rudi mathematici 122 - mar 2009

7/21/2019 Rudi Mathematici 122 - mar 2009

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Rudi Mathematici

Rivista fondata nellaltro millennio

Numero 122 Marzo 2009 Anno Undicesimo


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Numero 122 Marzo 2009

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1. Saranno Famosi?..................................... ................................................................ ...................... 3

2. Problemi................. ..................................................................... ................................................. 11

2.1 Sono tornati anche i colori! ........................................................................ ............................ 112.2 Aspettando Natale ............................................................... ................................................... 12

3. Bungee Jumpers ................................................................ .......................................................... 12

4. Soluzioni e Note .................................................................. ......................................................... 12

4.1 [121] ........................................................ ........................................................... .................... 134.1.1 Amazing Albert........................................................... ..................................................... 134.1.2 ...i bambini fanno Ooh... ............................................................................................ 19

5. Quick & Dirty.................................................. ....................................................................... ..... 20

6. Pagina 46............................................ ................................................................ .......................... 21

7. Paraphernalia Mathematica ................................................................... ................................... 23

7.1 Pari o dispari?........................................................... .............................................................. 23

Rudi MathematiciRivista fondata nellaltro millennio daRudy dAlembert(A.d.S., G.C., B.S)

[email protected] Rezierovic Silverbrahms(Doc)

[email protected] Riddle(Treccia)

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1. Saranno Famosi?Archimede sar ricordato quando Eschilo

sar dimenticato, perch le lingue muoionoma le idee matematiche non lo fanno.

"Immortalit" pu essere una parola stupida,

ma probabilmente un matematico ha la migliore

possibilit di raggiungerla, qualunque cosa essa sia.

(Godfrey Harold Hardy, A Mathematicians Apology)

La conoscenza del mondo fisico da parte delluomo procede quasi sempre perapprossimazione. Anche se ai bambini si preferisce dare una visione un po pi eroica eaffascinante della situazione, in realt il vero lavoro oscuro di gran parte dei ricercatori meno eroico di quel che sembra, volto spesso allaffinamento della conoscenza tramite ilmiglioramento nellapprossimazione di qualche importante decimale. Ci non toglie che

la risposta migliore che si possa dare ad un ragazzo che chiede quanto sia distante laLuna sia certamente pi meno quattrocentomila chilometri, perch importante che larisposta sia chiara e che la curiosit sia soddisfatta, e possibilmente soddisfatta con unabella cifra tonda. anche una risposta ragionevolmente corretta dal punto di vistascientifico: certo ben lontana dallessere esaustiva, ma tutto sommato onesta. Daltraparte, non appena il ragazzo che ha fatto la domanda mostra il persistere di un certogrado di interesse bisognerebbe passare a mostragli quante precisazioni necessita unarisposta pi adeguata alla sua domanda: Ehi, guarda che la Luna non mica semprealla stessa distanza!, e via a discettare che lo sarebbe se la sua orbita attorno alla Terrafosse circolare, cosa che non ; e quindi via a concionare su Keplero e le sue ellissi, che inquanto tali hanno un paio di fuochi e quindi distanze minime e massime da essi del corpoorbitante, e a valle del sermoncino si potrebbe concludere con e insomma, la distanza

della Luna varia tra i 363.000 e i 405.000 chilometri.Naturalmente, la seconda lezione sulla distanza Terra-Luna non affatto detto che debbaessere lultima. I numeri potrebbero ulteriormente affinarsi (fino a diventare 363.104 e405.696, ad esempio), fino a suscitare linevitabile domanda su quali siano i metodi e glistrumenti di misurazione; e da qui si passerebbe certo a cercare di capire quanto questisiano affidabili, precisi, e quale sia il limite di precisione della loro misura. Si potrebbeallora perfino arrivare a decidere epistemologicamente che non ha senso chiedere diconoscere la distanza della Luna con la precisione di un ngstrm1, o viceversa che invece proprio questo un obiettivo importante da perseguire. Si potrebbe passare a mettere indiscussione le definizioni stesse, cercare di capire con quale precisione siano postulate leunit di misura essenziali, e magari giungere alla conclusione che necessarioridefinirle2; o allontanarsi ancora di pi dalla domanda iniziale, e indagare sulla realt

fisica della figura matematica (lellisse) disegnata dalla Luna, dalle perturbazioni ingrado di indurre variazioni certo molto maggiori dellngstrm di cui sopra, dellacorrispondenza tra matematica e fisica, e di quella tra fisica e realt. Il tutto,naturalmente, senza ancora sperare di avvicinarsi seriamente al lavoro quotidiano deiricercatori; per forse iniziando a capire che la forza essenziale della scienza si trova

1 Misura che vale, per chi non se lo ricordasse, il bel numero 10-10 metri. Prende il nome da Anders Jonasngstrm, fisico svedese pioniere della spettroscopia. Quando disegn i primi spettri solari, Anders dovetteadattarsi ad usare una unit misura davvero piccola: in un millimetro ce ne entravano dieci milioni. In memoriadi questa faticaccia, il decimillionesimo di millimetro ha preso il suo nome.

2

Non cosa che non capiti, infatti: con buona pace del Bureau International des Poids et des Mesures di Sevrs,il metro non pi definito in base al suo campione in platino-iridio n in funzione della lunghezza del meridianoterrestre.


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assai pi nella rigorosa e onesta definizione dei propri limiti che nelle enormiinformazioni raccolte e messe a disposizione dellumanit.

Questa costante frequentazione della limitatezza della scienza, questa familiarit conpercentuali di approssimazione che costantemente crescono senza mai per coprire la

completezza della conoscenza per non parlare dei principi fondamentali che addiritturanegano che tale completezza sia davvero raggiungibile perfino in teoria portano gliscienziati sperimentali ad avere una sorta di estrema cautela, di antipatia, di sfiducia neiconfronti delle certezze assolute. Il 100% di conoscenza una chimera irraggiungibile inquasi ogni evento, e proprio per questo quando davvero si realizza guardato consospetto. Da questo punto di vista, lineluttabile mortalit degli esseri viventi un centoper cento particolarmente inquietante. Questa potrebbe essere una buona giustificazionedel perch i fisici sperimentali siano tendenzialmente poco propensi ad affrontare lamorte, se non fosse che una tale scarsa propensione abbastanza diffusa anche pressomolte altre categorie professionali. Amenit a parte, certo che la consapevolezza dellapropria terrestre caducit porta la maggior parte degli uomini alla ricerca di qualcosa piduraturo del fragile involucro che contiene le proprie menti e coscienze: alluopo in genere

si prendono in considerazione le religioni, ma la ricerca della gloria scientifica,dellimmortalit garantita dallincidere il proprio nome nei testi del sapere unascorciatoia verso limmortalit abbastanza popolare tra i cultori della scienza. Come diceG.H. Hardy3nella citazione riportata in testa a questarticolo, una importante scopertamatematica, ma ci sentiamo di estendere il campo anche alla fisica o altra disciplinastabile e rigorosa, rischia di portare lautore verso unimmortalit forse ancora maggioredi quella degli artisti e dei poeti, perch le scoperte scientifiche sono assai meno legatealle caduche abitudini umane di quanto lo siano le opere darte.

Certo che diventare famosi come Archimede non propriamente una cosuccia facile da ottenere; quindinaturale che ci si possa accontentare anche di glorie e onoripi piccoli, specialmente se fruibili direttamente in vita,

prima di passare a dare una ulteriore personale conferma aquella strana percentuale del 100% di cui si parlavapocanzi. Un riconoscimento come il premio Nobel infinitamente meno importante del giudizio della Storia, maindubbiamente fonte di grande soddisfazione per chi loriceve; e, per la medesima ragione, difficilmente si accettaserenamente la mancata assegnazione quando ci sarebberotutti gli estremi per ottenerlo. pertanto immaginabile chelo scorso novembre, quando Yoichiro Nambu, MakotoKobayashi e Toshihide Maskawa hanno ricevuto il Nobel perla fisica, Nicola Cabibbo sia rimasto quantomeno interdettonel vedere il suo nome brillare dellaccecante sfavillio della

sua assenza. I risultati scientifici che hanno portatoKobayashi e Maskawa agli onori di Stoccolma sono infatti estensioni di unidea originaledi Cabibbo, e non a caso lo strumento caratteristico della teoria si chiama matrice CKM4:la K sta evidentemente per Kobayashi e la M sta per Maskawa, ed un po strano che itecnici delle luci della ribalta svedese si siano dimenticati di accendere anche la C diCabibbo.

