Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaContedo1 Nota prvia 12 Introduo Lgica 12.1 Expresses com signicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Valores lgicos das proposies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Princpios Fundamentais da Lgica Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Operaes lgicas sobre proposies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Operaes lgicas no universo {0, 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Propriedades das operaes lgicas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Argumentos vlidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Conjuntos 133.1 Relaes entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Operaes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Propriedades das operaes entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Relaes binrias 144.1 Relaes de equivalncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Relaes de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Aplicaes 176 Cardinalidade 187 Induo Matemtica 198 Divisibilidade 219 Bases de numerao 2210 Algoritmos para realizar operaes aritmticas 2310.1 Clculo de restos de divises inteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27iUniversidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta11 Critrios de Divisibilidade 2711.1 Critrios de divisibilidade na base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.2 Critrios de divisibilidade na base , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712 Nmeros Primos 2812.1 Mximo divisor comum e nmeros primos entre si . . . . . . . . . . . . . . 2913 Congruncias 3014 Equaes Diofantinas Lineares 3115 Clculo Combinatrio 3315.1 Propriedades da funo Cmp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.2 Binmio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3516 Teoria de Grafos 3616.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3616.2 Denies e conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.3 Matrizes de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316.4 Graus dos vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.5 Sucessores e antecessores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.6 Caminhos e conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4716.7 Circuitos e caminhos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5516.7.1Algoritmo de Fleury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616.8 Grafos e relaes binrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6216.8.1Relaes de equivalncia e componentes fortemente conexas . . . . . 6216.8.2Relaes de ordem e grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.9 Grafos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6516.10Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.11Grafos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.12rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.12.1rvores de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.12.2rvore de suporte nnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7216.13Planaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7516.14Caminhos mais curtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80iiUniversidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta1 Nota prviaEste texto de apoio destina-se, como o nome indica, a apoiaro estudo da teoria indispensvel resoluo dos exerccios.No pretende substituir a frequncia das aulas tericas, nem aconsulta da bibliograa indicada.2 Introduo Lgica2.1 Expresses com signicadoEm lgica trabalhamos com expresses com signicado. Estas dividem-se em:___nomes termos ou designaesfrases ou proposiesDesignaes: designam entes (coisas, pessoas, nmeros, ...)Exemplos de termos: Lisboa copo 3 2 +_7Proposies: so expresses a respeito das quais faz sentido