segura 2012 -- equilibrio competitivo y tiempo - v1 - 19 - oct - 2012

Equilibrio Competitivo y TiempoTres Propuestas de Interpretación y un Ejercicio Computacional

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La SalleFacultad de Ciencias Económicas y Sociales

Bogotá, D.C., Octubre – Noviembre de 2012

|Programa de Economía / @EconULS

Introducción

Convención de Debreu: toda mercancía se distingue por (Villar, 1999: 10)

§ Sus características (propiedades físicas, calidad, función, etc.);§ Su disponibilidad temporal (la fecha en la que están disponibles)§ Su disponibilidad Espacial (el lugar donde estarán disponibles)

En el modelo de intercambio puro básico, todas las transacciones tienen lugar ahora.

Es posible introducir explícitamente el tiempo y obtener un modelo dinámico, al menos en lo que se refiere al problema de asignación.

Se tratará el problema de asignación de recursos en tres (3) escenarios básicos.


Tres Modelos

Escenario 1 : Hay un Sistema Completo de Mercados de Futuros, i.e., es posible hacer transacciones, desde el momento presente, sobre todas las mercancías, es decir, las que están disponibles actualmente y las que están disponibles en el futuro;

Escenario 2 : Mercados Secuenciales.— Solo existen mercados para las mercancías disponibles en cada período. ∄ oportunidades de almacenamiento, préstamo, ahorro inter alia.

Escenario 3 : Mercados Secuenciales con posibilidades de contratos de futuros.


Conjuntos de Consumo

Suponga inicialmente que hay dos periodos de tiempo, hoy y mañana, esto es, t={hoy ,ma~n ana }

∃ k=1 ,⋯ ,l mercancías ∀ t, esto es, X i=R+¿k×R+¿k≡ R+ ¿l¿

¿¿

El consumidor elige un plan x i=(x i0 , xi1 )

Así mismo, el consumidor tiene un vector de dotaciones con inputs para cada periodo, ωi=(ωi

0 ,ωi1 )∈R+¿l ¿


Preferencias Bajo los supuestos habituales, ∃u i :X i≡R+¿l→R¿ que es continua,

estrictamente cuasi-cóncava, fuertemente monótona. Love of Variety (convexity of preferences): Sean x i=( z ,0 ) y x i

'=(0 , q ) con z , q∈R+¿k ¿ tales que ui (x i )=ui (x i

' ). Entonces, ∀ λ∈ (0,1 ) se tiene

ui [ λz+ (1−λ )q ]>ui ( z ,0 )=ui (0 ,q )

Sin perdida de continuidad: la utilidad del consumidor es aditivamente separable en el tiempo, i.e., la utilidad se puede interpretar como la suma temporal de funciones de sub-utilidad instantáneas en el tiempo, i.e.,

ui (x i )=ui (x i0 , x i

1 )=ui0 (x i

0 )+ui1 (x i

1 )

Preferencias (continuación) |Programa de Economía / @EconULS

En consecuencia, ∀ j= {0,1 } se asumirá como una función continua, estrictamente cuasi cóncava, ui

j:R+¿k→R¿ que describe adecuadamente bien las preferencias del consumidor i.

Una representación alternativa de la utilidad puede ser, por ejemplo,

ui (x i0 , x i

1 )=V i ( xi0)+δ iV i (x i1 )

Donde V i :R+¿k→R¿ describe las preferencias de cada periodo y δ i=( 11+γ )∈ [0,1 ] es

un factor de descuento tal que:

{ limδ i→0

ui ( ∙ )=V i (x i0 )

limδ i→1

ui ( ∙ )=V i (x i0 )+V i (x i

1 )

Preferencias (continuación)Sea ui (x i

0 , x i1 )=V i ( xi0)+δ iV i (x i

1 ) entonces:


∂ui ( ∙ )∂ x i

0 =∂V i ( xi0)∂x i

0

∂ui ( ∙ )∂ x i

1 =δi

∂V i (x i1 )

∂ xi1

1δi

=

∂V i (x i0 )

∂ x i0

∂V i (x i1 )

∂ x i1

=TMSx i0 , x i

1

Mercados de FuturosCondiciones Generales

Hay mercados para todas las mercancías (Debreu’s Convention), i.e., es posible realizar contratos sobre mercancías disponibles en todos los períodos de tiempo. Mercados de Futuros Completos.

