Uraian di atas tidaklah cukup mengulas secara menyeluruh karya-karya matematikawan Muslim. Masih banyak yang belum tercakup, dan belum terungkap. Belum tercakup dan belum terungkapnya semata-mata karena kurangnya sumber yang mengisahkan mereka. Dengan demikian, pantas bagi kita untuk mengatakan bahwa matematikawan Muslim adalah pahlawan-pahlawan matematika yang terlupakan. Atau, memang sengaja dilupakan. Wallahu a’lam.*

Page 6: Selamat Hari Pi

Materi Pelajaran

SEJARAH MATEMATIKA

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika di masa silam.

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran". Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

Matematika prasejarah

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun. Pengkajian modern terhadap fosil binatang menunjukkan bahwa konsep ini tidak berlaku unik bagi manusia. Konsep ini mungkin juga menjadi bagian sehari-hari di dalam kawanan pemburu. Bahwa konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa zaman kini mengawetkan perbedaan antara "satu", "dua", dan "banyak", tetapi bilangan yang lebih dari dua tidaklah demikian.

Page 7: Selamat Hari Pi

Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.

Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima atau kalender lunar enam bulan. Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.

Timur Dekat kuno

Mesopotamia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.

Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Ditulis di dalam tulisan paku, lempengan ditulisi ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan

Page 8: Selamat Hari Pi

Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Kemajuan orang Babilonia di dalam matematika didukung oleh fakta bahwa 60 memiliki banyak pembagi. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal. Bagaimanapun, mereka kekurangan kesetaraan koma desimal, dan sehingga nilai tempat suatu simbol seringkali harus dikira-kira berdasarkan konteksnya. 

Mesir

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetikadan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu  juga barisan aritmetika dan geometri.

Juga tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan paling sederhana mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran π yang akurat kurang dari satu persen; (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran; dan (3) ketiga, penggunaan terdini kotangen.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM.[25] Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang memiliki kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh volume limas terpenggal: "Jika Anda dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang, yakni 4 satuan panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Anda menguadratkan 4, sama dengan 16. Anda

Page 9: Selamat Hari Pi

menduakalilipatkan 4, sama dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan 4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28 twice, sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya sama dengan 56. Anda memperoleh kebenaran."

Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.

Matematika Yunani

Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M.  Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.

Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya.

Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.

Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika. Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah yang menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika. Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama teorema Pythagoras, meskipun diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan bilangan irasional.

Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM) mengembangkan metoda kelelahan, sebuah rintisan dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai menulis hukum logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut.

Page 10: Selamat Hari Pi

Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak-hingga banyaknya bilangan prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima.

Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi.[34] Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.

Multiplication algorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaJump to: navigation, search

A multiplication algorithm is an algorithm (or method) to multiply two numbers. Depending on the size of the numbers, different algorithms are in use. Efficient multiplication algorithms have been around since the advent of the decimal system.

Page 11: Selamat Hari Pi

Contents[hide]

1 Long multiplication o 1.1 Example o 1.2 Space complexity o 1.3 Electronic usage

2 Sunzi multiplication algorithm 3 Lattice multiplication

o 3.1 Example 4 Peasant or binary multiplication

o 4.1 Examples 5 Shift and add 6 Multiplication algorithms for computer algebra

o 6.1 Gauss's complex multiplication algorithm o 6.2 Karatsuba multiplication o 6.3 Toom–Cook o 6.4 Fourier transform methods o 6.5 Quarter square multiplier o 6.6 Polynomial multiplication

7 See also 8 References

9 External links

[edit] Long multiplication

If a positional numeral system is used, a natural way of multiplying numbers is taught in schools as long multiplication, sometimes called grade-school multiplication: multiply the multiplicand by each digit of the multiplier and then add up all the properly shifted results. It requires memorization of the multiplication table for single digits.

This is the usual algorithm for multiplying by hand in base 10. Computers normally use a very similar shift and add algorithm in base 2. A person doing long multiplication on paper will write down all the products and then add them together; an abacus-user will sum the products as soon as each one is computed.

[edit] Example

This example uses long multiplication to multiply 23,958,233 (multiplicand) by 5,830 (multiplier) and arrives at 139,676,498,390 for the result (product).

