sébas&en coue-e stas&ques cm1 m1 se, bgs, vvt, … · test unilatéral et test bilatéral...

Sébas&enCoue-e

Sta&s&quesCM1M1SE,BGS,VVT,AGES

Testssta&s&quessimples,univariésoubivariés

Sta&s&quesmul&variées

ANOVA2facteurs

ANCOVAMANOVA

ACPDFAAFC

Séance1Séance2

Séance3 Séance4

Révision:Qu’estcequ’untest Testsunivariés testsbivariés

Mul&variéeexploratoire:ACP

2wANOVAANCOVAMANOVA

Clustering:DFA AFC

t(v) = z0

z²1 + z²2 + … + z²v

v √

Statistiques inférentielles et tests simples

CM1

n  Pourquoiat-onbesoindessta&s&ques?Unchercheurveuttestersilaquan&téderadioac&vitédanslesoldépasseleseuilautorisédansunerégiondonné(1,2becquerel/kg/sec).

Dansl’idéal:mesuredetoutelasurface=>radioac&vitéenmoyennede0,8danslesol.

distribution normale

valeur de radioactivitÈ

Den

sity

-1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vraidistribu&on0.8

Mais,sontempsestlimitéetilnepeutdoncéchan&llonnerque20sols=>es&melamoyenneàpar&rdecetéchan&llon=>estcequece-emoyennees&méeestendessousduseuil?

1,2 distribution normale


Den

sity

-1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vraidistribu&on



Den

sity

-1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vraidistribu&on



Den

sity

-1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vraidistribu&on

Lesparamètresdesdistribu&ons(moyenne,variance,médiane,etc.)sontes&mésàpar&rdedonnéesrécoltéespourdeséchan&llonsaléatoiresreprésentantlespopula&onssta&s&ques.Autrementdit,unéchan&llonaléatoirepermetd’obtenirunees&ma&onx,Var,…desparamètresvrais,μ,σ²…delapopula&onsta&s&que.

Population statistique, N, µ, σ²

1

Echantillon 1, n1, x1, Var1

k Echantillon k, nk, xk, Vark

Echantillon 2, n2, x2, Var2 2

n  Pourquoiat-onbesoindessta&s&ques?

n  Pourquoiat-onbesoindessta&s&ques?

Carontravaillegénéralementàpar&rd’unéchan&llonetonneconnaitpaslesparamètresdelapopula&on.Onessayedoncde&reruneconclusionsurlapopula&onàpar&rdecetéchan&llon…Echan&llon=>approxima&on!

=>Lestestssta&s&quesperme-entde&rerdesconclusionsàpar&rd’unéchan&llonsachantqu’ilyaunrisqued’erreur.

Exempleprécédent=>plusl’échan&llonestgrandetplusl’es&ma&ondesparamètresestprécise

n  Choixd’hypothèses

Ils’agitdefaireunchoixentreplusieurshypothèses,toutenassociantcechoixavecdesrisquesd’erreur.•Lechercheurestappeléàprendredesdécisionssurlabasederésultatsexpérimentaux,enétantconscientqu’ilyaunrisqued’erreurliéàl’incer&tudedesobserva&onsoudesrésultatsexpérimentaux.Avantdeprendreunetelledécision,iltesteraunehypothèsesta&s&quecorrespondantàsonproblèmebiologique•L’issuedeceteststa&s&queindiqueraquelledécisionilconvientdeprendre.

Lestestssta&s&quessontu&liséslorsqu’onchercheàsavoirsiunecertainehypothèserela&veàlapopula&onestcompa&bleavecl’informa&ondisponibleàpar&rdel’échan&llon.

n  1.Savoirposerl’hypothèsenulleetalterna&ve

Uneétudeaméricaineeffectuéeauprèsde106pa&entsadonnélieuautableausuivant:

Peut-onconsidéreraurisquede5%qu’ilexisteunlienentrelefaitdefumeretavoiruncancerdupoumon?

Cancer poumon Pas de cancer poumon

Fumeur 60 32

Non fumeur 3 11

H0:Iln’yapasd’associa&onentrelefaitdefumeretd’avoiruncancerH1:Ilyauneassocia&onentrelefaitdefumeretd’avoiruncancer

n  1.Savoirposerl’hypothèsenulleetalterna&ve

Danstouslescas,l’hypothèsetestée,ouhypothèseprincipale,ouhypothèsenulleH0,formulel’absencededifférenceoul’absencederela&on(lavaria&onestdueauhasard):c’estellequel’onrejeBeraouacceptera.

n  Plusieurshypothèsesalterna&vespossibles:testunilatéralettestbilatéral

H1:Ilyauneassocia&onposi&veentrelefaitdefumeretd’avoiruncancer(plusjefumeplusj’aidechanced’avoiruncancer)H1:Ilyauneassocia&onnéga&veentrelefaitdefumeretd’avoiruncancer(moinsjefumeetplusj’aidechanced’avoiruncancer)

H0:Iln’yapasd’associa&onentrelefaitdefumeretd’avoiruncancerH1:Ilyauneassocia&onentrelefaitdefumeretd’avoiruncancer

Testunilatéralettestbilatéral:c’estlaformula&ondel’hypothèsecontraire,H1,quidéterminesiuntestestunilatéraloubilatéral.•Danslecasdelacomparaisondedeuxgroupesparexemple,onréaliseuntestbilatéral(“two-tailedtest”)lorsqu’onchercheunedifférenceouliaisonsanssepréoccuperdusens.•Onréaliseplutôtuntestunilatéral(“one-tailedtest”)lorsquenotrehypothèsebiologiquenes’intéressequ’auxdifférencesouauxrela&onsayantunsignedonné.