Sea p∈R+¿ l¿ un vector de precios que puede expresarse como p=( p0 , p1 )


p0∈R+¿k ¿ son los precios de las mercancías hoy; p1∈ R+¿k ¿ son los precios de las mercancías mañana; ∴ p j

1 es el precio de la mercancía j en t=1.

Mercados de FuturosEl Problema.— El Consumidor Típico debe resolver:

¿

La existencia de mercados de futuros completos implica una única restricción presupuestal, es decir, ∑

j=1

T

p j x ij≤∑

j=1

T

p jωij∀ j=0,1 lo cual dice que, sin

importa cuanto se consuma en los periodos involucrados, lo


importante es que el consumo siempre esté financiado. [Free Wealth Disposal]

Mercados de Futuros (continuación)

Los Mercados de Futuros entonces cumplen el papel de los mercados financieros en cuanto a que hacen posible “ahorrar” / “tomar en préstamo” [ Discusión ]

Si C 4 el equilibrio se caracteriza por la relación de tangencia habitual. Si se trata de la misma mercancía en dos periodos de tiempo

(contiguos ~ no contiguos), la relación de tangencia antedicha exige que la tasa marginal de sustitución intertemporal para cada bien, debe ser igual a la tasa de sustitución intertemporal del mercado, i.e.,


∂ui ( ∙ )∂ x ih

0 /∂u i ( ∙ )∂x ih

1 =p1h

p0h

Mercados de Futuros (continuación)

Sea ui (x i0 , x i

1 )=V i ( xi0)+δ iV i (x i1 )

φ ( . )=V i ( xi0)+δ iV i (x i1 )− λ [p0 x i

0+ p1 x i1≤ p0ωi

0+ p1ωi1 ]

[ x i0 ] : 0=∂V i (x i

0 )∂ x i

0 −λ p0

[ x i1 ]: 0=δi

∂V i (x i1 )

∂ x i1 −λ p1

[ λ ] : 0=p0 x i0+ p1 x i

1−p0ωi0−p1ωi

1}F .O .C


Tomando [ x i0 ] y [ x i

1 ]:

∂V i (x i0 ) /∂ xih0

∂V i ( xi1 ) /∂x ih1∙1δi

=ph0

ph1 ∀ h ,t

De donde, resulta claro que ph1=δi ph

0∎

Para una economía de intercambio con Mercados de Futuros, el equilibrio viene caracterizado por un vector de precios p̂=( p̂0 , p̂1 ) y una asignación x̂ i=( x̂ i0 , x̂i1 ) tal que:

i. x̂ i∈ R+¿l ¿ maximiza ui ( x̂ i ) sobre p0 x i0+ p1 x i

1≤ p0ωi0+ p1ωi

1

ii. ∑i=1

m

x̂ i0−∑

i=1

m

ωi0=0

iii. ∑i=1

m

x̂ i1−∑

i=1

m

ωi1=0∎


Mercados Secuenciales Suponga que en cada periodo solo se pueden hacer transacciones con

las mercancías disponibles en ese período; los mercados son secuenciales en cuanto a que en cada t=1 ,⋯ , T se abren únicamente los mercados de las mercancías en dicho período.

Aun cuando C pueda mantenerse (i.e., existe una función de utilidad tipo, y una dotación estrictamente positiva de bienes), el significado de los precios varia.

Los precios están conformados en un vector p=( p0 , pe )∈R+¿2k=R+¿l ¿¿. p0=( p10 , p20 ,⋯ , pk

0 ,⋯ , p l0 ) son los precios de las mercancías disponibles,

hoy; pe=( p1e , p2e ,⋯ , pk

e ,⋯ , ple ) es una estimación de los precios que las

mercancías tendrán en el siguiente período.


Mercados Secuenciales

La naturaleza del problema del consumidor dependerá de hipótesis sobre cómo es que el individuo anticipa los precios y de la existencia de mecanismos para transferir recursos/riqueza entre períodos.

