sangaku: desafios matemáticos nos templos do japão

5/11/2018 Sangaku: Desafios Matem ticos nos Templos do Jap o - slidepdf.com

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do pais e que,. aaafixar urna tibua num templo, anuneiavam

aos habitantes a chegada de urn mestre.

No texto queso si:lgu.e apresentamosralgunsexemplos de

s l 1 1 J g a k l l que envolvem essenciahnenteaplicacdes do teorema

de Pimgoras, semelhancas de trmngulose resolucao deequa-

~oode 1.Qe 2~Qb'l"allSe que, por Isso, podem serabcrdados

pOI alunos do 3 . < C !ciclo d o .ensino basico,

E import ante dizer que a Ialta de r I g o r nos enuncladosdos problemas .que se seguem edeliberadae jusfifica-se par

serem os SQ1lgukuessencialmen-re visuais e, em geral, ponco

mais iTIduirem do que 0desenho, 0 desafio, a oolUl;-ao e 0

nome db autor, Assim, ernbora.rrada seja afirznado, assume-

se que as figuras respeitam aquila que os olhos nos dtzem,

que as triangWos que aparentam serequilateros, isosceles au

rectangulos 0sa o realmente, que doiscirculos que se toeam

sao tangentes .._Apesar da deeisao que tomamos, eonsidera-

mas que, quando.se traba lhar com joveus estudantes, t,§mde

constar no enunciado tndos os dados completos.

E tambemassuandoque 0Jeitor re m conbecimentos ba-

sicos de gecmetrla e, pO I " isso, se omitein algumas justifica-

90e5 ,que.serao necessaries para alunos dos ensinos basico e

secunda rio.

Sob os tclhadQs de alguns temples budistas e xintoistas do

Japao pode:m ainda VeT-'SC exemplares de sl'lllgnku, labuas

de madeira pinradaacom eolcridosdesenhos geomi:hricos.

Neles errcontramcs problemas de geometria euclidiana nos

quais circulos,elipses, quad rados, cones, dlindros __se inter-

sectam. Alguns sao suficientemente simples para poderem

sec resolvidos pOl' alunos dosensinos basico e secundario e

pouco mais exigem do que 0 teorema de Pita.goras e casesde semelhanca de triangllios •.outros zequerem ferramentas

avan.;adas como mtegra.is, 5iries au transfurma¢es afins,

Os s « n g a J . . . " l t florescerarn no periodo Edo, nos seculos XVlI a

XIX.,altura em que -0 Japao auto-irnpos 0 isolamento em re-

la¢o ao Ocidente.Emm colocados nos temples tanto por

cidadaos comuns que: manifestavam aos deuses a. sua. gra-

tidfio pela ajuda concedida na resokl~o de urn problema

particularmente diffcil da vida real, como por maternaticos

consagrados que pretendiam lancar-um desafio aos S\2US pa-

res. Tambem os jovensaspirantes a matemsticos osafixavam,

exprimindo 0seu talento, desejosos de chamar a atm~o dos

mestres e de, assim, consegUirem. ser ocnvidados a ingres-

sar numa €Scolapara pross<'!5Uirem os.seus esrudos, Serv lam

ainda com o difusor de cenhecimentos e veicnlo de publii:::ida-

de das escoias qne.erwiavam representantes a s zonas remoras

--_____,./



'Figura I.P·ROBLEMA 1

Retac:idna-lra distanda dos pentoa de tang.encia da recta com

QS drculose os seus rates,

Resolu~1io

Sejam A e B os pontes de tangencia cia recta com es dr-cu:l:os,

C1 er} 0centro e 0-raio do circulo maiore C2 e r2 0 centro e 0

I I raio do circulo menor (figura 2).

I~

Tracemos 0se:g:mento que une cs centres dos deis circulos

e seja B' 0pe da perpendicular baixifda de C1para a paralela

a AB q:ue passa r=c2. (Deixa-se ao cu idade do leitorconcluir

que 0ponte de ta:ng€ncia dos dois ci:reu1ospertenee a C1Cz-)

Conside:remos otrian_gu1o, rectingulo, [C1lB'lcujos la-

dos medem (rl + '2), (fl - "(2)e A.B. Poraplica<;ao do teorema

de Pibigoras obtemos:

(T 1 + (2)2 =AB2 + C f t - T2)2

donrle

ou seja

PROBiLEMA.2

Relaeionar as raios dostres cfrculos,

Re,solut;ao

Sejam .4, Be C os pontes de tangencia da recta com os cfrcu-

105de raios rl, r2 e r3(figura 4)-

F i g u r a _ "

Aplicandoo resultado do problema 1 temos:

~ , ---:--= 2 . -2-

AB- =4T1'2, Ac =4f1r" e Be - = !l ;T2r~

ou:

AB = 2,ffli£ AC = 2 . J T - l i 3 e Be = 2.ft2T3.