LechoixdeH1doitsefaireAVANTl’expérience!!!

n  2.RèglededécisionCommentdéterminers’ilfautaccepterourejeterH0?

TESTSTATISTIQUE:T

CalculdelavaleurdeT

Onconnaîtlaloidedistribu&ondeTlorsqueH0estvrai

ComparelavaleurdeTobservéeàlavaleurthéoriqueselonH0avecunseuilαde5%decomme-reuneerreurenrejetantH0alorsqu’elleestvrai(Tαouvaleurseuil)SiT>Tα=>rejetdeH0;siT<Tα=>accepta&ondeH0OUCalculdudegrédesignifica&on(p):probabilitéd’observerunedifférenceaumoinsaussiimportantequecelleobservéesousH0Sip<0.05=>rejetdeH0;sip>0.05=>accepta&ondeH0

(e.g. loi normale centrée réduite z = 3.2)

3.2 > 1.96 => rejet de H0

n  2.Règlededécision

Un test bilatéral est plus conservatif (on accepte plus souvent l’hypothèse nulle)

n  Risqued’erreurs

Hypothèse nulle

Hypothèse nulle Vrai

Fausse

Acceptée Rejetée Bonne décision (1- α)

Bonne décision (1- β)

Lorsquel’onaccepteH0,celaneveutpasdirequeH1estfausse…c’estjustequesta&s&quement,onarrivepasàrejeterH0=>no&ondepuissancedutest

Β : erreur de type II

Lorsquel’onreje-eH0auseuilde5%,celaveutdirequ’ily5%dechancequenotrevaleurdeT(duteststa&s&que)fassevraimentpar&edeladistribu&ondeH0etdoncquel’onsetrompeenrejetantH0…

α : erreur de type I

•  Les questions à se poser pour identifier le bon test statistique

1.  Iden&fierlesvariables

=>Est-cequelesvariablessontqualita&vesouquan&ta&ves?=>Est-cequejepeuxexpliquerunevariableparuneouplusieursautres?(unevariableàexpliquerouvariabledépendanteetuneouplusieursvariablesexplica&vesouvariableindépendante)

2.Essayezdereprésentergraphiquementlejeudedonnées

=>Deuxvariablesqualita&ves:camemberts,tableauxdecon&ngence…=>Chi-deux,testdeFisher=>Deuxvariablesquan&ta&ves:nuagedepoints….=>régressioncorréla&on=>Unevariablequan&ta&veàexpliquerplusaumoinsunevariablequalita&ve:boxplot,moyenne….=>analysedevariance,régressionmul&ple…

3.Unefoisletestchoisi,vérifiezlescondi&onsd’applica&ondutest

-Indépendancedesdonnées(no&ondedonnéesappariés,ouderépé&&on) -Loidedistribu&ondesdonnées(loinormaleouautre?oupasdedistribu&onévidente)=>testsparamétriquesounonparamétriques

+autreshypothèsesplusspécifiquesàchaquetestserontvusplustard….

n  Lesques&onsàseposerpouriden&fierlebonteststa&s&que

Comparaison de 2 groupes (apparié ou non)

ANOVA Corrélation Régression

Paramétrique Test de Student (apparié ou non)

ANOVA paramétrique

Corrélation de Pearson

Régression

Non paramétrique

Test de Wilcoxon (apparié ou non)

ANOVA de Kruskall-Wallis

Corrélation de Spearman ou de Kendall

________

X

Y

+ TEST DE CHI-DEUX ou TEST DE FISHER pour Tables de contingences

•  Différences entre un test paramétrique et non paramétrique

Ø Untestparamétriquerequiertunmodèleàfortescontraintes(normalitédesdistribu&ons,égalitédesvariances)pourlequellesmesuresdoiventavoirétéréaliséesdansuneéchelleaumoinsd'intervalle.Ceshypothèsessontd'autantplusdifficilesàvérifierqueleseffec&fsétudiéssontplusréduits=>sieffec&fréduit,ilestplusprudentd’u&liseruntestnon-paramétrique

Ø Untestnonparamétriqueestuntestdontlemodèleneprécisepaslescondi&onsquedoiventremplirlesparamètresdelapopula&ondontaétéextraitl'échan&llon.Celan’enlèvepaslebesoind’unebonnestratégied’échan&llonnage(individusindépendantsetprisaléatoirement)

n  Différencesentreuntestnonappariéetapparié

Ø Touslestestspartentduprincipequelesobserva&onssontindépendantes(individusprisaléatoirementdanslapopula&on)