3Molto di pi sulla filosofia di Hardy si pu trovare nel suo Compleanno, in RM049.

4Gli studi di Cabibbo sono stati fondamentali per tutta la teoria dei quark: lintroduzione dell angolo di Cabibbocontribu a chiarire gli aspetti della stranezzadei quark (intesa come tipologia di quark, non come qualit etica)

e le sue relazioni con linterazione debole; e contribu allidea dellesistenza del quark charm.Le estensioni diKobayashi e Maskawa portarono allipotesi di esistenza degli altri due tipi di quark, tope bottom. La matriceCKM serve a calcolare le probabilit di transizione da un quark allaltro.

1Nicola Cabibbo


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Se il tema del discorso limmortalit, il mancato premio Nobel al massimo un passofalso, nulla di pi. Senza contare che, nel caso specifico, il termine immortalit da luiinterpretato in maniera verosimilmente molto diversa da quella usata da Hardy. NicolaCabibbo infatti presidente5 della Pontificia Accademia delle Scienze, e come tale

confider in una sorta di immortalit meno volatile di quella della memoria degli uomini.Ma non detto che tutti abbiano la sua stessa capacit di consolarsi con la fede. Adesempio, sospettiamo che lopinione di Beppo Occhialini sulla vita ultraterrena fossedecisamente diversa: ci non di meno, per quel che riguarda i mancati inviti a cena daparte del Re di Svezia, Beppo non aveva proprio nulla da invidiare a Cabibbo. Anzi.

Brindo non a Beppo, ma a tutti noi: potremmo ungiorno collaborare con lui, che la via sicura pervincere un premio Nobel": il brindisi era soloimmaginario, senza vino o champagne, ma le parolesono di Bruno Pontecorvo6, ed estremamentesignificative. Giuseppe Occhialini, detto Beppo, statouno dei maggiori fisici italiani del Novecento: pesarese

(anzi fossombronese) per nascita, fiorentino per studi,inizi la sua carriera scientifica ad Arcetri,collaborando con Bruno Rossi nello studio dei raggicosmici. Tra il 1931 e il 1934 si trasfer al CavendishLaboratory di Cambridge, dove lavor con PatrickBlackett sulle camere a nebbia. Lesperienza diOcchialini sui raggi cosmici e quella di Blackett neisistemi di rivelazione port subito ottimi frutti:vennero osservate le coppie elettrone-positrone7prodotte dai raggi gamma, precedendo i laboratoriamericani, al punto che nel 1948 a Blackett venneassegnato il Nobel per lo sviluppo della camera a nebbia di Wilson e le conseguentiscoperte nei campi della fisica nucleare e dei raggi cosmici. Tornato in Italia nel 1934,se ne ripart presto per incompatibilit con il regime dellepoca: si trasfer in Brasilerispondendo allinvito di Gleb Wataghin e riprese l i suoi studi sui raggi cosmici. Loscoppio della guerra lo rese nemico residente agli occhi delle autorit brasiliane, edovette abbandonare luniversit di Sao Paulo. Si rifugi sui monti Itatiaya (era anche unesperto alpinista: adesso una cima della catena montuosa porta il suo nome) finoallarmistizio. Riprese poi a lavorare prima a Rio de Janeiro e quindi, grazie ai buoniuffici di Blackett, di nuovo in Gran Bretagna. Cominci cosi a lavorare con Cecil F. Powellnel suo laboratorio di spettroscopia. Il progetto si basava sulla ricerca di particelleelementari tramite emulsioni fotografiche, e Beppo comprese subito che le lastre usateerano troppo poco sensibili. Si mise in contatto con il responsabile della Ilford, la dittaproduttrice, e dette indicazioni per ottenere delle lastre assai pi adatte alla ricerca delleparticelle elementari. Scambi informazioni con Giulio Cesare Lattes, che aveva

conosciuto in Brasile, e insieme decisero che tipo di lastra usare; infine, lo stesso Beppo siprese cura di arrivare in cima al Pic du Midi per esporre le nuove lastre ultrasensibili ai

5Ruolo che dovrebbe prevedere, tra laltro, lessere consultati direttamente dal papa su questioni scientifiche.Compito di grande responsabilit, specialmente quando scienza e fede entrano in conflitti che possonofacilmente essere strumentalizzati. A titolo di esempio delle sue capacit di giudizio si pu riportare questa suacelebre frase: Oggi tra gli scienziati cattolici chiarissimo che si pu benissimo credere nell'evoluzionismo enella Creazione (non nel creazionismo). Dire il contrario come sostenere che la Terra piatta o il Sole si muove

perch cos dice la Bibbia.

6 Il pi giovane dei ragazzi di via Panisperna, la leggendaria squadra romana di fisici formatasi attorno aEnrico Fermi. Bruno Pontecorvo, fratello del regista Gillo, noto anche per essere stato uno dei pochissimiscienziati atomici ad emigrare nellURSS, mentre la maggioranza si dirigeva verso gli Stati Uniti.

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Il positrone era stato teorizzato da Carl Anderson, ma mai rivelato in precedenza. Tra laltro, losservazionedella creazione della coppia elettrone-positrone stata la prima conferma sperimentale allantimateriateorizzata da P.A.M. Dirac.

2Giuseppe Beppo Occhialini


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raggi cosmici. Fu proprio in quelle lastre cos esposte che pochi giorni dopo Occhialini,Lattes, Powell e il giovane Muirhead trovarono la prima prova dellesistenza del mesone, il pione. Nel 1950, Powell ricevette il premio Nobel per lo sviluppo del metodofotografico di studio dei processi nucleari e le scoperte relative ai mesoni ottenute con tale

metodo.Se la cronaca del Nobel del 1950 sembra troppo simile a quella del Nobel del 1948, benerimarcare le differenze, che pure furono significative. Patrick Blackett riconobbeimmediatamente il ruolo fondamentale di Beppo nella scoperta, e fu tra quelli pisorpresi nel constatare la mancata assegnazione del premio a Occhialini. Gli disse subitoAvresti dovuto essere con me sul palco e, a dimostrazione che non erano solo parolevuote, nella memoria scritta e messa agli atti per la lectio magistralis del premio,Blackett riconosce pienamente il ruolo del fisico italiano. Quando nellarticolo fa lacronistoria della scoperta, ben cinque paragrafi iniziano con le parole Occhialini ed io.Due anni dopo, invece, Cecil Powell non fa niente del genere, nonostante il ruolo di Bepponella sua scoperta fosse stato forse ancora pi importante di quanto lo era stato nellaprecedente collaborazione con Blackett; e non lo cita neppure nella memoria ufficiale; il

nome di Occhialini vi compare una sola volta, in una nota a pi di pagina relativa ad unriferimento bibliografico con molti autori. facile dire che, fosse stato inglese oamericano, Beppo sarebbe passato alla storia come uno dei pochissimi duplici laureati delPremio Nobel; ma in fondo, se vero che un Nobel non garanzia dimmortalit, forsenon lo sarebbero neanche due. Ma di sicuro nella sua Fossombrone, nelle Marche enellItalia tutta ci sarebbero oggi molte pi scuole, vie e piazze a lui dedicate, se queipiccoli anticipi svedesi di immortalit gli fossero stati a suo tempo riconosciuti; mentreoggi il suo nome noto quasi esclusivamente agli addetti ai lavori.

Per controbilanciare lavarizia del fato giusto ricordare anche che a volte limmortalitscientifica arriva quasi senza cercarla. A costo di rasentare il sacrilegio, ci arrischiamo adire che in qualche caso gioca un ruolo decisivo la dea bendata. Esistono periodiparticolarmente fortunati, gravidi di scoperte importanti e non necessariamente difficili

da ottenere; di solito sono i tempi successivi a qualchegrande sconvolgimento scientifico, a quella che Kuhnchiamerebbe una rivoluzione scientifica, che cambiandopunti di vista e approccio alla conoscenza apreimprovvisamente molte nuove possibilit di indagine.

