Danijela MiševićNada Todorovska

M – I

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

doc.dr.sc. Franka M.Brückler

SANGAKU - „matematička ploča“

• obojene ploče ponuđene u shinto svetištima i u budističkim hramovima u Japanu; prikazuju matematičke probleme

• bile su namijenjene za kuću (kao zahvala duhu - čuvaru kuće), ili su stavljani u hramove kao izazov drugima s porukom:“Riješi ovo ako možeš!“

• najviše sadržavaju običnu Euklidsku geometriju

• problemi su različiti od onih koje nalazimo u današnjoj nastavi

• neke od problema su prilično jednostavni i mogu ih riješiti i studenti nižih godina

• drugi su gotovo nemogući za riješiti, a moderni geometri riješavaju ih pomoću poboljšanih metoda

• najprije je tekst ploča pisan u Kambunu, kineskom pismu namijenjenom Japancima

Primjeri sangaku ploča

KYOTO

TOKYO

YAMAGATA

HYOGO

OSAKA

KANAGAWA

IWATE

NAGASAKI

FUKOKA

YAMANASI

Kronologija1338. Započinje mračno doba znanosti u

Japanu

1573. Završetak Ashikaga Shogunata

1600. Tokugawa Ieyasu dobiva bitku na Sekigahari porazivši Hideyorija

1603.Početak perioda Edo u Japanu pod Shogunatom Tokugawe

1615.Ieyasu okupira dvorac Osaku; učinkovito se riješava cijele političke opozicije

1627.Koyo Yoshido piše Jinko-ki (“Mali i veliki brojevi”), djelo koje postaje sinonim

za aritmetiku u cijelom Japanu

1633.Shogun Lemitru službeno zabranjuje putovanje izvan Japana. Trgovina dozvoljena samo s Kinom i Nizozemskom

1639.Početak perioda Sakoku (“nacionalna izoliranost”) u Japanu

1642.Rođenje Kowa Seki-ja, najvećeg japanskog matematičara

17.st.

1683.Najstariji izvještaji o sangaku pločama u Tochigi Prefecturi

1854.Završetak perioda Sakoku (M.C.Perry)

1867.Službeni kraj perioda Edo u Japanu

Povijest sangaku ploča

• najraniji sangaku datira nekoliko godina prije početka japanskog Edo perioda

• Japan izoliran – pristup svim oblicima kulture bio je onemogućen – razvoj “japanskih” matematičara

• kružnice i elipse imaju veliku ulogu

• tijekom 200 godina Sakoku-a bilo je napravljeno oko 25 sangaku-a godišnje

Wasan vs. Yosan• Wasan – japanska dostignuća u

matematici (poznat i razvijen sustav eksponencijalnih jednadžbi, sličan Arhimedovom )

• Yosan – proces stvaranja novih rukopisa sa zapadnjačkom notacijom, pisanih u Kambunu (19. st.)

• nakon otvaranja Japana nova vlada napustila je učenja starih matematičara u prilog yosanu

• neki su matematičari nastavili vješati ploče do danas (20. i 21. st. - plagijati)

UMJETNIČKA DJELA

• Chou-pei Suan-ching (prvo poznato djelo); primjer Pitagorinog teorema, dijagram sličnosti kod njegovog dokaza

• Chiu-chang Suanshu (najpoznatije japansko matematičko djelo); opisuje metode za nalaženje površina trokuta, četverokuta, krugova i ostalih likova

• Unatoč utjecaja kineske nauke, matematika nije ostavila korijene u Japanu (tijekom šogunata Asikaga (1338.- 1573.) teško se moglo pronaći nekoga u Japanu tko bi znao dijeliti )

• Kambei Mori (1600.); aritmetičko računanje na SOROBAN-u, inačici ABACUSA

• Koyo Yoshida – “Jinko-ki” (“Mali i veliki brojevi”)

• razvoj metoda za rješavanje jednadžbi višeg stupnja (važno za geometriju u hramovima)

• Seki – princip kruga (odnosi se na razvoj sangaku ploča) ili ENRI

• ENRI: slična metodi ekshaustije razvijenoj još u drevnoj Grčkoj za izračun površine kruga

• predstavlja primitivnu formu integralnih jednadžbi što je kasnije bilo prošireno na druge likove, uključujući sfere i elipse

„TKO JE OSMISLIO SANGAKU?“

• jesu li tako lijepo uređene ploče djelo profesionalnih matematičara ili amatera?

• mnogi od problema su elementarni i rješivi u svega nekoliko redova, pa se može pretpostaviti da su ih stvarali laici

• iz informacija kojima se do sada raspolaže zaključuje se da su ploče bile djelo prvenstveno profesionalnih matematičara i njihovih učenika (?!)

• najbolji odgovor na postavljeno pitanje o tome, tko je stvorio sangaku, bio bi SVI!!!

Tipični problemi

TOKYO 1788.

