En halv ertænk nu hvor aparte

to tredjedele af tre kvarte/Piet Hein

Det Springende Punkt, Hillerød, 2013.www.detspringendepunkt.dk

RUNDT OM OKTAVEN

Da jeg omkring årtusindskiftet udfærdigede mine første skitser af oktavspiralen, var jeg henrykt og troede, jeg havde gjort en enestående opdagelse. Henrykt er jeg stadig, men jeg har skridt for skridt erkendt, at jeg heller ikke er den første, der har stået på skuldrene af kæmper. Oktavspiralen fandt sin i mine øjne færdige udformning med hhv. Hans Kayser (1891-1964) og Erv Wilson (1928- ). Den første oktavspiral, jeg kender til, stammer fra 1877. For at forstå udviklingen og hvorfor den er så interessant, må vi se lidt på oktavens kulturhistorie i bredere forstand og en smule på matematik og musiknotation. Jeg håber, at læseren ikke lader sig slå ud af fagtermer, men eventuelt kan læse de store linjer.

Oktaven er den tonende musiks grundsten, den har universel gyldighed, er ramme om skalaer kloden rundt. Når mænd og kvinder synger enstemmigt sammen – som vi siger – synger de reelt i oktavafstand, da mændenes sangstemme ved pubertetens seksuelle modning synker akkurat en oktav.

Matematisk er intervallet et udtryk for proportionen 1:2 (ét til to). Det kommer til udtryk gennem halveringer og fordoblinger af hhv. frekvens (tid) og bølgelængde (rum). De to aspekters værdier er omvendt proportionale: Dobbelt frekvens = halv bølgelængde (oktav opad); Halv frekvens = dobbelt bølgelængde (oktav nedad).Oktaven er deltonerne 1, 2, 4, 8, … i overtonerækken. Der er også oktavafstand mellem alle øvrige 1:2-forhold i rækken, fx 3:6 og 5:10. Oktaven er således første interval i overtonerækken. Se illustrationen på forsiden!Selvom oktaven er så fundamental, er det almindeligt, selv blandt konservatoriestuderende, på forespørgsel ikke at kunne sige så meget mere om den, end det er ”spændet af en skala fra do til do” (do-re-mi-fa-so-la-ti-do') eller ”de taster på klaveret, som har samme navn”.

Oktaven som længdeforholdet 1:2 i musikalske strenge og rør

'På en ny vinding af spiralen''I en højere oktav'

I sproget har vi forstået det! Det fremgår intuitivt, at det betyder det samme, om man siger det ene eller det andet: Noget gentager sig på et nyt niveau. Det er derfor, Frede Schandorf kaldte oktaven for 'identitetsintervallet'. Hans enorme tonalteoretiske værk, chronomatikken, har sit udspring i den dag 'oktaven faldt ned i hovedet på ham' efter en lang karriere som koncertpianist, musikkritiker, redaktør og forfatter.

At oktaven handler om at vende tilbage til en ny markering af noget tidligere oplevet eller erkendt, har man vidst lige så længe, som der har fandtes tonesystemer, og det er meget længe. Mange tusinder år. Det er jo derfor, der er flere udgaver af samme tonenavn på instrumenter, selvom tonerne klinger i forskellige højder. Det tidligste manifeste vidnesbyrd, vi har, er de såkaldte Bianzhong-klokker, som blev fundet ved udgravningen af Markis Zis grav i 1978. De er støbt i 433 f.v.t., spænder over godt fem oktaver, og klokker i oktavafstand har samme navn. Link til video.

En tones oktav er 'det samme' og alligevel 'noget forskelligt'.

At denne musikalske funktion er knyttet til proportionen 1:2 (ét til to, længder af strenge og musikalske rør), har man vidst lige så længe. Men så vidt vides, skal vi ikke længere end 400 år tilbage for at finde den første afbildning af oktaven som en cirkel. Indtil da har man i vesten og mellemøsten – inspireret af studier af strenge – afbildet oktaven og andre intervaller som buer langs en akse. Den mest berømte afbildning er nok den, der findes på Rafaels (1487-1520) fresko Skolen i Athen, malet 1509-11. Her sidder Pythagoras med en tavle med værdierne 6:8:9:12, hvor de to yderste værdier naturligvis udgør 1:2, altså en oktav.

I Ching er opbygget som et binært system (et totalssystem), og spejler dermed oktavens struktur med sine grundtal 1-2-4-8-16-32-64-...