dizer que so verdadeirasou falsas. As proposies armam factos ou exprimem juzos que formamos a respeito deentes.Exemplos de proposies: Lisboa uma cidade1Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta Vasco da Gama descobriu a Austrlia 2 + 3 = 7 _8 < 32.2 Valores lgicos das proposiesAs proposies podem ser verdadeiras ou falsasExemplos de proposies verdadeiras: A Terra um planeta Pedro lvares Cabral descobriu o Brasil 3 + 2 = 5Exemplos de proposies falsas: A Lua uma estrela Dante escreveu a Odisseia 9 um nmero parToda a gente sabe que a Lua um planeta, que Homero escreveu a Odisseia e que 9 um nmero mpar.H, no entanto, proposies a respeito das quais, por ignorncia sobre o assunto ou porcausa da impreciso da linguagem, resultante do uso de termos no denidos ou ambguos,no fcil dizer se so verdadeiras ou falsas.Exemplos: No dia 15 de Janeiro de 2010 vai chover A msica de Strawinski bela No h vida fora da TerraNingum pode dizer exactamente qual o tempo que far daqui a uns anos. Quanto beleza da msica de Strawinski, tudo depende do gosto e sensibilidade do ouvinte e arespeito de haver ou no vida fora da Terra ningum sabe o que acontece.Em lgica matemtica no se consideram proposies deste tipo.2Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta2.3 Princpios Fundamentais da Lgica MatemticaEm lgica matemtica, adopta-se como regras fundamentais os dois seguintes princpios ouaxiomas:Princpio da no contradio:Uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.Princpio do terceiro excludo:Uma proposio ou verdadeira ou falsa.2.4 Operaes lgicas sobre proposiesQuando pensamos efectuamos operaes lgicas sobre proposies. Vamos resumir as ope-raes fundamentais:Negao: Consiste em converter uma proposio numa outra que ser verdadeira se aprimeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira.Exemplos: Negar que "O Sol um planeta" armar que "O Sol no um planeta"; Negar que "Todos os homens so inteligentes" armar que "Nem todosos homens so inteligentes", isto , armar que "H pelo menos um homem que no inteligente"; Negar que "Nenhum peixe voa" armar que "H peixes que voam".Conjuno: Operao que consiste em ligar duas proposies pela conjuno "e".Exemplos: A lua um satlite da Terra e o Sol uma estrela Vnus uma estrela e a Lua um planeta A baleia um peixe e os lobos voam.3Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaA primeira proposio verdadeira, pois ambas as proposies que esto ligadas pelapalavra "e" so verdadeiras, isto , verdade que "A lua um satlite da Terra" e tambm verdade que "o Sol uma estrela". Por outro lado, as proposies seguintes so ambasfalsas. Na segunda proposio h um "e" entre uma proposio falsa, "Vnus umaestrela" e uma proposio verdadeira, "a Lua um planeta". Quanto terceira proposioambas as proposies ligadas pela conjuno "e" so falsas pois, obviamente, as baleias somamferos e os lobos no tm asas.Conclui-se assim intuitivamente que a conjuno de duas proposies s verdadeiraquando ambas o forem.Disjuno: Operao que consiste em ligar duas proposies pela conjuno "ou".Exemplos: Carlos mdico ou professor ou ambas as coisas Vamos ao teatro ou ao futebol, mas no ambas as coisas.Repare-se na diferena entre estes dois exemplos: enquanto que no primeiro caso seadmite que Carlos possa ser mdico ou professor ou ambas as coisas simultaneamente, nosegundo caso s se admite que uma das proposies seja verdadeira. primeira chama-sedisjuno e segunda disjuno exclusiva.Implicao: operao que consiste em ligar duas proposies usando as conjunes"se" e "ento".Exemplos: Se amanh chover ento vou ao cinema Se o Joo passar de ano ento vai de frias para o BrasilNa nossa linguagem de todos os dias omite-se o "ento", mas assume-se o sentido dafrase como se a palavra estivesse l.Estas frases so falsas sempre que a primeira proposio for verdadeira e a segunda forfalsa. Isto , se amanh chover e eu no for ao cinema ento sou mentirosa. Repare-se quese o Joo no passar de ano e mesmo assim for de frias para o Brasil ento a frase no falsa, pois s se est a condicionar o que ele far se passar de ano e no se diz o queacontece se no passar.4Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta2.5 Operaes lgicas no universo {0, 1}Para simplicar, costume designar-se por \ o valor verdade e por 1 o valor falso. pormmais simples representar a verdade por 1 e a falsidade por 0. Quando fazemos operaescom proposies estamos, pois, a trabalhar no universo 0. 1. Uma operao binria umalei de transformao (funo) que permite atribuir um valor a um par de valores. Ou sejaa um par (c. /) faz-se corresponder um valor c ~/ a que se chama o resultado da operao~. As operaes lgicas podem ser denidas como operaes binrias no universo 0. 1.Para denir uma operao binria em 0. 1 necessrio ter uma lei de transformao queatribua valores a todos os pares possveis neste universo, ou seja a (0. 0) . (0. 1) . (1. 0) e(1. 1). possvel denir 16 operaes binrias neste universo de acordo com a seguinte tabela:j ~1~2~3~4~5~6~7~8~9~10~11~12~13~14~15~161 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 00 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0Cada coluna desta tabela corresponde a uma operao diferente. Algumas so maisimportantes e tm direito a nomes e smbolos especiais.Vejamos a que colunas correspondem as operaes que denimos atrs.a) Na negao vimos que a proposio resultante falsa sempre que a proposio inicial verdadeira e verdadeira se a inicial falsa. Esta no uma operao binria pois sactua sobre uma proposio. Representando a proposio inicial por j, representamosa sua negao por s j. Outras notaes aparecem na literatura como j ou j. Natabela anterior vericamos que a coluna 8 representa s j enquanto que a coluna 6representa s . Pode-se ento escrever a tabuada da negao:j s j1 00 15Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discretab) Na conjuno vimos que a proposio resultante s verdadeira quando as duas proposiesligadas pelo "e" forem verdadeiras.Na tabela das 16 operaes vemos que essa si-tuao corresponde coluna 11. Representando as proposies iniciais por j e ,representamos a conjuno por j . .j j . 1 1 11 0 00 1 00 0 0c) Para a disjuno ser verdadeira basta que uma das proposies o seja. Ento estaoperao corresponde coluna 9. Representando as proposies iniciais por j e ,representamos a disjuno por j . .j j . 1 1 11 0 10 1 10 0 0d) Para a disjuno exclusiva ser verdadeira necessrio que apenas uma das proposieso seja. Ento esta operao corresponde coluna 10. Representando as proposiesiniciais por j e , representamos a disjuno exclusiva por j_..j j_.1 1 01 0 10 1 10 0 06Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discretae) A implicao s falsa quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa.Ento esta operao corresponde coluna 3.Representando as proposies iniciaispor j e , representamos a implicao por j == .j j == 1 1 11 0 00 1 10 0 1f) A equivalncia falsa quando os valores lgicos das duas proposies so diferentes.Isto corresponde coluna 7 da tabela. Representando as proposies iniciais por j e, representamos a equivalncia por j == j j == 1 1 11 0 00 1 00 0 1g) A incompatibilidade falsa se ambas as proposies forem verdadeiras. Corresponde segunda coluna da tabela inicial. Representando as proposies iniciais por j e ,representamos a incompatibilidade por j[j j[1 1 01 0 10 1 10 0 17Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discretah) A negao conexa tem o valor lgico verdade desde que ambas as proposies foremfalsas. Corresponde coluna 8 da tabela.Representando as proposies iniciais por je , representamos a negao conexa por j | j j | 1 1 01 0 00 1 00 0 12.6 Propriedades das operaes lgicas:Denio 1 Duas proposies lgicas so iguais se e s se tm a mesma tabela.Trabalhando com esta denio estabelecem-se vrias igualdades bsicas que tm umcerto paralelismo com idnticas propriedades das operaes aritmticas.Conjuno Disjunoc . / = / . c c . / = / . c comutativa(c . /) . c = c . (/ . c) (c . /) . c = c . (/ . c) associativac . 