Ø Danscertainscas,lesobserva&onssontfaitessurlemêmeindividuousurdesindividusquinesontpasprisaléatoirement(mêmefamille,mêmeorigineetc…)=>ceBeindépendancedoitêtrepriseencomptepardestestsappariés

n  Exemples:Exo3:unchercheursouhaitepouvoiriden&fierlesexedechacalàpar&rdemachoireretrouvéedanslanature.Afindesavoirsicelaestpossible,ilmesurelalongueurdelamâchoireinférieure(enmm)de10chacalsmâleset10chacalsfemellesconservéesauBri&shMuseum.•mâles120107110116114111113117114112•femelles110111107108110105107106111111

Exo4

Exo5:deséchan?llonsdecrèmeprélevésdans10laiteriessontdivisésendeuxpar?es.L’uneestenvoyéeaulaboratoire1etl’autreaulaboratoire2pourencompterlesbactéries.Résultats(103bact/ml):lab1:11.7,12.1,13.3,15.1,15.9,15.3,11.9,16.2,15.1,13.8lab2:10.9,11.9,13.4,15.4,14.8,14.8,12.3,15.0,14.2,13.2

Exo7:Unchercheursouhaitetesterl’effetdedifférentesconcentra&onettypedesucresurlacroissance,(mesuréeparlalongueurenmm)depe&tspois.Pourchaquetraitement,lechercheuraprisauhasard10grainesdepe&tspois.

control 2% glucose 2% fructose 1%glucose+1%fructose2% sucrose75 57 58 58 6267 58 61 59 6670 60 56 58 6575 59 58 61 6365 62 57 57 6471 60 56 56 6267 60 61 58 6567 57 60 57 6576 59 57 57 6268 61 58 59 67

Exo8:onamesurélahauteur(enmètres)de12arbresselondeuxméthodesdifférentes,avantetaprèslacoupedel’arbre.debout=20.4,25.4,25.6,25.6,26.6,28.6,28.7,29.0,29.8,30.5,30.9,31.1aba-u=21.7,26.3,26.8,28.1,26.2,27.3,29.5,32.0,30.9,32.3,32.3,31.7

Unseuléchan&llon=>testdeconformitéàunemoyennethéorique

Exemple:contrôledesteneursennitratesde30eauxdesourced’unerégiondonnée(mgNO3/l),norme=25mg/l37;21;0;19;1;5;0;13;1;20;34;19;17;74;28;34;61;15;35;55;28;10;69;48;63;8;18;34;18;90Est-cequeletauxdenitratesestconformeàlanorme?

ns

mx

ns

mxt

xx

obs 21

−=

−= Degrédeliberté=n-1

n  Testdestudent

Histogram of distribution

distribution

Den

sity

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

distribution

pt(d

istri

butio

n, d

dl)

n  CalculdutdeStudent

>mean(nitrate)[1]29.16667>sd(nitrate)[1]23.88923

30/1889.23251667.29

×

−=t

t=0.955;ddl=30-1=29

t suit une distribution de student à 29 ddl

=>P=0.17=>Probabilitéd’avoirunevaleurd’aumoins0.955sousH0estde17%(>seuilde5%)=>onaccepteH0

Valeurseuilà5%estt(29;0.05)=2.0452

=>Tobs<tseuil=>onaccepteH0

>pt(0.955,ddl,lower.tail=TRUE)[1]0.8360167

•  Test de student Comparaisondedeuxéchan&llonsindépendants

Exo3:unchercheursouhaitepouvoiriden&fierlesexedechacalàpar&rdemâchoireretrouvéedanslanature.Afindesavoirsicelaestpossible,ilmesurelalongueurdelamâchoireinférieure(enmm)de10chacalsmâleset10chacalsfemellesconservéesauBri&shMuseum.•mâles120107110116114111113117114112•femelles110111107108110105107106111111

Variabledépendante:lalongueurdelamâchoire=>quan&ta&veVariableindépendante:lesexe(deuxniveaux,MetF)=>qualita&ve,nominaleH0:lesdeuxsexesontlamêmemoyennedelongueurdemâchoireH1:lamoyennedelalongueurdemâchoireestdifférenteentrelesdeuxsexes

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×

−

yx

obs

nns

yxt11ˆ2

( ) ( )211

ˆ22

2

−+

−+−=

yx

yyxx

nnsnsn

s

Degrédeliberté=nx+ny-2

avec

•  Test de student Principe:oncomparel’écartentrelesdeuxmoyennesà0aprèsl’avoirstandardiséparlavarianceintragroupe

MoyenneX=108.6(femme)MoyenneY=113.4(homme)

VarianceX=5.16(femme)VarianceY=13.82(homme)