Como

entao2.,jTlri =2 J 1 V 2 +2JTiT"3

1 1 1-=-.~+-~,ft2 . ji3JY1-



F i g u r< ) S

PROBl;EMA 3

Exprimir 0raio do cl:rculo em fun~.ao dos lados do triangulo.

Resolll~ao

Sejam x, 9 e z. es lades do triangulo,_ r 0 raio do ctreu-

10 eM, N e P :0.8 pbntosgi;>' tilhgencia· do cireulo com 0$

lados dotri~10, conlormea figura 6. Deixamos ao

cuidado do leiter justificar que AN ='l..iIIf·eBN --"BP.

"

c¥

Figura 6

Seja AN =A.M=1 1

e BN = BF =h. Podemos, assim, es-crever as comprimentos dos lades do tcian_gulo como

x = a+r, y =11 +r e z=tl+ b. Se.calculannos as valores de

,a = x - re b = - r nas duas primeiras condicaese substi-

tuirrnos na terce:im, temos, sucessivamenfe:

z =a+ u= x+y -2r

e.aexpressao qu.€'relaeicnao rare do clrculocomos lades do

triangulo e : :t+y-z:r =---"2'---.

Figura 7

PROBLEMA 4

Calcular 0raio do circuloa partir de.AC, Be e eM.

Resoh.!~io

Comecemos 'pOT traear [CE ] , diametro de extremes C e E e 0

trlangulo [BeE] (figuraS). Os triangulos [ACM] e [BCE ] sao

semelhantes poisi

- cAB =ct: B cangulos inscritos no mesmo areo)

-AMC=CBE=90Q

Figura B

Dasemclhailt;a d05 dois triangulos concluim.os que:

B t : CE

=CM A.C

ou seja

donde

BCxACT= -==--

2CM



- - _ - - -I' "1=- "

! " . - , . <'·T'::'r-."

Agura9

PROBLEMA S

Relacionar 0 lado do quadrado com 0 raio dos cirrulos

inscritus,

Resolus:i.o

Chamemos r ao raio do circuJo e a, bee a s medidas des

lados do triangulo [ABeL ordenadas pOT ordern crescente

(figura 10)..0 problema 4 garante-nos que o.raioda circun-

ferenda inscrita no triangulo e r = Q ' 1 - C ,

I ~

F ig ura 1 '0

Par outre lado, COmO AC = AD + DC, temos

a , 2 r = b, donder =9.

Da c:onjun~o dos dois valores obtidos para r concluimos

que IH~~'=9,all seja, que c'"2n.Aplicando 0 teorema de Pitagoras ao triangulo [ABCL. te-

mas c 2 = a 2+ 1 i l e, substituindo c pelo valor arras encontra-

do, obtemos a equa~o 4a2= a 2 +E f 2 cuja solueao posrtiva eb =..f3a.

Regressando a r =¥ e efcctuando sucessivamente as

substituicoes b = .j3a e n =~,emos:

v '3 a - £l v '3 - 1 ,j3- 1T - 2 = --2- ='--4_-c,

F ig ur a I I

PROBLEMA 6

Escrever os raios dos drculo como fun~o do lade do qua-

drado,

Resolus:aoSejam a, '] e '2respectivamente asmedidas do lado do qua-

drado e des raios dos circulos de centres C1.e C2 e tracemos

[C2MJ,segmento que passapor C1e intersecta o lado do qua-

drado no seu ponto medic M UustJ£icayaodeixada ao cuidado

do leiter). Tracemos tambem as segmentos [AC1 ] e [ACz] ,

Figura 12



a t:riangulo lAMCl ] e rectal1gulo de lades .AM=;,

C]-M =~.+"ie AC1= .111'l' Aplicando 0 teorema de ~ita-

gOl'as, terries:

~.-.-2 -.-2. --2ACt =C1M +AM

ou

Resolvendo em ordem a 'I . obtsmos a solu¢o;, (1

1'1=6 '

Cortsiderernos agora 0 tri§ngulo rectangulo [AC2MJ de

lados AM" = i; ACz. = .11·+ T2 . e e2M =a - r2, Aplicando 0

teorema de Pitagoras, ooncluimos que

(a + r2)2 = (a -1'2)2 + G ) 2donde

Resumlndo: os raios das circunferencias maier e menor

podem ser eseritos em iungao do lado do quadrado respec-

nvamentecamo:

II1" 1 =~ e

6

F l g > J r n 13

;PROBLEMA 7

Relacionar os raios des doiscireulos com 0do semfcirculo.