Det ægyptiske Horus-øje er også et basalt binært system. Forståelsen har rødder i det gamle rige, men brugen af øjets elementer som matematisk notation hører en senere tid til.

Piet Heins gruk på omslagets inderside refererer til Pythagoras' tavle. Han beskriver lyrisk det matematiske faktum, at 1/2 = 2/3 x 3/4. Musikalsk betyder det, at oktavintervallet spænder over en ren kvint og en ren kvart.

Rafael var et rigtigt renæssancemenneske, som genoplivede antikkens værdier og indsigter. Den musikalske model kom fra den tradition, som Boëthius (480-524) havde været formidler af 1.000 år tidligere, og som har rødder tilbage til Platon, Pythagoras og oldtidens musikteori fra Mesopotamien og Ægypten. Fra Boëthius har vi også traditionen med at notere oktaverne med alfabetets bogstaver, selvom det rimeligvis har fandtes tidligere. Han benyttede de første femten til to oktaver, en praksis som siden blev til...- A-B-C-D-E-F-G-a-b-c-d-e-f-g-aa-bb-cc-dd-ee-ff-gg-... (tre oktaver).

Overtonerækken er givet af naturen, så man kan sige, at omslagets gengivelse af oktav-spiralen er et udtryk for naturens måde at strukturere klang. De på hinanden følgende oktaver deles i hhv. 1, 2, 4, 8, 16, … intervaller som successivt bliver mindre, og alle er de forskellige. Så selvom naturen har givet os en færdig struktur, er der for så vidt ikke noget at sige til, at vi i musikkens kultur har bearbejdet mønstret, så vi kunne få tonemateriale med kun to forskellige basale intervalstørrelser. Det kender vi fra pentatone (5-) og heptatone (7-) skalaer.

Netop i renæssancen begyndte man at udvikle matematik, så oktaven kunne ligedeles i tolv halv-toner. Pudsigt nok sket det omtrent simultant med Simon Stevin i Europa og Zhu Zaiyu i Kina.

Fra Boethius' Institutione Musica: Diapason betyder oktav. Oktaven 6:12 spænder over kvart-kvint-følgen 6:8:12 (= 3:4:6) og kvint-kvart-følgen 6:9:12 (= 2:3:4). Den rene kvint 2:3 kaldes diapente ('gennem fem toner'), mens den rene kvart, 3:4, kaldes diatessaron ('gennem fire toner').

Oktavens væsen er logaritmisk! Med de absolutte værdier, frekvenstallene 27,5-55-110-220-440-... er der oktavafstand – den relative oplevelse af 1:2 – mellem a'erne på et klaviatur, og man bruger samme fingergreb, selvom der i absolut forstand, målt i Hz, er længere fra 220 til 440 end fra 27,5 til 55. Logaritmer beskriver det relative forhold, intervallet.

Den første gengivelse af oktavens 1:2 i cirkulær form, blev formentlig udformet af René Descartes (1596-1650, kendt for 'cogito ergo sum' – Jeg tænker, ergo er jeg). Han arbejdede med musik-teori i sin ungdom, omkring 1618, hvor matematikere havde en gryende forståelse af logaritmer. Han beskrev senere, i 1638, som den første den logaritmiske spiral. Det var i slutningen af musikstudierne, han fik de tre drømme, der udstak kursen for hans filosofiske løbebane.

Værdierne 540-486-480-432-405-384-360-324-320-288 (-270) skal helt klassisk tolkes som strengelængder på et monochord. Det giver et sæt velkendte værdier i en ren stemning med to versioner af hhv. stor sekund og stor sekst: 1-10/9-9/8-5/4-4/3-45/32-3/2-5/3-27/16-15/8 (-2). Descartes lancerer altså en logaritmisk anskuelse, som tydeliggør alle intervallers relative størrelse inden for oktavens cirkulære ramme. Og han illustrerer det korrekt og præcist. Illustrationerne er noget senere end nævnte årstal. Læs mere (på engelsk) her!

Den schweiziske matematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) var en af de absolutte foregangs-mænd, hvad angår forståelsen og anvendelsen af logaritmer og ikke mindst de logaritmiske spiraler. Det var hans ønske, at der skulle være indgraveret en sådan på hans gravsten, men stenhuggeren fik gengivet den mere simple arkimediske spiral, hvor afstanden mellem armene overalt er den samme. Den kan dog betragtes som en logaritmisk spiral med grundtal 1.Og med de latinske ord Eadem Mutata Resurgo står fællesnævneren mellem spiral og oktav mejslet i sten: "Skønt forandret, vil jeg genopstå som den samme".