Johann Balmer stato per tutta la vita un onestuomo:nato nel 1825 a Losanna, trasferitosi a Basilea, si dedicpresto alla matematica. La studi alluniversit diKarlsruhe e poi in quella di Berlino, fino a raggiungere ildottorato nella sua Basilea nel 1849. Qui incominci lasua carriera di professore, insegnando in un collegio perragazze per tutta la vita, fino alla sua morte avvenuta

nel 1898. La vita nobile e discreta di un insegnante diliceo, insomma: lontana dalle stravolgenti emozioni di unGalois, e tutto sommato anche dalle peripezie tralaboratori e montagne di un Occhialini. Se non fosse che,

alla veneranda et di sessantanni (tanto per smitizzare il luogo comune che vuolematematici e fisici produttivi solo in giovanissima et), Balmer scrive una breve memoriasulle righe spettrali dellidrogeno8. Nella nascente disciplina della spettroscopia,osservare la posizione delle caratteristiche righe spettrali di un elemento, e domandarsiperch mai si trovassero sempre in corrispondenza di ben precise lunghezze donda e nonaltre, era un tuttuno. La domanda, del resto, era davvero fondamentale: una autenticarisposta del perch fisico di tale comportamento si riuscir ad avere solo molti anni

8E per ribadire il concetto, lunico altro lavoro sul tema lo scrisse dodici anni dopo, quando era settantaduenne.

3Johann Balmer


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dopo, quando in soccorso alla spettroscopia arriver la ancor pi giovane MeccanicaQuantistica e il modello atomico di Bohr; ma questo avverr solo quindici anni dopo ladipartita di Balmer. Pur senza dare una spiegazione teorica del tutto prematura eassolutamente inadatta ad un professore di liceo quale lui era, Balmer constata che le

lunghezze donda delle righe spettrali dellidrogeno rispettano la formula empiricarelativamente semplice:

22

2

nm

hm

= .

Ponendo h pari ad una ben precisa costante e n pari a 2, la formula riproducevaesattamente i valori delle lunghe donda per mpari 3, 4, 5, 6; e, come se non bastasse,riusc a prevedere anche la non ancora osservata riga spettrale in m=7.

La sensazione quella di aver avuto un gran colpo di fortuna: Balmer non indagavaminimamente il significato fisico delle righe spettrali, e probabilmente si limitava acercare, nei ritagli di tempo che gli lasciava linsegnamento liceale, una regola empirica

che andasse daccordo con il risultati sperimentali. Laverla trovata prima di altri (abbastanza sicuro infatti che, prima o poi, una regola empirica del genere finisca sempreper essere trovata) ha legato il suo nome alla formula e alla serie, e adesso tutti glistudenti del mondo ricordano il vecchio professore svizzero, quando incontrano la serie diBalmer sui libri testo di spettroscopia, di fisica atomica, di astrofisica.

persino possibile che uomini come Balmer vengano alla lunga sottovalutati, oltre cheinvidiati: non c teorico dilettante che non pensi, dopo aver comparato la complicazionedegli operatori hilbertiani o delle matrici di Heisenberg con la innocente semplicit dellaformula di Balmer, che ad un risultato del genere sarebbe potuto arrivarci pure lui, sesolo fosse nato nel tempo e nel luogo giusto. Questo, per, non affatto detto checorrisponda a verit: in fondo, prima del tentativo riuscito di Johann Balmer ce ne furonodiversi altri che non funzionavano bene. Ma tutto questo viene facilmente dimenticato, e

rimane invece la sensazione di una grande fama almeno parzialmente immeritata.In matematica esiste un esempio eclatante di fama imperitura regalata, rubata, insommaimmeritata: un esempio che fa impallidire il nome e la fortuna di Balmer. Delprotagonista di questa storia non abbiamo neanche un ritratto, una caricatura, nulla chepossa darci anche solo una vaga idea delle sue fattezze9: ma il suo nome famosissimo eonnipresente in ogni testo di teoria dei numeri, e non solo: stiamo parlando di ChristianGoldbach. Il nome di questo matematico indissolubilmente legato ad un unico oggettomatematico, che non neppure dimostrato. Si tratta della celeberrima Congettura diGoldbach: semplicissima ad esporsi, tuttora resistente a qualsiasi tipo di dimostrazione.Come tutti gli oggetti mitologici, esiste in pi di una forma, e quella originale non lamigliore; o per meglio dire, la Congettura di Goldbach cos come essa nota non stataaffatto congetturata da Goldbach. Non stato insomma il nostro eroe ad affermare che:

OGNI NUMERO PARI MAGGIORE DI 2 DATO DALLA SOMMA DI DUE PRIMI

Quel che in realt Goldbach fece fu scrivere una lettera ad Eulero10, sottoponendogli unaipotesi apparentemente diversa: non per niente i numeri pari non vengono minimamente

9Disperati per cotanta mancanza, abbiamo prima pensato di mettere un ritratto vuoto, o con una silhouettesettecentesca; poi abbiamo meditato di mettere il cartello stradale di indicazione della cittadina tedesca diGoldbach, e infine di appiccicare la foto di alcuni lingotti doro su un ritratto di Johann Sebastian Bach. Poi,rammentandoci che chi scrive abusa da un decennio di uno pseudonimo palesemente derivato da unascimmiottatura del nome del protagonista di questo mese, abbiamo deciso che il povero Goldbach era stato fin

troppo tormentato da RM, e abbiamo definitivamente soprasseduto.10Anche a lui abbiamo dedicato un compleanno, in RM051.


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menzionati nel testo. La lettera datata 18 Novembre 174211, ancora conservata e ve nepossiamo mostrare unimmagine:

Quel che Goldbach postula ci che oggi nota come la Congettura dispari di Goldbach,ovvero: Ogni numero intero dispari maggiore di 5 dato dalla somma di tre primi. Lacosa stupefacente che nella versione originale la congettura sembra abbastanza picontorta; Eulero not che la richiesta originale di Goldbach era implicata dallipotesirelativa ai numeri pari come somma di due soli primi, ed nella forma euleriana che la

congettura nota oggi.Una volta caduto sotto i colpi di Wiles lUltimo Teorema di Fermat12 e rasa al suolo laCongettura di Poincar13 grazie allattacco di Perelman, i mostri sacri irrisolti dellamatematica sembrano essere sensibilmente ridotti. In realt sono ancora molti i probleminoti e difficili: resiste ancora qualcuno dei ventitr problemi di Hilbert14 e quasi tutti iproblemi del Millennio, ma il grande pubblico probabilmente riconosce come mostri sacri

11Per quel che pu contare, unulteriore conferma che la fortuna pu colpire a qualsiasi et: Goldbach avevaallepoca 52 anni: certo ben lungi dallessere una cariatide, ma altrettanto certamente non un giovincello diprimo pelo.

12Teorema ed autore protagonisti del Compleanno in RM091.

13Poincar trova la sua gloria tra le nostre pagine in RM075.14I leggendari problemi e Hilbert stesso sono protagonisti in RM060.


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solo pi lIpotesi di Riemann15 e la Congettura di Goldbach. Se si chiedesse ad unmatematico quale dei due preferirebbe dimostrare, se per magia potesse farlo, non cdubbio che questi sceglierebbe lIpotesi di Riemann, se non altro perch con quella nelsacco probabile che anche lattacco alla Congettura avrebbe maggiori speranze di

successo16

; ma altrettanto certo che il fascino esercitato sulluomo della strada da partedella creatura di Goldbach molto maggiore, se non altro perch riesce facilmente acapirne lenunciato, cosa non altrettanto evidente per lIpotesi di Riemann.

Cos, avere il nome legato ad un problema cos affascinante daessere protagonista non solo di memorie e saggi, ma anche veri epropri romanzi17, forse quanto di meglio la matematica possaoffrire in termini di immortalit scientifica: e, come e peggio diquanto succede a Balmer, Goldbach viene spesso ritenuto unnessuno dotato di molta, molta fortuna. In questo crudelegiudizio c probabilmente del vero: in fondo, la sua Congetturasembra fosse gi nota a Descartes, per non parlare del fatto chealla fin fine stata formulata da Eulero. A questo proposito,

Paul Erds18era solito dire che comunque era assai meglio chela Congettura portasse questo nome, perch Eulero era gimatematicamente molto ricco, mentre Goldbach eramatematicamente molto povero.

Povero, ma non inesistente come molti tendono a pensare.