( )( )221

yx

obs

ssn

yxt+

−Sinx=ny

Tobs=(108.6-113.4)/racine(1/10*(5.16+13.82))=4.8/1.377=-3.48

Tobsce-evaleursta&s&quesuituneloidestudentdeddl=18tseuil0.05=2.1009

Tobs>tseuil=>onreje-el’hypothèsenulle=>ilexistedesdifférencesdemoyennes

SORTIER>t.test(longueur~sexe,alterna&ve='two.sided',conf.level=.95,+var.equal=TRUE,data=exo3cour)

TwoSamplet-testdata:longueurbysexet=-3.4843,df=18,p-value=0.002647alterna&vehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-7.694227-1.905773samplees&mates:meaningroupFmeaningroupM108.6113.4

•  Test de student

Hypothèsessous-jacentesautestdestudent:- Indépendancedesobserva&ons- Normalitédesdonnées=>testdeShapiro-Wilk- Mêmevariancedanslesdeuxgroupes=>testF

Dans notre exemple, les variances semblent différentes….

n  Commenttesterl’hétérogénéitédesvariances?=>testFFISHER-SNEDECOR

H0:VAR1=VAR2H1:VAR1>VAR2(sachantquevar1estplusgrandequevar2)LerapportdedeuxvariancessuituneloidetypeF(loiasymétrique,Fdoitêtreplusgrandque0)aveccommedegrésdeliberté(ddldelavariancemax;ddlvarmin)Fobs=VARmaximale/VARminimale

Dansnotreexemple:VarianceX=5.16(femme);VarianceY=13.82(homme)Fobs[9;9]=13.82/5.16=2.68 Fseuil0.05[9;9]=3.18=>Lesvariancesnesontpassignifica&vementdifférentesauseuilde5%

Comparaisondedeuxéchan&llonsindépendantsavecvariancehétérogène

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

y

y

x

x

obs

ns

ns

yxt22

Enfaitc’estleddlquiestvraimentmodifiéetquiprendencomptenonseulementleseffec&fsmaiségalementlavaleurdesvariancesdechaqueéchan&llon

n  TestdeWelchsivariancehétérogène

NOTE:Pardéfaut,Reffectuecetestetiln’estdoncpasindispensabledetesterl’hétérogénéitédesvariances

SORTIER>t.test(longueur~sexe,alterna&ve='two.sided',conf.level=.95,+var.equal=FALSE,data=exo3cour)

WelchTwoSamplet-testdata:longueurbysexet=-3.4843,df=14.894,p-value=0.00336alterna&vehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-7.738105-1.861895samplees&mates:meaningroupFmeaningroupM108.6113.4

n  Testdestudentappariésidonnéesnonindépendantes

exemple:onamesurélahauteur(enmètres)de12arbresselondeuxméthodesdifférentes,avantetaprèslacoupedel’arbre.debout=20.4,25.4,25.6,25.6,26.6,28.6,28.7,29.0,29.8,30.5,30.9,31.1aba-u=21.7,26.3,26.8,28.1,26.2,27.3,29.5,32.0,30.9,32.3,32.3,31.7debout-aba-u=-1.3-0.9-1.2-2.50.41.3-0.8-3.0-1.1-1.8-1.4-0.6

n  Testdestudentappariésidonnéesnonindépendantes

Principe:unindividudel’échan&llonestuncouple.Testerl’hypothèse«laméthodedecoupen’apasd’effet»contrel’hypothèse«laméthodedecoupeauneffetposi&f»,c’esttesterl’hypothèse«lamoyennedesdi=xi-yiestnulle»contrel’hypothèse«lamoyennedesdi=xi-yiestposi&veounéga&ve».

•di=xi-yiestlaréalisa&ond’unevariablealéatoiredemoyenne0etdevarianceσ2.Onveutcomparerlamoyennededà0.Onu&liseletesttdeStudentavecddl(n-1),nétantlenombredecoupleici12

nsmtd

d2

=Moyenne différence = -1.075 Variance différence = 1.326

t = (1.075-0)/racine(1.326/12) = -3.23

t suit une loi de Student à 11 ddl tseuil 0.05 = 2.201 tobs > tseuil => on rejette l’hypothèse nulle

SORTIER:>t.test(exo4cour$avant,exo4cour$apres,alterna&ve='two.sided',+conf.level=.95,paired=TRUE)

Pairedt-testdata:exo4cour$avantandexo4cour$aprest=-3.2343,df=11,p-value=0.007954alterna&vehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-1.8065536-0.3434464samplees&mates:meanofthedifferences-1.075

n  Sidistribu&onnonnormales=>testsnonparamétrique:testdeWilcoxonouMann-Whitney

GroupeA ****** GroupeB******

123456789101112

Variabledépendante=duretédusilex=>variablequan&ta&ve(rang)Variableindépendante=région(2niveaux)=>variablequalita&venominale

=>Testnonparamétriquecarlesrangsnereprésententpasunevariablecon&nue

Pourungroupe,pourchaqueobserva&on,oncomptelenombred’observa&onsdansl’autregroupequiontunrangplusgrand.PourgroupeA:rang1:0;rang2:0;rang3:0,rang5:1,rang6:1,rang8:2,lasommeC=4PourgroupeB:C=3+5+6+6+6+6=32

n  CalculdutestdeWilcoxonouMann-Whitney

GroupeA****** GroupeB******

123456789101112

Lasta&s&queU(lavaleurdeClapluspe&te)suitunedistribu&ondeChi-Deuxsieffec&f>30,sinonu&lisa&ond’unetable(ousimplementdelavaleurdepdonnéeparlelogiciel!)

