Kleine Mitteilungen 359

IT

whcrc k' is the complementary modulus. In what follows there will be derived series for E / K in which k' is not involved and an alternate formula that brings about faster convergence for K.

We first note that JncOBIan elliptic functions sn, cn, dn, etc. can be represented by FOURIER series such as,

I

Now, from such relationship as

and

J dn2 5 d[ = E(u) , (6)

where E(u) is the elliptic integral of the second kind, one obtains

U

0

E 2n2 - n qn n n u dn2u = - + __ 2 ~ cos __ ( 7 ) K K2 n = l 1 - q z n K By squaring (4) and arranging the result to the form given in (7), one can show that

On the other hand, from

one obtains in the like manner

Finally, from (8) and (1 l), there results

It can be seen that in both (8) and (11) k' is not involved and that (12) converges faster than ( 2 ) for q < 1.

References

1 M. ABRAHOWITZ and I. A. STEQUN, Handbook of Mathematical Functions, Applied Mathematics Series No. 55, Washington, D. C. March 1965, National Bureau of Standards.

Anschrijt: IRVING C . TANG, Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo, Oslo 3, Norway

A. CFLONHOLM

Schwindspannungen in der Umgebung einer Arbeitsfuge in einer Betonplatte

Einle i tung Wenn in einer Betonkonstruktion eine Arbeitsfuge

angeordnet wird, entsteht zwischen den Schwindvor- ggngen in den beiden Teilen eine Phasenverschiebung,

melche in der Umgebung der Fuge Spannungen her- vorruft. In diesem Aufsatz sol1 der EinfluB einer Arbeitsfuge quer durch einen unendlich langen Plat- tenstreifen unter der vereinfachten Annahme berech- net werden, daB das (unbehinderte) Schwinden sich als eine relative Verkurzung 6 bei konstantem Elasti- zititsmodul E beschreiben 1aBt.

Allgemeiner Berechnungsgang

Dieser ist in Bild 1 veranschaulicht:

(1) (4 + ( b ) + (4 = (f) 5

I H

7FQ

b

C

f

Bild 1. Prinaip des Berechnungsganges

wo (a) = ein gedachter Zustand ist, bei dem die Fuge wahrend des Schwindens offen bleibt; ( b ) = eine ge- dachte Belastung q = E E bei gesohlossener Fuge; (c) = Entfernung von q durch Belastung mit - q ; (f) = Endzustand. Wird schlieBlich (c) in (d ) + ( e ) aufgeteilt, so verbleibt ( e ) als der einzige nichttriviale Belastungsfall. Dies ist ein Scheibenproblem, zwar nicht schwierig, jedoch in der dem Verfasser bekannten Literatur nicht behandelt.

Das Scheibenproblem Gesucht wird die AmY'sche Spannungsfunktion F ,

die eine Losung der Bipotentialgleichung

( 2 ) V' F(x , Y) = 0

Y -P, + ,P

t 1 b t t t + i i t i b i P i ? t't t t t t t t t t t t t t t

h I

i -

Bild 2. Das Scheibenproblem

360 Kleine Mitteilungen

ist mit den Randbedingungen (vgl. Rild 2)

(3a) y = f h, z > 0: uV = p , tZV = 0 , (3b) y = f h, T < 0: UV = - p , ~ $ 1 , = 0 .

Bekanntlich ist a2F a2F 82F

( 4 ) n, = ~ &y, u?I= ax2, tx1/ = -- ar ay *

-41s Losungsansatz wird gewahlt :

( A cosh ay -1 a y B sinh ay) sin ax da . 0

Mieiter kann p als folgendes Integral werden :

m

denn

ausgedruckt

> 0

(siehe z. B. [l]). ( 5 ) und (4) ergeben

(7a) uz = J [ ( A -1 2 B ) cosh ay + a y B sinh ay] x m

0 x sin az da ,

m (7b) ~y = - J [ A cosh ay + a y B sinh ay] sin az da,

( 7 c ) t z r = - J [ ( A + B ) s i n h a y + a y B c o s h a y ] x

x cos ax da . Nnch kiirzer Rechnung erhLlt man aus (7), (6) und (3)

(8a) A = - -

0 m

0

4 p sinh a h + a h cosh ah 1 n sinh2a h + 2 a h -T7

1 (8b) B = 9 , sinha - x sinh 2ah + 2 a h ’ a ’

womit das Problem grundsatzlich gelost ist. Nachfol- gend sollen zwei Methoden gezeigt werden, die in diesem und in iihnlichen Fiillen fur die numerische Auswertung gewisser uneigentlicher Integrale geeig- net sind.

E r s t e I n t e g r a t i o n s m e t h o d e : N u m e r i s c h e I n - t e g r a t i o n mi t K o n v e r g e n z v e r b e s s e r UI n g

Als Beispiel wird die Berechnung von uu in z = 0, y = 0 gewiihlt:

m

sinh ah + a h eosh a7~ sinh 2 n h + 2 a h

sin ax (9) q/ = - .- aa =

n n

m = 4: 1 sinh 6 + E cosh E sin t E

sinii 25 + 2 t ‘7 “6 =

0 m

Fur groBe E ist

was AnlaD gibt,

zu schreiben. Die Rechnung ergibt - 4 6 2 - 3 5 - 1 + ( E + 1) e-zt BintE

(12) ” = 2 eb (sinh 26 + 2 6) -7. Man sieht, daD lgll etwa e2t-ma1 schneller als jg( gegen Null konvergiert. Der Vorgang kann unbe- grenzt oft wiederholt werden, wobei jedesmal cine e2t-malige Konvergenzverbesserung erreicht wird. Die Restglieder lassen sieh von 0 bis 00 explizit inte- grieren; z. B. wird nach zwei Entwicklungen

co t (13) I = g,(E) dE + arctan t + - -

1 + t 2

0 t t 6 t

- arctan - - 3 -- 3 9 - t - t 2 4(9$9 mit,

W

Naturlich mu13 immer noch J g 2 ( E ) d t numerisch aus-

gewertet werden, aber die Rechenarbeit ist wesent- lich verkleinert infolge der schnellen Konvergenz von

0

9 2 ( 0

Z w ei t e I n t e g r a t i o n s m e t h o d e : K o m p l e x e I n - t e g r a t i o n (siehe z. 13. LS])

Manehe Scheiben- und Plattenprobleme fuhren zu iihnlichen Integralen, die mit Vorteil in dieser Weise berechnet werden konnen. Gewisse hier gewonnene Formeln und Zahlenwerte mogen dabei von Nutzen sein. I)

(15)

sind die Wurzeln zo = 0, zl, zz, . . . der Gleichnng

(16) Mit

(17) z, = a, + i b, = Q, eZP-9, werden a, und b , aus den folgenden Gleichungen bc- stimmt:

cos 2b, sinh 2a, + 2 a, = 0 , sin 2b, cosh 2a, + 2 b, = 0 .

Angenlhert ist die Lage der Wurzeln in Bild 3 dar- gestellt; man sieht, daD in der oberen Halbebene for grol3e n

(19) a, -- gilt, und da13 die Wiirzeln sich inuner mehr der Kurve

b = - cosh 2a

Die Pole der Funktion sinh z + z cosh z e i t z .-

’(’) = sinh 22 + 2 z z

sinh 22 + 2 z = 0 .

(n = 1, 2, . . .)

(18) {

4 n - 1 4 arcosh (v-) n , b , - ~ n

2

1 2

I) Es mu0 hier gewarnt werden vor den Formeln S. 16 in dem Aufsatz [21, auf den in der Literatur of t verwiesen wird, da dort ein wobei a h = 5 und z = t h gesetzt worden ist. ernster Fehler vorkommt.