Christian Goldbach nacque il 18 marzo 1690 in una delle cittintellettualmente pi ricche della sua epoca, quella Knigsberg patria anche di Kant e diHilbert. Studi diritto e medicina, ma si interess sempre di matematica. Scambi letterecon Leibnitz, si incontr con Nicolaus (primo) Bernoulli e con De Moivre a Londra eOxford, poi con Nicolaus (secondo) Bernoulli a Venezia, che lo mise in contatto conDaniel, altro genio della celeberrima famiglia svizzera19. Pi tardi partecip al progettodella fondazione a San Pietroburgo della Imperiale Accademia delle Scienze, sullafalsariga dellAccademia delle Scienze di Berlino, e qui ottenne una cattedra dimatematica e di storia. Era il 1725, e questo dimostra che Goldbach non erapropriamente un nessuno: otto anni prima aveva pubblicato unimportante memoriaintitolata Specimen methodi ad summas serierum in Acta eruditorum, dove trattavadella somma di serie infinite, studiate dopo aver conosciuto i Bernoulli.

Essere segretario dellAccademia Imperiale delle Scienze di San Pietroburgo significaessere una personalit importante nella nascente nazione russa. San Pietroburgo lacapitale voluta dallo zar Pietro il Grande, che regner proprio fino al 1725. Alla suamorte il successore Pietro II ancora troppo giovane e la reggente Caterina cerca untutore per leducazione dello zarevic; lo trova proprio in Christian Goldbach, che seguiril pupillo e la corte a Mosca, dove Caterina ha deciso di spostare la capitale.

15Il compleanno di Riemann in RM068, ma di lui si trova molto altro tra le nostre pagine.

16In verit, la cosa non del tutto automatica: questa tecnica di arrivare a Goldbach attraverso Riemann fuattuata inizialmente da Hardy e Littlewood, anche se poi Vinogradov rimosse la necessit dellIpotesi diRiemann dalle loro conclusioni. A tuttoggi sembra per che presupponendo esatta lIpotesi di Riemann siadimostrabile almeno la Congettura dispari di Goldbach, che meno forte della Congettura vera e propria.

17Il pi noto probabilmente Zio Petros e la Congettura di Goldbach, di Apostolos Doxiadis, Bompiani, euro6,70. un romanzo breve che narra dellossessione del protagonista, un ipotetico matematico greco, per ladimostrazione della Congettura. stato il primo vincitore del Premio Peano dellAssociazione SubalpinaMathesis.

18Certo, anche Erds ha gi avuto la sua celebrazione, in RM110.19Di tutta la famiglia Bernoulli si parlato in RM093.

4Il romanzo diDoxiadis sulla

Congettura


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Mentre Goldbach si trasferisce a Mosca, Eulero giunge a San Pietroburgo; i due maggiorimatematici in terra di Russia anche se la distanza fra i due abissale cominciano ascambiarsi delle lettere, come naturale aspettarsi tra personalit che si interessanodello stesso oggetto di studio. La celebre lettera del 1742 contenente la Congettura fa

parte di questo lungo epistolario.La vita di Goldbach si snoda tra importanti cariche e incarichi in una Russia governatada una corte tempestosa e soggetta a molti, continui sconvolgimenti; i suoi impegni sifanno sempre pi politici che accademici. Dopo essere stato tutore dello Zar e segretariodellAccademia, Christian diventa un consigliere perpetuo di zar e zarine, e di fattoassume su di s la responsabilit dellistruzione della nazione. Impegni che certo lodistolgono dalle sue ricerche, ma dallepistolario con Eulero risulta evidente che Goldbachera matematico valente e in linea col suo tempo, uno dei pochi a capire, ad esempio, ilnuovo approccio di Fermat alla Teoria dei Numeri.

5Neuester Himmels Atlas di C. Goldbach: costellazione del ToroE non fu solo matematico. Compil un Atlante dei Cieli davvero bello e artistico, come si

pu vedere sfogliandolo nel sito della Linda Hall Library of Science, Engineering &Technology, dove integralmente riprodotto.

Forse non fu un genio, e la notoriet del suo nome eccessiva, per i contributi cheeffettivamente diede alla matematica. insomma possibile che Goldbach stia allamatematica come Carneade alla filosofia, anche se a rendere celebre il secondo statasolo la citazione manzoniana, mentre almeno Goldbach la congettura lha scritta da solosulla lettera indirizzata a Eulero. Ma di certo era uomo di scienza, curioso; capace divedere linfinito nelle stelle e nelle profondit sconosciute dei numeri primi.


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2. ProblemiRudy

dAlembertAlice Riddle

Piotr R.

Silverbrahms

Sono tornati anche icolori!

Aspettando Natale

2.1 Sono tornati anche i colori!quelli atossici, che potete farvene una scorpacciata tanto sono innocui. Non solo, ma

essendo lavabili (nel senso che si lavano via con un po' d'acqua: i due significaticontrapposti di questa parola ci hanno sempre lasciati perplessi) hanno dato la stura aduna serie di giochini da parte dei due Validi Assistenti da farci pensare che siano passatidalla stupidit infantile al rimbecillimento senile senza soluzione di continuit.

Il tutto, logicamente, causato dalla resa dei vecchi giochi in funzione del ragionevolerendimento scolastico, come vi abbiamo narrato nel secondo problema del numero scorso.Nel (per ora vano) tentativo di mostrare che il termine "rimbecillimento senile" (posto chedebba essere applicato a qualcuno nella famiglia) va considerato di totale appannaggiodell'Augusto Genitore, Fred ha deciso di mettersi a giocare con un po' di biglie e i colori,ponendo un interessante problema sul tipo di quelli che si inventava anni fa.

"Allora, qui dentro ci sono quattro (ti ricordi come si conta fino a quattro, vero?) biglie dicolori diversi, e qui ci sono i quattro colori equivalenti. Estraggo una biglia e la tengofuori, poi ne estraggo un'altra e la dipingo dello stesso colore della prima. Appena il colore asciutto, rimetto entrambe le palline nel sacchetto. Secondo te, quante coppie diestrazioni dovrei aspettarmi di fare, prima di avere tutte le palline dello stesso colore?"

Ora, sapete che se c' un concetto simpatico a Rudy (e antipatico ad Alice) in Calcolo delleProbabilit quello proprio il concetto di "Valore Atteso", e infatti il Nostro si lanciato acapofitto alla ricerca della soluzione; ce l'ha fatta, quindi adesso la domanda : "Quantoviene a voi?".

La seconda domanda dovrebbe essere "e quanto venuto a Rudy?" Nel senso che hafatto un errore: il suo errore preferito, ve ne abbiamo gi parlato, quindi dovresteriuscire ad evitarlo. Invece preferiamo chiedervi, se ne avete voglia, di provare ageneralizzare sul numero delle biglie. O dei colori, se preferite


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2.2Aspettando Natale"Rudy, guarda che Natale passato."

"Nah. Sto parlando del prossimo. E il Calendario in ritardo".

Una volta tanto non vero, che il Calendario in ritardo: Rudy ha gi trovato un paio diidee di quelle che di solito vengonofranticallyinseguite verso i primi di dicembre, quindiuna volta tanto tranquillo fin verso giugno, in merito. Il motivo che ha scovato unproblema che, a occhio, dovrebbe richiedere di cominciare adesso a scambiarsi i regali delNatale prossimo per essere sicuri di arrivare alla fine in tempo. E adesso vorrebbe voi glideste una mano a verificare questa sua impressione: sarebbe felice di essere smentito, inquanto se si risolvesse in un tempo ragionevole ha intenzione di applicarlo.

La sua idea approssimativamente questa: per il cenone (da quell'ottima cuoca che suamadre, dovreste ormai saperlo) saranno invitate venti persone, organizzate in diecicoppie; a ognuno verr richiesto di portare un "pensierino", imponendo un limite di spesa(basso: c' la crisi).

Il fatto che pochissimi degli invitati si conoscono tra di loro (le coppie s, spiritosi!);quello che Rudy vorrebbe organizzare, come ice breaking, sarebbe una specie di lotteria.

Pensava, infatti, di scrivere i nomi delle persone su venti foglietti, e poi far estrarre aciascuno un foglietto, nell'idea di dare a ciascuna persona il "presente" portato dal nome ecognome presenti sul foglietto; codicillo supplementare, se qualcuno estrae il proprionome o il nome del proprio partner20, tutti (ho detto "tutti"!) i biglietti vengono rimessi nelcappello e si procede ad una nuova estrazione; quando finalmente si riesce ad attribuiretutti i biglietti, a ciascuno viene consegnato il regalino corrispondente al nome presentesul bigliettino.

