sarcevi - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/maths/saginashvili/... · 3.3...

sarCevi

Tavi 1 namdvili ricxvebi. 7

1.1 ricxviTi simravleebi. 7

1.2 iracionaluri ricxvebi. namdvil ricxvTa simravle. 16

1.3 n-uri xarisxis ariTmetikuli fesvi da misi Tvisebebi. 23

1.4 fesvis Semcvel gamosaxulebaTa martivi gardaqmnebi. 31

1.5 gamosaxulebaTa gamartiveba. 37

pirveli Tavis mimoxilva. 41

Tavi 2 kvadratuli samwevri. 46

2.1 kvadratuli gantoleba. 46

2.2 kvadratuli gantolebis fesvTa formulebi. 52

2.3 kvadratuli gantolebis fesvebis sxva formulebi. 58

2.4 gantolebebi, romelebic kvadratulze daiyvaneba. 64

2.5 amocanebis amoxsna kvadratuli gantolebis gamoyenebiT. 68

2.6 damokidebuleba kvadratuli gantolebis fesvebsa da

koeficientebs Soris. vietis Teorema. 73

2.7 kvadratuli samwevris mamravlebad daSla. 79

2.8 racionaluri gantolebebi. 83

2.9 amocanebis amoxsna racionaluri gantolebis gamoyenebiT. 87

meore Tavis mimoxilva. 91

Tavi 3 funqcia. funqciis mocemis xerxebi. 97

3.1 ricxviTi funqcia. 97

3.2 funqciebi da maTi Tvisebebi. 105

3.3 kvadratuli funqcia da misi grafiki. 114

3.4 kvadratuli funqciis gamokvleva grafikis gamoyenebiT. 124

3.5 kvadratuli utolobis amoxsna. 132

3.6 utolobis amoxsna intervalTa meTodiT. 138

3.7 orcvladiani wrfivi utoloba da misi grafikuli amoxsna. 144

3.8 wrfiv utolobaTa sistema da misi amoxsna. 148

mesame Tavis mimoxilva. 153

Tavi 4 msgavsebis gardaqmnebi. 160

4.1 msgavsi mravalkuTxedebi. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi. 160

4.2 metruli Tanafardobani marTkuTxa samkuTxedis elementebs Soris. 169

4.3 msgavsi mravalkuTxedebis perimetrebisa da farTobebis Sefardeba. 174

4.4 samkuTxedis biseqtrisis Tviseba. 179

4.5 zogierTi kuTxis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobebi. 182

4.6 marTkuTxa samkuTxedis amoxsna. 186

meoTxe Tavis mimoxilva. 190

�

Tavi 5 orucnobian gantolebaTa sistemebi. 195

5.1 orucnobiani ori gantolebis sistemis grafikuli amoxsna. 195

5.2 orucnobian gantolebaTa sistemebi, romelnic Seicaven erT

wrfiv da erT kvadratul gantolebas. 200

5.3 amocanebis amoxsna arawrfiv gantolebaTa sistemis gamoyenebiT. 205

mexuTe Tavis mimoxilva. 209

Tavi 6 wre da misi nawilebi. 213

6.1 wrewirTan dakavSirebuli kuTxeebi da maTi gazomva. 213

6.2 proporciuli monakveTebi wreSi. 220

6.3 samkuTxedze Semoxazuli da samkuTxedSi Caxazuli wrewirebi. 223

6.4 wesier mravalkuTxedze Semoxazuli da Caxazuli wrewirebi. 228

6.5 wesieri mravalkuTxedis farTobi. 233

6.6 wrewiris sigrZe, rkalis sigrZe. 237

6.7 wrisa da misi nawilebis farTobi. 241

6.8 wertilTa geometriuli adgili. 245

6.9 kuTxis radianuli zoma. kavSiri kuTxis gradusul da radianul zomebs Soris. 248

6.10 ricxviTi argumentis trigonometriuli funqciebi. 251

meeqvse Tavis mimoxilva. 255

Tavi 7 mimdevroba. ariTmetikuli da geometriuli progresiebi. 260

7.1 ricxviTi mimdevrobebi. 260

7.2 ariTmetikuli progresia. 265

7.3 ariTmetikuli progresiis n-uri wevris formula. 270

7.4 ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis gamosaTvleli formula. 274

7.5 geometriuli progresia. zogadi wevris formula. 279

7.6 geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis gamosaTvleli formulebi. 286

meSvide Tavis mimoxilva. 290

Tavi 8 monacemTa statistikuri analizi. albaToba. 297

8.1 monacemTa mowesrigeba da warmodgena. 297

8.2 monacemTa ricxviTi maxasiaTeblebi. 304

8.3 fardobiTi sixSire da albaToba. 311

8.4 moqmedebebi xdomilobebze, albaTobis gamosaTvleli formulebi. 316

merve Tavis mimoxilva. 323

Tavi 9 veqtorebi. 327

9.1 veqtori.veqtoruli sidideebi. 327

9.2 wrfivi operaciebi veqtorebze. 330

9.3 wertilis koordinatebi sivrceSi. 334

mecxre Tavis mimoxilva. 338 �

3.3kvadratulifunqciadamisigrafiki

mizani:1.davadginoTkvadratulifunqciismaxasiaTeblebi;

2.kvadratulifunqciismaxasiaTeblebzedayrdnobiTavagoT

funqciisgrafiki.

namdvil ricxvTa simravleze ( ) 2f x ax bx c= + + formuliT mocemul

funqcias,sadac 0,a b≠ da c winaswarmocemuliricxvebia,kvadratuli

funqciaewodeba.

ganvixiloTyvelazemartiviSemTxveva:2.y x= davadginoTamfunqciis

TvisebebidaavagoTgrafiki.

1.funqciagansazRvruliax –isnebismierimniSvnelobisaTvis.funqciis

mniSvnelobebi arauaryofiTia. is nuli xdeba, roca 0x = (e.i.funqciis

grafiki gadis koordinatTa saTaveze.) da dadebiTia yvela danarCen

SemTxvevaSi.

2. 2( )y f x x= = funqcia luwia: ( )2 2( ) ( )f x x x f x− = − = = , e.i. funqciis

grafikisimetriuliaordinatTaRerZismimarT,amitomsakmarisiaavagoT

misinawili 0x ≥ -Tvis,SemdegkiavagoTmisisimetriuliwiriordinat-

TaRerZismimarT.

�. funqcia zrdadia [ )0; +∞ Sualedze. marTlac, nebismieri 1x da 2x -

Tvis,Tu1 20 x x≤ < gvaqvs,rom

2 21 2x x< ,anu 1 2y y< danebismieri 1x da 2x

-Tvis,Tu1 2 0x x< ≤ gvaqvs,rom

2 21 2x x> ,anu 1 2y y> .e.i.( ]; 0−∞ SualedSi

funqciaklebadia.

maSasadame,gvaqvsmonotonurobisoriintervali:klebadobis( ]; 0−∞dazrdadobis[ )0; +∞ .

funqciisminimumiswertilia 0x = .amwertilSifunqciaTavisumcires

mniSvnelobas(0-s)Rebulobs.

1)2y x= funqciisgrafiki

avagoT 2y x= funqciisgrafiki.

x x2

0 0

1 1

-1 1

1,5 2,25

-1,5 2,25

2 4

-2 4

� 9

-� 9

Y

2y x=

1

1O X

4

9

-3 3•-1,5 •1,5

••

• •

••

• •

114 Tavi 3 • funqcia. funqciis mocemis xerxebi

2y x= funqciis grafiki warmoadgens ordinatTa RerZis mimarT

simetriulwirs,romelsacparabolaewodeba.

wertils,romelSicparabolasimetriisRerZsgadakveTs,parabolis

wveroewodeba.

2y x= paraboliswverokoordinatTasaTaveSi,anu (0; 0)O wertilSia.

2) 2y ax= funqciisgrafiki,roca 0a >

erTsadaimavesakoordinatosibrtyezeavagoT2y x= , 22y x= da 21

2y x=

agebuli grafikebidan Cans, rom2y ax= funqciis grafikic parabolaa,

romelic 2y x= funqciis grafikTan SedarebiT ufro metad ,,farToa”,

,,gaSlilia” 1a < -Tvisda,,SekumSulia”,,,viwroa” 1a > -Tvis.

rac ufro mcirea a koeficienti, miT ufro ganzea2y ax= funqciis

grafikisStoebiordinatTaRerZisagan.

maSasadame, 2y ax= funqciis grafiki SeiZleba miviRoT 2y x= funqciis

grafikis a -�er,,gaWimviT”,Tu 1a < da a -�er,,SekumSviT”,Tu 1a > .2y ax= funqciasgaaCniazemoTganxiluli 2y x= funqciisTvisebebi.

