scomposizione in fattori primi di un polinomio. 2 ripassiamo i prodotti notevolinometiposviluppo...
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SCOMPOSIZIONE SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI IN FATTORI PRIMI
di un di un polinomiopolinomio
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2
Ripassiamo i prodotti notevoliNOMENOME TIPOTIPO SVILUPPOSVILUPPO
Quadrato di un Quadrato di un binomiobinomio
( a + b )( a + b )22aa22 + 2ab + b + 2ab + b2 2
TRINOMIOTRINOMIO
Cubo di un Cubo di un binomiobinomio
( a + b )( a + b )33aa3 3 + 3a+ 3a22b +3abb +3ab22+b+b33
QUADRINOMIO QUADRINOMIO
Somma per Somma per differenzadifferenza
( a + b ) ( a – b )( a + b ) ( a – b )aa22 – b – b22
BINOMIOBINOMIO
( a + b + c )( a + b – c )( a + b + c )( a + b – c )[(a+b)[(a+b)22 – c – c22 ] = a ] = a22 + 2ab + b + 2ab + b2 2 – c – c
QUADRINOMIOQUADRINOMIO
Quadrato di un Quadrato di un trinomiotrinomio
( a + b + c )( a + b + c )22aa22+b+b22+c+c22+2ab+2ac+2bc +2ab+2ac+2bc
POLINOMIOPOLINOMIO
““Senza nome ”Senza nome ”
( a + b ) ( a( a + b ) ( a22 – ab + b – ab + b22 ) )aa33 + b + b33
BINOMIOBINOMIO
( a – b ) ( a( a – b ) ( a22 +ab + b +ab + b22 ) )aa33 – b – b33
BINOMIOBINOMIO
PROSEGUIAMO
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Ripassiamo i prodotti notevoliNOMENOME TIPOTIPO SVILUPPOSVILUPPO
Quadrato di un Quadrato di un binomiobinomio
( a + b )( a + b )22aa22 + 2ab + b + 2ab + b2 2
TRINOMIO TRINOMIO
Cubo di un Cubo di un binomiobinomio
( a + b )( a + b )33aa3 3 + 3a+ 3a22b +3abb +3ab22+b+b33
QUADRINOMIOQUADRINOMIO
Somma per Somma per differenzadifferenza
( a + b ) ( a – b )( a + b ) ( a – b )aa22 – b – b22
BINOMIOBINOMIO
( a + b + c )( a + b – c )( a + b + c )( a + b – c )[(a+b)[(a+b)22 – c – c22 ] = a ] = a22 + 2ab + b + 2ab + b2 2 – c – c
QUADRINOMIOQUADRINOMIO
Quadrato di un Quadrato di un trinomiotrinomio
( a + b + c )( a + b + c )22aa22+b+b22+c+c22+2ab+2ac+2bc +2ab+2ac+2bc
POLINOMIOPOLINOMIO
““Senza nome ”Senza nome ”
( a + b ) ( a( a + b ) ( a22 – ab + b – ab + b22 ) )aa33 + b + b33
BINOMIOBINOMIO
( a – b ) ( a( a – b ) ( a22 +ab + b +ab + b22 ) )aa33 – b – b33
BINOMIOBINOMIO
RITORNIAMO ALLA DIAPOSITIVA N. 8
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Come faccio a scomporre in fattori
primi?
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5
Vedo se c’è da raccogliere un Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il:monomi, cioè faccio il:
RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALE
PRIMA DI TUTTO…
Altrimenti…RIASSUMENDO
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Vedo se c’è da raccogliere un Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il:monomi, cioè faccio il:
RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALE
PRIMA DI TUTTO…
Altrimenti…RIASSUMENDO
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7
Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevoleprodotto notevole
• BINOMIO
• TRINOMIO
• QUADRINOMIO
• POLINOMIO
ALTRIMENTI
OPPURERIASSUMENDO
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Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevoleprodotto notevole
• BINOMIO
• TRINOMIO
• QUADRINOMIO
• POLINOMIO
ALTRIMENTI
OPPURERIASSUMENDO
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9
faccio il faccio il raccoglimento parziale.raccoglimento parziale.
OPPURE
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faccio il faccio il raccoglimento parziale.raccoglimento parziale.