Isaac Newton (1643-1727), som ydmygt erkendte, at ”Hvis jeg har kunnet se længere end andre, er det kun fordi, jeg har stået på skuldrene af giganter”, var i sin tidlige ungdom optaget af oktavens matematiske deling (link downloader tekstfil), bl.a. i 12, 20, 24, 25, 29, 36, 41, 51, 53, 59, 60, 100, 120 og 612, og han puslede også med dens ligedeling på basis af logaritmer.

Mest kendt er han i denne sammenhæng for sin kortlægning af det farvespektrum, som har fået hans navn, det newtonske, og som han – inspireret af sin forståelse af musikkens oktav samt Descartes og Thomas Salmon – præsenterede i 'Opticks' i 1704 som en parallel til musikkens heptatone skala. Han glemte dog at reflektere over, at sidstnævnte ikke som farvespektret er et udslag af naturens iboende struktur, men er kulturelt betinget. I moderne farveteori regner man da heller ikke indigo for en grundfarve. Det havde været mere reelt, hvis han havde forsøgt at finde en korrespondance mellem den måde, naturen ordner farverne i spektret og tonerne i naturtonerækken. Oktavspiralen – hvis vindinger deles i hhv. 2-4-8-16-32- … – var bestemt inden for hans rækkevidde, men han har ikke set denne mere oplagte forbindelse. Til gengæld er det en bemærkelsesværdig intuition at sætte farveoktaven op overfor toneoktaven, for uden kendskab til lysets bølgelængder og frekvenser kunne man ikke godtgøre, at spektret faktisk dækker en oktav – eller lige knapt.Den grundlæggende intuition er klar og utvetydig: Også i farvernes verden vil en fordobling i frekvens, halvering i bølgelængde, afføde den højere oktav. Man kan se rød og violet som yderpoler i den hhv. lang- og kortbølgede ende. Men oplevelsesmæssigt er de nabofarver, så en cirkel sluttes ved deres møde.

Det er vigtigt at forstå, at man, med den i holistiske kredse udbredte praksis med at se oktavidentitet strakt så vidt som en direkte korrespondance mellem bestemte toner og farver, overser et par vigtige forhold:

- Tonerne refererer til en anden hastighedskonstant end farverne i den bølgeformel, de to områder har til fælles, v = f x λ (hastighed = frekvens gange bølgelængde). Hvis frekvenser mellem en given farve og tone med andre ord ligger i oktavafstand, så gør bølgelængderne det pr. definition ikke. Og både toner og farver må ses som en helhed af frekvens og bølgelængde.

- Det er grundlæggende to forskellige bølgetyper, hhv. langsgående (lyd) og tværgående (lys).

- Afstanden mellem de to områder er kolossal, over 40 oktaver, og selvom oktaven i musikken er universel, vil der alligevel være indbygget et perspektivprincip, så proportionen 1:2 i yderområderne ikke opleves som en ren oktav.

- Akkurat det faktum, at vi med vores sanser kan registrere knapt én oktav af farvespektret og omkring ti toneoktaver er en væsentlig årsag til, at de to områder struktureres forskelligt. Man kan ikke generere systemer med kvinter inden for rammen af én oktav.

Den første af mig kendte oktavspiral i historien. Den er ikke præcist konstrueret, men princippet er givet ment som den viste røde Bernoulli-spiral: Langs en given radius er afstanden mellem vindingerne hhv. 1/2, 1/4, 1/8 osv. Den stammer fra Popular Science Monthly Volume 11, 1877, p 701 og er udformet at S. Austen Pearce (1836-1900). Den gengiver en oktav af såkaldt ren stemning, hvor kvart (3/4) og sekst (3/5) ikke optræder direkte i naturtonerækken, men er afledte. De øvrige punkter (8/9 = stor sekund; 4/5 = stor terts; 2/3 = ren kvint; 8/15 = stor septim) er naturtoner. Den optrukne spiral spænder over tre vindinger, tre oktaver.

Navnet på den følgende spirals konstruktør vil nok være en overraskelse for mange:

Igen er det grundlæggende samme princip, hvor afstandene langs radierne er fortløbende halveringer, men her udgør en oktav kun en halv vinding. Radierne repræsenterer halvtoneværdier. Desværre findes ingen bedre gengivelse. Den er tegnet i 1936 af den hollandske grafiker og skaber af 'umulige verdener' og optiske illusioner, M. C. Escher (1898-1972).