Ora, come dicevamo, il dubbio di Rudy che si tiri decisamente per le lunghe, a forza diestrazioni e riestrazioni; quindi, tanto per cominciare vorrebbe sapere quante estrazioni

"corrette" (ossia che non debbano essere ripetute) sono possibili; inoltre, farebbe piacereuna stima del numero atteso di estrazioni che si dovranno fare nella serata prima diriuscire ad attribuire i pacchettini e passare alla cena.

a va sans dire (ma allora perch stiamo a dirvelo?) che se a "dieci" sostituite ungenerico "n", la cosa potrebbe essere molto apprezzata per le feste future

3. Bungee JumpersDimostrate che, se i cateti di un triangolo rettangolo sono esprimibili come quadrati diinteri, allora l'ipotenusa non pu essere un intero.

La soluzione, a Pagina 46

4. Soluzioni e NoteCon marzo speriamo che la primavera sia finalmente alle porte. Dopo tanti anni poveri difreddo e neve forse non siamo pi abituati, ma questinverno ci sembratoparticolarmente lungo...

Come forse i nostri lettori pi accaniti avranno notato, la Redazione non ha bisogno discuse molto valide per festeggiare, e dallinizio dellanno praticamente non si occupadaltro, per esempio i compleanni: a febbraio RM, a marzo il Capo, ad aprile Alice, poi amaggio Piotr... siamo sempre l a congratularci tra noi.

20

Lo mettiamo in corsivo perch non vorremmo vi perdeste di vista il concetto, come successo il mese scorsoVedete la parte "Soluzioni & Note" per ulteriori dettagli. Se il problema fosse solo di tirar fuori un nome diversodal proprio finirebbe nei Q&D, non nei problemi. Anzi, una cosa simile c' gi finita.


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Per questo mese c ben altro da dire.

Il Festival della Matematica si terr anche questanno a Roma, ma solo la seconda parte,tra il 19 ed il 22 marzo. Lappuntamento di questa edizione raddoppiato, e la primaparte della manifestazione, prevista per il 10 e l'11 marzo, si svolger a New York

all'Istituto Italiano di Cultura e alla prestigiosa Italian Academy alla ColumbiaUniversity.

Alla manifestazione, intitolata Creazioni e ricreazioni matematiche, parteciperannootto premi Nobel e tre medaglie Fields, persone come John Nash e Ian Stewart, ma ancheMariano Tomatis (www.marianotomatis.it), che sapete bene essere molto caro ad RM. Ilsito ufficiale questo: www.festivaldellamatematica.it.

Di sicuro potete scoprire parecchio anche da www.gravita-zero.org, che ha sempre leultimissime notizie su quello che accade in ambiente scientifico.

Noi non ci saremo, ve lo diciamo subito.Esattamente in concomitanza, infatti, vain onda a Torino la sesta edizione dellaFesta della Matematica, (il programmacompleto dellevento si trova su

www.festadellamatematica.bussola.it) e il 20 marzo ci saranno anche i duerappresentanti maschili di RM con una splendida presentazione.

Se invece vi trovate a Venezia tra il 27 ed il 29 marzo, fate una visita al ConvegnoMatematica e Cultura 2009 (www.mat.uniroma1.it/venezia2009), soprattutto se sietestudenti, visto che lingresso per voi gratuito.

Marzo anche il mese del pi-day (per lorrida abitudine degli americani di scrivere ledate al contrario, il 14 marzo diventa il 3-14): celebrazioni di ogni tipo si trovano in rete,a noi piace segnalare il sito di polymath (http://www2.polito.it/didattica/polymath/), che asua volta ne segnala a bizzeffe, ed ovviamente ledizione marzolina del Carnevale della

matematica, che sar ospitata da Marcellosblog (http://marcelloseri.blogspot.com/).Ogni segnalazione a cui abbiamo pensato in ritardo trover posto nella nostra pagina diMemento (www.rudimathematici.com/memento.htm).

Per il resto godetevi larrivo della primavera!

4.1 [121]4.1.1 Amazing AlbertOh, quante mail di protesta per il problema del mago Albert! Prima di darci alcontenzioso, ecco il succo del testo:

Dato un normale mazzo da cinquantadue carte, il prestigiatore ne fa scegliere

cinque, senza fargliele vedere, e le fa passare al Valido Assistente. Lui ne mostreral prestigiatore solo quattro, una per volta, ed il prestigiatore sar in grado di

indovinare la quinta. Qual il trucco?

Quanto pu essere grande il mazzo per azzeccarci con cinque carte estratte e quattro

mostrate? E con d carte scelte da un mazzo di n, di cui ve ne mostrano d1 e dovete

indovinare laltra?

In dieci anni di matematica ricreativa innumerevoli volte Rudy ha dovuto presentare leproprie scuse21per unerrata esposizione del problema; questa volta per afferma di averragione, perch le critiche del tipo questo problema preso da Martin Gardner... sono

21E quando mai? Pi che presentare scuse ha qualche volta ammesso che i problemi non fossero espressi moltochiaramente, ma che comunque le estensioni derivate potevano essere interessanti[AR]

6Il logo della Festa della Matematica


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false. Se andate a compulsare i sacri testi, nella fattispecie il volume quattro22al capitolotredici ("La convenzione di magia di Chicago"), si trova il seguente gioco, attribuito aVictor Eigen:

Mescolerete questo normale mazzo di carte, e ne sceglierete cinque; da queste

cinque, ne sceglierete una. Disporr le restanti quattro carte nell'ordine chepreferisco e le inserir in una busta, tutte con la faccia verso il basso. La bustaverr portata da uno qualunque di voi a mia moglie, che nella sua camera: chiporta le carte busser tre volte e passer da sotto la porta la busta a mia moglie,senza dire nulla. Mia moglie esaminer le carte e vi dir qual la carta restantedel gruppo di cinque."

Siccome la carta prescelta non pu essere una delle quattro inviate alla signora Eigen, necessario codificare solo 48 carte; se i coniugi Eigen si sono accordati su unanumerazione delle 52 carte del mazzo, attraverso l'ordinamento delle quattro carteinviate possiamo comunicare, in base alla numerazione concordata, un numero; siccomequattro carte possono essere disposte in 24!4 = modi diversi, abbiamo bisogno diun'ulteriore informazione, o meglio di un ulteriore bit per identificare la prescelta tra le48: nessuno sapeva che gli Eigen avevano prenotato due camere comunicanti e, quandoVictor dava il numero della stanza alla quale bussare, potendo scegliere tra due numeritrasmetteva in questo modo l'ulteriore bit di informazione.

Le soluzioni di diverso tipo sono arrivate da Mirtillo, Salmastro, Alberto Regoli,Gnugnu, Millenium Bug, Cid, Ema, Br1 e Franco57. Per dare il benvenuto aSalmastro nella schiera dei solutori di RM pubblichiamo per prima cosa la suasoluzione:

Prendo spunto da un vostro per niente velato suggerimento e parto col considerareche le carte di un mazzo francese (da piccolo lo facevo con le napoletane, che sono a"base" 10), si possono facilmente ordinare in base al seme ed al valore, attribuendoun ordine ai semi, che esso sia il pokeristico Come Quando Fuori Piove o il

bridgistico Prendi Cara Questi Fiori, non importa. Per fare il raffinato, uso l'ordinePCQF ed all'interno dei singoli semi li ordino, per quanto ovvio, dall'Asso al Re. Insostanza per me 1 l'Asso di Picche e 52 il Re di Fiori.

A questo punto vengono prese cinque carte dal mazzo, di cui quattro vengonomostrate al "mago", che deve indovinare la quinta. La quinta carta, ovviamente, compresa fra le 48 "coperte" (le 47 residue pi essa stessa) e come ho fatto prima,anche queste quarantotto possono essere ordinate, associandone ciascuna ad unnumero compreso fra 1 e 48, sempre con lo stesso criterio seme-valore.

In particolare la carta residua pi bassa di Picche avr il numero 1, la pi alta diFiori il 48. Ed ora viene il difficile: che informazione possono dare le quattro cartemostrate al mago? Sembrerebbe nessuna... per esse stesse, usando l'ormai

consueto criterio, possono essere ordinate... In ordine crescente le chiameremo A, B,C e D.

