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Construction de la notion d’aire : apports d’une analyse comparative

Valentina CELI IREM de Grenoble

En guise d’introduction :trois problèmes sur les aires

Un premier problème Le triangle des milieux (1)

Soit ABC un triangle et I, J et K les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [AC]. Comparer les aires de ABC et de IJK.

Relation des longueurs des hauteurs de ABC et IJK et recours à la formule

Mesurage et recours à la formule ABC est constitué de quatre triangles

isométriques ABC et IJK sont semblables

(agrandissement/réduction) Recours à la perception Propriétés fausses (Aire(ABC)=2×Aire(IJK))

Un premier problème Le triangle des milieux (2)

Un deuxième problèmeTriangle partagé par une de ses médianes

Tracer un triangle ABC tel que :BC = 6 cm, AB = 5 cm et AC = 3 cm.

Soit I le milieu de [BC]. Quel est des deux triangle AIB et AIC celui qui a la plus grande aire ?

D’après Charnay R., Mante M., Préparation à l’épreuve de mathématiques du CRPE, Hatier, 1995, Tome 1, p.220

(Une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire)

Un troisième problème

Dans la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et les droites (DE) et (BF) sont parallèles. Parmi les équations proposées, quelle est celle qui exprime que l’aire de la surface grisée est le double de l’aire de la surface en blanc ?

D’après Barussaud G., Eckenschwiller M., Tests psychotechniques, aptitude numérique, Concours Paramédical, Foucher, 2005, p. 103

)13(737 xx )13(7372 xx 1373

17 x 137

3

27 x 137

3

113 x

EDCBA

L’AIRE…… UNE NOTION AU CARREFOUR DES DOMAINES GEOMETRIQUE ET NUMÉRIQUE (OU ALGÉBRIQUE)

DANS L’ENSEIGNEMENT, COMMENT CES DOMAINES S’ARTICULENT-ILS DANS LA CONSTRUCTION DE LA NOTION D’AIRE ?

QUELS SONT LA PLACE ET LE RÔLE DE LA FORMULE ?

LES MANUELS SCOLAIRES

- UNE RÉFÉRENCE CULTURELLE PROPRE À METTRE EN ÉVIDENCE CERTAINS ASPECTS CARACTÉRISTIQUES D’UNE INSTITUTION SCOLAIRE

- UNE IMAGE APPROCHÉE DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT POSSIBLES

ANALYSE SYNCHRONIQUE ACTUELLEMENT, LA NOTION D’AIRE DANS LES MANUELS SCOLAIRES FRANÇAIS ET DANS LES MANUELS ITALIENS

ANALYSE DIACHRONIQUE AU FIL DU TEMPS (1925 À NOS JOURS), LA NOTION D’AIRE DANS LES MANUELS FRANÇAIS

La notions d’aire dans deux manuels italiens

(encore) actuels

D’après un manuel italien, niveau Collège

• Notion de surfaces planes congruentes (en relation avec les triangles)

• Notion de surfaces planes équivalentes (même étendue)- Deux surfaces congruentes sont équivalentes - En général, deux surfaces équivalentes ne sont pas congruentes

• Propriétés de l’équivalence de surfaces

• « Somme » et « différence » de surfaces. Critères d’équivalence de surfaces

• Mesure de l’aire d’une surface (« nombre qui indique combien de fois l’aire d’une surface contient l’aire d’une surface choisie comme unité de mesure »)

Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)…

rectangle par pavage en carreaux congruents

carré rectangle particulier

parallélogramme transformation du parallélogramme en un

rectangle équivalent (équidécomposabilité)

triangle par la méthode de complémentation, lien avec

le parallélogrammeEn fonction des - longueurs d’un côté et de sa hauteur associée - des longueurs des trois côtés

triangle rectangle triangle particulier

En fonction

- des côtés de l’angle droit- de l’hypoténuse


losange parallélogramme particulier

En fonction des longueurs d’un côté et de sa hauteur associée

par la méthode de complémentation, lien avec le rectangleEn fonction des longueurs des diagonales


quadrilatère ayant les diagonales perpendiculaires par la méthode de complémentation, lien avec le

rectangleEn fonction des longueurs des diagonales

carréEn fonction des longueurs des diagonales

trapèze transformation du trapèze en un triangle équivalent

(équidécomposabilité)


polygone régulier décomposition en triangles congruents

polygone circonscrit à un cercle décomposition en triangles ayant la même hauteur

polygone quelconque décomposition en triangles, rectangles, trapèzes

bande polygonale


D’après un manuel italien, niveau Lycée

• Notion de surfaces planes congruentes (en relation avec les triangles)