1 = c c . 1 = 1 elemento neutroc . 0 = 0 c . 0 = c elemento absorventec . c = c c . c = c idempotnciaNegaoss c = c Dupla negao8Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaMistasc . (/ . c) = (c . /) . (c . c) distributivac . (/ . c) = (c . /) . (c . c) distributivas (c . /) =s c. s / lei de De Morgans (c . /) =s c. s / lei de De Morgans c . c = 0 no contradios c . c = 1 terceiro excludoTodas as 16 operaes lgicas podem ser expressas na negao e na conjuno, ou nanegao e na disjuno, ou na incompatibilidade ou na negao conexa.Exemplos:1. (c == /) = (s c . /) =s (c. s /)2. (c == /) = (c == /) . (/ == c) = (s c . /) . (s / . c) =s (c. s /) . s (/. s c)3. c . / =s (s c. s /)4. c . / =s (s c. s /)5. c_./ = (c. s /) . (s c . /) =s [s (c. s /) . s (s c . /)]6. s c = c | c7. (c . /) = (c[/) [ (c[/)8. (c . /) = (c | c) | (/ | /)9. (c . /) = (c[c) [ (/[/)10. (c . /) = (c | /) | (c | /)A vericao destas igualdades faz-se facilmente construindo as tabelas de ambos osmembros e conrmando que so iguais. Como exemplo vamos vericar a validade da9Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discretaprimeira igualdade:c / s c c == / s c . /1 1 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 10 0 1 1 1As duas ltimas colunas desta tabela so iguais, como cada uma corresponde a cada umadas proposies da igualdade 1., de acordo com a denio 1, a igualdade vlida.Vejamos ainda algumas igualdades importantes que convm saber de cor, pois so deutilizao frequente:1. (c == /) = (s / ==s c)2. s (c == /) = c. s /3. (c == /) = (c . /) . (s c. s /)4. (c == /) =s (c_./)Tal como as anteriores, estas igualdades podem ser vericadas por recurso s tabelas.Mas, tambm se podem vericar por aplicao das propriedades das operaes lgicas.Vamos exemplicar com a primeira das igualdades.(c == /) = (s c . /) = (s c. ss /) = (ss /. s c) = (s / ==s c)2.7 Argumentos vlidosQuando se demonstram teoremas utilizam-se raciocnios logicamente correctos. Normal-mente, um teorema traduzido por meio de uma implicao ou de uma equivalncia (se es se). Uma das formas de demonstrar teoremas utilizar um raciocnio dedutivo.Exemplo:Se este livro tem a minha assinatura, pertence-me.Este livro tem a minha assinatura.10Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaLogo este livro pertence-me.H, no entanto, outras formas correctas de demonstrar teoremas. So os chamadosargumentos vlidos ou silogismos e foram muito estudados pelos lsofos e matemticosgregos.Apresentamos uma lista dos mais usuais, bem como dos nomes por que classica-mente so conhecidos.Argumento Nome[(c == /) . c] == / Modus ponens[(c == /) . s /] ==s c Modus tollens[(c . /) . s c] == / Silogismo disjuntivo[(c == /) . (/ == c)] == (c == c) Silogismo Hipottico[(c == /) . (c == d) . (c . c)] == (/ . d) Dilema construtivo[(c == /) . (c == d) . (s /. s d)] == (s c. s c) Dilema destrutivoComo interpretar estes argumentos? Vejamos, por exemplo, o modus ponens:se huma implicao (c == /) que se sabe ser verdadeira e se tambm se sabe que a proposioc verdadeira ento a proposio / tambm tem que ser verdadeira. ainda possvel encadear todas estas formas numa cadeia de argumentos vlidos.Exemplo:Se o ladro saiu pela porta da rua, foi apanhado.Se o ladro saiu pela varanda das traseiras, foi apanhado.Se o o ladro foi apanhado est preso.Se o ladro no saiu pela porta da rua nem pela varanda das traseiras, est escondido.Ora o ladro no est preso.Logo no saiu pela porta da rua nem pela varanda das traseiras.Logo o ladro est escondido.11Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta2.8 