L'assistente le potr mostrare in vari modi: per esempio prima A, poi B, indi C,infine D, ma anche cos: ABDC oppure ACDB etc., praticamente in 24 modi diversi,pari, pleonastico dirlo, a 4! modi. Associamo ad ognuna di queste permutazioni unnumero da 1 a 24 e saremo (quasi) a posto, perch in effetti le carte fra le qualiindovinare sono 48, doppio di 24.

Se dividiamo, per esempio, le carte in due gruppi [1, 24] e [25-48], ci serveun'ulteriore informazione che distingua a quale dei due insiemi la carta da predireappartenga. Ci basta un'alternativa semplice del tipo, chess, destra-sinistra...eduso proprio questa! Se l'assistente mostra le carte con la sinistra (tenendo il

22Per chi ha la versione inglese: "The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions".


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mazzetto delle cinque con la destra) dico che la "quinta" nel primo gruppo, se lemostra con la destra, invece, nel secondo.

In tal modo sono state create 48 configurazioni (pari a 4!x2) che coprono tutto ilcampo dei possibili casi. Se il mazzo generico formato da N carte, da cui se ne

tolgono D, e se T il numero di alternative (destra-sinistra o simili), il giochinoriesce, esattamente, quando

N=(D-1)!xT

ma riesce lo stesso (diremmo ad abundatiam) quando N


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Nei Casi4-1ed 1-4, il Valido Assistente esclude una qualsiasi delle carte (chesar quella da identificare) dalla metche ne comprende 4, e mostra le altre 4 carteal Solutore; costui, vedendo una carta isolata in una met, e 3 carte nellaltra, sa(per accordo preliminare col Valido Assistente) che anche la quinta si trova in

questultima met. In essa, vi sono 23 numeri dordine liberi, e quello giusto daidentificare sar stato codificato dal Valido Assistente nel numero magico in basealla tabella sopra mostrata.

NOTA_2: in questi due Casi, di nuovo c un qualche spreco di informazione, anchese in misura minore rispetto al caso precedente; il Valido Assistente puselezionare a piacimento una qualsiasi delle 4 carte per destinarla come carta daidentificare; inoltre, il valore del numero magicoutile a far trovare la soluzione alSolutore varia fra 1 e 23, per cui se il Valido Assistente indicasse invece 24 comenumero magico, in combinazione a quanto sopra, potrebbe fornire al Solutore altriindizi, chess, ancora la presenza di un Jolly o il sesso del Proponente

I Casi3-2e 2-3sono di gran lunga pi complessi; il Valido Assistente non puqui escludere come carta da identificare una di quelle comprese nella metche necomprende 2, altrimenti il Solutore si troverebbe davanti una situazione analoga aquella dei Casi4-1ed 1-4, cio 3 carte in una meted una sola nellaltra. Deve(il Valido) allora escludere una delle 3 carte dalla metche ne contiene 3, per cui ilSolutore si trover davanti una situazione con 2 carte in ciascuna met.

Quindilinformazionecodificata nelnumero magicodeve, in questicasi, indicare alSolutore anche

in quale metandare a cercare la carta da identificare Supponiamo allora che laTabella 2, per i Casi3-2 e 2-3, vada interpretata diversamente, ovvero comemostrato qui di seguito nella Tabella a lato.

Il Solutore, in questi casi, si trover davanti una situazione con 2 carte in ciascunamet; dal numero magico, estrarr linformazione su quale met (alta o bassa)considerare, ed avr poi a disposizione un numero magico secondario, con valorecompreso fra 1 e 12.

Immaginiamo adesso di suddividere la met di interesse in due sub-met,comprendenti luna i primi 13 numeri dordine della met in questione (sub-metbassa), e la seconda gli altri 13 (sub-met alta).

Quando il Valido Assistente riceve le 5 carte dal Proponente in uno dei Casi3-2

e 2-3, pu trovarsi di fronte ad una delle seguenti situazioni: Sottocaso 3-0:i numeri dordinedelle carte della metche ne contiene 3

sono tutti compresi nella sub-met bassa

Sottocaso 0-3:i numeri dordinedelle carte della metche ne contiene 3sono tutti compresi nella sub-met alta

Sottocaso 2-1: 2 dei numeri dordine delle carte della met che necontiene 3 sono compresi nella sub-met bassa, il terzo nella sub-met alta

Sottocaso 1-2: 2 dei numeri dordine delle carte della met che necontiene 3 sono compresi nella sub-met alta, il terzo nella sub-met bassa

Nei Sottocasi3-0e 0-3, il Valido Assistente esclude una qualsiasi delle 3 carte

della sub-met di interesse (che sar quella da identificare); il Solutore, avendoidentificato la metdi interesse grazie al numero magico, e vedendo 2 carte nella

7Tabella diBr1


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stessa sub-met, sapr (per accordo preliminare col Valido Assistente) che anche laterza si trova nella stessa sub-met. In quella sub-met, vi sono 11 numeri dordineliberi, e quello giusto da identificare sar stato codificato dal Valido Assistente nelnumero magico secondarioin base alla tabella sopra mostrata.

NOTA_3: in questi Casi, di nuovo c un qualche spreco di informazione, anche sein misura ancora minore rispetto a prima Il valore 12 per il numero magicosecondariopotrebbe identificare ad esempio la presenza di un generico Jolly

I Sottocasi2-1ed 1-2portano ad ulteriori complicazioni: il Valido Assistentenon pu escludere come carta da identificare quella compresa nella sub-metche necomprende una sola, altrimenti il Solutore si troverebbe davanti una situazioneanaloga a quella dei Sottocasi 3-0 e 0-3, cio 2 carte in una sub-met enessuna nellaltra. Deve allora escludere una carta dalla sub-metche ne contiene2, per cui il Solutore si trover davanti una situazione con una sola carta inciascuna sub-met.

Quindi linformazione codificata nel numero magicodeve, in questi casi, indicare al

Solutore non soloin quale metandare a cercare la carta da identificare, ma anchein quale sub-met Poniamo allora che la Tabella 3, per i Sottocasi2-1ed 1-2, vada ancora interpretata diversamente, ovvero come mostrato nella Tabella.

Il Solutore, quindi, si trover davanti una situazione con 2 carte in ciascuna met:dal numero magico, estrarr linformazione su quale met (alta o bassa)

considerare; noter che in tale met presente una carta per ciascuna sub-met, edancora dal numero magico sapr quale sia la sub-met di interesse. Avr poi adisposizione un numero magico terziario, con valore compreso fra 1 e 6.

Ogni sub-met comprende 13 valori consecutivi del numero dordine; in essa, inorigine, sono presenti 2 carte, ed il Valido Assistente deve escluderne una, quellada identificare. Vi sono 13 x 12 / 2 = 78 modi diversi di piazzare 2 carte su 13posizioni, ed il numero magico terziariopu assumere solo i valori da 1 a 6

per ancora possibile codificare univocamente la posizionedella carta incognita in tutti i 78 casi, se si ragiona comesegue: supponiamo di chiudere ad anello la sub-met, in modotale che la 13acasella confini con la 1a.

Si osserva che, comunque siano piazzate le due cartenellanello, la minima distanza fra esse non pu esseresuperiore a 6 caselle; se, come nellesempio qui sopra, le cartesi trovassero nelle posizioni 11 e 4, partendo dalla cartapiazzata nella casella 11 laltra si ritroverebbe nella 6asuccessiva. Semmai quelladella casella 4 fosse invece nella 5, allora quella della casella 11 sarebbe inveceposizionata 6 caselle dopo quella della 5

Allora, in questi Sottocasi, il Valido Assistente lascia sul campo la carta cheprecede (nellanello) quella incognita di 6 spazi, o meno, e codifica, nel numeromagico terziario, la distanza fra le due.