3)2y ax= funqciisgrafiki,roca 0a <

erTsadaimavesakoordinatosibrtyezeavagoT 2y x= ,22y x= ,

212

y x= , 2 ,y x= − 22y x= − da 212

y x= − funqciebisgrafikebi.

x 2x2

0 0 0

1 2 0,5

-1 2 0,5

2 8 2

-2 8 2

12

x2

2y x=

212

y x=

22=

Y

2 X0

y x

4

Tavi 3 • funqcia. funqciis mocemis xerxebi 115

grafikebidankargadCans,romparabolisStoebismimarTulebas a koe-

ficientis niSani gansazRvravs: roca 0a > , StoebizemoTaa mimarTuli,

xoloroca 0a < _qvemoT.racmetiaa -sabsoluturisidide,miTmetad

axlosaaStoebierTmaneTTan.

Tu2y ax= da 2y ax= − funqciebisgrafikebiserTidaimaveabscisebis

mqonewertilebisordinatebsSevadarebT,vnaxavT,rommaTsapirispiro

niSnebi datoli absoluturi mniSvnelobebi aqvT. Sesabamisad, 2y ax= −

funqciisparabolacsimetriuliaordinatTaRerZismimarT.

SegviZliaCamovayaliboTdaskvna:

( )2 , 0y ax a= ≠ funqciisgrafikiwarmoadgensparabolas,romliswvero

sakoordinato sibrtyis saTaveSia. misi simetriis RerZi ordinatTa

RerZia. 0a > SemTxvevaSi parabolis Stoebi mimarTulia zeviT, xolo

0a < SemTxvevaSi_qveviT.

maSasadame, 2y ax= funqciisTvisebebia:

1)funqciagansazRvrulia x -isnebismierimniSvnelobisaTvis.

2)funqciismniSvnelobaTasimravlea[ )0; +∞ Sualedi,roca 0a > da

( ]; 0−∞ Sualedi,roca 0a < .

�)funqcia luwia. ( )2 2a x ax− = . amitom grafiki ordinatTa RerZis

mimarTsimetriulia.

x 2x2

0 0 0

1 2 0,5

-1 2 0,5

2 8 2

-2 8 2

12

x2

2y x=

212

=

22y x=

Y

2 X

22x= − 2y x= −

y x

y x2

= − 21

y


4) 0x = -Tvisfunqcia nulistolmniSvnelobasRebulobs.roca 0a > ,

funqciaRebulobsumciresmniSvnelobas,xoloroca 0a < _udidess.

paraboliswvero(0;0)wertilSia.

5)Tu 0a > funqcia zrdadia [ )0; +∞ SualedSi da klebadia ( ]; 0−∞

SualedSi.

6)Tu 0a < funqcia klebadia [ )0; +∞ SualedSi da zrdadia ( ]; 0−∞

SualedSi.

4) 2y ax c= + funqciisgrafiki

2y ax c= + funqciisgrafikisasagebadganvixiloT2y ax= funqcia.yoveli

x -Tvis 2y ax c= + funqciismniSvnelobamiiReba 2y ax= funqciisSesabamisi

mniSvnelobisTviserTidaimave c ricxvisdamatebiT.geometriulades

niSnavs,rom2y ax c= + funqciisgrafikisyoveliwertilimiiReba 2y ax=

funqciisgrafikisSesabamisiwertilisordinatTaRerZisparaleluradc

erTeuliTzeviTanqveviTgadataniT.mimarTulebac -sniSanzeadamokide-

buli:Tu 0c > ,maSingadatanaxdebaordinatTaRerZisdadebiTimimarTule-

biT(qvevidanzeviT),xoloTu 0c < ,maSin_sapirispirod(zevidanqveviT).2y ax c= + parabolissimetriisRerZia OY,xolowveroskoordinatebi_

0, .x y c= =

2y x=

Y

2 X

4

2y x= −

2 2y x= +

2−

2

y = -x2 -2


5)y = (x + m)2 funqciisgrafiki

erTi da imave sakoordinato sibrtyeze avagoT 2y x= , 2( 3)y x= + ,2( 3)y x= − funqciebisgrafikebi.

cxrilebisSedgenisadagrafikebisagebisSemdegvxedavT,romerTi

daigiveordinatebi,magaliTad,y = 4, aqvs

a) 2y x= -s: 2x = ± wertilebSi;

b) 2( 3)y x= − -s: 5x = da 1x = wertilebSi;

g) 2( 3)y x= + -s: 5x = − da 1x = wertilebSi.

maSasadame,

y = (x+m)2funqciisgrafikiSegviZliamiviRoTy = x2funqciisgrafikis

paralelurigadataniTmerTeuliTmar�vniv(rocam < 0)anmarcxniv(roca

m > 0).parabolassimetriisRerZi x=-mwrfe,xoloweroskoordinatebi

x=-m, y=0 iqneba.

x -� -1 0 2 4 �

y=x2 9 1 0 4 16 49

x -6 -4 -� -1 1 4

y=(x+3)2 9 1 0 4 16 49

x 0 2 � 5 � 10

y=(x-3)2 9 1 0 4 16 49

2=2( 3)y x= + 2( 3)y x= −

Y

X

3 3

-6 6

y x

33


6) 2( )y a x m d= − + funqciisgrafiki

viciT,rom 2y ax d= + funqciisgrafikimiiReba2y ax= funqciisgrafikis

paralelurigadataniTordinatTaRerZisgaswvriv,zeviT,anqveviT.

viciT,agreTve,rom2( )y a x m= − funqciisgrafikiSegviZliamiviRoT

2y ax= funqciisgrafikisparalelurigadataniT m erTeuliTmar�vniv

anmarcxniv.

am ori paraleluri gadatanis kompoziciiT miiReba2( )y a x m d= − +

funqciisgrafiki,romliswvero(-m;d)wertilSia.

naxazzemocemulia 2( 3) 4y x= − + funqciisgrafikidamasTanSesadareblad

mocemulia,agreTve,2y x= da 2( 3)y x= − funqciebisgrafikebic.

2y x= funqciisgrafikigadatanilia�erTeuliTmar�vniv,_miiReba2( 3)y x= − funqciisgrafiki,Semdegki 2( 3)y x= − -isgrafikigadatanilia

4erTeuliTzemoT.

6)2y ax bx c= + + funqciisgrafiki

zogadisaxiskvadratulifunqciamiviyvanoTwinapunqtSiganxilul

saxemde.miviRebT:

;

maSasadame,zogadisaxiTmocemulikvadratulifunqciaCavwereT

( )2y a x m d= − + saxiT,sadac24

, .2 4b ac bm da a

−= − =

Sesabamisad, 2y ax bx c= + + funqciisgrafikiswvero24

;2 4b ac ba a

−−

=

2 4;

2 4b b aca a

−− −

wertilSia.

roca 0a > funqciaklebadia, ;2ba

−∞ − SualedSidazrdadia ;

2ba

− +∞

SualedSi.

22 2 2 4

( ) ( ) ( )4

b c b b acy ax bx c a x x a xa a a a

−= + + = + + = + + −

+

+

+

2( 3) 4= − +2y x=Y

X

( 3)y x= −

3

2

y x

4

2

+


roca 0a < ,funqciazrdadia ;2ba

−∞ − SualedSidaklebadia ;

2ba

− +∞

SualedSi.

naxazzemocemulia2y x= da 2 6 5y x x= − + funqciebisgrafikebi.

2 6 5y x x= − + paraboliswveroskoordinatebia(�;-4).sworedamwertilze

gadismisisimetriisRerZi.2 6 5y x x= − + funqciis grafiki gadaikveTeba abscisaTa RerZis

paraleluri nebismieri wrfiT, romelic 4y = − wrfis zemoTaa,2y x=

parabolakigadaikveTebaabscisaTaRerZisparalelurinebismieriwrfiT,

romelicabscisaTaRerZiszemoTaa.

rogoravagoT2y ax bx c= + + funqciisgrafiki?