SORTIER:>regionA=c(1,2,3,5,6,8)>regionB=c(4,7,9,10,11,12)>wilcox.test(regionA,regionB)Wilcoxonranksumtestdata:regionAandregionBW=4,p-value=0.02597alterna&vehypothesis:trueloca&onshi�isnotequalto0

n Donnéesappariéesexemple:deséchan?llonsdecrèmeprélevésdans10laiteriessontdivisésendeuxpar?es.L’uneestenvoyéeaulaboratoire1etl’autreaulaboratoire2pourencompterlesbactéries.Résultats(103bact/ml):lab1:11.7,12.1,13.3,15.1,15.9,15.3,11.9,16.2,15.1,13.8lab2:10.9,11.9,13.4,15.4,14.8,14.8,12.3,15.0,14.2,13.2lab1-lab2:0.80.2-0.1-0.31.10.5-0.41.20.90.6

Hypothèsenulle:lesigneseraaléatoirement+ou-(doncavec½quecesoit+ou-)3signesnéga&fs/10=>u&lisa&ondelaloibinomiale

=>Testsimple=testdesigne(sihasard=>autantde+quede-)

1719,021

21

!7!3!10

21

21 7373

310 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Cp

n  TestdeWilcoxonappariéMAISilsepourraitquelesigne+soitenvironunefoissurdeuxmaisquelesdifférencesdansunsenssoientplusfaiblesenvaleurabsoluequelesdifférencesdansl’autresens.

⇒ TestdeWilcoxonapparié

S-=sommedesrangsdesignenéga&f:1+3+4=8S+=sommedesrangsdesigneposi&f=47OnprendlavaleurdeSlapluspe&tepourconstruireunesta&s&queTquel’ontestesurunetableT(oudirectementvaleurdepdonnéeparlelogiciel!).

lab1-lab2:0.80.2-0.1-0.31.10.5-0.41.20.90.6rangs:72139541086

Onrangelesvaleursabsoluesdesdifférencesenordrecroissant:

SORTIER:>lab1=c(11.7,12.1,13.3,15.1,15.9,15.3,11.9,16.2,15.1,13.8)>lab2=c(10.9,11.9,13.4,15.4,14.8,14.8,12.3,15.0,14.2,13.2)>wilcox.test(lab1,lab2,paired=TRUE)Wilcoxonsignedranktestdata:lab1andlab2V=47,p-value=0.04883alterna&vehypothesis:trueloca&onshi�isnotequalto0




ANOVA paramétrique


Régression

Non paramétrique




________

X

Y


n  ANOVAExemple:Unchercheursouhaitetesterl’effetdedifférentesconcentra&onettypedesucresurlacroissance,(mesuréeparlalongueurenmm)depe&tspois.Pourchaquetraitement,lechercheuraprisauhasard10grainesdepe&tspois.Variabledépendante:tailledupe&tspois=>variablequan&ta&veVariableindépendante:laconcentra&onettypedesucre=>variablequalita&veavec5niveauxdetraitements.

control 2% glucose 2% fructose 1%glucose+1%fructose2% sucrose75 57 58 58 6267 58 61 59 6670 60 56 58 6575 59 58 61 6365 62 57 57 6471 60 56 56 6267 60 61 58 6567 57 60 57 6576 59 57 57 6268 61 58 59 67

5groupes

Représenta&ongraphiquedesdonnées:

n  ANOVAHypothèsenulle:iln’yapasd’effetdutraitementsurlacroissancedupoisHypothèsealterna&ve:ilyauneffetdutraitementsurlacroissancedupois

Principe:s’iln’yapasd’effetsdutraitement,alorslavarianceentrelesgroupesestdemêmeordredegrandeurquelavarianceàl’intérieurdesgroupes…

n  ANOVA Sous H0 : pas d’effet des traitements + Tirage aléatoire des 10 graines mises dans chaque traitement au hasard à l’intérieur de la même population de graines => variance entre échantillon = variance intra échantillon

Y Y Y Y Y Y

variancedesmoyennesdeséchan&llons=écartdesmoyennesdechaqueéchan&llonàlamoyennegénérale

varianceintraéchan&llon=écartdesobserva&onsàlamoyennedechaqueéchan&llon

Yi Yi Yi …

Y Yi Yi Yi …

Y Yi Yi Yi …

Y

n  ANOVAOnsaitparailleursquethéoriquementlavariancedesmoyennes=

nY

22 σ

σ =Si l’hypothèse nulle est vraie alors : Variance intra-groupe = Variance inter-groupe * n => Tester si le rapport de ces deux variances = 1 par un test-F

( )211

1 ∑=

=−

−ai

i i YYa

Approcheplusmathéma&que…..