Resalu~ao

Sejam -h=CM a altura do trifutgulo [ABq r 0 raio do St7

micirculo, 50 raio do circulo de centro E, Fe G os pontes de

tangenoa de cada urn doscircalos com AC 'Iracamos os raios

[ E ' F l e I D G I (figura 14). .

E imediato conchiir 'Iue 0circulo tern raio= z ·

Figura 14

NQ triangulo IACM~ r"ectimgulo; -d e catetosAM = 5 : e

CM =h,a hipotenesa mede AC =viiI.+ ,2, No triangulo

[CDG~ rectangulo, tsmos CD=h- !~eG =~,Comoestes

dois hiSngulos sao semelhantes pois tern os angulas iguais,

podemos a6;rmarque:

CD DG=

ouse]a AC AM

,h -2 r

=.£.,fh2 + ,2 r

e, desenvolvendo e simplificando, chegamos aequas-ao:

31).lil-4~h =0 que admire como 501u. ;ao positiva:

411= -r3 .

Bfecruando a substituic;a.o Ii= j 'T em AC =Jh2 + r2 ., ob-

temos AC =~f,

Consideremos agora 0triAngulo r eEF ] em que E F = s

e CE =h-r-s = ir-T-s = jr.Os seus angulos sao

iguais aos do triangulo [ACMl pelo que, da semelhanca dos

dais triangulos, podemos concluir que:

CE BE-AC AM

donde

e,-resolvendo em ordema S" obtemcs sueesslvamente:

1 5

3r_.s= 35

1s= '8

Em resume, os raios dos circulos de centres DeE expTes-

sosem fun¢<io do raio do sernicirculo sao, respectivamente,

r 12 : e gr.



Il'I

'I

i

'Ij

i

Termmamos com oerrunciadode u J J J ; - i i 4 n g n k u simples cuja re-

solUo;~9deixamosa ~arg'q:dQleitor,

F ig ura 1 5

PRO~'LEMA8

Escre;v~t 0a:qb d1:Llluad;ra.4oem fun~~b doraio dos circulos

(figura 15) .

Embora tenhasi(l_"Qre~eri(b noinicio, naQedemais realcar

qutYiJaqui inten~ion\lIfalta de dados nos anunciados dos.pro-

blemas nao.pcdeexistir em contexte de aprendizagem e-gue,

.relo menos.nesse case, as enunciados devern seI reescritos de

Figura 16

modo a confer todosos prcssupostos ..For exernplo, aorexto

tIp_proble-ma 4 qeveacre-s'centar-se- que ofriffi,nguloe rectan-

gulcrequeo.ctrculoe tangente 'a cada umdos seus tres.Iados,

Alemdes Iivros citados na bibliografi""h,leitot interessade

encontra rra.w_ebdiversos p:tQbl~inas,b;em:cdii;ib.fotcgrafias-de

snngahi. Urna palavra especial pata 0livre deFukagawae Re-

inman que,' alem dq :I;'levaqqrunnero deproblemas, preenche

boa parte das suas pagiftas com lpn3viagern fasci'nante.a his-

toriada matematica noJap50.

E U BUOGRA.FIA

(~)Capihiit;F r a n c i s c o Javier; Priiblem£is S a n Gaku, Cordoba,

2003.

(2) -Ful(?gawaiHid~to:sni, e Rothman; T6n1 : Si{r :tedMi l t twma-

t i c s : Iapariesl{Teinple 6 e O i 1 : l . c , t ; r y " I ' t ITIce . ton"New n~:tsey,Z008 ,

(3) Huvent, Gt: i~tyi $a:rj.gaku, L_eNJysteredes, £ 'mgf ir cs Gr I /mft -r i-

ques}aponiiises, Pari~"2dOB.

4 2 GAZETA DE MATEMATiCA' 1 65

sangaku: desafios matemáticos nos templos do japão

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