QuanticadoresAlm das operaes lgicas atrs consideradas, apresentam-se ainda duas operaes quese aplicam unicamente a expresses proposicionais com variveis. Estas duas operaesdesempenham um papel correspondente s palavras "todo" e "algum" da linguagem cor-rente.Quanticador universalExemplo\r. r mortal.Esta proposio verdadeira no universo dos seres vivos. , por isso, necessrio especi-car qual o universo em que a varivel r pode tomar valores. Se, por exemplo, se escrever\r. 2rr , esta proposio verdadeiora em N mas falsa em R.Quanticador existencialExemplor : rr2. (Algum nmero superior ao seu quadrado).Esta proposio obviamente verdadeira em R e falsa em N. Mais uma vez necessrioindicar o universo em que a varivel r pode tomar valores.Segundas leis de De MorganA negao de proposies com quanticadores rege-se por leis conhecidas por segundasleis de De Morgan.Na nossa linguagem de todos os dias sabemos que negar que "todosso" armar que "algum no " e negar que "algum " armar que "todos no so".Ou seja, traduzindo simbolicamente:s[\r l. j(r)] = r l :s j(r)s[r l : j(r)] = \r l :s j(r)(Aqui representa-se por j(r) uma expresso proposicional na varivel r)Estas leis podem ser aplicadas sucessivamente em expresses com vrios quanticadores.Exemplo:s [\r. : \.. t : j(r. . .. t)] = r : \. . : \t. s j(r. . .. t)Quando uma expresso proposicional verdadeira para qualquer concretizao dasvariveis diz-se que uma condio universal.Quando uma expresso proposicional falsa para qualquer concretizao das variveisdiz-se que uma condio impossvel.12Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta3 ConjuntosUm conjunto pode ser denido em extenso, isto , nomeando todos os seus elementos, ouem compreenso, ou seja indicando uma propriedade comum a todos os seus elementos,isto , uma condio que vericada por todos os seus elementos e s por eles.Exemplo:Se a Joana tiver 3 irmos com 18, 23 e 25 anos, podemos denir o conjunto A de duasmaneiras diferentes: = 18. 23. 25 = r : r =idades dos irmos da JoanaSe a condio que estiver a denir o conjunto for uma condio universal ento oconjunto todo o universo e, normalmente, representa-se por l.Se o conjunto estiver aser denido por uma condio impossvel ento no ter qualquer elemento, diz-se vazio erepresenta-se por c ou por .3.1 Relaes entre conjuntosSe todos os elementos de um conjunto 1 forem elementos de um outro conjunto Q, diz-seque o conjunto 1 est contido no conjunto Q e escreve-se 1 _ Q.Se o conjunto 1 estcontido no conjunto Q tambm se pode dizer que o conjunto Q contm o conjunto 1 eesceve-se Q _ 1. Quando 1 _ Q diz-se que 1 um subconjunto de Q.Se o conjunto 1 estiver contido no conjunto Q e o conjunto Q estiver contido numconjunto 1, ento o conjunto 1 est contido no conjunto 1.Se o conjunto 1 estiver contido no conjunto Qe o conjunto Qestiver contido no conjunto1, ento os dois conjuntos so iguais.Todas estas armaes podem ser traduzidas simbolicamente como se segue:(r 1 == r Q) == (1 _ Q)(1 _ Q. Q _ 1) == (1 _ 1)(1 _ Q. Q _ 1) == 1 = Q3.2 Operaes com conjuntosSeja U o universo e considerem-se os conjuntos 1 e Q denidos por: 1 = r l : j(r),Q = r l : (r). Podem-se denir operaes com conjuntos que esto relacionadascom as operaes lgicas sobre as expresses proposicionais que denem os conjuntos13Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discretal 1 = 1 = r l :s j(r) = r l : r , 1 complementar1 Q = r l : j(r) . (r) = r l : r 1 . r Q interseco1 ' Q = r l : j(r) . (r) = r l : r 1 . r Q reunio1 Q = r l : j(r). s (r) = r l : r 1 . r , Q = 1 Q diferena1Q = r l : r 1 _.r Q =_1 Q_'_1 Q_diferena simtrica1 Q = r. l : r 1 . Q produto cartesiano1 Q1 = r. . . l : r 1 . Q. . 