Varianceintra-groupe(variancerésiduelle)=(a=nombredegroupe)(c’estunemoyennedelavarianceintra-groupe)

Varianceinter-groupe=(a=nombredegroupe)

( ) ( )∑∑=

=

=

=−

−

ai

i

nj

j iij YYna 1

2

111

n  Tableaud’ANOVA

Source de la variation

Ddl (df) (degré de liberté)

SS (sum of squares)

MS (mean squares)

F

Inter-groupe : Y -Y

a-1

2

1∑=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ai

ii YiYn

SSinter/a-1

MSinter/MS intra

Intra-groupe : Y-Y ∑

=

=

−ai

iani

1 ( )

2

1 1∑∑=

=

=

=

−ai

i

nj

jiYY

SSintra/

∑=

=

−ai

iani

1

Total : Y-Y

∑=

=

−ai

ini

11

SSinter + SSintra

SStotal/

∑=

=

−ai

ini

11

•  Tableau de sortie de l’ANOVA

Source de variation

Ddl (df) Ecart au carré (SS = sum of squarre)

Variance (MS = mean squarre)

Test

Inter groupe (a-1) = 4 1077.32 269.33 F [4;45] = 49.33

Intra groupe a(n-1) = 45 245.5 5.46

Total (N-1) = 49 1322.82

Nous avons donc notre valeur de test F = 49.33 que l’on peut comparer au valeur seuil de la distribution de F 0.05[4;45] = 2.58 Fob > Fseuil => on rejette l’hypothèse nulle OU le logiciel nous donne une valeur de probabilité associée p < 6.7*10-6

p < 0.05 => on rejette l’hypothèse nulle

SORTIER:summary(AnovaModel.2) DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F)Traitement41077.3269.33049.368 6.737e-16***Residuals45245.55.456---Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1

•  Comparaisons de moyenne post-hoc (après ANOVA)

Dansnotreexemple,l’ANOVAnouspermetdeconclurequ’ilexistedesdifférencessignifica&vesentrelesmoyennesdemestraitementsEtapesuivante:quellessontlesmoyennesquidifférententreelles?Unesolu&on:fairepleindetestdestudentdecomparaisonsdemoyennes….MAISonaugmentenotreerreurdetype1(direquedesdifférencessontsignifica&vesalorsqu’ellesn’ensontpas).Testdecomparaisonmul&pleàpostériori=>demoyennespost-hoc(onverracestestsavecdesapplica&ons)

TestdeTukeyHSD(leplusconserva&f)(celuiu&liséparRpardéfaut)LSD(leastsignificantdifference)(trèspeuconserva&f!)testdeStudentNewmanskeuls(moyennementconserva&f)

SORTIEDER:LinearHypotheses:Es&mate lwr uprfrucetgluc-control==0-12.1000-15.0680-9.1320fructose2-control==0-11.9000-14.8680-8.9320glucose2-control==0-10.8000-13.7680-7.8320sucrose2-control==0-6.0000-8.9680-3.0320fructose2-frucetgluc==00.2000-2.76803.1680glucose2-frucetgluc==01.3000-1.66804.2680sucrose2-frucetgluc==06.10003.13209.0680glucose2-fructose2==01.1000-1.86804.0680sucrose2-fructose2==05.90002.93208.8680sucrose2-glucose2==04.80001.83207.7680>cld(.Pairs)#compactle-erdisplayfrucetglucfructose2glucose2sucrose2control"a""a" "a""b""c"

C

B

A A A

=>Lessta&s&quesconfirmentvosconclusionsvisuelles:

•  Hypothèses sous-jacentes à l’ANOVA

1. Indépendance des observations 2. Normalité des données 3. Homogénéité des variances (des différents

groupes) (homoscédasticité) Vérification visuelle des hypothèses par de graphiques appropriés que nous verrons avec la régression

n  Sinonrespectdeshypothèses=>onessayedetransformerlesdonnéespourqueleshypothèsessoientrespectées

n  OU=>testsnonparamétriques:ANOVAdeKRUSKALL-WALLIS

•  ANOVA DE KRUSKALL-WALLIS

PRINCIPE : tester la différence de mode pour des données transformées en rangs 1.  On transforme les données en rang 2.  On calcule la variance attendue de la somme des rangs sous l’hypothèse nulle

(pas de différences entre groupes) 3.  On obtient la statistique H qui peut être comparée à une distribution de chi-deux

de (a-1) ddl (même si effectif des groupes petit (5))

Sor&edeR:kruskal.test(taille~Traitement,data=ANOVACOUR)

Kruskal-Wallisranksumtestdata:taillebyTraitementKruskal-Wallischi-squared=38.4368,df=4,p-value=9.105e-08***




ANOVA paramétrique


Régression

Non paramétrique




________

X

Y


Etude de la liaison entre deux variables

Une des variable n’est pas distribuée normalement (ou la distribution est inconnue), Le nombre d’observations est très faible, Une des variables est mesurée sur une échelle semi-quantitative (rang)

Les deux variables sont parfaitement quantitatives et distribuées normalement

Corrélation paramétrique

Corrélation non-paramétrique


Pour que les statistiques soient applicables il faut qu’au moins une des variables soit aléatoire

Cas 1: une variable est aléatoire, l’autre contrôlée Exemple: l’intensité de l’assimilation chlorophyllienne (V.A.) en fonction de l’éclairement (V.C.)