Kleine Mitteilungen 361

1 2 3 4 5

b firnaginare Achse) 4

1,13529 2,10932 2,39543 1,07704 1,63830 2,02286 1,48664 2,20464 1,55351 5,35665 5,57738 1,28853 2,39563 5,31425 2,33677 5,40013 1,77635 8,53681 8,71966 1,36564 2,97252 2,22574 2,93805 2,28182 1,92984 11,69923 11,85733 1,40731 I 3,45691 5,39533 3,43329 5,43691 2,04713 14,85409 14,99449 1,43384 1 3,88214 2,27125 3,86452 2,30427

\ / \ I / ‘+’

----__lL L - a 1 7 2 (reelle Achse)

Bild 3. Lage der Pole in der Zahlenebene

nahern. Die funf ersten Wurzeln (elektronisch be- rechnet) sind in Tabelle I angegeben. Mit z , ist (wie am Bild 3 hervorgeht) auch

Z, = - a, + i b, = - en e-iqn

ein Pol. Die Summe der Residuen in je zwei solchen Ponkten wird zu

rn = r (zn) + 4%) zusammengefaBt, und die bekannten Regeln des Residuenkalkiils ergeben nach einigen Zwischen- rechnungen

I n Tabelle I sind die Zahlenwerte von S,, C,, . . . fur n = 1 bis 5 angegeben 2). Der gewithlte Integra- tionsweg ist in Bild 4 dargestellt. Das Integral uber den Streckenzug DEFA verschwindet mit n --2. 00.

Weiter ist xn

sy

Bild 4. Der Integrationsweg

und mit Hilfe des Residuensatzes wird also

m sinh x + x cosh z eitx 1 sinh2x + 2 2 z 2 . - - d x - - T - n i + 2 n i 2 Tn 2

n = l - m

woraus, nach Trennung der reellen und imaginkren Teile,

m 00 sinh x + x cosh z sin tx R .- dx = -+ 7c 2 r,

4 n=l sinh2x + 2 2 x 0

folgt. Kach (9), (20) und (22) ist also schlieolich

wodnrch by als Summe einer unendlichen Reihe aus- gedriickt ist.

Verg le ich z w i s c h e n d e n b e i d e n M e t h o d e n

Die Berechnung des Integrals (9) nach dem zweiten Verfahren wird um 80 schwieriger, je kleiner t ist. Bei der ersten Methode ist es gerade umgekehrt; man soil darum fur kleine d die erste, fur groBere t aber die zweite Methode anwenden. Wenn die Werte von z,, S, usw. zugiinglich sind, diirfte die Grenze etwa bei t = 0,5 liegen.

A n w e n d u n g d e r m a t h e m a t i s c h e n E r g e b n i s s c auf d i e u r s p r i i n g l i c h e Aufgi lbe

GemiiB der skizzierten Richtlinien sind folgende Spannungen berechnet worden:

q, entlang y = 0 , oy entlang y = 0,5 h , zzr entlang x = 0 .

362 Kleine Mitteilungen

Tabel le 2 au/cE entlang y = 0 und y = 0,5 h

0 1 0,5000 0,4088 0,5 0,5000 0,3687

0 3 I 033

0,3222 0,2438 0,2544 0,1673

Y= lJ=O

0,1762 0,1047

j-/ - 0.3

-0L

-0.5

und ?/ = 0,5 h Uild 5. ug/&E entlang ?/ = 0 Bild 6. t,,/e&cntlang r - 0

Tabel le 3 zzU/eE entlang x = 0

-0,0231 -0,0249 -0,0226 -0,0191 -0,0153 O I l i ! I ,

I y/h I 0 1 0,25 I 0,50 1 0,75 I 1,0

sowie die totale Schubkraft Q in x = 0 von y = 0 bis y = h berechnet :

(24) Zy=0 = 0,1651 hd E E , Z2/=h/2 = 0,1242 hd EE , QZ=O = 0,1407 hd F E ,

wo d die Plattendicke bedeutet. Die Schubspannung in x = 0, y = h ist E Efn, wie

aus Tabelle 111 hervorgeht. GemaB der Randbedin- gungen (3) sollte sie aber Null sein. Es handelt sich hier um eine Singularitat von einer Art, die in Plat- ten- und Scheibenproblemen oft vorkommt. Ein einfaches und wohlbekanntes Beispiel ist die mit einer abgebrochenen Streckenlast belastete Halbscheibe, bei der die Schubspannung auf der Berandung eben- falls von Null verschieden ist (sie ist in der Tat gleich p/n) gerade, wo die Last endet (siehe z. B. [4], S. 445). Die Randbedingung ist also in eineni einzigen Punkt nicht erfullt, ein Phanomen, das von mathemati- schem Interesse sein kann, aber keine praktische Bedentung hat.