Den amerikanske kunstner, arkitekt, forfatter, musiker, kosmolog mm. Walter Russell gengav også oktaven som en halv spiralvinding. I sit kosmiske ur 'Cosmic Clock' fra bogen The Secret of Light, 1947, har han anlagt et perspektiv med korrespondancer mellem toner, farver og elektrisk ladning.

Hermann Hesse (1877-1962) blev tildelt Nobelprisen for litteratur i 1946, og det er ikke urimeligt at antage, at den i høj grad skyldtes hans fremtidsroman Glasperlespillet, udgivet samme år, men skrevet i 1942 under hans eksil i Schweiz. Marie Büchert skriver, at bogen”står i direkte opposition til Hitlers styre; at værket bl.a. som obligatorisk gymnasiepensum kunne medvirke til at skabe en ny identitet og stolthed i den tyske befolkning; at dén tradition i tysk litteratur, der stod nazismen imod og hævdede humanistiske værdier, skulle hyldes.” Man diskuterer stadig, i hvilken grad Hesse var under indflydelse af en anden tysker i Schweiz, den harmonikale forsker Hans Kayser (1891-1964), som var centrum for en opblomstring af studiet af naturlige proportioner i musik, geometri, arkitektur, kunst, sprog mm., blandt andet præsenteret i et omfangsrigt forfatterskab.

Hans Kaysers oktavspiral har jeg endnu ingen sikker datering af:

Hans Kaysers oktavspiral. Der er tale om en af flere versioner med forskellige karakteristika. Her gengives en arkimedisk spiral over tre vindinger, tre oktaver, og logaritmiske tonepunkter føjet ind for de tolv halvtoneværdier i ren stemning. Det er værd at bemærke, at han sprænger dette tonesystems sædvanlige rammer, opbygningen ud fra primtallene 2, 3 og 5 (hhv. oktav, ren kvint og ren stor terts), idet han anvender tritonusværdien 10/7, og altså introducerer næste primtal i rækken, 7. Derudover angiver han for hvert tonepunkt de logaritmiske værdier og vinkelgradtallet.

Alexander Ellis' logaritmiske centsystem er blevet standard for angivelse af intervallers relative størrelse. Her ligedeles oktaven – modsat i ren stemning – i 12 halvtoner á 100 cent. Oktaven udgør altså 1200 cent. På de cirkulære oktavdiagrammer, som vi har set siden Descartes, deles cirklens 360 grader på tilsvarende måde. 100 cent – en ligesvævende halvtone – svarer altså til 360° x 100 cent : 1200 cent = 30°. En ligedelt oktavs tolv halvtoner er med andre ord orienteret på samme måde som timeakserne på en urskive. Det ser jævnt og harmonisk ud, men øret har dybere referencer i naturtonerækken – forsidens oktavspiral – som ren stemning er bygget op af, og altså i forhold hertil har lidt 'skæve' akser.

Hvis man vil finde en ren proportions centværdi, er formlen 1.200 x log(x/y) : log2 = centværdien. Fx måler proportionen 2:3, den rene kvint:1.200 x log(3/2) : log2 = 701,96 cent (Vinkelgradtal = 701,96 x 0,3 = 210,59°)

… og endelig fremme! Sætstykkerne er samlet og oktavspiralen toner frem i hele sin klare, symbolske og direkte styrke. Punkterne er deltoner i naturtonerækkken, og de er anbragt på deres naturlige pladser. Oktavidentiteten spejles langs radierne. Oktaver af primærtonen findes på aksen 1-2-4-8-... ; oktaver af den rene kvint findes på aksen 3-6-12-...; oktaver af den rene store terts findes på aksen 5-10-20-...Oktavspiralen i denne færdige form er den amerikanske musikteoretiker Erv Wilson (1928- ) ophavsmand til. Den er fra 1965. Se mere om hans arbejde på www.sonicsky.com

Den færdige oktavspiral dukkede første gang op i en dansk udgivelse i 1984 med Jørgen Poul Erichsens artikel 'Den rehabiliterede Pythagoras – om musik, tal og bevidsthedsudvidelse' i musiktidsskriftet Modspil, nr. 24. Den er praktisk talt identitisk med Erv Wilsons. Jeg har ikke spurgt forfatteren, om den er kalkeret eller undfanget.