1)undavipovoTparaboliswvero:2 4

;2 4b b aca a

−− −

;

2)gavavloTparabolissimetriisRerZi;

�)movniSnoTparaboliskidevramdenimewertili;

4) movniSnoT ukve moniSnuli wertilebis simetriuli wertilebi

simetriisRerZismimarT.

5)moniSnuliwertilebiSevaerToTwiriT.

Y2y x=

5

2 6 5y x x= − +

X3

4−

•

•

••

•

• •

• •

• ••


upasuxekiTxvebs

1)rasaxisfunqciasewodebakvadratulifunqcia?

2)raTvisebebigaaCnia 2y ax= funqcias,Tua) 0a > ?b) 0a < ?

�)rogormiiReba 2y ax d= + funqciisgrafiki 2y ax= funqciis

grafikisagan?

4)rogormiiReba 2( )y a x m= − funqciisgrafiki 2y ax= funqciis

grafikisagan?

5)rogormiiReba 2( )y a x m d= − + funqciisgrafiki 2y ax= funqciis

grafikisagan?

6)raswarmoadgensa) 2y x= b)2y ax= g) 2y ax bx c= + + parabolas

simetriisRerZi?

�)rakoordinatebiaqvsa)2y x= b)

2y ax= g)2y ax d= + d)

2( )y a x m= −

e) 2y ax bx c= + + paraboliswveros?

savarjiSoebi

1 saiT iqneba mimarTuli parabolis Stoebi: zeviT Tu qveviT?saiTiqnebamimarTuliparabolisStoebi:zeviTTuqveviT?

a) 25y x= b) 22 16y x= − + g) 2( 2) 16y x= − + + d) 2( 2)y x= −

2 aage 213

y x= funqciisgrafiki.grafikismixedviTipove:

a) y -ismniSvneloba,roca 2; 2; 6; 4;x = − −

b) x -ismniSvneloba,roca 3; 5; 4; 1, 5.y = − −

3 aage 214

2y x= − + funqciisgrafiki.grafikismixedviTipove

a) y -ismniSvneloba,roca 0; 2; 1; 3, 5.x = −

b) x -ismniSvneloba,roca 4; 4; 3, 5; 0.y = −

4 2y x= parabolisTargismeSveobiTerTsadaimavesakoordinato

sibrtyezeaage 2 2 2, 4, 4y x y x y x= − = − + = − − funqciebisgrafikebi.

daasaxeleTiToeulimaTganissimetriisRerZidawveroskoordinatebi.

5 212

y x= parabolisTargismeSveobiTerTsadaimavesakoordinato

sibrtyezeaage ( ) ( )2 2 21 1 12 ; 2 ;

2 2 2y x y x y x= − − = − − = funqciis

grafiki.

6 aagea) 2 4 3y x x= − + b)21

12

y x x= + − g)21 1

12 2

y x x= − + +

funqciisgrafiki.

7 aagea) 21 12 2

y x x= − + funqciisgrafiki.CaweresimetriisRerZis

gantolebadawveroskoordinatebi.

8 aageaage 2 2 3y x x= − + + funqciisgrafiki.grafikismixedviTupasuxe

kiTxvebs:

a) x -isramniSvnelobisTvisRebulobsfunqciaudidesmniSvnelobas?

b)gadakveTsTuaramocemulifunqciisgrafiksa) 7y = b) 4y = g) 4y = −

wrfe?ramdenwertilSigadakveTs?

+

+

+


9 x -isramniSvnelobebisTvisaa:a) 23 4 3y x x= − + b)2 2 1y x x= + +

funqciismniSvneloba�-istoli?1-istoli?

10 naxazzesqematuradaamocemuli:a) 2 4y x= − b)

2( 4)y x= −

g)2( 4)y x= − -3funqciebisgrafikebi.gaarkvieromeligrafiki

romelifunqciisaa.TiToeulimaTganisTvisdaadginesimetriisRerZi.

11 erTsa da imave sakoordinato sibrtyeze aage mocemuli funqciebiserTsadaimavesakoordinatosibrtyezeaagemocemulifunqciebis

grafikebidaipovemaTigadakveTiswertilTakoordinatebi:

a)2y x= da 2 3y x= + b) 22y x= − da 22 9y x= − g) ( )21y x= − da 2y x= −

12 kveTenTuaraerTmaneTs 2 3y x= + da 4 3y x= + funqciebis

grafikebi?Seasrulegrafikuliilustracia.

13 aageaage2 2 3y x x= − + + funqciisgrafiki.grafikismixedviTupasuxe

kiTxvebs:

a) x -isramniSvnelobisTvisRebulobsfunqciaudidesmniSvnelobas?

b)gadakveTsTuaramocemulifunqciisgrafiks 2y x= − + funqciis

grafiki?

g)gadakveTsTuaramocemulifunqciisgrafiki y x= wrfes?

d)aqvsTuarasaerTowertilimocemulifunqciisgrafiksada 4y =

wrfes?

e)aqvsTuarasaerTowertilimocemulifunqciisgrafiksada

2x = − wrfes?

14 sakoordinatosibrtyezemocemuliaA,B,E,D,Nwertilebi.

romelimaTganiekuTvnis ( ) 2 3f x x= − funqciisgrafiks?

YY Y

44 XXX

3−-4

3

4 X

3−

E

A

BD

N


15 naxazze mocemulia ( )y f x= funqciis grafiki. rveulSi daxaze

( )y f x= − funqciisgrafiki.

16 naxazze mocemulia luwi ( )y f x= funqciis grafikis fragmenti.

rveulSidaxaze ( )y f x= funqciisgrafiki.

17 gamoTvale 22 11 13 0x x− + = gantolebisfesvTa:a)kvadratebis�ami

b)kubebis�ami.

18 amoxsenigantoleba:a)2

2 2 12 2 2

x xx x x x

+= −

− − −b)

1 31

( 2)x x x+ =

−

19 soflis�6kmsigrZisgzisada9kmgzatkecilisgasavlelad

velosipedistssWirdeba1sT-iTmetidro,vidremTeliammanZilisgzatkeciliT gavlaze. velosipedistis siCqare gzatkecilze 6 km/sT-velosipedistis siCqare gzatkecilze 6 km/sT-iT metia, vidre soflis gzaze. ra siCqariT moZraobs velosipedisti

gzatkecilze?

20gamoTvale naxazis mixedviT:gamoTvalenaxazismixedviT:

a) A kuTxissinusi

b) B kuTxiskosinusi

21 mocemulTagan romelia luwi funqciis grafiki? kenti funqciisgrafiki?

YY Y

XXX

−

YY Y

XXX

YY Y

0

X

XX

Y

0 X

Y

0 X

0

0

4

3C B

A


3.5kvadratuliutolobisamoxsna

kvadratuli,anumeorexarisxiserTucnobianiutolobaewodeba

2 0ax bx c+ + > (1) 2 0ax bx c+ + < (2)2 0ax bx c+ + ≥ (3) 2 0ax bx c+ + ≤ (4)

saxisutolobebs,sadac x cvladia, ,a b da craimericxvebi,amasTan,

0a ≠ .

amovxsnaT utoloba, niSnavs, movZebnoT yvela im ricxvis simravle,

romelTaCasmiTutolobaSi(cvladisnacvlad)miiRebaWeSmaritiricxviTi

utoloba.

imisaTvis, rom (1) utoloba amovxsnaT, sakmarisia gavigoT x -is ra

mniSvnelobebisaTvisaa 2ax bx c+ + samwevrisgrafikizedanaxevarsibrtyeSi.

amkiTxvazepasuxisgacemaSesaZlebeliakvadratulisamwevrisgamokvlevis

Sedegad.

vTqvaT,1) 20, 4 0,a D b ac> = − > maSinsamwevrisgrafikimdebareobszeda

naxevarsibrtyeSi garda im nawilisa, romelic fesvebs Soris moqceuli

abscisebisSesabamisiwertilebisaganSedgeba.

gareTaa(mwvane),erTikifesvebsSoris(wiTeli).Cvenx -isismniSvnelobebi

gvainteresebs, romelTaTvisac 2( ) 5 4f x x x= − + funqciis mniSvnelobebi

dadebiTia, anu ( );1−∞ da ( )4; + ∞ Sualedebi. pasuxi SegviZlia sxvada-

sxvanairadCavweroT:

a)( ) ( );1 4;−∞ ∪ + ∞ b) 1, 4.x x< >

daskvna: 2 0ax bx c+ + > utoloba,roca 20, 4 0,a D b ac> = − > samarTliania

nebismieri x -isaTvis, romelic akmayofilebs pirobas: 1x x< da 2x x> ,

1 2x x< ,sadac 1x da 2x samwevrisfesvebia.

gasagebia, rom 2 5 4 0x x− + ≥ utolobis amonaxsnTa simravlea

( ] [ );1 4;−∞ ∪ +∞ .