In pratica, se il Solutore si trovasse davanti una situazione con 2 carte in ciascuna

met, dal numero magico estrarrebbe linformazione su quale met (alta o bassa)considerare; noterebbe che in tale met presente una carta per ciascuna sub-

8Tabella diBr1

12

3

4

5

678

9

10

11

12

13

9Schema diBr1


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met, ed ancora dal numero magico saprebbe quale sia la sub-met di interesse.Partendo dallunica carta presente nella sub-met identificata, conterebbecircolarmente tanti spazi quanti indicati dal numero magico terziario, ed avrebbe lasoluzione

Questo sotto-sotto-caso esaustivo, completo, nel senso che ogni possibile codificadel numero magicoviene utilizzata per una potenziale soluzione Non resta spazioper immaginare ulteriori informazioni dal Valido Assistente al Solutore, tipo Jollyo altro

Poich nella eventualit pi completa e comprendente (3 carte da una met, 2dallaltra), nel peggiore dei casi (due carte in una sub-met, laltra altrove) noncera spazio per alternative, mi pare che non vi siano altre soluzioni

Anche Franco57ha un approccio pratico, e tra le altre cose afferma:

(...) C per unaltra potenziale fonte di informazione che lassistente potrebbefornire al mago: ed determinata proprio dalla scelta, evidentemente operatadallassistente, su quale delle d scelte a caso sar la carta da indovinare.Linformazione basata sullinsieme delle d1 carte da scoprire,indipendentemente dal loro ordine. Siccome lassistente questo pu farlo in dmodi,non pu fornire pi di un fattore d di informazione, del tutto indipendente dalprecedente. Se questa informazione fosse effettivamente fruibile per il mago, il chenon n immediato n scontato essendo le d carte scelte a caso, e considerandoanche lordine delle carte scoperte, egli potrebbe indovinare la carta in un gruppomassimo di d(d1)! = d! carte. Quindi n = d!+d1 costituisce un massimale per ilnumero di carte.

Lasciando da parte il discorso dellordinamento delle carte scoperte, mi chiedo se sudkcarte coperte, dove k un intero positivo, quindi n = dk+d1 = d(k+1)1 carte,esistano due funzioni che potremmo chiamare codifica e decodifica con queste

caratteristiche: la codifica, usata dall assistente, stabilisce per ogni d-upla del mazzo quale

debba essere la carta da indovinare

la decodifica, usata dal mago, per ogni (d1)pla stabilisce con sicurezza inquale dei d sottoinsiemi di k carte coperte si trovi la carta codificata.

Se queste due funzioni esistono sempre, allora il massimale effettivamenteraggiungibile. In base alle prove che ho fatto sembra che queste funzioni ci sianosempre, ma non lho dimostrato in generale, quindi per ora questa per me solouna congettura.

E qui ci fermiamo, anche perch le ipotesi formulate da Gnugnu sui VAdLdRM dopoaver affrontato questo problema sono da telefono azzurro:

Riesco a pensare solo a quattro alternative:

a) Rudy un extraterrestre e allora i figli oltre a muoversi a velocit doppiarispetto al gatto che scappa (cfr. RM114) possono anche memorizzare tuttigli schemi;

b) presentano il gioco con laiuto di un prontuario cartaceo o informatico, ascapito della meraviglia del pubblico;

c) si accontentano del metodo classico;d) convincono pap a trovare algoritmi pi abbordabili

Cos vi diamo pi tempo per pensarci. Per i pi curiosi in rete si pu reperire il

documento relativo al problema originale, con tanto di soluzione, cercando MichaelKleber, the best card trick.


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4.1.2 ...i bambini fanno Ooh...Per prima cosa, riassumiamo anche qui il problema:

Alberto ha preso cinque biglie di dimensione diversa e le ha piazzate in un cono di

carta; per una strana combinazione, le biglie inserite in ordine crescente erano tuttecompletamente tangenti alla parete e ciascuna era a contatto con quella/quelle

immediatamente sopra/sotto; sapendo che lultima biglia (la pi piccola) ha un

raggio di otto millimetri e la pi grande di diciotto, qual il raggio di quella di

dimensione intermedia?

Con, per buona misura, una seconda parte:

Fred ha preso quattro biglie rosse e otto biglie blu, e le ha disposte ad occhi chiusi in

cerchio. Che probabilit ci sono che nel risultato finale non ci siano due biglie rosse

vicine?

Molti sono stati tratti in inganno dal numero di birre del problema: Alice ha dichiaratopubblicamente che la parte non probabilistica era facilissima, e a quel punto non ha

potuto lasciare la terza birra nella sua misurazione... Ma che dire? Malgrado la facilitdella prima parte, pochi si sono avventurati nella soluzione:Agapets,Millenium Bug,GaS, Gnugnu, GinoPieri, Zar, Franco57.

Per la prima parte ci affidiamo a GaS:

Siano A X Y Z B, in ordine dalla pipiccola alla pi grande e con A e B noti, iraggi delle 5 biglie (nel testo si ha A=8 eB=18). Per poter stare impilate uno sopralaltro in un cono, i 5 raggi delle bigliedevono essere in progressione geometricacon ragione k= X/A. Perch?

Immaginiamo di impilare le prime duebiglie (A e X) e dilatiamo il tutto delfattore k sopra definito.

Per la similitudine delle dueconfigurazioni, la successiva biglia chepossiamo impilare nella configurazione disinistra (Y) equivalente alla sfera grandedella configurazione di destra (Xk). Siavr quindi Y= Xk=Ak2. E cos via Siha quindi:

X=Ak

Y=Ak2Z=Ak3

B=Ak4

Dallultima equazione si ricava k4=B/A da cui possiamo ricavare anche le incogniteX, Y e Z. interessante sottolineare il (probabile) motivo per cui lAutore delproblema abbia richiesto le dimensioni della sola biglia intermedia, lunica che

abbia unespressione digeribile: BAY = . Con le posizioni del problema per A eB si ha che la biglia intermedia ha un raggio Y = 12.

Per quanto riguarda lapproccio probabilistico di Fred, non so proprio di cosa si stiaparlando. Per quanto mi riguarda, con le biglie si gioca esclusivamente su un

circuito tracciato sulla sabbia e non so quindi come definire il risultato finale delgioco fatto dal VA2dLdRM su di un cerchio...

10Le figure di GaS


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Alice daccordo, ovviamente, e non pochi degli altri solutori si sono fermati qui.Gnugnuliquida la parte probabilistica molto in fretta:

Fissata la posizione di una biglia rossa, restano da sistemare le restanti 3 in 11posti; mentre, per escludere due rosse consecutive, possiamo sostituire ogni rossa

con una coppia rossa seguita (preceduta) da blu, i posti disponibili scenderanno da11 a 7. La probabilit cercata sar pertanto:

.33

7

165

35

3

11

3

7

==

=p

Volendo seguire un altro ragionamento, sentiamoMillenium Bug:

(...) arrischio un soluzione al volo per il problema delle 12 biglie, facendo un volgareconteggio delle combinazioni che ci interessano. Considero di dover mettere lebiglie in posizioni numerate da 1 a 12. Con 12 biglie di cui rispettivamente 4 e 8uguali chiaro che ci sono 12!/(4!*8!) = 495 disposizioni possibili.

Conto ora i casi in cui ho le sequenze di 4,3,2 biglie rosse, tenendo conto che anchele posizioni 1 e 12 sono adiacenti:

4: Ci sono 12 disposizioni possibili

3: La sequenza di 3 pu posizionarsi in 12 modi diversi e, per ciascuna di esse laquarta biglia rossa ha 7 possibilit (escludo le 2 adiacenti alla sequenza di 3, gicontate prima); quindi 12*7 = 84 combinazioni

2: La sequenza di 2 pu posizionarsi in 12 modi diversi.

Rimangono 8 posizioni ammesse (10-2, per il discorso di prima) per le rimanenti 2

biglie. Quindi 8!/(6!*2!) = 28. In tutto avremmo 28*12 = 336 casi.

Per qui c' un inghippo: in 7 dei 28 casi anche le due biglie rimaste sono adiacentie quindi la combinazione in oggetto verrebbe contata due volte. Bisogna quindidividere per 2 per avere il conteggio corretto: 12 * 21 + 12 * 7 / 2 = 294

In definitiva, sommando tutti i risultati ho: 12 + 84 + 294 = 390 casi in cui ci sonodue rosse vicine.

Le probabilit sono dunque 390/495 = 78.78 % che ci siano due rosse vicine e105/495 = 21.21 % che NON ci siano due rosse vicine.

Per una volta vorremmo farvi notare che le probabilit calcolate coincidono (di solito

siamo tanto sadici da offrirvi soluzioni diverse con risultati diversi...). E con questo ciaggiorniamo. Alla prossima!

5. Quick & DirtyQuanti zeri ci sono al fondo di 100! ?

Il numero degli zeri al termine di un numero indicano quante volte questo

divisibile per 10, e questi sono 10. Inoltre, 10=52, quindi dobbiamo contare anchegli altri 10multipli di 5, e siamo a 20. Quelli che non abbiamo ancora contato sonoi quattro multipli di 25(25, 50, 75, 100) per la seconda volta, visto che contengono iltermine 52che, grazie al mucchio di 2 avanzati, in grado di contribuire con altrizeri. Totale, 24 (e non 20).