23958233 5830 × ------------ 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ------------ 139676498390 ( = 139,676,498,390 )

Page 12: Selamat Hari Pi

[edit] Space complexity

Let n be the total number of bits in the two input numbers. Long multiplication has the advantage that it can easily be formulated as a log space algorithm; that is, an algorithm that only needs working space proportional to the logarithm of the number of digits in the input (Θ(log n)). This is the double logarithm of the numbers being multiplied themselves (log log N). We don't include the input or output bits in this measurement, since that would trivially make the space requirement linear; instead we make the input bits read-only and the output bits write-only. (This just means that input and output bits are not counted as we only count read- AND writable bits.)

The method is simple: we add the columns right-to-left, keeping track of the carry as we go. We don't have to store the columns to do this. To show this, let the ith bit from the right of the first and second operands be denoted ai and bi respectively, both starting at i = 0, and let ri be the ith bit from the right of the result. Then:

ri = c + ∑ ajbk,

j + k = i

where c is the carry from the previous column. Provided neither c nor the total sum exceed log space, we can implement this formula in log space, since the indexes j and k each have O(log n) bits.

A simple inductive argument shows that the carry can never exceed n and the total sum for ri can never exceed 2n: the carry into the first column is zero, and for all other columns, there are at most n bits in the column, and a carry of at most n coming in from the previous column (by the induction hypothesis). Their sum is at most 2n, and the carry to the next column is at most half of this, or n. Thus both these values can be stored in O(log n) bits.

In pseudocode, the log-space algorithm is:

multiply(a[0..n−1], b[0..n−1]) // Arrays representing the binary representations x ← 0 for i from 0 to 2n−2 for j from max(0,i+1−n) to min(i,n−1) k ← i − j x ← x + (a[j] × b[k]) result[i] ← x mod 2 x ← floor(x/2)

[edit] Electronic usage

Some chips implement this algorithm for various integer and floating-point sizes in hardware or in microcode. In arbitrary-precision arithmetic, it's common to use long multiplication with the base set to 2w, where w is the number of bits in a word, for multiplying relatively small numbers.

To multiply two numbers with n digits using this method, one needs about n2 operations. More formally: using a natural size metric of number of digits, the time complexity of multiplying two n-digit numbers using long multiplication is Θ(n2).

When implemented in software, long multiplication algorithms have to deal with overflow during additions, which can be expensive. For this reason, a typical approach is to represent the number in a small base b such that, for example, 8b2 is a representable machine integer (for example Richard

Page 13: Selamat Hari Pi

Brent used this approach in his Fortran package MP[1]); we can then perform several additions before having to deal with overflow. When the number becomes too large, we add part of it to the result or carry and map the remaining part back to a number less than b; this process is called normalization.

[edit] Sunzi multiplication algorithm

38x76=2888

Sunzi Mathematical Classic of 400AD detailed step by step multiplication algorithm with Rod calculus Sunzi mulitplication algorithm was first introduced to Arab countries by Al Khwarizmi in his book about Indian arithmetics; later also appeared in 10-11th century Kushyar ibn Labban's book Principle of Hindu Reckoning[2]

[edit] Lattice multiplication

First, set up the grid by marking its rows and columns with the numbers to be multiplied. Then, fill in the boxes with tens digits in the top triangles and units digits on the bottom.

Finally, sum along the diagonal tracts and carry as needed to get the answer

Lattice, or sieve, multiplication is algorithmically equivalent to long multiplication. It requires the preparation of a lattice (a grid drawn on paper) which guides the calculation and separates all the multiplications from the additions. It was introduced to Europe in 1202 in Fibonacci's Liber Abaci. Leonardo described the operation as mental, using his right and left hands to carry the intermediate calculations. Matrakçı Nasuh presented 6 different variances of this method in this 16th century

Page 14: Selamat Hari Pi

book, Umdet-ul Hisab. It was widely used in Enderun schools across the Ottoman Empire.[3] Napier's bones, or Napier's rods also used this method, as published by Napier in 1617, the year of his death.

As shown in the example, the multiplicand and multiplier are written above and to the right of a lattice, or a sieve. It is found in Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi's "Arithmetic", one of Leonardo's sources mentioned by Sigler, author of "Fibonacci's Liber Abaci", 2002.

During the multiplication phase, the lattice is filled in with two-digit products of the corresponding digits labeling each row and column: the tens digit goes in the top-left corner.