11112 1n = (r1. r2.. rn) : ri 1i3.3 Propriedades das operaes entre conjuntosAs propriedades das operaes deduzem-se sem grande diculdade das propriedades dasoperaes lgicas entre proposies.1 Q = Q 1 1 ' Q = Q' 1(1 Q) 1 = 1 (Q 1) (1 ' Q) ' 1 = 1 ' (Q' 1)1 l = 1 1 ' l = l1 c = c 1 ' c = 1(1 Q) ' 1 = (1 ' 1) (Q' 1) (1 ' Q) 1 = (1 1) ' (Q 1)1 1 = c 1 ' 1 = c1 Q = 1 ' Q 1 ' Q = 1 Q4 Relaes binriasQualquer subconjunto de 1 Q uma relao binria entre 1 e Q.14Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaEnto se 1 _ 1Q. 1 uma relao binria entre 1 e Q. Dizer que o par (r. )verica a relao 1 signica que (r. ) 1 e pode-se escrever r1. Se (r. ) , 1 diz-seque o par (r. ) no verica a relao 1 e escreve-se r/ 1.Considere-se 1 _ 1 1. Diz-se que 1 uma relao binria em 1. As relaes binriasnum conjunto classicam-se de acordo com o facto de possuirem ou no as propriedadesque a seguir se enunciam.E reexiva \r 1. (r. r) 1E anti-reexiva \r. 1. (r. ) 1 == r ,= E simtrica \r. 1. (r. ) 1 == (. r) 1E anti-simtrica \r. 1. (r. ) 1 == (. r) , 1E anti-simtrica em sentido lato\r. 1. ((r. ) 1 . (. r) 1) == r = E transitiva \r. . . 1. ((r. ) 1 . (. .) 1) == (r. .) 14.1 Relaes de equivalnciaSe uma relao 1 num conjunto 1 reexiva, simtrica e transitiva diz-se que umarelao de equivalncia no conjunto 1.Uma relao de equivalncia origina uma partio do conjunto em classes de equi-valncia. Uma classe de equivalncia formada por todos os elementos do conjunto quetomados 2 a 2 formam pares que pertencem relao. Todos os elementos de uma classede equivalncia tm uma caracterstica comum.Exemplo:Seja 1 o conjunto de todas as rectas no plano e 1 a relao denida por (r. ) 1 see s se a recta r paralela recta .Esta relao reexiva (toda a recta paralela a si prpria), simtrica (se a recta r paralela recta ento a recta paralela recta r) e transitiva (se a recta r paralela recta e a recta paralela recta . ento a recta r paralela recta .). Considerandouma determinada recta no plano todas as rectas que lhe so paralelas formam uma classede equivalncia denida pela direco dessa recta.15Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta4.2 Relaes de ordemSe uma relao 1 num conjunto 1 anti-simtrica e transitiva diz-se que uma relao deordem no conjunto. Conforme a relao for anti-simtrica em sentido estrito ou em sentidolato, assim se diz de ordem estrita ou lata.Uma relao de ordem lata pode ou no serreexiva conforme as aplicaes que se estiverem a trabalhar.Se a relao de ordem tal que dados dois elementos do conjunto eles esto semprerelacionados, de uma maneira ou de outra, isto se \r. 1. (r. ) 1.(. r) 1.r = ,a relao de ordem diz-se total, caso contrrio diz-se parcial. Um conjunto P onde estdenida uma relao de ordem total diz-se ordenado. Um conjunto P onde est denidauma relao de ordem parcial diz-se parcialmente ordenado.Exemplos:1 = 1. 2. 3. 4. 5. 6 e 1 = (r. ) 11 : r _ . Esta uma relao de ordem(em sentido lato) total.Tomando dois quaisquer elementos do conjunto P h um par narelao formado por eles.1 = 1. 2. 3. 4. 5. 6 e 1 = (r. ) 1 1 : r < . Esta uma relao de ordem (emsentido restrito) total. Tomando dois quaisquer elementos diferentes do conjunto P h umpar na relao formado por eles.1 = 1. 2. 3. 4. 5. 6 e 1 = (r. ) 11 : r divisor de . Esta uma relao deordem (em sentido lato) parcial. Com efeito, uma relao transitiva (se r divisor de e divisor de . ento r divisor de .) e anti-simtrica em sentido lato (se r divisor de e divisor de r ento r igual a ). Tomando dois quaisquer elementos do conjunto1 eles podem no estar relacionados. Por exemplo, tomando os elementos 2 e 5, nem 2 divisor de 5 nem 5 divisor de 2, ou seja (2. 5) , 1 e (5. 2) , 1.Um elemento r 1 diz-se elemento mnimo de 1 para uma relao de ordem 1, se\ 1. (r. ) 1.Um elemento r 1 diz-se elemento mximo de 1 para uma relao de ordem 1, se\ 1. (. r) 1.Se num conjunto nito estiver denida uma relao de ordem total, h sempre umelemento mximo e um elemento mnimo.Se num conjunto estiver denida uma relao de ordem parcial, pode no haver elementomximo ou elemento mnimo.Exemplo1 = 1. 