SchluRbemerkung

Es sei noch einmal betont, daR das Resultat (24) nur unter sehr vereinfachten Voraussetzungen gultig ist. Die wirklichen. Vorgange konnen unter Umstiin- den betrachtliche Anderungen des Spannungszustan- des veranlassen, wie z. B. die sehr ausfuhrlichen Dar- legungen in [5 ] lehren.

L i t e r a t u r v e r z e i c hn i s 1 RYSHIK und GRAD8TEIN: Tafeln Z a J , Ucutseher Verl. d. Wis-

sensch., Berlin 1957. 2 P a . SEIWALD, Die Spannungen und Pormanderungen vou Balken

mit rechteckigem Querschnitt, Abh. a. d. Aerodyn. Inst. a. d. Techn. Hochschule Aachen, H. 7, 1927.

3 F. B . HILDEBRAND, Advanced Calculus for Engineers, New York 1955, Prentice-Hall, Inc.

4 Beton-Kalender 1983, Berlin-Yiinchen 1963, Wilh. Ernst & Sohn. 5 B. L~FQUIST, Temperatureffekter i hirdnande betong (Ternpera-

tureffekte in erhsrtendem Beton), Tckniska meddelanden frail Kungl. Vattenfallsstyrelsen, Serie l3 nr 22, Stockholm 1946.

Anschrift: Civ. Ing. A. Cronholm, Kjessler & Man- nerstrhle AB, Vartavagen 73, Stockholm, Schweden

F. WEIDENHAMMER

Auswanderungserscheinungen unter Zufallserregungen

1. Die Frages te l lung

Die Anzeige von schwingungsfahigen MeDwerken (Schwingweggebern, ZeigermeBwerken u. a.) kann durch heftige mechanische Erschutterungen verfalscht werden. Diese unerwunschten Abweichungen der An- zeigen von ihren statischen Sollwerten bezeichnet man als Auswanderungsfehler. Derartige Fehler sind ein- gehend fur periodische Erschutterungen untersucht worden, und es sind auch einige Ergebnisse fur sta- tioniire Zufallserschiitterungen bekannt [ ll. Die Rechnungen sind jedoch nur fur einige wenige ver- schiedene Zufallserregungen ausgefiihrt worden und hatten fur Erregung durch GAussisches weiBes Rau- schen ein unerwartetes Ergebnis. Es ergab sich nam- lich fur diese Erregerart, die man gemeinhin als die gefahrlichste ansieht, keine Auswanderung, wahrend sich 2. B. fur abbrechendes weiRes Rauschen durchaus eine solche berechnen lieD. In Anbetracht der Pro- blematik der verwendeten verschiedenartigeii Na- herungsmethoden ist eine Bestatigung der Ergebnisse mit einheitlicher Methode erwunscht. Irn folgenden sollen daher die Auswanderungen fur Erregung durch weil3es Rauschen und gefiltertes weiDes Rauschen uber die FOKKER-PLANCK-Gleichung auf gleichem Wege streng berechnet werden. Hierbei wird sich die Ausnahmestellung der Erregung durch GAussisches Rauschen streng ergeben.

2. E i n Beispiel

Zur Messung von vertikalen Schwingwegen ver- wendet man hliufig Horizontalpendel. Fur die Aus- wertung der Anzeige derartiger Gerate hat man die Drehschwingungsgleichung [ 11

+ + 2 D, o p (iJ + w$(p - pp) + 0; cosp = - 6 cospl