Traži se radijus n-tog najvećeg plavog kruga pod uvjetom da je r radijus zelenog kruga. Crveni krugovi su jednaki (radijus je r/2).

Originalno rješenje ovog problema je japanska inačica Descartovog teorema o krugu.

GUMMA 1824.

Narančasti i plavi krugovi dodiruju se u jednoj točki i leže na istom pravcu. Mali crveni krug dira oba veća kruga i također leži na tom pravcu. Koji je odnos među radijusima tih krugova?

Pokažimo da j e AB 2 = 4r1r2

AB 2 + r1 - r2 2 = r1 + r2

2

AB 2 + r12 - 2r1r2 + r22 = r12 + 2r1r2 + r22

AB 2 = 4r1r2

Problem:

Problem:Dokažimo:

Uz činjenicu: AC+CB=AB

AB2 4r1r2AC CB2 4r1r2AC2 CB2 2ACCB 4r1r2

4r1r3 4r2r3 22r1r32r2r3 4r1r2

r1r3 r2r3 2r3r1r2 r1r2

r1r3 r2r3 2r3r1r2

r1r2r3

r1r2r1r2r3

1r2

1r1

2r1r2

1r31r1

1r22 1r32

1r3 1r1

1r2

MYAGI 1912.

U točki P na elipsi nacrtaj normalu PQ tako da ona siječe drugu stranu elipse. Nađi najmanju vrijednost od PQ.

Rješenje: manja os elipse

MYAGI 1913.

Narančasti kvadrati su nacrtani kao na slici. Koja je relacija radijusa među trima krugovima nacrtanih kao na slici?Rješenje: r1 : r2 = r2 :

r3

GUMMA 1803.

Baza jednakokračnog trokuta leži na promjeru zelenog kruga. Taj promjer također presijeca crveni krug, što je postignuto tako da samo dira unutrašnjost zelenog kruga i vrh trokuta. Plavi krug je smješten tako da dira crveni krug i trokut. Dužina spaja središte plavog kruga i sjecište crvenog kruga i trokuta. Pokaži da je ova dužina okomita danom promjeru zelenog kruga.

GUMMA 1874.

Veliki plavi krug leži unutar kvadrata. 4 manja narančasta kruga, od kojih je svaki sa različitim radijusom, dira plavi krug, kao i dvije susjedne stranice kvadrata. Kakva je relacija među radijusima četiriju malih krugova i duljine stranice kvadrata?

1825. Koristi se metoda ENRI.

Valjak presijeca sferu tako da je vanjski dio valjka tangenta odnosno dira unutrašnjost sfere. Koja je površina dijela valjka koji sadrži unutrašnjost sfere

KAMAGAWA 1822.

Dvije crvene sfere međusobno se diraju i unutar su velike zelene sfere. Niz manjih, plavih sfera različite veličine čini “vrat” između crvenih sfera. Svaka od plavih sfera u “ogrlici” dira najbliže susjede, a svi diraju obje crvene sfere i zelenu sferu. Koliko plavih sfera mora biti? Kako se međusobno odnose radijusi plavih sfera?

1798.

Neka je velika sfera okružena s 30 malih sfera jednake veličine, od kojih svaka dira svoje 4 susjedne sfere, ali i veliku sferu. Koji je odnos radijusa velike sfere u odnosu na male sfere?

Neka je AB = a, AF = x, OF = r

 (a + r)2 = r2 + (a + x)2

a za ΔAFO vrijedi sljedeće: (a - r)2 = r2 + x2

Oduzimanjem dobijemo: 4ar = a2 + 2ax,

ili  x + a/2 = 2r,

što znači da je stranica EF kvadrata MCEF, gdje je M polovište dužine AB,promjer kruga. Konstrukcija je sada vrlo jednostavna.

Tada za ΔBFO vrijedi:

U duhu U duhu Wasana:Wasana:

Problem 1Problem 1

Neka je R radijus kruga sa središtem u E, a r nepoznati radijus traženog kruga.

 

                         

         

Za trokut ΔADE vrijedi: 

(R + r)2 = AD2 + (R - r)2,

ili 4Rr = AD2

Dok za ΔABC vrijedi: (2R - r)2 = BC2 + r2,

ili 

R2 - 4Rr = BC2.

Budući je AD = BC, dobivamo sljedeće:

 4Rr = 4R2 - 4Rr,

Ili R = 2r.

Središte kruga (A) nalazi se na presjeku krugova radijusa 3R/2 sa središtima u E i C.

Problem 2Problem 2

JEDAN ZANIMLJIVI APPLET

LITERATURAhttp://www.wasan.jp/english/

http://www.sangaku.info/

http://www.princeton.edu/main/news/archive/S15/04/04O77/index.xml

http://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.html

http://matcmadison.edu/is/as/math/kmirus/Reference/SanGaku.html

http://www.loyola.edu/maru/sangaku.html

http://lasi.lynchburg.edu/peterson_km/public/old/projects/problems.htm

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagorasWithVectenInJapan.shtml

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml