sedimentacion de fluidos

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1 Movimiento de sólidos dentro de fluidos. Sedimentación: Es el proceso de desplazamiento de partículas más densas que el agua que se mueven hacia la parte inferior del fluido debido a la acción gravitacional. Las fuerzas que actúan durante el movimiento de una partícula dentro de un fluido son: a) Peso de la partícula = Vpsg b) Flotación = Vpfg c) Fuerza de arrastre Fr = f ’fApu 2 /2 Donde Vp representa el volumen de la partícula, s indica la densidad de la partícula, f la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, f ’ el factor de arrastre, Ap el área proyectada de la partícula en la dirección del flujo y u la velocidad entre la partícula y el fluido. La suma de fuerzas actuando sobre la partícula se expresa por: - Peso + flotación fuerza de arrastre = fuerza resultante (2ª ley de Newton: masa * aceleración) - Vpsg + Vpfg + f ’fApu 2 /2 = - Vps du/dt La fuerza de arrastre tiene siempre la dirección opuesta a la del movimiento de la partícula. =( − 1) + 2 2 (1) du/dt representa la aceleración de la partícula cuando ésta tiene una velocidad u. La ecuación 1 es válida para: 1- Partículas esféricas y lisas 2- Partículas incompresibles 3- El movimiento de una partícula no es afectado por el movimiento de las otras. Más adelante se quitan las restricciones 1 y 3. Cuando la partícula es esférica A p = πd p 2 /4 y V p = πd p 3 /6. Sustituyendo en la ecuación 1 =( − 1) + 2 2 2 ∗ 4 3 /6 =( − 1) + 3 2 2 4 3 =( − 1) + 3 2 4 =( − 1) + 3 2 4 (2) Para conocer la velocidad en cualquier instante es necesario sustituir la expresión del coeficiente de arrastre f ’ e integrar analítica o numéricamente.

Author: angel

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buena historia

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  • 1

    Movimiento de slidos dentro de fluidos.

    Sedimentacin: Es el proceso de desplazamiento de partculas ms densas que el agua que se

    mueven hacia la parte inferior del fluido debido a la accin gravitacional.

    Las fuerzas que actan durante el movimiento de una partcula dentro de un fluido son:

    a) Peso de la partcula = Vpsg

    b) Flotacin = Vpfg

    c) Fuerza de arrastre Fr = f fApu2/2

    Donde Vp representa el volumen de la

    partcula, s indica la densidad de la

    partcula, f la densidad del fluido, g la aceleracin de la gravedad, f el factor de arrastre, Ap el

    rea proyectada de la partcula en la direccin del flujo y u la velocidad entre la partcula y el

    fluido.

    La suma de fuerzas actuando sobre la partcula se expresa por:

    - Peso + flotacin fuerza de arrastre = fuerza resultante (2 ley de Newton: masa * aceleracin)

    - Vpsg + Vpfg + f fApu2/2 = - Vps du/dt

    La fuerza de arrastre tiene siempre la direccin opuesta a la del movimiento de la partcula.

    = (

    1) +

    2

    2 (1)

    du/dt representa la aceleracin de la partcula cuando sta tiene una velocidad u.

    La ecuacin 1 es vlida para:

    1- Partculas esfricas y lisas

    2- Partculas incompresibles

    3- El movimiento de una partcula no es afectado por el movimiento de las otras.

    Ms adelante se quitan las restricciones 1 y 3.

    Cuando la partcula es esfrica Ap = dp2/4 y Vp = dp

    3/6. Sustituyendo en la ecuacin 1

    = (

    1) +

    22

    2 43/6

    = (

    1) +3

    22

    43 = (

    1) +3

    2

    4

    = (

    1) +

    32

    4 (2)

    Para conocer la velocidad en cualquier instante es necesario sustituir la expresin del coeficiente

    de arrastre f e integrar analtica o numricamente.

  • 2

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    Tiempo (seg)

    Velo

    cid

    ad (

    cm

    /seg)

    dp = 0.1 cm

    dp = 1 cm

    Estado estacionario del movimiento de la partcula. Cuando du/dt = 0, a la velocidad de la

    partcula se le denomina velocidad de sedimentacin libre: usl.

    0 = (fs

    1) g +3f

    fusl2

    4sdp, reacomodando (

    sfs

    ) g =3ffusl

    2

    4sdp , (s f)g =

    3ffusl2

    4dp

    Despejando usl:

    usl = 4(sf)gdp

    3 ff (3)

    Para verificar la aproximacin que significa proponer el comportamiento estacionario respecto del

    dinmico, en la siguiente grfica se observa el corto tiempo que tarda una partcula de arena de

    diferente dimetro en alcanzar el estado estacionario, lo que justifica para este caso y tiempos de

    sedimentacin mayores a 3 segundos su simplificacin.

    En el programa principal de Matlab se escribe:

    [t,v]=ode23s(@sedimentacion,[0 1],0.1);La function

    sedimentacin contiene la ecuacin 2. El coeficiente

    de friccin se encuentra mediante la ecuacin de

    Turton-Levenspiel.

    f =24

    Re(1 + 0.173Re0.657) +

    0.413

    1 + 16300Re1.09

    function dv= d(t,v)

    ds=2.5;% densidad slido gr/cm3 dl=1;% densidad lquido gr/cm3 g=981; %aceleracin gravedad cm/s2 d=0.1; %dimetro partcula cm vi=0.01;%viscosidad gr/cm s re=d*v*ds/vi; den=1+16300*(re^(-1.09)); f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;% Ecuacin de Turton- Levenspiel dv=(ds-dl)*g/ds-3*f*dl*v*v/(4*d*ds);% Ecuacin 1

    Quitando la primera restriccin

    (partculas esfricas)

    En la grfica derecha

    representa la esfericidad de la

    partcula. En eje de las abscisas

  • 3

    se encuentra el nmero de Reynolds Res.

    Res =dsVf

    Donde ds representa el dimetro de una esfera con igual dimetro al de la partcula. As ds= desf*.

    La esfericidad est definida como: =rea de una esfera con volumen igual al de la partcula

    rea de la partcula

    Anlisis de la grfica del arrastre.

    Regin de flujo laminar (Res

  • 4

    Determinacin de la velocidad de sedimentacin en estado estacionario.

    Si el objetivo es encontrar el valor de la velocidad de sedimentacin usl en flujo laminar, la solucin

    es directa usando la ecuacin 5, de otra manera se puede construir un programa de computadora

    o utilizar el mtodo grfico que a continuacin se describe:

    Despejar f de la ecuacin 3 : f =4(sf)gds

    3fusl2 , aplicando logaritmo a esta ecuacin se obtiene:

    log(f ) = log4(s f)gds

    3f 2 log(usl)

    Por otro lado, se conoce Res =dsfusl

    , aplicando logaritmo se obtiene log(Res) = log

    dsf

    +

    log(usl). Despejando de esta ecuacin log usl y sustituyendo en la ecuacin anterior se encuentra:

    log(f ) = log4(sf)gds

    3f 2 (log(Res) log

    dsf

    ) , reacomodando

    log(f ) = log4(sf)gfds

    3

    32 2log(Res) (6)

    Al colocar esta ecuacin en la grfica anterior de arrastre para partculas dentro de fluidos, log f

    vs log Res, se obtiene una lnea recta con pendiente igual a -2, tal como se muestra enseguida.

    A

    B

  • 5

    El punto A se construye proponiendo Res =1 y encontrando el valor de f , usando la ecuacin 6.

    Para el punto B se propone Res = 10000 y se encuentra f , tambin usando la ecuacin 6.

    Dependiendo de los valores de los parmetros del sistema se ubica la lnea recta, aunque con

    pendiente igual -2. En el punto en que la lnea recta intercepte la curva que muestra la esfericidad

    de la partcula, de ah se obtiene tanto el Res como el valor de f, y de cualquiera de ellos se puede

    obtener el valor de usl.

    Determinacin del dimetro de partcula para sedimentacin en estado estacionario.

    En flujo laminar se puede encontrar directamente el dimetro de la partcula que se sedimenta a

    una velocidad usl conocida, basta despejar de la ecuacin 5 el dimetro: ds = 18usl

    (sf)g

    Para otro tipo de flujo el tratamiento mediante el mtodo grafico que evita la prueba y error es el

    siguiente. Despejar el dimetro de partcula tanto del Res y como de la expresin de f :

    ds =Res

    fusl y ds =

    3usl2 ff

    4(sf)g. Igualando las expresiones de ds :

    Res

    fusl=

    3usl2 ff

    4(sf)g, aplicando

    logaritmo y reacomodando se encuentra: logf = log4(sf)g

    3f2usl

    3 + log Res

    Esta ltima ecuacin representa una lnea recta con pendiente 1 en el mismo diagrama utilizado,

    ver la siguiente figura:

    C

    D

  • 6

    La lnea se traz usando ( Res =1 y f =1) como punto C y ( Res =100 y f =100) como punto D. Para

    un problema partcular los puntos C y D se evaluan con los datos del problema. Cuando la lnea

    cruce el valor de la esfereicidad de la particula, de ah se encuentra el valor del Res o de f , y con

    cualquiera de ellos el valor de ds.

    Quitando la restriccin de que la particula no tiene interacciones con otras o con las paredes del

    recipiente que las contiene. La velocidad con la que en promedio desciende una particula se define

    como usr = Velocidad de sedimentacin retardada

    a) Interaccin con otras particulas. usr = usl *Fs , donde Fs =x2

    101.82(1x) para x 0.7 y Fs =

    0.123x3

    1x para x < 0.7, donde x representa la fraccin en volumen del fluido en el

    volumen total.

    b) usr = usl *Fs* Fp. Para flujo laminar Fp = (1 dsdc

    )2.65

    y para turbulento

    Fp = (1 dsdc

    )1.5

    donde dc representa el diametro del conducto.

    Ejemplo:

    Se separan cuarzo y pirita (FeS) por clasificacin hidrulica contina. La alimentacin al clasificador

    vara en tamaos entre 10 micras y 300 micras. Se obtienen tres fracciones: Producto de cuarzo

    puro, un producto de pirita puro y una mezcla de cuarzo y pirita. La gravedad especfica relativa

    del cuarzo es de 2.65 y la de la pirita 5.1 Cul es la gama de tamaos de los dos materiales en la

    fraccin mezclada para cada uno de los siguientes casos?

    a) El producto de fondo contiene la mxima cantidad de pirita pura. b) El producto de derrame contiene la mxima cantidad de cuarzo puro.

    Respuesta:

    a) Es posible sacar todo el cuarzo por derrame y dejar slo pirita, aunque al hacerlo se derrame tambin pirita de hasta cierto tamao.

    En estado estacionario para una partcula esfrica el balance de fuerzas permiti

    encontrar que usl = 4(sl)gds

    3fl , donde f es el coeficiente de friccin, cuyo valor se

    encuentra en la grafica correspondiente o mediante la ecuacin de Turton- Levenspiel:

    f =24

    Re(1 + 0.173Re0.657) +

    0.413

    1+16300Re1.09.

    Para determinar el valor de usl se necesita conocer el valor de f , pero ste a su vez

    depende del valor de usl, por lo que el problema puede hacer pensar en un

    procedimiento iterativo.

  • 7

    La solucin a esta parte del problema se va a encontrar de dos maneras: la primera por un mtodo

    grfico que elimina la iteracin y despus, como segundo mtodo, se usa el mtodo de Newton

    junto con la ecuacin de Turton-Levenspiel.

    Mtodo grfico:

    Se conoce

    2

    3

    3

    )(4logRelog2log

    fsfss

    gdf . Sustituyendo valores para el cuarzo

    con dp=300 micras (0.03cm) se obtiene:

    )7.582log(Relog2)01.0(3

    )165.2)(1()03.0)(981(4logRelog2log

    2

    3

    ssf f =582.7/Res

    2

    Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para Res=1 se obtiene f =582.7, y B)

    Para f =1 se obtiene Res= (582.7)1/2 =24. Colocando estos valores sobre la grfica y trazando la

    recta, se obtiene un Res de aproximadamente 14 a una esfericidad de uno.

    Utilizando la definicin del Res: 66.41*03.0

    01.0*14

    ))((

    ))((Re

    p

    ssl

    dV cm/s, que representa la

    velocidad del fluido para sacar todo el cuarzo por el derrame, aunque conjuntamente tambin

    A

    B

  • 8

    arrastr pirita, por lo que ahora se va a buscar qu dimetro de pirita fue sacado por el derrame

    con la velocidad de fluido de 4.66 cm/s.

    Ahora se utiliza el procedimiento de Newton: se propone un valor inicial de la velocidad usando un

    valor de f =1. La funcin a resolver es = 4()

    3 y la derivada respecto de usl es:

    = 1 +

    4()

    32

    24()

    3

    . Aqu df representa df/dusl, esta derivada se evala de manera

    numrica. El programa es el siguiente:

    function [v,re,f]= p()

    % Funcin para encontrar la velocidad de una esfera en sedimentacin

    libre

    ds=2.65;% densidad del cuarzo

    dl=1;% densidad del agua

    g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2

    d=0.03;% dimetro del cuarzo en cm

    vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s

    v=sqrt((ds-dl)*g*d/(3*dl*1));%velocidad inicial propuesta a f=1

    e=1;

    while e>0.001

    re=d*v*dl/vi;

    v1=v+0.0001;

    re1=d*v1*dl/vi;

    den=1+16300*(re^(-1.09));

    den1=1+16300*(re1^(-1.09));

    f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton Levenspiel

    f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1; ecuacin de Turton

    Levenspielincrementada

    df=(f1-f)/0.0001;% derivada del coeficiente de friccin

    fu=v-sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl));

    dfu=1+2*df*(ds-dl)*d*g/((3*f*f*dl)*sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl)));

    vn=v-fu/dfu;

    e=abs((vn-v)/v);

    v=vn;

    end

    La funcin es llamada en el programa principal de la siguiente forma: [u,Re,f]=fsed() y los

    resultados que se obtienen son: usl =4.22 cm/s , Res = 12,663 y f = 3.6338. Valores que son ms

    exactos que los obtenidos por el mtodo grfico.

    Ahora se requiere determinar el valor del dimetro de pirita que sale a una velocidad de 4.66

    4.22 cm/s.

  • 9

    Primero se utiliza el mtodo grfico:

    Se conoce

    323

    )(4logReloglog

    slf

    fs

    su

    gf

    . Sustituyendo valores para la pirita:

    )53.0log(Relog)66.4()1(3

    )01.0)(11.5)(981(4logReloglog

    32

    ssf f = 0.53Res

    Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para Res=5 se obtiene f =2.65, y B)

    Para Res=20 se obtiene f =10.6. Colocando estos valores sobre la grfica y trazando la recta, se

    obtiene un Res de aproximadamente 8 a una esfericidad de uno

    Utilizando la definicin del Res: 017.01*66.4

    01.0*8

    ))((

    ))((Re

    fsl

    sp

    ud

    cm. As, en el fondo queda

    pirita de 171 hasta 300 micras.

    El segundo procedimiento para determinar el dimetro de la partcula es de nuevo el mtodo de

    Newton, usando, ahora, como funcin = ds 3fdpusl

    2

    4g(sf) y = 1

    3dfdpusl2

    4g(sf) , siendo

    df la derivada de f respecto del dimetro, y es evaluada, tambin, numricamente. El programa es

    el siguiente.

    B

    A

    A

  • 10

    function [d,re,f]= p()

    % Funcin para encontrar el dimetro de una esfera en sedimentacin libre

    ds=5.1;% densidad de la pirita

    dl=1;% densidad del agua

    g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2

    vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s

    v=4.22;% velocidad de la pirita

    d=3*(1)*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g); %dimetro inicial propuesto a f=1

    e=1;

    while e>0.001

    re=d*v*dl/vi;

    d1=d+0.0001;

    re1=d1*v*dl/vi;

    den=1+16300*(re^(-1.09));

    den1=1+16300*(re1^(-1.09));

    f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton Levenspiel

    f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1;

    df=(f1-f)/0.0001;

    fu=d-3*f*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);

    dfu=1-3*df*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);

    dn=d-fu/dfu;

    e=abs((dn-d)/d);

    d=dn;

    end

    Esta funcin es llamada por el programa principal: [d,Re,f]=fsedd(). Los resultados son : dp=

    0.0176, Res = 7.43 y f = 5.3155. Resultados muy semejantes a los obtenidos por el mtodo grfico.

    b) En el segunda caso se busca la velocidad mxima de fluido que no saca pirita y si una parte del

    cuarzo, que es la mxima cantidad de cuarzo puro. El primer paso es encontrar la velocidad de

    fluido que saca por el derrame pirita de un dimetro de 10 micras.

    Proponiendo flujo laminar

    18

    )( 2pfssl

    gdu

    . Sustituyendo valores para la pirita

    022.001.0*18

    )001.0(981)11.5( 2

    slu cm/s, que representa la velocidad del fluido que saca cuarzo

    pero no pirita por el derrame.

    Verificando Res = (0.001)*(0.022)*1/0.01 < 3.

    Utilizando el programa para encontrar la velocidad del fluido cuando la partcula es pirita con un

    dimetro de 0.001 cm, se encuentra Vsl = 0.0223 cm/s, Res = 0.0022.

  • 11

    Ahora se va a buscar qu dimetro de cuarzo fue sacado por el derrame con la velocidad de fluido

    de 0.022 cm/s. Proponiendo flujo laminar y despejando para el dimetro )(

    )(18

    fs

    slp

    g

    ud

    .

    Sustituyendo valores para el cuarzo

    0015.0)165.2(981

    )022.0)(01.0(18

    sd cm. Verificando Res= (0.0015)*0.022*1/0.01 < 3.

    Por el derrame sale cuarzo cuyo dimetro est entre 10 y 15 micras.

    Utilizando el mtodo numrico se encuentran usl = 0.0016 cm/s, Res = 0.0034.