Cas 2: les deux variables sont aléatoires Exemple: abondance de la récolte viticole (V.A.) en fonction du nombre de jours d’ensoleillement (V.A.)

Etude de la liaison entre deux variables La corrélation paramétrique de Pearson

Description de la position et de la forme de la distribution conjointe de 2 variables

Paramètre de position: Le point moyen (x, y)

Paramètre de dispersion: Les variance estimées (s²x et s²y), La covariance sxy


La variance estimée de x

s²x = Σ (xi – x)² , v = (n – 1) 1 v

n

i = 1

La variance estimée de y

s²y = Σ (yi – y)² , v = (n – 1) 1 v

n

i = 1

La covariance estimée de x et y

sxy = Σ (xi – x)(yi – y) , v = (n – 1) 1 v

n

i = 1


Tableau récapitulatif: la matrice de variance/covariance

x y

x

y

sxx=s²x

sxy syy

sxy

=s²y

Contrairement à la variance qui ne peut-être que positive, la covariance peut-être positive, négative ou nulle

La covariance nous renseigne sur l’inclinaison du nuage de points, mais elle ne nous donne pas d’idée de l’intensité de la liaison existant entre x et y.


y

x

A

B Les nuages de points A et B montrent la même intensité de liaison mais les covariances sont différentes

Il faut trouver une autre mesure qui nous renseignera sur l’intensité de la relation

Etude de la liaison entre deux variables La corrélation linéaire de Pearson

La covariance mesure la dispersion conjointe des deux variables quantitatives (x et y) autour de leur moyenne

La corrélation linéaire de Pearson mesure la liaison linéaire entre deux variables quantitatives x et y

Le calcul de la corrélation linéaire se fait suivant plusieurs étapes:

1 – transformation de x et y en variables centrées réduites

x’i = xi - x

sx y’i =

yi - y sy

2 – calcul de la covariance entre ces nouvelles variables

sx’y’ = Σ (x’i – x’)(y’i – y’) , v = (n – 1) 1 v

n

i = 1

sx’y’ = Σ (x’i – x’)(y’i – y’) 1 v

n

i = 1


rxy = Σ - 0 - 0 1 v

n

i = 1

yi - y sy

xi - x sx

Moyenne des variables centrées réduites = 0

sysx rxy =

1 v (yi – y) Σ (xi – x)

sxsy

sxy =

(yi – y) Σ (xi – x) =

(yi – y)² √Σ (xi – x)²


• Exemple

On cherche à voir si la tension artérielle Y est corrélée à l’âge X.

y = 13,5 x = 35 ans

Quel est le coefficient de corrélation?

rxy = sxy/sxsy

= 10/256 = 0,03

sx=4,sy=64,sxy=10


Tableau récapitulatif: la matrice de corrélation

x y

x

y

rxx=1

rxy ryy

rxy

=1

Les valeurs de la diagonale sont des « 1 » puisque les variables sont centrées réduites

r = +1 ou r = -1 si les points forment une droite sur le diagramme bivarié

Le signe de r est le même que celui de la covariance et indique le sens de la relation (positive ou négative)


r>0

r<0

r=0

r fort (=1)

r assez fort

r faible


Le test de signification du r de Pearson

On peut montrer que: si les deux variables sont quantitatives si la distribution est bi-normale si les observations sont indépendantes

alors

t = rxy √n - 2

√1 – r²xy

On test l’hypothèse nulle d’absence de corrélation dans la population statistique d’où est tiré l’échantillon

H0: ρxy = 0

n – 2 ddl


La corrélation non-paramétrique On rappelle que le coefficient de corrélation linéaire de Pearson et son test, ne sont pas appropriés dans les circonstances suivantes: • au moins une des variables est semi-quantitative (rangs) • les variables ne sont pas distribuées normalement • le nombre d’observations est faible

Dans ces cas, on utilise un coefficient de corrélation de rangs, souvent testés par permutations

rs ou ρ de Spearman

Consiste en : • remplacer les valeurs numériques par les rangs • calculer la formule de la corrélation de Pearson entre les variables ainsi formées • tester la signification du coefficient en ayant recourt à une table appropriée

Le τ de Kendall Une fois encore, il mesure le degré de liaison entre les deux variables


La corrélation non-paramétrique

Exemple: deux séries de notes dans une classe

Élève A B C D E F G H I J K L Maths 6 4 12 1 10 5 8 2 11 7 3 9 Français391121241058167

Ordonner la première série

Élève D H K B F A J G L E I C Maths 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Français256943110712811

Y a-t-il une corrélation entre les résultats des deux matières?