2) 0, 0,a D> = maSin samwevris grafiki mTlianad mdebareobs zeda

naxevarsibrtyeSi,gardaerTiwertilisa.eswertiligrafikisabscisaTa

RerZTanSexebiswertilia.2 0ax bx c+ + > utoloba samarTliania nebismieri x -isTvis, garda

.2bxa

= −

magaliTi1. amovxsnaTutoloba: 2 5 4 0x x− + >amoxsna.�ergavarkvioT,kveTsTuaragrafiki

abscisaTaRerZs.

D=25-16=9>0

grafiki abscisaTa RerZs or wertilSi

gadakveTs. am wertilebis abscisebia 1 da

4. parabolas Stoebi zeviTaa mimarTuli.

sqematur naxazze Cans, rom abscisaTa RerZi

samSualedaddaiyo.orimaTganifesvebsfesvebs

2 5 4 0x x− + >

x

y

4

2 5 4 0x x− + >

2 5 4 0x x− + <

2 5 4 0x x− + =

1

mizani:

viswavloT kvadratuli utolobis amoxsna grafikis TvisebebismeSveobiT


magaliTi1. amovxsnaTutoloba: 2 5 4 0x x− + >amoxsna.�ergavarkvioT,kveTsTuaragrafiki

abscisaTaRerZs.

D=25-16=9>0

grafiki abscisaTa RerZs or wertilSi

gadakveTs. am wertilebis abscisebia 1 da

4. parabolas Stoebi zeviTaa mimarTuli.

sqematur naxazze Cans, rom abscisaTa RerZi

samSualedaddaiyo.orimaTganifesvebsfesvebs

3) 0, 0,a D> < maSinsamwevrisgrafikimTlianad

mdebareobszedanaxevarsibrtyeSi.2 0ax bx c+ + > utoloba samarTliania x -is

nebismierimniSvnelobisaTvis: ( );x∈ −∞ +∞

4) 0, 0,a D< > maSinsamwevrisgrafikimdebareobsqvedanaxevarsibrtyeSi,

gardaimnawilisa,romelicfesvebsSorismoqceuliabscisebisSesabamisi

wertilebisaganSedgeba.2 0ax bx c+ + > utoloba samarTliania nebismieri x -isaTvis, romelic

akmayofilebspirobas: 1 2x x x< < .

magaliTi2.amovxsnaTutoloba: 2 2 1 0x x+ + ≥ .

amoxsna.gamovTvaloTdiskriminanti:D=1-1=0.

rogorc vxedavT, parabola exeba abscisaTa RerZs.

Sexebis wertilia x = -1. am wertilSi2( ) 2 1f x x x= + +

funqciismniSvneloba0-istolia.pirvelikoeficienti

metia 0-ze. e.i. parabolis Stoebi zeviTaa mimarTuli.

utolobis amonaxsenia nebismieri namdvili ricxvi.

pasuxi:( );−∞ +∞

y

1− x•

gasagebia,rom 2 2 1 0x x+ + > utolobisamonaxsnTasimravlea( ) ( ); 1 1;−∞ − − +∞ .

y

x

2,5−x

y

23

magaliTi3.amovxsnaTutoloba:

( )( )2 3 5 2 0x x− + ≥amoxsna. utolobis marcxena mxare mamravlebad

daSlil kvadratul samwevrs warmoadgens. misi

fesvebis sapovnelad amovxsnaT ori wrfivi

gantoleba:2 3 0x− = da5 2 0x+ = .

2 3 0x− = gantolebidan1

23

x = ,xolo 5 2 0x+ = -dan

2 2, 5x = −

axlagasarkvevia,TusaiTaamimarTuli ( )( )2 3 5 2y x x= − + funqciisgrafikis

Stoebi. amisaTvis sakmarisia( )2 3x− da ( )5 2x+ orwevrebis gamravlebis Sedegad

miRebulisamwevris pirveli koeficientis niSniscodna. samwevrisumaRlesi

xarisxiswevria- 26x ,romliskoeficienti-6<0.maSasadame,parabolisStoebi

qveviTaamimarTuli.

aseTSemTxvevSipasuxiaris2

2, 5;3

− intervali(ix.naxazzedaStrixuli

SualediabscisaTaRerZze).

5) 0, 0,a D< = maSin samwevris grafiki mTlianad mdebareobs qveda

naxevarsibrtyeSi,gardaabscisaTaRerZTanSexebiswertilisa.


2 0ax bx c+ + > utolobasamonaxsniaraaqvs,anu 2 0ax bx c+ + > utolobis

amonaxsnTasimravlea∅ ,xolo 2 0ax bx c+ + ≥ utolobisamonaxsnTa

simravlea{ }2ba

− .

6) 0, 0,a D< < maSin samwevris grafiki mTlianad mdebareobs qveda

naxevarsibrtyeSi. 2 0ax bx c+ + > da 2 0ax bx c+ + ≥ utolobebs amonaxsni

araaqvs.

saboloodSegviZlia:

a)davaskvnaT:

kvadratuliutolobisamosaxsnelad:

1)undagamoviTvaloTdiskriminantidagavarkvioT,aqvsTuarasamwevrs

fesvebi:

2)Tusamwevrsaqvsfesvebi,movniSnoTisiniabscisaTaRerZze;

�)pirveli koeficientis mixedviT davadginoT, saiTaa mimarTuli

parabolisStoebi.

4)avagoTparabolissqematurinaxazi;

5)CavweroTpasuxi:

b)ganxiluliSemTxvevebiwarmovadginoTcxrilissaxiT:

y-ismniSvneloba diskriminanti x-ismniSvneloba

0y > 2 4 0b ac− >0a < 1 2x x x< < anu x∈( )1 2;x x

0a > 1 2,x x x x< > anu x∈ ( )1 2; ) ( ;x x−∞ ∪ + ∞

0y < 2 4 0b ac− >0a <

1 2,x x x x< > anu( )1 2; ) ( ;x x−∞ ∪ + ∞

0a > 1 2x x x< < anu x∈( )1 2;x x

0y > 2 4 0b ac− =

0a < x∈∅

0a > ; ;2 2b bxa a

∈ −∞ − − +∞

0y < 2 4 0b ac− =0a < ; ;

2 2b bxa a

∈ −∞ − − +∞

0a > x∈∅

0y > 2 4 0b ac− <

0a < x∈∅

0a > ( );x∈ −∞ + ∞

0y <

2 4 0b ac− < 0a < ( );x∈ −∞ + ∞

0a > x∈∅


ganvixiloTamocanisamoxsnakvadratuliutolobisgamoyenebiT.

amocana1.navmadinebismimarTulebiT14kmundagacurosdaSemdeg,5

km-ismanZilze,ukanundagabrundes.mdinarisdinebissiCqare2km/sT-ia.

rasakuTarisiCqareundaganaviTarosnavma,raTaorivemimarTulebiT�

sT-zenaklebidrodaxar�os?

amoxsna. davuSvaT, saZiebeli siCqarea x km/sT. mdinaris dinebis

mimarTulebiTnaviimoZravebs( )2x + km/sTsiCqariT,xolosawinaaRmdego

mimarTulebiT_( )2x − km/sT-iT.orivemimarTulebiTmoZraobazenavi

daxar�avs14 5

2 2x x + + −

sT-s,racamocanispirobiT�sT-zenaklebiunda

iyos.miviReTutoloba:14 5

32 2x x+ <

+ −

SevniSnoT, rom ( )( )2 2 0x x+ − > , amitom utolobis orive mxaris

( )( )2 2x x+ − -zegamravlebiTmiviRebT:23 19 6 0;x x− + >

361 72 289D = − =

cxrilismixedviTvaskvniT,rom 23 19 6 0x x− + > utolobisamonaxsnebi

fesvebsgareTaa,anu ( )1; 6;

3x ∈ −∞ ∪ + ∞

.

navissakuTarisiCqaremetiundaiyosmdinarisdinebissiCqareze,

amitomamocanispirobas1

;3

−∞

intervaliarSeesabameba.

pasuxi:navissakuTarisiCqare6km/sT-zemetiundaiyos.