During the addition phase, the lattice is summed on the diagonals. Finally, if a carry phase is necessary, the answer as shown along the left and bottom sides of

the lattice is converted to normal form by carrying ten's digits as in long addition or multiplication.

[edit] Example

The pictures on the right show how to calculate 345 × 12 using lattice multiplication. As a more complicated example, consider the picture below displaying the computation of 23,958,233 multiplied by 5,830 (multiplier); the result is 139,676,498,390. Notice 23,958,233 is along the top of the lattice and 5,830 is along the right side. The products fill the lattice and the sum of those products (on the diagonal) are along the left and bottom sides. Then those sums are totaled as shown.

2 3 9 5 8 2 3 3 +---+---+---+---+---+---+---+---+- |1 /|1 /|4 /|2 /|4 /|1 /|1 /|1 /| | / | / | / | / | / | / | / | / | 5 01|/ 0|/ 5|/ 5|/ 5|/ 0|/ 0|/ 5|/ 5| +---+---+---+---+---+---+---+---+- |1 /|2 /|7 /|4 /|6 /|1 /|2 /|2 /| | / | / | / | / | / | / | / | / | 8 02|/ 6|/ 4|/ 2|/ 0|/ 4|/ 6|/ 4|/ 4| +---+---+---+---+---+---+---+---+- |0 /|0 /|2 /|1 /|2 /|0 /|0 /|0 /| | / | / | / | / | / | / | / | / | 3 17|/ 6|/ 9|/ 7|/ 5|/ 4|/ 6|/ 9|/ 9| +---+---+---+---+---+---+---+---+- |0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /|0 /| | / | / | / | / | / | / | / | / | 0 24|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0|/ 0| +---+---+---+---+---+---+---+---+- 26 15 13 18 17 13 09 00

01 002 0017 00024 000026 0000015 00000013 000000018 0000000017 00000000013 000000000009 0000000000000============= 139676498390

= 139,676,498,390

A Powerpoint presentation about ancient mathematics Lattice Multiplication Flash Video

[edit] Peasant or binary multiplicationMain article: Peasant multiplication

In base 2, long multiplication reduces to a nearly trivial operation. For each '1' bit in the multiplier, shift the multiplicand an appropriate amount and then sum the shifted values. Depending on computer processor architecture and choice of multiplier, it may be faster to code this algorithm using hardware bit shifts and adds rather than depend on multiplication instructions, when the multiplier is fixed and the number of adds required is small.

Page 15: Selamat Hari Pi

This algorithm is also known as Peasant multiplication, because it has been widely used among those who are unschooled and thus have not memorized the multiplication tables required by long multiplication. The algorithm was also in use in ancient Egypt.

On paper, write down in one column the numbers you get when you repeatedly halve the multiplier, ignoring the remainder; in a column beside it repeatedly double the multiplicand. Cross out each row in which the last digit of the first number is even, and add the remaining numbers in the second column to obtain the product.

The main advantages of this method are that it can be taught quickly, no memorization is required, and it can be performed using tokens such as poker chips if paper and pencil are not available. It does however take more steps than long multiplication so it can be unwieldy when large numbers are involved.

[edit] Examples

This example uses peasant multiplication to multiply 11 by 3 to arrive at a result of 33.

Decimal: Binary:11 3 1011 115 6 101 1102 12 10 11001 24 1 11000 --- ----- 33 100001

Describing the steps explicitly:

11 and 3 are written at the top 11 is halved (5.5) and 3 is doubled (6). The fractional portion is discarded (5.5 becomes 5). 5 is halved (2.5) and 6 is doubled (12). The fractional portion is discarded (2.5 becomes 2).

The figure in the left column (2) is even, so the figure in the right column (12) is discarded. 2 is halved (1) and 12 is doubled (24). All not-scratched-out values are summed: 3 + 6 + 24 = 33.