Se prevén dos casos principales:

Previsión Perfecta Previsión Imperfecta


Mercados Secuenciales: Previsión Perfecta

Suponga que todos los agentes anticipan en forma correcta los precios de mañana de modo que pe=p1. En este caso, para el consumidor i=1 ,⋯ ,m, [PMU]:

¿

Mercados Secuenciales: Previsión Perfecta Si ∃u i :X i→R continua, cuasi-cóncava estricta y monótona con ωi≫0, [PMU−Seq]

tiene solución que varía continuamente con los precios.


Bajo estas condiciones [PMU−Seq] aparece restringido por la riqueza disponible en cada periodo de planeación, i.e., no hay posibilidades de “prestar” o “ahorrar”

La Ley de Walras se cumple para cada período, luego se cumple en general para todo el horizonte de planeación, pero la asignación final no es Pareto Óptima (por qué?)

En efecto, como no hay forma de trasladar recursos entre períodos de tiempo, no hay intercambio: los individuos consumen sus recursos disponibles en cada periodo del horizonte de planeación.


La No Optimalidad [ Pareto ] no tiene que ver realmente con que los mercados de futuros no sean completos; más bien, se trata de que no


haya mecanismos para trasladar recursos entre períodos de tiempo, de modo tal que los agentes tengan la posibilidad de ajustar sus planes de consumo presentes y futuros.

Bajo esta modalidad de representación, el equilibrio es el dotacional y el resultado, autárquico, no es óptimo según el Criterio de Pareto: NO EXISTEN CANALES QUE PERMITAN LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DEL CONSUMO A TRAVÉS DE LOS MERCADOS (en este sentido, mercados incompletos )

Mercados Secuenciales: Previsión Perfecta Para sobrellevar esta limitación suponga que el consumidor puede contratar

con una de las mercancías de mañana. Sea esta la mercancíal.

¿


b i es la cantidad de mercancía l a transar hoy en el mercado y pl es su precio. (el precio hoy de la mercancía disponible mañana)

b i>0→ El Consumidor vende hoy b i unidades de mercancía l (recibe $plbi); b i<0→ El Consumidor compra hoy b i unidades de mercancía l (paga $plbi).


El consumidor recibe [o paga] plbi dependiendo de su posición como oferente o demandante neto de la mercancía l;

La cantidad b i se consume o se vende y su renta se usa para financiar el consumo de otras mercancías y su rol es el de un activo (un bono).

Comprar hoy mercancía l, —b i<0— equivale a ahorrar;

Vender hoy mercancía l, —b i>0— equivale a pedir prestado;


Como las cantidades de l no se limitan a la cantidad definida en ωi, se posibilita UNA CAPACIDAD DE TRANSFERENCIA DE RIQUEZA ENTRE PERIODOS SIMILAR A LA QUE SE OBTIENE EN EL CASO DE MERCADOS DE FUTUROS COMPLETOS (Villar, 1999: 245)


En este contexto, el Equilibrio Competitivo se caracteriza como un vector de precios p¿∈R+¿l ¿, una asignación (x i

¿) i=1m y un vector de bonos en términos de mercancía

l, (b i¿)i=1m tales que, para todo i=1 ,⋯ ,m:

i. x i¿ maximiza ui (x i

¿) sobre el conjunto presupuestal dado por:

β i ( p )≔{p¿0 xi0≤ p¿0ωi

0+ pl¿ bi

¿

p¿1 xi1≤ p¿1ωi

1−pl¿b i

¿


ii. Las asignaciones son viables: {∑i=1m

x i¿0−∑

i=1

m

ωi0=0

∑i=1

m

x i¿1−∑

i=1

m

ωi1=0

iii. ∑i=1

m

bi¿=0


“(…) El buen funcionamiento de una economía competitiva en un mundo con varios períodos de tiempo no requiere la existencia de mercados de futuros para todos las mercancías. Es suficiente que los consumidores anticipen adecuadamente lo precios y que exista hoy


un mercado para una mercancía disponible mañana.” Villar (1999: 146).