1 2

1 2

19 17 19 17; ;

6 61

6.3

x x

x x

+ −= =

= =

upasuxekiTxvebs

1. rogorisaxisutolobasewodebameorexarisxiserTucnobiani

utoloba?

2. rasniSnavs,,amovxsnaTutoloba”?

�. CamoayalibekvadratuliutolobisamoxsnisalgoriTmi.

4. raiqneba 2 0y ax bx c= + + > utolobisamonaxsnTasimravle,

roca:

a) 0, 0?D a> > b) 0, 0?D a> <

g) 0, 0?D a< > d) 0, 0?D a< <

e) 0, 0?D a= > v) 0, 0?D a= <


savarjiSoebi

amoxseniutoloba#[1-12]

1 a) 25 9 2 0x x− − > b) 23 11 4 0x x+ − ≥ g) 2 8 16 0x x− + − <

2 a) 2 3 4 0x x− + > b) 2 3 4 0x x+ + ≤ g) 2 3 4 0x x− + ≤

3 a) 22 12 19 0x x− + > b) 2 100x ≤ g) 2 25x >

4 a)22 7 5 0x x− + < b)

23 2 1 0x x− + ≥ g)2 9 0x − ≤

5 a)a) 2 64x ≤ b) 2 0, 25x > g) 2 163

27x ≤

6 a) 22 3 2 0x x− + > b) 2 4 21 0x x+ − > g) 24 4 1 0x x− + <

7 a) ( )5 5 5x x x− > − b) 2 22 3 7 4x x x x+ > + − g)( )( ) ( )3 7 5 3x x x− − ≤ −

8 a) 25 8 25 18x x< − + < b) 20 3 2 6x x< − + < g) 22 5 3 0x x+ − <

9 a)a) 216 0

3x x− − ≥ b) 21

2 5 05

x x− + ≥ g) 2 4 10 0x x− + >

10 a)a)2 4 10 0x x− + ≤ b)

2 6 8 0x x− + − > g)2 9 20 0x x− − − <

11 marTkuTxedissigrZe6sm-iTmetiasiganeze.rasigrZisSeiZleba

iyosmarTkuTxedissigane,TufarTobi50kv.sm-zenaklebiada

siganenaturaluriricxviTgamoisaxeba?

12 marTkuTxedissigrZe12sm-iTmetiasiganeze.rasigrZis

SeiZlebaiyosmarTkuTxedisgverdebi,Tuisininaturaluri

ricxvebiTgamoisaxebada S farTobiakmayofilebspirobas:11kv.sm< S<28kv.sm?

13 daamtkice,rom x -isnebismierimniSvnelobisaTvisWeSmaritia

utoloba:a) 25 8 5 0x x− + > b) 2 23 16 14 4 23x x x x+ − ≥ − −

14 Seadgine 2x px q+ + saxissamwevri,romelicuaryofiTiiqnebamxolod

damxolod 2 3x− < < SualedSi.

15 Seadgine 2x px q+ + saxis samwevri, romelic mxolod da mxolod

1 5x< < -isTvisnaklebiiqneba x -ze.

16 Seadginekvadratulisamwevri,romlismniSvnelobanaklebiiqneba2 2 3x x+ − samwevrisSesabamismniSvnelobazemxoloddamxolod

4 6x< < -isTvis.

17 funqciamocemuliaformuliT: 3 2, 7y x= − + . x -isramniSvnelobebi-

sTvisaa:a) 0?y < b) 0?y = g) 0?y >

18 daasabuTe,rom8yx

= klebadia( )0; + ∞ SualedSi.

≤


19 mocemulTaganromelifunqciebiazrdadi?

a) 0, 2y x= − b) 4y = − g) 6y x= + d) 2 2y x= − e) 24y x= −

20warmoadgine standartuli saxiT:warmoadginestandartulisaxiT:

a)0,00000102b)25000000g)( )( )4 23, 5 10 0, 001 10� �

21 amoxsenigantoleba:4 12

15 5x

x−

=

22 naxazis mixedviT:naxazismixedviT:a)romeliawrfivifunqciisgrafiki?kvadratuli

funqciisgrafiki?b)romeligrafikiasimetriuliordinatTaReZis

mimarT?koordinatTasaTavismimarT?

23 gaamartivegamosaxuleba:

a) 3 35 49 3c c⋅ b) 3 54 48 2c c⋅ g)

4 25 5

3

4:

8n mm n d)

26

26

42

2

yy

−+

+e)

44

11

x xx−

−−

24300 mtvirTavi gems 16 sT-Si tvirTavs. ramdeni mtvirTavia saWiro am

gemis dasatvirTad, Tu maT gankargulebaSi 48 sT-ia?

25 makas 5 da 10-TeTrianebisagan Sedgenili 1 lari da 20 TeTri aqvs. es Tanxa 17 monetisaganaa Sedgenili. ramdeni 10-TeTriani aqvs makas?

#1

y

x x x

y y

# 2 #3

.10 .10


3.7orcvladianiwrfiviutolobada

misigrafikuliamoxsna

orcvladianiutolobaewodebautolobas,romelicorucnobsSei-

cavs. magaliTad a) 2x+y>3, b) x2+y2≤9. orcvladiani utolobis amonaxsni

ewodeba ricxvTa ( )0 0;x y wyvils, romelic mocemul utolobas WeSmarit

ricxviTutolobadaqcevs.magaliTada)utolobiserT-erTiamonaxsnia

(1;2)wyvili,xolo(1;1)wyviliaraaa)utolobisamonaxsni.

amovxsnaTutoloba,niSnavsvipovoTmisiyvelaamonaxsnissimravle.

ricxvTa yovel ( )0 0;x y wyvils sakoordinato sibrtyeze erTaderTi

wertiliSeesabameba,racsaSualebasgvaZlevs,romutolobisamonaxsnTa

simravlesakoordinatosibrtyiswertilTasimravliTgamovsaxoT.

magaliTad, geometriulad 0ax by c+ + > wrfivi utolobis amonaxsns

0ax by c+ + = wrfiTgansazRvrulierT-erTinaxevarsibrtyeSeesabameba.

magaliTi1.amovxsnaTutoloba:a)2 1 0x y+ + > b) 2y x− ≤

x

y

12

−

0

-1

= − −y x2 1

amoxsna. a) 2 1 0x y+ + > utoloba 2 1y x> − −

utolobistolfasia.ganvsazRvroTsibrtyisis

nawili, romlis yvela wertilis koordinatebi

akmayofileben mocemul utolobas. sakoordi-

natosibrtyezeavagoT 2 1y x= − − wrfe. x -isfiq-

sirebuli mniSvnelobisaTvis wrfeze mdebare

( );x y wertilisaTvissruldebatoloba: 2 1y x= − −wrfiszemoTmdebarewertilebisaTvisgveqneba:

2 1y x> − − ,

2 1y x= − − wrfe sakoordinato sibrtyes or

naxevarsibrtyed yofs. zeda naxevarsibrtyis

(daStrixuli) yoveli wertilis koordinatebi

2 1y x> − − utolobassworutolobadgardaqmnian

da adgenen yvela misi amonaxsnis simravles.

vinaidanutolobamkacria, 2 1y x= − − wrfiswertilebiarmiekuTvneba

2 1y x> − − utolobis amonaxsnTa simravles. aseT SemTxvevaSi wrfe

wyvetilixaziTwarmovadgineT.

x

y2y x= +

-1• 0

1

2

-2•

3

3

b)SevcvaloT 2y x− ≤ utolobamisi

tolfasi 2y x≤ + utolobiT.avagoT

2y x= + wrfe. 2y x− ≤ utolobis

amonaxsnTasimravlegrafikulad

warmoadgens 2y x= + wrfisqvemoT

mdebare(daStrixul)naxevarsibrtyes

2y x= + wrfiswertilebTanerTad.

aseTSemTxvevaSiwrfeuwyvetixaziT

warmovadgineT.

mizani:

gavecnoT:

1)orcvladianutolobasdamasTandakavSirebulcnebebs;

2)viswavloTorcvladianiwrfiviutolobisgrafikuliamoxsna


upasuxekiTxvebs

1. rasaxisutolobashqviaorcvladianiutoloba?

2. rasniSnavsamovxsnaTutoloba?

�. raswarmoadgensorcvladianiutolobisamonaxsni?