The method works because multiplication is distributive, so:

A more complicated example, using the figures from the earlier examples (23,958,233 and 5,830):

Decimal: Binary:5830 23958233 1011011000110 10110110110010010110110012915 47916466 101101100011 101101101100100101101100101457 95832932 10110110001 101101101100100101101100100728 191665864 1011011000 1011011011001001011011001000364 383331728 101101100 10110110110010010110110010000182 766663456 10110110 10110110110010010110110010000091 1533326912 1011011 101101101100100101101100100000045 3066653824 101101 10110110110010010110110010000000

Page 16: Selamat Hari Pi

22 6133307648 10110 10110110110010010110110010000000011 12266615296 1011 10110110110010010110110010000000005 24533230592 101 101101101100100101101100100000000002 49066461184 10 1011011011001001011011001000000000001 98132922368 1 1011011011001001011011001000000000000 ------------ 1022143253354344244353353243222210110 (before carry) 139676498390 10000010000101010111100011100111010110

Video of a simple multiplication

[edit] Shift and add

Most computers use a "shift and add" algorithm for multiplying small integers. Both base 2 long multiplication and base 2 peasant multiplication reduce to this same algorithm.

In base 2, multiplying by the single digit of the multiplier reduces to a simple series of logical AND operations. Each partial product is added to a running sum as soon as each partial product is computed. Most currently available microprocessors implement this or other similar algorithms (such as Booth encoding) for various integer and floating-point sizes in hardware multipliers or in microcode.

On currently available processors, a bit-wise shift instruction is faster than a multiply instruction and can be used to multiply (shift left) and divide (shift right) by powers of two. Multiplication by a constant and division by a constant can be implemented using a sequence of shifts and adds or subtracts. For example, there are several ways to multiply by 10 using only bit-shift and addition.

((x << 2) + x) << 1(x << 3) + (x << 1)

In some cases such sequences of shifts and adds or subtracts will outperform hardware multipliers and especially dividers. A division by a number of the form 2n or often can be converted to such a short sequence.

These types of sequences have to always be used for computers that do not have a "multiply" instruction,[4] and can also be used by extension to floating point numbers if one replaces the shifts with computation of 2*x as x+x[citation needed].

[edit] Multiplication algorithms for computer algebra

[edit] Gauss's complex multiplication algorithm

Complex multiplication normally involves four multiplications. By 1805 Gauss had discovered a way of reducing the number of multiplications to three.[5]

The product (a + bi) · (c + di) can be calculated in the following way.

k1 = c · (a + b)k2 = a · (d − c)k3 = b · (c + d)Real part = k1 − k3

Imaginary part = k1 + k2.

This algorithm uses only three multiplications, rather than four, and five additions or subtractions rather than two. If a multiply is more expensive than three adds or subtracts, as when calculating by

Page 17: Selamat Hari Pi

hand, then there is a gain in speed. On modern computers a multiply and an add can take about the same time so there may be no speed gain. There is a trade-off in that there may be some loss of precision when using floating point.

For fast Fourier transforms the complex multiplies involve constant 'twiddle' factors and two of the adds can be precomputed. Only three multiplies and three adds are required, and modern hardware can often overlap multiplies and adds.

[edit] Karatsuba multiplicationMain article: Karatsuba algorithm

For systems that need to multiply numbers in the range of several thousand digits, such as computer algebra systems and bignum libraries, long multiplication is too slow. These systems may employ Karatsuba multiplication, which was discovered in 1960 (published in 1962). The heart of Karatsuba's method lies in the observation that two-digit multiplication can be done with only three rather than the four multiplications classically required. Suppose we want to multiply two 2-digit numbers: x1x2· y1y2:

1. compute x1 · y1, call the result A2. compute x2 · y2, call the result B3. compute (x1 + x2) · (y1 + y2), call the result C4. compute C − A − B,call the result "K"; this number is equal to x1 · y2 + x2 · y1.5. compute A · 100 + K · 10 + B

Bigger numbers x1x2 can be split into two parts x1 and x2. Then the method works analogously. To compute these three products of m-digit numbers, we can employ the same trick again, effectively using recursion. Once the numbers are computed, we need to add them together (step 5.), which takes about n operations.

Karatsuba multiplication has a time complexity of O(nlog23). The number log23 is approximately

1.585, so this method is significantly faster than long multiplication. Because of the overhead of recursion, Karatsuba's multiplication is slower than long multiplication for small values of n; typical implementations therefore switch to long multiplication if n is below some threshold.

Later the Karatsuba method was called ‘divide and conquer’, the other names of this method, used at the present, are ‘binary splitting’ and ‘dichotomy principle’.