Mercados Secuenciales: Previsión Imperfecta

Suponga que el consumidor no cuenta con toda la información necesaria para planear su consumo futuro y que, a lo sumo, tiene expectativas sobre los precios. El valor esperado de esos precios es pe∈ R+¿ k¿


Se puede asumir que el consumidor construye pe con base en información actual disponible en el primer periodo.

pe=f ( p0 ). Se asume f :R+¿k→R+¿k ¿¿ continua que transforma precios actuales en estimaciones de precios futuros.

En Macro se prevén mecanismo más sofisticados, e.g. la aproximación de Calvo (ver precios de Calvo en Wickens, 2010).

Mercados Secuenciales: Previsión ImperfectaCuando el consumidor no puede anticipar en forma determinística los precios futuros, dado un vector p=( p0 , f ( p0 )), la demanda es la solución del siguiente programa

¿

∃ ( xi¿0 , x i¿ e)=argmax { [ PMU−Seq−II ] }↔C!


x i¿e es la demanda esperada (dados los precios estimados) y por tanto (x i

¿ 0, x i¿e ) es la

demanda planeada para los períodos de tiempo involucrados Estas demandas solo se pueden hacer efectivas si el consumidor acierta en sus

previsiones sobre los precios futuros.

Mercados Secuenciales: Previsión Imperfecta Suponga que este no es el caso, i.e., p1≠ pe

En este caso, el consumidor debe restructurar su consumo porque su conjunto presupuestal es distinto al inicial pues, en efecto p1ωi

1≠ peωi1

El problema que deberá resolver, en el segundo período es:

¿

x i1 es una decisión que se adopta en el segundo período, cuando el consumo en

el primer período ha sido ya determinado. x i

1 es la demanda efectiva del período 1, en oposición a la demanda esperada, x i¿e

que en general, serán distintas, visto el fallo en la precisión de la estimación de los precios.


Mercados Secuenciales: Previsión Imperfecta En estos casos existe un equilibrio pues, siempre se cumple la Ley

de Walras y el ingreso del consumidor no es negativo. Sin embargo, el equilibrio puede no resultar ser Pareto Óptimo

porque:oNo hay canales de redistribución de riqueza entre periodos,oLos precios no se prevén en forma eficiente.

Suponga que existe un mercado de futuros para la mercancía l y que sobre ella es posible firmar un bono b i. La existencia del equilibrio puede verse amenazada si la suma de los pagos futuros es mayor que el ingreso necesario para financiar el consumo en ese periodo.


Un Modelo de Consumo Intertemporal

Tomemos una economía más concreta adoptando una parametrización precisa para la función de retorno y para el factor de descuento, entre otras entidades del modelo.

Como es la costumbre, la economía se caracteriza completamente a partir de la especificación de dos elementos fundamentales (supondré que la producción está dada):

o Las preferencias del agente representativo y

o El ambiente (las restricciones que enfrenta)


Un Modelo de Consumo Intertemporal:

Las Preferencias Existe una función de utilidad que representa las preferencias del

consumidor sobre canastas intertemporales de bienes: W ( ∙ )=u (c0 , c1 ,⋯ , c j ). Se supondrá que la función es aditiva-separable y es instantánea a través del tiempo.

Si las preferencias son estables en el tiempo, la función de subutilidad es invariante y puede ser sumada teniendo en cuenta que la vida es ahora, i.e,

W ( ∙ )=∑t=0

j

( 11+γ )t

u (c t )

γ ≥0 es la tasa de preferencia intertemporal (tasa subjetiva de descuento). Si γ=0 el individuo es indiferente entre consumo presente y futuro.

u (c t ) es bien comportada, i.e., u' (c t )>0, u' ' (ct )<0



El Ambiente Si el agente vive solo en una isla, su problema es trivial, porque se limita a

consumir lo que produce, c t= y t

Suponga que hay mas personas y que hay un mercado de bonos reales en el que el agente puede bienes disponibles hoy por una promesa de consumo de bienes de mañana.

Un agente puede ahorrar, prestando parte de sus dotaciones de hoy a otro agente, el cual debe devolverla mañana con intereses.