Calculer la statistique S qui mesure le degré d’ordonnance des objets sur la seconde variable


+1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 S est la somme de

ces valeurs


La corrélation non-paramétrique

τ = 2S

n(n – 1)


S = 28

τ = 0,424

Application sous




ANOVA paramétrique


Régression

Non paramétrique




________

X

Y


Modélisation de la liaison entre deux variables Si la corrélation décrit la relation entre deux variables, la régression linéaire correspond à la fonction du premier degré qui modélise la liaison entre les deux variables

En clair: la dispersion et l’inclinaison du nuage de points relèvent de la corrélation

La droite qui traverse le nuage de point et permet d’estimer les valeurs de y pour chaque valeur de x relève de la régression

Modélisation de la liaison entre deux variables

Calcul du modèle: principe des Moindres Carrés

Y

X

y1

ŷ1

x1

On désire faire passer la droite d’estimation à travers le nuage de points de façon à ce que l’écart (y – ŷ) soit le plus faible possible

Minimiser la somme des carrés des écarts Σ (yi – ŷi)² conduit à une solution minimale unique (ce qui n’est pas le cas pour Σ (yi – ŷi) ou Σ |yi – ŷi |

ε1


ε1 =(yi–ŷi)portelenomderésidupourl’observa&on1

Y

X

y1

ŷ1

x1

ε1 M(x,y)

La droite satisfaisant le critère des moindres carrés ordinaires passe par le centre de masse du nuage de points M(x,y)


Calcul de deux paramètres de la droite de régression: la pente et l’ordonnée à l’origine

Fonction du premier degré y = ax + b, ici, ŷ = ax + b

Ainsipourchaquerésidu(yi–ŷi)=[yi–(axi+b)]DonclasommedescarrésàminimiserestΣ(yi–ŷi)²=Σ[yi–(axi+b)]²n

i = 1

n

i = 1

On trouve le minimum d’une fonction en égalant sa dérivée première à zéro

sy

a = nΣxiyi - ΣxiΣyi

nΣ(xi²) – Σ(xi)² or sxy =

nΣxiyi - ΣxiΣyi

n(n – 1) et s²x =

nΣ(xi²) – Σ(xi)² n(n – 1)

donc a = sxy

s²x

de plus rxy =

sxy

sxsy ainsi a =

rxysxsy

s²x = rxy

sy

sx

et rxy = a sx


Calcul de deux paramètres de la droite de régression: la pente et l’ordonnée à l’origine

Fonction du premier degré y = ax + b, ici, ŷ = ax + b

Ainsipourchaquerésidu(yi–ŷi)=[yi–(axi+b)]DonclasommedescarrésàminimiserestΣ(yi–ŷi)²=Σ[yi–(axi+b)]²n

i = 1

n

i = 1

On trouve le minimum d’une fonction en égalant sa dérivée première à zéro

Pour l’ordonnée à l’origine: b = y – ax On peut calculer l’ordonnée à l’origine à partir de la pente a et du centre de masse (x, y) du nuage de points


Ceci n’est valable que dans le cas d’une relation linéaire entre les deux variables En cas de non linéarité, plusieurs solutions s’offrent à nous: Linéariser la relation

Utiliser la régression polynomiale qui consiste à ajuster à y un polynôme en x d’un degré approprié

ŷ = b0 + b1x + b2x2 + …+ bkxk


Quelques propriétés

La droite d’estimation de y en x n’est pas la même (et n’a pas les mêmes paramètres) que celle de x en y.

L’angle entre les deux droites s’amenuise à mesure qu’augmente la corrélation entre les variables

r = cosα


Quelques propriétés

On peut diviser la variance totale de la variable dépendante y en deux parts: • Une part expliquée par la droite d’estimation • Une part résiduelle

0

y

y- ŷ x

y

x

y SCT Somme des Carrés des écarts Totale

Dispersion totale

SCE Somme des Carrés des écarts Expliquée

Dispersion expliquée par la régression

SCR Somme des Carrés des écarts Résiduelle

Dispersion résiduelle


Le coefficient de détermination

Coeff. de détermination = SCE SCT = r²xy

Le coefficient de détermination mesure la proportion de la variance y expliquée par x

Par l’étude du rapport de la variance expliquée par la régression et de la variance due aux erreurs, on peut également estimer l’intervalle de confiance et tester la signification de la pente de la droite de régression. On peut aussi estimer l’intervalle de confiance de l’ordonnée à l’origine.


En résumé:

Pour bien présenter le résultat de la liaison entre deux variables, il est important de préciser

• La taille de l’échantillon

• La valeur du coefficient de corrélation r

• La significativité du coefficient de corrélation r

• En cas de régression, l’équation de la droite du modèle linéaire

• La valeur du coefficient de détermination r²

• Eventuellement, la significativité de la pente de la droite de régression

sébas&en coue-e stas&ques cm1 m1 se, bgs, vvt, … · test unilatéral et test bilatéral...

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