• Notion de surfaces polygonales équidécomposables- Les polygones congruents sont équidécomposables (la réciproque n’est pas vraie)- La relation d’équidécomposabilité est une relation d’équivalence- « Somme » ou « différence » de polygones équidécomposables

• Notion de surfaces polygonales équivalentes- Deux polygones qui sont « somme » de polygones congruents (équidécomposables) ou « différence » de polygones congruents sont équivalents

Polygones équivalents

• Un parallélogramme et un rectangle ayant la même base et la même hauteur sont équivalents

• Deux parallélogrammes ayant la même base et la même hauteur sont équivalents

• Tout triangle est équivalent à un parallélogramme ayant pour base la moitié de sa base et la même hauteur

• Deux triangles de même base et de même hauteur associée sont équivalents

• Un trapèze est équivalent à un triangle de même hauteur et dont la base est la somme des bases du trapèze

• Un polygone peut être transformé en un polygone équivalent ayant un côté en moins

• Tout polygone peut être transformé en un triangle équivalent

• Tout polygone peut être transformé en un rectangle équivalent

Deux problèmes résolus• Construire un triangle équivalent à un triangle donné et dont la hauteur est congruente à un segment donné• Construire un rectangle équivalent à un rectangle donné et dont un côté est congruent à un segment donné

« Un polygone quelconque étant donné, nous savons maintenant le transformer en un rectangle équivalent et dont la longueur d’un côté est donnée »

Mesures de grandeurs« La mesure d’une grandeur par rapport à une unité choisie au préalable est le « nombre réel positif » qui exprime le rapport entre cette grandeur et une grandeur choisie comme unité… »« … la mesure d’une surface est dite aire »

On définit ensuite la mesure en tant que fonction et on expose les propriétés de la mesure en précisant que « ces propriétés permettent de passer des grandeurs aux mesures correspondantes » et de résoudre ainsi des problèmes géométriques dans un domaine numérique ou algébrique

Proportionnalité entre grandeurs« … pour simplifier les calculs, il convient de choisir comme surface unitaire le carré construit sur le segment choisi comme unité de longueur »

On introduit alors les formules de calcul de l’aire du rectangle, du carré, du triangle, du trapèze, d’un polygone régulier

La notions d’aire dans des manuels français

(1985-2006)

En Sixième

rectangle par pavage en carreaux congruents

Carré rectangle particulier

Triangle rectangle à partir du rectangle

(Losange) à partir du rectangle

Unité de surface (système métrique)

En Cinquième

Parallélogramme à partir du rectangle

Triangle à partir du rectangle ou du parallélogramme

(Trapèze : proposé dans un exercice)

En était-il de même autrefois ? La notions d’aire dans des

vieux manuels français (1925-1977)

Mauguin, Mathématiques 6e, istra (1977)

Surfaces planes : Superposables Qui ne se recouvrent pas Constituées de parties ne se recouvrant pas et

superposables deux à deux Notion d’aire Aire-somme, aire multiple Mesure des aires Système métrique Mesure de l’aire du

rectangle (pavage), du carré, du parallélogramme (décomposition), du triangle, du trapèze, (du losange)

Bréard, Mathématiques 6e, Éditions de l’École (1969)

Aire définie en tant qu’application Aire d’une surface

Rectangulaire Carrée Trapézoïdale Triangulaire (en considérant le triangle comme

étant un trapèze dont une base est réduite à un point)

Ayant pour frontière un parallélogramme (considéré comme un trapèze)

Unités d’aire

Chenevier, Précis de géométrie plane, Hachette (1925)

Unité de surface. Aire d’une surface Surfaces équivalentes Aire d’un

Rectangle Triangle rectangle (à partir d’un rectangle) Triangle quelconque (à partir d’un triangle

rectangle) Parallélogramme (à partir d’un triangle)Deux parallélogrammes (triangles) qui ont la même base et

la même hauteur sont équivalents Trapèze (à partir d’un triangle)

Aire d’un Polygone quelconque (décomposition en triangles

ou trapèzes) Problème. Construire un triangle équivalent à un

polygone donné Problème. Construire un rectangle équivalent à un

triangle donné Polygone régulier (décomposition en triangles

isocèles superposables)

En résumant

Dans l’enseignement français, la notion d’aire était et est encore abordée en se limitant presque exclusivement aux domaines numérique et algébrique

Dans l’enseignement italien, le lien avec le domaine géométrique demeure plus marqué

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