4. raswarmoadgenswrfiviorcvladianiutolobisamonaxsnTasimravle?

5. raswarmoadgens0 0x y⋅ + > utolobisamonaxsnTasimravle?

savarjiSoebi

1 aris Tu ara ricxvTa wyvili:arisTuararicxvTawyvili: 3, 0, 5x y= = − mocemuliorcvladiani

utolobisamonaxsni?

a) 3 2y x< − b)2 3 11y x+ > g) 1y x≤ + d) 2 36

5x y+

> e) 4 23 2

x y x− +≥

2 CamoTvliliwyvilebidanromeliakmayofilebs12

x y≤ utolobas?

(0; 2), (2; 0), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2), (-1; 0), (0; -2)(0;2),(2;0),(-1;-2),(-1;2),(1;-2),(-1;0),(0;-2)

3 aCvenesakoordinatosibrtyezeutolobisamonaxsnTasimravle.

a) 3y x< + b) y x> g) y x≤ −

4 amoxsenigrafikuladutoloba:

a)2

25

x > b) 12y

− ≥ g)2 3 6x y+ >

5 mocemulTaganromelnaxazzeanaCvenebi 2y x< utolobis

amonaxsnTasimravle?

6 naxazebzenaCvenebia 2 1, 2 1, 2y x y x y x< + ≥ + ≤ + da 1y x> −

utolobaTagrafikuliamoxsnebi.romelutolobasromeliamoxsna

Seesabameba?

#1

#2

#3

#4

00

0

1

2

x x

xx

y y

y y

2

2

1

1

2


7 naxazze sqematuradaa mocemulinaxazzesqematuradaamocemuli2y x px q= + + funqciisgrafikida

misiabscisaTaRerZTangadakveTiswertilebi.

a)ipovegrafikisadaordinatTaRerZiskveTisC wertiliskoor-

dinatebi;

b) 2 0x px q+ + ≥ utolobisamonaxsnebi;

g)raiqnebaparabolassimetriisRerZi?

8 naxazze sqematuradaa mocemulinaxazzesqematuradaamocemuli 2y ax bx c= + + funqciisgrafiki.

gaiTvaliswine,rom2 4D b ac= − dagrafikismixedviTgaarkvie

mocemulTaganromeliutolobaaswori:

a) 0aD > b) 0cD > g) 0ac >

9 amoxseni utoloba da amonaxsnTa simravle gamosaxe sakoordinatoamoxseniutolobadaamonaxsnTasimravlegamosaxesakoordinato

wrfeze:

a) 11 3 7x− ≤ + b) 2 2 7x− < − g)16 3(1 ) 2x x− − ≤ +

d)18 3(1 ) 2x x− − ≤ + e) 1 2 6 3x− < − ≤ v)23 15( 2) 12x x− − ≥ −

#1

#2

#3#4

x

y

2 60

x

y

0

0

1

x

y

0x

y

1

0x

y

-1

0x

y2


10 amoxseni gantolebaTa sistema:amoxsenigantolebaTasistema:

a)2 5

1, 5 3, 5x y

x y− =

− =b)

2 52 3

13 5

x y

x y

− =

− =g)

103

xyx y

= − + =

11 amoxseniutolobaTasistema:

a)2 3 3 8

7 5x x

x− < +

− >b)

25 303, 5 4 1x

x− ≥ −

− ≤g)

14 108 3

xx− > −

+ >

12amoxseni utoloba:amoxseniutoloba:

a) 2 8 33 0x x− − > b)( )1

303

x x +< g)

( )221

04

xx

−− >

13 4saSlelida�saTleli�lariRirs,xoloaseTive2saSlelida

1 saTleli 2lari 80 TeTri. ra Rirs 6 saSleli da 4 saTleli

erTad?

14 banani 30%-iT gaaZvires. ramdeni kilogrami bananis yidva SeiZleba axla im TanxiT, rac saWiro iyo 2,6 kg bananis sayidlad gaZvirebamde?

15 vaSli 20%-iT gaaZvires. ramdeni kilogrami vaSlis yidva SeiZleba axla im TanxiT, rac saWiro iyo a) 3,6 kg b) 2,8 kg vaSlis sayidlad gaZvirebamde?

16 msxali 15%-iT gaaZvires. ramdeni kilogrami msxlis yidva SeiZleba axla im TanxiT, rac saWiro iyo 3,4 kg msxlis sayidlad gaZvirebamde?


3.8wrfivutolobaTasistemadamisiamoxsna

utolobaTasistemasromelSicyoveliutolobawrfiviaewodebawrfiv

utolobaTasistema.

amovxsnaT utolobaTa sistema, niSnavs misi amonaxsnTa simravlis

dadgenas, anu sistemaSi Semavali utolobebis amonaxsnTa simravleebis

TanakveTismoZebnas.

magaliTi1.amovxsnaTsistema:a)00

xy≥

≤b)

200

x yyx

+ ≤ > >

g) ( ) 0x x y− ≥

amoxsna. a) sakoordinato sibrtyeze 0x ≥ utolobis amonaxsnTa

simravleordinataRerZismar�venanaxevarsibrtyiswertilTasimravlea

(naxazzevertikaluradaadaStrixuli),anusakoordinatosibrtyis Ida

IVmeoTxedebi.

0y ≤ utolobis amonaxsnTa simravle abscisaTa RerZis qveda

naxevarsibrtyiswertilTasimravlea(naxazzehorizontaluradaa

daStrixuli),anusakoordinatosibrtyisIIIdaIVmeoTxedebi.e.i.00

xy≥

≤utolobaTasistemisamonaxsnTasimravleasakoordinatosibrtyismeoTxe

meoTxedinaxevarRerZebisCaTvliT.(naxazzeormagaddaStrixuliare)

b)mocemulisistemamisitolfasi

200

y xyx

≤ − > >

sistemiTSevcvaloT.

00

yx>

>sistemisamonaxsnTasimravlesakoordinatosibrtyispirveli

meoTxediswertilTasimravleaRerZebiskuTvniliwertilebisgarda.

2y x< − utolobis amonaxsnTa simravle sakoordinato sibrtyeze

2y x= − wrfisqvemoTmdebarenaxevarsibrtyiswertilTasimravlea.

maSasadame,

200

y xyx

≤ − > >

sistemisamonaxsnTasimravleimwertilTasimravlea,

romelicSemosazRvruliasakoordinatoRerZebiTa(RerZebiswertilebi

arekuTvnisamsimravles)da 2y x= − wrfiT.

x0

mizani: viswavloTwrfivutolobaTasistemisamoxsna


sistemis amonaxnsnTa simravle naxazze gamuqebuli samkuTxediTaa

miTiTebuli.

g) ( ) 0x x y− ≥ utolobisamonaxsnTasimravle0x

x y≥

≥da

0xx y≤

≤utolobaTa

sistemebisamonaxsnTasimravleebisgaerTianebaswarmoadgens

0xx y≥

≥sistemisamonaxsnTasimravlemar�venanaxevarsibrtyisis

nawilia,romelic y x= wrfisqveviTaa(ormagaddaStrixuliare).

0xx y≤

≤amonaxsnTasimravlemarcxenanaxevarsibrtyisisnawilia,

romelic y x= wrfiszeviTaa(ormagaddaStrixuliare).

pasuxi: ( ) 0x x y− ≥ utolobisamonaxsnTasimravlenaxazzesibrtyis

daStrixulinawilia.