En este mercado de deuda, cada agente enfrenta una secuencia de precios de consumo mañana, en términos del bien corriente:o p0=1: Precio de los bienes de hoy en términos del bien corriente;o p1=( p1/ p0 )=[1/ (1+r ) ]< p0: Precio de los bienes mañana;o pn=( 11+r )

n

donde r es la tasa de interés entre los precios de hoy y mañanaUn Modelo de Consumo Intertemporal:

El Ambiente |Programa de Economía / @EconULS

El problema que enfrenta el consumidor es entonces el de maximizar su utilidad sujeto a una restricción de presupuesto que exige que el consumo debe estar financiado por el valor de sus activos:

∑t=0

j

p t c t≤ A0+∑t=0

j

p t y t

A0 es la riqueza inicial del agente


El Problema


max{ct }t=0

j∑t=0

j

( 11+γ )t

u (c t ) s . a .:∑t=0

j

p t c t≤ A0+∑t=0

j

p t y t

La función de Lagrange es, en este caso:

ϕ ( ∙ )¿∑t=0

j

( 11+γ )t

u (c t )−λ¿


El ProblemaLas CPO son:


[ ∂ ϕ ( ∙ )∂c0 ]≔ 0=u ' (c0 )−λ p0

[ ∂ ϕ ( ∙ )∂c1 ]≔ 0=u ' (c1 )( 1

1+γ )−λ p1

⋯ ⋯

[ ∂ ϕ ( ∙ )∂c t ]≔ 0=u ' (c t ) ( 11+γ )

t

− λ p t

⋯ ⋯

[ ∂ ϕ ( ∙ )∂λ ]≔ ¿


SolucionesComparando las CPO para cuando, e.g., t=0,1, i.e, ∂ϕ ( ∙ )

∂c0 y ∂ϕ ( ∙ )∂c1 tendremos:

u' (c0 )p0

=λ=u ' (c1 )p1 ( 11+γ )

u' (c0 )u ' (c1 )

=p0p1 (

11+γ )


Recuerde que por construcción p1= p1p0

= 11+r , entonces:

u' (c0 )u ' (c1 )

=p0p1 (

11+γ )=1+r1+γ

=u ' (c0 )u' (c1 )

∎


Soluciones

El resultado obtenido es un resultado de tangencia típico (TMS= p⃗) que, de cualquier manera se derivar de la comparación entre las pendientes de la curva de indiferencia y el presupuesto. Por ejemplo, dada la función de utilidad, su pendiente se obtiene de la diferenciación, total de la función, i.e.,

u' (c0 )d c0+11+γ

u' (c1 )dc1=0


∴d c1d c0

=u' (c0 )u ' (c1 )

1+γ


Soluciones

Volviendo sobre la restricción de presupuesto, que en el caso de dos periodos es:

p0 c0+p1 c1−A0−p0 y0−p1 y1=0

Resolviendo para c1:

p1 c1=[A0−p0 y0−p1 y1 ]−p0 c0

c1=1p1

[ A0−p0 y0−p1 y1 ]−p0p1

c0


Donde la pendiente, es: −p0p1

=−(1+r ), que es lo mismo que se obtuvo en la valoración de las CPO.


SolucionesCuando el mercado descuenta el futuro del mismo modo que los agentes, i.e., cuando r=γ, se tendrá que c0=c1. Si es posible instituir un mercado de bonos, el consumidor no tiene por qué limitarse al consumo de sus dotaciones de cada periodo de tiempo y tenderá a suavizar su consumo a lo largo del horizonte de planeación. A manera de conclusión:

u ' (c0 )>u ' (c1 )⟶c0<c1⟷ r>γu ' (c0 )<u ' (c1 )⟶c0>c1⟷r<γ


Referencias Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J.R.Green (1995): Microeconomic Theory.

Boston: Oxford University Press. Segura, J. (2012): Microeconomía, Apuntes de Clase. Mimeo. Bogotá: Escuela

Colombiana de Ingeniería – Universidad de La Salle. Suescún, R. (2001): Macroeconomía Avanzada, Apuntes de Clase. Mimeo. Bogotá:

Universidad de Los Andes Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co. Villar, A. (1999): Lecciones de Microeconomía. Barcelona: Antoni Bosch.


segura 2012 -- equilibrio competitivo y tiempo - v1 - 19 - oct - 2012

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