OPPURE
RIASSUMENDO
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BINOMIOBINOMIO
Raccoglimento totaleRaccoglimento totale
Differenza di due quadratiDifferenza di due quadrati ( a( a2 2 – b– b22 ) = ( a – b )( a + b ) ) = ( a – b )( a + b )
Somma di due quadratiSomma di due quadrati NON SI PUO’ SCOMPORRENON SI PUO’ SCOMPORRE
Somma di due cubiSomma di due cubi aa3 3 –– b b33 = ( a – b )( a = ( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )
Differenza di due cubiDifferenza di due cubi aa3 3 –– b b33 = ( a – b )( a = ( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )
TRINOMIOTRINOMIO
Raccoglimento totaleRaccoglimento totale aa22 + 2ab + b + 2ab + b22 = ( a + b ) = ( a + b ) 22
Quadrato di un binomioQuadrato di un binomio aa22 + 2ab + b + 2ab + b22 = ( a + b ) = ( a + b ) 22
Trinomio notevoleTrinomio notevolexx22 + sx + p = (x + a )(x + b ) + sx + p = (x + a )(x + b )
Se s = a + b e p = abSe s = a + b e p = ab
RuffiniRuffini
QUADRINOMIOQUADRINOMIO
Raccoglimento totaleRaccoglimento totale
Cubo di un binomioCubo di un binomio aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 = ( a + b )= ( a + b )33
Raccoglimento parzialeRaccoglimento parziale
Differenza di due quadrati ( di cui unDifferenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio)o è il quadrato di un binomio)
aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =
[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]
Ruffini Ruffini
POLINOMIOPOLINOMIO
Raccoglimento totaleRaccoglimento totale
Raccoglimento parzialeRaccoglimento parziale
Quadrato di un trinomioQuadrato di un trinomio aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc = ( a + b + c )= ( a + b + c )22
RuffiniRuffini
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RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo l’ M.C.D. dei monomi
3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==
aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + a+ a22bb5 5 ))
RIASSUMENDO
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RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo l’ M.C.D. dei monomi
3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==
aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + 4a+ 4a22bb5 5 ))
RIASSUMENDO
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RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x = – x =
5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) = =
( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + 2x )+ 2x )
RIASSUMENDO
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RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x = – x =
5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) = =
( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + 2x )+ 2x )
RIASSUMENDO
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BINOMIO
• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( a( a2 2 – b– b22 ) = ) =
( a – b )( a + b )( a – b )( a + b )
DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI
aa3 3 –– b b33 = =
( a – b )( a( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )
SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI
aa3 3 + + b b33 = =
( a + b )( a( a + b )( a2 2 –– ab+ bab+ b22 ) )
ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)
ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)
Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO
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BINOMIO
• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( a( a2 2 – b– b22 ) = ) =
( a – b )( a + b )( a – b )( a + b )
DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI
aa3 3 –– b b33 = =
( a – b )( a( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )
SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI
aa3 3 + + b b33 = =
( a + b )( a( a + b )( a2 2 –– ab+ bab+ b22 ) )
ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)
ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!)
Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO
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TRINOMIO
• QUADRATO DI UN BINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da:(è un trinomio formato da:
due quadratidue quadrati e dal e dal doppio prodottodoppio prodotto delle basi) delle basi)
16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = =
(4a(4a22 - b) - b)22
TRINOMIO NOTEVOLETRINOMIO NOTEVOLE( deve essere ( deve essere sempresempre del tipo : x del tipo : x2 2 + + ssx + x + pp
con con ss = a + b e = a + b e pp = ab ) = ab )
xx2 2 - - 99x – x – 3636 = =
( x – 12 ) ( x + 3 )( x – 12 ) ( x + 3 )Ritorna ai prodotti notevoli
RIASSUMENDO
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TRINOMIO
• QUADRATO DI UN BINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da:(è un trinomio formato da:
due quadratidue quadrati e dal e dal doppio prodottodoppio prodotto delle basi) delle basi)
16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = =
(4a(4a22 - b) - b)22
TRINOMIO NOTEVOLETRINOMIO NOTEVOLE( deve essere ( deve essere sempresempre del tipo : x del tipo : x2 2 + + ssx + x + pp
con con ss = a + b e = a + b e pp = ab ) = ab )
xx2 2 - - 99x – x – 3636 = =
( x – 12 ) ( x + 3 )( x – 12 ) ( x + 3 )Ritorna ai prodotti notevoli
RIASSUMENDO
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20
QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO
(ci sono(ci sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di ognuna delle due basidi ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)per il quadrato dell’altra)
aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 ==
( a + b )( a + b )33
DIFFERENZA DI DUE QUADRATI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( ( di cui uno è ildi cui uno è il quadrato di un binomioquadrato di un binomio))
aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =
(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =
[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]Ritorna ai prodotti notevoli
RIASSUMENDO
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21
QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO
(ci sono(ci sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di ognuna delle due basidi ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)per il quadrato dell’altra)
aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 ==
( a + b )( a + b )33
DIFFERENZA DI DUE QUADRATI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( ( di cui uno è ildi cui uno è il quadrato di un binomioquadrato di un binomio))
aa2 2 + b+ b2 2 - 2ab- 2ab – x – x22 = =
(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =
[ [ (a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x ] – x ]Ritorna ai prodotti notevoli
RIASSUMENDO
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22
POLINOMIO
QUADRATO DI TRINOMIOQUADRATO DI TRINOMIO
((tre quadratitre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) di ciascuna delle basi per le altre)
aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc ==
( a + b + c )( a + b + c )22
Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: precedenti, allora si può provare ad usare la:
REGOLA DI RUFFINI
Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO
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23
POLINOMIO
QUADRATO DI TRINOMIOQUADRATO DI TRINOMIO
((tre quadratitre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) di ciascuna delle basi per le altre)
aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc ==
( a + b + c )( a + b + c )22
Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: precedenti, allora si può provare ad usare la:
REGOLA DI RUFFINI
Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO
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24
REGOLA DI RUFFINI
x5 – 10x – 12 =
1 0 0 0 -10 -12
2 2 4 8 16 12
1 2 4 8 6 0= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )
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25
M.C.D. fra polinomi
L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito SOLOSOLO dai fattori dai fattori COMUNICOMUNI, presi una sola , presi una sola volta con il minimo esponentevolta con il minimo esponente
Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i monomi che compongono il polinomio e monomi che compongono il polinomio e poi calcolare l’ M.C.D. poi calcolare l’ M.C.D.
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