2y x= −

2 x

y

0

2

y

0

y x=x

x

y y x=

y

0

x

y

0

y x=


savarjiSoebi

gamosaxeutolobaTasistemisamonaxsnTasimravle

sakoordinatosibrtyeze#[1-7]

1 a) 2x ≤ b) y x≥ g) x y> d) 1x < −

2 a) 3x y− > b) 2y x≤ + g) 2y x− ≤ d) 3x y− >

3 a)2 5 3y x+ > b)2 3 4y x≥ − g) 2 6y x+ < d)3 4 12y x− ≤

4 a) 5 3y x≥ + b)2 3 14y x− ≤ g) 4 0y x− > d)3 0y x− ≤

5 a)20

yx≥

> b)

30

yx≥ −

> g)

62

yy x≤

≤ − d)

12

xy x≥ −

> +

6 a)a)2 3 74 2 10

x yx y− <

− < b)

63 2 16x yx y− >

+ > g)

2 62 6

y xy x> −

≤ − + d)

32 6

y xx y− ≥ −

− < −

7 a)a)1 5

2 8x

y< <

− ≤ ≤ b)

612 14x

y≥

≤ ≤ g)

21 4x

y≥

≤ ≤ d)

43 7x

y≥

≤ ≤daStrixesakoordinatosibrtyezesistemisamonaxsnTasimravle.#[8-10]

8 a)a)2, 4

3, 6xx> −

< b)

1 21, 6

xx− > −

< g)g)

1 21, 6

yy− > −

< d)

23

yy> −

<

9 a)13

xx

− >− <

b)0, 5

1y

y<

− < g)

3530 50x

x≥

< ≤ d)

1 76 2

xx

− ≤ <− < <

10 a) 14 5 7x− < < b)2 6 1x< < g)1 3

1 13

x−− < < d)

2 33 40 2

5

x−< <

b

11 gamosaxe utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle sakoordinatogamosaxeutolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle sakoordinato

sibrtyeze.

a)

00

4

y xy xy

− ≥ + ≥ ≤

b)

2 2 01 0

3 0

x yy xy

+ + ≥ + − ≥ − ≥

g)

3 2 6 02 0

0

x yy xx

− + ≥ + + ≥ ≥

d)

12 2 5

3

y xy x

y

− ≥ − ≤ ≤

12 a − sramniSvnelobisaTvisiqneba ( )5;A a da ( )5; 9B − wertilebi

a)3 5x y+ = b)3 2 8x y− = wrfiTgansazRvrulsxvadasxvanaxevarsibr-

tyeSi?

13 ipovea − sudidesimTelimniSvneloba,romlisTvisac ( ); 4A a wertili

ekuTvnis3 6 11x y− ≤ utolobisamonaxsnTasimravles.

14 mamamanderZiTTavisiqonebis13nawili_vaJs,xolo

25nawili_or

qaliSvilsTanabradda�000lariTavisqvrivsuanderZa.darCenili2500

larivalisgadasaxdeladiyogaTvaliswinebuli.ramdenilaridautova

mamamTiToeulSvils?


15 k -sramdenimTeliuaryofiTimniSvnelobaarsebobs,romlisTvisac

(0 : )A k wertili ekuTvnis a) 4 7y x> − b) 2 4y x≥ − g)3 2 8x y− ≤ −

utolobisamonaxsnTasimravles?

16 naxzze y ax b= + funqciisgrafikiagamosaxuli.grafikismixedviT

gamoTvaleb a− sxvaoba

17 naxazzemocemuliafunqciisgrafiki.grafikismixedviTdaadgine

ramdenjericvlisfunqcianiSans.

18 amoxseniutolobaTasistema:a)7 4 45 1 2 13

xx x+ >

+ < + b)

3 2 306 2 2 10

x xx x− > +

+ > − +

a)

b)

y

0x1−

y

0 x3−

4,5

0

x x x

xxx

x

x x

y y y

y y y

y y y

0 0

0

0 00

0 0 0


es sainteresoa!

amocanebis amoxsna utolobis gamoyenebiT

amocana 1. ipove wiladi, romlis mricxveli da mniSvneli naturaluri

ricxvebia da mniSvneli 1-iT naklebia mricxvelis kvadratze. amasTan, Tu

wiladismricxvelsadamniSvnels2-smivumatebT,miviRebT13-zemetwilads,

xoloTumricxvelsadamniSvnels3-sgamovaklebT,

miviRebT1

10-zenakleb,dadebiTwilads.

amoxsna. gantolebis an gantolebaTa sistemis SedgeniT amocanis amoxsna

rTuliiqneba,radganigimaRalixarisxisgantolebisamoxsnasTanmigviyvans.

amocanaamovxsnaTutolobisSedgeniT.

vTqvaT, wiladis mricxvelia x (naturaluri ricxvi), maSin mniSvneli,

amocanispirobiT,iqneba 2 1x − .maSasadame,saZiebeliwiladia2 1x

x −.amocanis

pirobiT

2

2 11 3

xx+

>+

(1)

da

2

3 10

4 10xx−

< <−

(2)

(1)utolobatolfasia 2 3 5 0x x− − < utolobis,saidanac

3 29 3 292 2

x− +< < .

vinaidan 0x > ,vwerT

3 29

02

x +< < .

radgan

3 294 4, 5

2+

< < ,

amitom x ,rogorcmTeliricxvitoliaan1-is,an2-is,an3-is,an4-is.am

mniSvnelobebis(1)da(2)utolobebSiCasmiTmiviRebT,rom x =4.

maSasadame,saZiebeliwiladi

2

41 15

xx

=− .

pasuxi:saZiebeliwiladia4

.15

amocanebi

1.mgzavrimudmivisiCqariTmoZraobs. Tuigi yovelsaaTSi20km-iTmets

gaivlis, maSin igi 8 sT-Si 720 km-ze met manZils gaivlis. Tu 10 km-

iTnaklebsgaivlis,maSin12sT-Si900km-zenaklebmanZilsgaivlis.ra

sazRvrebSiicvlebamgzavrissiCqare?

2.gaigerasazRvrebSiicvlebawrfezemoZravisxeulissiCqare,Tucnobilia,

romsiCqaris3m/wm-iTgazrdisSemTxvevaSimas360m-isgavlaze30wm-ze

aranaklebida40wm-zearaumetesidrodasWirdeba.

3. erTnairi sakuTari siCqaris mqone ori kateri or sxvadasxva mdinareSi

dinebismimarTulebiTtolmanZilebsgadiandasaidanacgavidnen,imave

punqtebSibrundebian.romelkaterssWirdebaamgadaadgilebazemeti

dro:romelicCqarmdinarezemoZraobda,Tumeores?


mesame Tavis mimoxilva

ra viswavleT am TavSi?

• funqcia.funqciisgansazRvrisaredamniSvnelobaTasimravle.funqciis

mocemisxerxebi

• funqciisTvisebebi

• kvadratulifunqciadamisigrafiki

• kvadratulifunqciisgrafikisgamokvleva

• kvadratuliutolobisamoxsna

• utolobisamoxsnaintervalTameTodiT

• wrfiviorcvladianiutolobadamisigrafikuliamoxsna

• wrfivorcvladianutolobaTasistema

upasuxe kiTxvebs

rogordamokidebulebashqviasidideebsSorisfunqcionaluri

damokidebuleba?

funqciismocemisraxerxebsicnob?

rashqviafunqciismniSvnelobaTasimravle?funqciisgansazRvrisare?

rasaxisfunqciasewodebakvadratulifunqcia?

raswarmoadgens ( ) 2f x ax bx c= + + funqciisgansazRvrisare?cvlilebis

are?

rasewodebafunqciisgrafiki?

raswarmoadgens ( ) 2f x ax bx c= + +funqciisgrafiki?

rashqviafunqciisnulebi?niSanmudmivobisSualedebi?

rogorfunqciasewodebaluwi?kenti?

rasniSnavsutolobisamoxsna?

rasewodebakvadratuliutolobisamonaxsni?

ramdeniamonaxsniSeiZlebahqondeskvadratulutolobas?

raSimdgomareobsutolobisamoxsnaintervalTameTodiT?

rasaxisutolobashqviawrfivierTcvladianiutoloba?wrfivi

orcvladianiutoloba?

rasniSnavsorcvladianiutolobisamoxsna?

raswarmoadgenswrfiviorcvladianiutolobisamonaxsni?amonaxsnTa

simravle?


SearCie marjvena svetidan saTanado sityva da Casvi winadadebaSi gamotovebul adgilze

TukvadratulisamwevrisdiskriminantiuaryofiTiadapirveli

koeficientidadebiTi,maSincvladis-------mniSvnelobisaTvis

kvadratulisamwevridadebiTia.

intervalTa

utolobaTasistemisamosaxsneladcal-calkevxsniTsistemis

---------utolobasdaSemdegviRebTamonaxsnTasimravleebis

TanakveTas.

yvela

kvadratulifunqciisgansazRvrisares---------ricxvTa

simravlewarmoadgens.nebismieri

imisaTvis,romzogadisaxis( ( ) 0f x > an ( ) 0f x < )utoloba

daviyvanoTiseTsaxemde,romSesaZlebeliiyos----------meTo-

disgamoyeneba,saWiroautolobismarcxenamxaremamravlebad

daiSalos.