2. 3. 4. 5. 6 e 1 = (r. ) 11 : r divisor de . Para esta relao deordem 1 elemento mnimo e no h elemento mximo.16Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica Discreta5 AplicaesDados dois conjuntos no vazios e 1, chama-se aplicao de em 1 a toda a corres-pondncia unvoca entre e 1. Isto , sendo , uma aplicao de em 1, , fornece umprocesso qualquer de a cada elemento r de fazer corresponder um e um s elemento de 1. Diz-se que a imagem de r por , e escreve-se = ,(r). Repare-se que sepode encarar uma aplicao , de em 1 como uma relao 1 entre e 1, tal que(r. ) 1 == = ,(r).Exemplos = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 = /. /. :. q e 1 = (1. q). (2. /) . (3. /) . (4. /) . (5. :) . (6. :).1 uma aplicao entre e 1. = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 = /. /. :. q e 1 = (1. q). (1. /) . (2. :) . (3. /) . (4. /) . (5. :) . (6. :).1 uma relao entre e 1 mas no uma aplicao entre e 1. Ao elemento 1 de correspondem dois elementos em 1, o que contrrio denio de aplicao.Ao conjunto chama-se domnio de ,. Normalmente designa-se o domnio de umaaplicao , por 1f.Quando uma aplicao denida por meio de uma expresso designatria, sem maisindicaes, subentende-se que o domnio da aplicao o domnio de existncia da expressono universo adoptado.Diz-se que duas aplicaes , e q so iguais se tiverem o mesmo domnio e transformaremcada elemento do seu domnio comum da mesma maneira, isto [1f = 1g . \r 1f. ,(r) = q(r)] == , = q.Considere-se uma aplicao , de em 1 e 1 _ . Considere-se uma aplicao q de1 em 1 que satisfaz a condio ,(r) = q(r). \r 1, isto , as duas aplicaes coincidemno conjunto 1. Diz-se que q uma restrio de , a 1 e diz-se que , uma extenso deq a .Exemplo: o conjunto dos nmeros reais; 1 o conjunto dos nmeros reais positivos (1 ); 1o conjunto dos nmeros reais.q : 1 1 denido por q(r) = _r, : 1 denido por ,(r) =_[r[As funes tm o mesmo valor para os elementos do domnio de q e o domnio de q estcontido no domnio de ,. Ento q uma restrio de , a 1 ou , uma extenso de q a .17Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaConsidere-se uma aplicao , de em1 e 1 um subconjunto de . Chama-se imagemde 1 por , ao conjunto ,(1) = 1 : r 1 : = ,(r). Ao conjunto ,() chama-secontradomnio da aplicao ,.Diz-se que uma aplicao , de em 1 sobrejectiva se 1 = ,(), isto ,\ 1. r : = ,(r).Diz-se que uma aplicao , de em 1 biunvoca ou injectiva se\r. . r ,= == ,(r) ,= ,().isto , se diferentes elementos tm imagens diferentes.Uma aplicao diz-se bijectiva se for injectiva e sobrejectiva.Se , uma aplicao biunvoca de em 1 e se considerarmos 10 o contradomnio de,, isto , 10 = ,(), a cada elemento r de 10 corresponde um e um s elemento de tal que ,() = r.Deste modo possvel denir uma aplicao de 10 em , chamadaaplicao inversa de , e representada por ,1. Assim, ,1 a aplicao que tem pordomnio o contradomnio de , e tal que\r 10. \ ._ = ,1(r) == r = ,()6 CardinalidadeDenio 2 Dados dois conjuntos e 1, diz-se que equipotente a 1, se e s se forpossvel estabelecer uma correspondncia bijectiva entre e 1.A relao de equipotncia uma relao de equivalncia.Denio 3 Um conjunto diz-se innito se for equipotente a pelo menos uma sua parteestrita.Denio 4 Um conjunto diz-se nito se no for innito.Denio 5 Diz-se que dois conjuntos nitos tm o mesmo nmero de elementos se soequipotentes.18Universidade do Algarve - 05/06 Matemtica DiscretaEnto, o nmero de elementos ou cardinal (#) de um conjunto A a propriedade queesse conjunto tem de comum com todos os conjuntos que lhe so equipotentes.O cardinal do conjunto vazio 0.Seguidamente apresentam-se algumas propriedades da funo cardinal para conjuntosnitos. _ 1 == # _ #1[ _ 1 . ,= 1] == # < #1#( ' 1) = # + #1 #( 1)#('1 'C) = #+#1 +#C #(1) #(C) #(1 C) +#(1 C)#_ n

i=1i_=n

i=1#in

1i