The appearance of the method ‘divide and conquer’ was the starting point of the theory of fast multiplications. A number of authors (among them Toom, Cook and Schönhage) continued to look for an algorithm of multiplication with the complexity close to the optimal one, and 1971 saw the construction of the Schönhage–Strassen algorithm, which maintained the best known (until 2007) upper bound for M(n).

The Karatsuba ‘divide and conquer’ is the most fundamental and general fast method. Hundreds of different algorithms are constructed on its basis. Among these algorithms the most well known are the algorithms based on Fast Fourier Transform (FFT) and Fast Matrix Multiplication.

[edit] Toom–CookMain article: Toom–Cook multiplication

Another method of multiplication is called Toom–Cook or Toom-3. The Toom–Cook method splits each number to be multiplied into multiple parts. The Toom–Cook method is one of the

Page 18: Selamat Hari Pi

generalizations of the Karatsuba method. A three-way Toom–Cook can do a size-N3 multiplication for the cost of five size-N multiplications, improvement by a factor of 9/5 compared to the Karatsuba method's improvement by a factor of 4/3.

Although using more and more parts can reduce the time spent on recursive multiplications further, the overhead from additions and digit management also grows. For this reason, the method of Fourier transforms is typically faster for numbers with several thousand digits, and asymptotically faster for even larger numbers.

[edit] Fourier transform methods

The idea, due to Strassen (1968), is the following: We choose the largest integer w that will not cause overflow during the process outlined below. Then we split the two numbers into m groups of w bits

We can then say that

by setting bj = 0 and ai = 0 for j, i > m, k = i + j and {ck} as the convolution of {ai} and {bj}. Using the convolution theorem ab can be computed by

1. Computing the fast Fourier transforms of {ai} and {bj},2. Multiplying the two results entry by entry,3. Computing the inverse Fourier transform and4. Adding the part of ck that is greater than 2w to ck+1

For many years, the fastest known method based on this idea was described in 1971 by Schönhage and Strassen (Schönhage–Strassen algorithm) and has a time complexity of Θ(n log(n) log(log(n))). In 2007 this was improved by Martin Fürer (Fürer's algorithm) to give a time complexity of n log(n) 2Θ(log*(n)) using Fourier transforms over complex numbers. Anindya De, Chandan Saha, Piyush Kurur and Ramprasad Saptharishi[6] gave a similar algorithm using modular arithmetic in 2008 achieving the same running time.

Applications of the Schönhage–Strassen algorithm include GIMPS.

Using number-theoretic transforms instead of discrete Fourier transforms avoids rounding error problems by using modular arithmetic instead of complex numbers.

[edit] Quarter square multiplier

This is any device that multiplies two quantities employing the identity,

Page 19: Selamat Hari Pi

Quarter square multipliers were first used to form an analog signal that was the product of two analog input signals in analog computers. In this application, the sum and difference of two input voltages are formed using operational amplifiers. The square of each of these is approximated using piecewise linear circuits. Finally the difference of the two squares is formed and scaled by a factor of one fourth using yet another operational amplifier.

In 1980, Everett L. Johnson proposed a method of using the quarter square method in a digital multiplier.[7] To form the product of two 8-bit integers, for example, the digital device forms the sum and difference, looks both quantities up in a table of squares, takes the difference of the results, and divides by four by shifting two bits to the right. The difficulty with this, though, is that the sum of two 8-bit integers can span as many as 9 bits. Hence the table of squares would have to be twice nine, that is 18 bits wide. Computer memories are typically available in widths of 8 or 16 bits. An 18 bit wide table of squares does not fit conveniently into such memories. Johnson proposed that, rather than providing squares, the table should provide for the lookup of n2/4 given n, discarding the remainder when n is odd. In this way, entries in such a table for n from 0 to 510 (the possible range of the sum of two 8-bit integers) would never be wider than 16 bits. Using a table in this form also removes the need for dividing by 4 at the end. A simple algebraic proof shows that the discarded remainder would have canceled when the final difference is taken, so no accuracy is lost by discarding the remainders.

Below is a lookup table for applying Johnson's method on the digits, 0 through 9.

n     0   1   2   3   4   5   6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

n2/4 0 0 1 2 4 6 9 12 16 20 25 30 36 42 49 56 64 72 81

If, for example, you wanted to multiply 9 by 3, you observe that the sum and difference are 12 and 6 respectively. Looking both those values up on the table yields 36 and 9, the difference of which is 27, which is the product of 9 and 3.