TiToeul

x a− orwevridadebiTia x -is-------mniSvnelobisaTvis,rome-

licricxviTRerZze a wertilismarjvnivaa.namdvil

savarjiSoebi

1 vTqvaT,vTqvaT, { } { }3; 1; 0; 2 , 5; 5 .A B A= − − = − daBsimravleebsSoris

SesabamisobamocemuliawyvilebiT.(TiToeulwyvilSipirveladgilze

miTiTebuliaAsimravlis,xolomeorezeBsimravliselementi.)

a)(-3;-5),(-1;5),(0;5)(2;-5);b)(-1;-5),(0;-5),(-3;5)(-1;-5);(2;5).

AdaBsimravleebsSorisSesabamisobagamosaxeisrebiT.raSemTxvevaSia

Sesabamisobafunqcia?

2 funqciamocemuliacxriliT.aagemisigrafiki

3 XsimravlezefunqciamocemuliaformuliT: 2 5y x= − .ipove

funqciismniSvnelobaTay simravle,Tu { }4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3X = − − − − .

4 XsimravlezefunqciamocemuliaformuliT: 3 2.y x= − ipove

funqciismniSvnelobaTay simravle,Tu { }3; 2; 1; 0; 1; 2; 3X = − − − .

5 XsimravlezefunqciamocemuliaformuliT: 22 .y x x= − ipove

funqciismniSvnelobaTay simravle,Tu { }3; 2; 1; 0; 1; 2; 3X = − − − .

x -4 -2 -1 0 2 5

y 1 2 0 -2 -1 1


6 SesaZlebeliaTuara,naxazzemocemulimrudiromelimefunqciisgrafikswarmoadgendes?

7 ekuTvnisTuara 10yx

= funqciisgrafikswertili ( )1, 25; 8A ?

( )5; 20 ?B −

8 funqciamocemuliaformuliT: 20, 8 4y x= − + .a)ipove x cvladis

immniSvnelobaTasimravle,romelTaTvisac 0, 0, 0;y y y> < = b)zrdadiafunqciaTuklebadi?

g) x − isramniSvnelobisaTvisRebulobsfunqciaudidesmniSvnelobas?

9 21

24

y x= + funqciisgrafikismixedviTipove:

a) y − ismniSvnelobebi,roca 4; 3; 2; 4;x = − − b) x − isyvelaismniSvneloba,romelTaTvisac 2; 3; 6; 11.y =

10 dawereimwrfisgantoleba,romlisgrafikigadis

A(5;-2)daB(-7;-9)wertilebze.

11 naxaze mocemulia (-3;5) Sualedze gansazRvruli funqciis grafiki.naxazemocemulia(-3;5)SualedzegansazRvrulifunqciisgrafiki.

romeliamisimniSvnelobaTasimravle?

a)(-7;5)

b)(-7;10)

g)(5;7)

d)(-11;10)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

#1 #2 # 3 #4

#5 #6 #7 #8

#9 #10 # 11 #12

y

x0

-7

5


12 grafikebismixedviTgaarkvie,mocemulTaganromelifunqciaa

zrdadigansazRvrismTelareze?romeliaklebadi?romeliaarc

zrdadidaarcklebadi?

13 ( )y f x= funqciamocemulia[ ]3; 5−monakveTze.gansazRvregrafikis

mixedviTfunqciismniSvnelobaTasimravle.

14 romelialuwidaromelikentifunqciisgrafiki?

15 mocemulia ( ) 24 12 5f x x x= − + da ( ) 24 6 1g x x x= − − funqciebi.ipove

f (x)funqciis:

a)grafikissakoordinatoRerZebTangadakveTiswertilebi;

b)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;

g)nulebi;

d)dadebiTobisadauaryofiTobisSualedebi;

e) ( )f x da ( )g x funqciebisgrafikebisgadakveTiswertilTakoordinatebi.

#1

#2

#3

#4 y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

a)

)b

y

x0

y

x0

y

x0

)g

0

y

x

•

•-3 5-2

2

•


16 naxazzemocemulia 2y ax bx c= + + funqciisgrafiki.grafikis

mixedviTipove:

a)2ax bx c+ + samwevris a koeficientisniSani;

b)2ax bx c+ + samwevrisdiskriminantisniSani;

g)x cvladisyvelaismniSvneloba,

romlisTvisac 0;y >d)x cvladisyvelaismniSvneloba,

romlisTvisac 0;y =e)funqciiszrdadobisadaklebadobisSualedebi;

v) ,a b da c koeficientebismniSvnelobebi

17 ipove 3 6y x= − da 2 4y x= − + wrfeebisgadakveTiswertiliskoordinatebi.

amoxseni utoloba # [18-19]

18 a) 2 5 5 10x x− > + b) ( ) ( )( )2 2 3 1 2x x x x+ − < + − +

g) 23 5 2 0x x+ + < d) ( ) ( )2 4 18 3 1x x x x− − ≥ − −

19 a) 5

02 3x

x+

<−

b) 4 2

62x

x−

< −−

g) 2

50

4xx+

<−

d) 2

2 010 9

x xx x

−≥

+ +


a) 4x y− < − b)2 2 7x y− ≥ g) 2 2y x− < +

21 amoxseni utolobaTa sistema:amoxseniutolobaTasistema:

a)( )2 2 2 3

4 1 2 12

x xx x

− > −

+ > − b)

( )3 2 4 3

5 3 7 2

x xx x− > −

+ > −

g) ( )3 2 4 5

7 4 3 5

x xx x− > −

− > +

d)d)( )2 2 2 3

4 1 2 12

x xx x

− > −

+ > − e)

( )3 2 4 3

5 3 7 2

x xx x− > −

+ > −

v) ( )3 2 4 5

7 4 3 5

x xx x− > −

− > +


a)5 5 0x y+ + > b) 4 0x y− + > g) 3 2 12 0x y+ − < d) 5 2 4 0x y− + >

23 dawereutoloba,romlisamonaxsnTasimravlesakoordinato

sibrtyiswiTladdaStrixulinawiliswertilTakoordinatebia.

y

x0 11•

•


1

23

5

x

y

01

2 3 4

4

5

y=0,5x2

1

23

5

x01

2 3 4

4

5

y=-x2

y

24 dawereutolobaTasistema,romlisamonaxsnTasimravle daStrixulianaxazze

aba, scade!wyvilebSi samuSao

kvadrati,romlisgverdissigrZeoTxierTeulia,eqvsisxvadsaxvagziTdayaviTortolnawilad.

testi #5

1. qvemoT CamoTvlilTagan romeli funqciis gansazRvris area

( ); 2−∞ − Sualedi?

a) ( )f x =( )2

1

2x + b) ( )f x =

82x

−+

g) ( )f x = 2

24

xx

++

d) ( )f x =2 4x −

2. (-10;10) monakveTze gansazRvruli funqcia mocemulia grafikiT. misi mniSvnelobaTa simravleaa)(-10;5)b)(0;7)g)(5;7)d)(-5;11)

3. romel naxazzea mocemuli 23 10 8y x x= + − funqciis grafiki?

y

x0

a)

b)

g)

d)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

-5

11

a) b)

1

23

5

x

y

01

2 3 4

4

51

5

x0

1

2 3 4

4

5

=3x+3

y =6

-2

x=-1

yy

-2

23

y =-3x

-10 10


testi #5

4. naxazze mocemulia 2y ax bx c= + + funqciis grafiki. grafikis ordinatTa RerZTan gadakveTis wertilis koordinatebi da

2 0ax bx c+ + = samwevris fesvebia

a)(3;1), 1 21; 3.x x= =

b)(0;1), 1 22; 3.x x= − =

g)(0;3

34), 1 22; 4.x x= − =

d)(-2;3

34), 1 22; 4.x x= − =

5. Tu ( ) 0f x ≤ utolobas mxolod erTi amonaxseni aqvs, maSin romeli

SeiZleba iyos ( )f x funqciis grafiki?

6. me-5 davalebaSi mocemul romel naxazzea mocemuli kenti funqciis grafiki? a) b) g) d)

7. ramdeni mTeli amonaxsni aqvs ( ) 0f x < utolobas [ ]6; 8− SualedSi?

y

x0 1

1•

a)

b) g) d)

x x x x

y y y y

0 0 00

a) 8 b) 13 g) 14 d) 7

x

y

086− -2 3

9

y = f (x)

•


sarcevi - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/maths/saginashvili/... · 3.3...

Documents