    Ejemplo:

    A quin podra ocurrirle si no a Joe mala suerte? Joe sale de caza, se pierde, dispara tres

    balazos al aire y lo que consigue es que las tres balas caigan directamente golpeando su cabeza

    Qu velocidad llevaban las balas cuando le golpearon?

    Datos: masa de la bala = 0.01179 kg, = 0.806, bala= 9500 kg/m3, aire = 1.2 kg/m3, aire = 0.02 cp

    Respuesta : Vol bala= m/= 0.01179/9500 = 1.24*10-6 m3 = (/6)d3, desf = 0.0133 m.

    ds = 0.806*0.0133 = 0.0107 m. Se conoce f =4

    3

    (sf)gds3f

    f2

    1

    Res2 =

    4

    3

    (95001.2)9.80.010731.2

    (2105)21

    Res2 =

    4.56 108/Res2

    Para ubicar en el siguiente grfico dos puntos: considerar a) si Re = 30,000 entonces f=0.5 y b) si

    Re = 10,000 entonces f = 4.56. En la figura siguiente se observa que la lnea que une los dos

    puntos cuando =0.806 se obtiene un Res de 20000. As 20000= dusl/ = 0.0107*usl*1.2/2*10-5,

    de donde usl = 31.15 m/s (112 km/h).

  • 12

    Ahora se resuelve el mismo problema incluyendo la dinmica de la bala.

    Primero se analiza el comportamiento de la bala cuando es disparada de un revolver en forma

    vertical a una velocidad de 300 m/s. El modelo dinmico de la misma ya se obtuvo en clase (dj

    vu) .

    mdv

    dt= mg + wg FR

    donde m es la masa de la bala(0.0117kg), w es la masa de fluido desplazada(1.24*10-6*1.2 =

    1.488*10-6 kg), y FR = f*Ap*f*u2/2 = f*(*0.01072/4)*1.2*u2/2, siendo Ap el rea proyectada de la

    bala en direccin del movimiento. Sustituyendo se obtiene : du/dt = -9.81 4.576*10-3fu2

    La expresin para el coeficiente de friccin a diferentes esfericidades viene dada por la ecuacin

    de Clift-Gauvin:

    =24

    (1 + ) +

    1+/ , donde A= exp(2.3288-6.4581*+2.4486*2),

    B=0.0964+0.5565*, C=exp(4.905-13.8944*+18.422*2-10.2599*3) y

    D=exp(1.4681+12.2584*-20.7322*2+15.8855*3)

    El siguiente programa en Matlab resuelve el problema:

  • 13

    yo=[300 0];

    [t,v]=ode45(@dinamsedi,[0 5.77], yo);

    plot(t,v)

    La funcin llamada dinamsedi es:

    function dv= d( t,v )

    d=0.01079;

    ro=1.2;

    vi=0.000018;

    re= d*v(1)*ro/vi;

    e=0.806;

    a1=2.3288-6.4581*e+2.4486*e*e;

    a=exp(a1);

    b=0.0964+0.5565*e;

    c1=4.905-13.8944*e+18.422*e*e-10.2599*e*e*e;

    c=exp(c1);

    d1=1.4681+12.2584*e-20.7322*e*e+15.8855*e*e*e;

    d=exp(d1);

    f=(24/re)*(1+a*re^b)+c/(1+d/re);

    dv(1)=-9.8- 0.004576*f*v(1)*v(1);

    %dv(1)=-9.8; % sin friccin

    dv(2)=v(1);

    dv=dv';

    end

    La bala sube aproximadamente 320 m. Si se desprecia la friccin, la bala alcanza una altura de

    4500m en aproximadamente 32 s. Ahora se va a analizar el caso en que la bala desciende de una

    altura de 320. El modelo dinmico se modifica a:

    mdv

    dt= mg + wg + FR

    0 1 2 3 4 5 60

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    Tiempo (s)

    V(m

    /s)

    y

    a

    ltura

    (m

    )

  • 14

    En el programa basta con modificar: dv(1)=9.8- 0.004576*f*v(1)*v(1); y yo=[0.1 320];

    plot(t,v(:,1))

    Esta grfica indica que la velocidad ltima de la bala

    es de aproximadamente 38 m/s, aunque se muestre

    solo hasta 11s, velocidad final de la bala ya no cambia

    si se simula a tiempos mayores. Alrededor de 11 s es

    el tiempo que tarda la bala en caer una distancia de

    320m. A la derecha se observa el ngulo de disparo y

    sus riesgos de daar a una persona al caer la bala.

    0 2 4 6 8 10 120

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    Tiempo(s)

    Velo

    cid

    ad (

    m/s

    )