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6. Pagina 46Abbiamo gi ricavato (BJ&P46 su RM_060, gennaio 2004) che un triangolo rettangolo halati x,ye zinteri se e solo se:

( )( )

+=

=

=

.

,

,2

22

22

batz

baty

tabx

Dove t un intero qualunque e ae bsono interi primi tra loro con a>b.

Supponiamo esistente un triangolo soddisfacente le condizioni del problema; ponendo ilfattore di proporzionalit t pari a 1, possiamo esprimere i lati del triangolo come:

+=

=

=

,

,

,2

22

222

2

baz

bay

abx

sotto le stesse condizioni viste precedentemente per ae b.

La seconda di queste equazioni pu essere riscritta come 222 yba += , e quindi:

+=

=

=

,

,

,2

22

22

uta

uty

tub

dove te usono interi primi tra loro. Otteniamo quindi

( )

( ).2

;22

22

2

222

uttux

tuutx

=

+=

Ma t e u sono primi tra loro, il che implica che siano anche primi rispetto a 22 ut + ;

quindi, dovendo il prodotto ( )22 uttu + essere il quadrato di un intero, ognuno dei fattorideve essere il quadrato di un intero, ossia devono esistere degli interi 111 ,, zyx tali che:

+=

=

=

.

,

,

222

1

21

2

1

utz

uy

tx

L'ultima equazione afferma che, sotto le assunzioni iniziali, esiste un triangolo rettangolo

con cateti 21xt = ,2

1yu = e ipotenusa 1z con 111 ,, zyx interi; non solo, ma considerandoche:

( ) ,22222241 zbaautz =+


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ipotenusa pi piccola. Utilizzando lo stesso ragionamento a questo secondo triangolo,possiamo costruire una successione di triangoli con le ipotenuse decrescenti. Siccometutte queste ipotenuse devono assumere valori interi, arriveremo a un triangolo la cuiipotenusa ha lunghezza 1. Ma questa una contraddizione in quanto il valore 1 non pu

essere somma dei quadrati di due numeri interi.


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7. Paraphernalia MathematicaCapita tuttaltro che spesso che i luoghi sacri di RM vengano ceduti dai tenutari apersone esterne alla Redazione: anche se Piotr concede molto volentieri la penna dei

compleanni ad Alice, che ormai a tutti gli effetti una co-tenutaria (per non parlare delmese scorso, quando lha concessa perfino al GC), soltanto una volta ha aperto la porta adun esterno: Dario Bressanini. Alice, dal canto suo, ogni tanto lascia i maschietti dellaRedazione a giocare con le sue S&N, ma nessun altro ha avuto finora tale privilegio. IParaphernalia Mathematica di Rudy, infine, sono quasi altrettanto immacolati: ce nericordiamo solo uno ormai disperso nella notte dei tempi affidato a Piotr, e un altro pi recentemente concesso a Mariano Tomatis.

Insomma, inutile negarlo: i tre loschi figuri sono maledettamente gelosi, e se cedono lechiavi di casa a qualcuno, deve proprio valerne la pena. Anche stavolta pensiamo chelarticolo che state per leggere la pena la valga per intero. Lautore Maurizio .mau.Codogno, detto talvolta Puntomaupunto, ed cos noto in rete che non dovrebberoservire presentazioni: il tenutario di un blog che spesso tra i cinquanta pi letti

dItalia, stato unautorit della Naming Authority (cosa proprio da lui, questa: essereunautorit al quadrato), vince alle Cenerentoliadi, traduce Hofstadter (seguite i nostriEUNBeT, vero?), nutre due gatte (ma in questo il nostro Silverbrahms lo batte 4 a 2), satutto dei Beatles e legge ottanta libri allanno. Ah, s, certo: anche un matematico vero,molto pi bravo dei tre redattori di RM; ma questa caratteristica abbastanza diffusa traRMers, e quindi non vale quasi la pena ricordarla.

Larticolo veramente curioso, parla di una graziosa caratteristica del Triangolo diTartaglia scoperta da quel genio della matematica (ricreativa e no) che stato EdouardLucas, e ma cavolo, leggetevelo da soli, no?

7.1 Pari o dispari?Noi lo chiamiamo Triangolo di Tartaglia. Pi o meno tutto il resto del mondo lo chiamaTriangolo di Pascal. Credo che per gli arabi sia il Triangolo di Khayyam, e gli svizzeripotrebbero anche definirlo Triangolo di Bernoulli; i cinesi poi ci fanno gentilmente notarecome loro lo conoscevano ene parlavano ben primache noi europei neavessimo anche solo unalontana idea. Sicuramentelavete visto chiss quantevolte anche voi: iltriangolo formato daicoefficienti delle potenzenello sviluppo del binomio(1+a)n al crescere di n,insomma lo sviluppobinomiale di Newton, tantoper aggiungere ancora unaltro nome alla sfilza dimatematici enunciatiallinizio. Se cos non viviene in mente ancora nulla, magari vedere le sue prime righe vi d qualche idea.

Generare il triangolo semplice: i due lati del triangolo sono composti da tutti 1, e ognialtro numero la somma dei due immediatamente sopra di esso. Le propriet di questotriangolo sono tantissime, e ci si potrebbe scrivere probabilmente un libro sopra; ad

esempio, se siete amanti dei numeri di Fibonacci sarete deliziati nello scoprire che possibile trovare una successione di Fibonacci ben nascosta tra le righe (e le colonne).

11Le prime righe del triangolo di Tartaglia


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Rudi Mathematici


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Scriviamo il triangolo in formato leggermente diverso e facciamo la somma dei numerisulle diagonali: otteniamo proprio i numeri di Fibonacci. Simpatico, no?

Ma non voglio parlare di Fibonacci, bens di un misconosciuto matematico francesedellOttocento: Edouard Lucas. In effetti una correlazione c, visto che Lucas generalizz

la successione di Fibonacci e in suo onore quella che inizia con 1, 3, 4, 7, 11... si chiamaappunto successione di Lucas.

Ma Lucas, che fu un semplice professore di liceo, mi sa tanto che sia stato snobbato daigrandi matematici francesi da Cauchy a Poincar, il che semplicemente una vergogna.Oltre che esserci simpatico perch era un matematico intuitivo e amava i giochi

matematici haanche scrittounopera in trevolumi intitolataRcrationsMathmatiques ha scopertodellottimamatematica.Purtroppo per lui, nato con unsecolo di anticipo.Era, infatti,fissato con larappresentazionebinaria: robatirata fuori gi daLeibnitz ma chenon aveva alcun

interesse praticoalmeno fino a chenon sono statisviluppati i primi

elaboratori elettronici. Per fare un esempio, Lucas studi i numeri di Mersenne (quellidella forma 2n1, la cui rappresentazione binaria quindi composta da tutti 1) e trov unmetodo (relativamente...) molto rapido per verificare se sono primi. ...Ancora oggi non un caso che i numeri primi giganteschi che si scoprono ogni tanto siano di Mersenne,perch si usa una variante del suo metodo, detta test di Lucas-Lehmer. Un altro esempiodellinfatuazione di Lucas per la rappresentazione binaria data dal gioco della Torre diHanoi, inventato da lui e che toh! si risolve esattamente in 2n1 passi, ciascuno deiquali ha un immediato corrispondente intuitivo in un numero binario.

Anche la propriet che Lucas ha scoperto e che ora mi accingo a mostrare e dimostrare legata ai numeri binari, ed assolutamente incredibile a prima vista. Innanzitutto, unpo di notazioni per semplificarci la vita dopo. Definiamo B(n,k), con kn, il coefficiente(binomiale) di aknello sviluppo di (1+a)n. Se prendiamo per esempio

( ) 15101051 23455 +++++=+ aaaaaa ,

abbiamo B(5,2) = 10. Nel nostro triangolo di Tartaglia, le righe a partire dalla zeresimaperch noi siamo matematici e ci piace iniziare dallo zero contengono per lappunto icoefficienti binomiali.

Per quanto detto prima, esiste una formula ricorsiva per calcolare B(n,k): se k=0 oppurek=n, esso vale 1, altrimenti vale

B(n1,k1) + B(n1,k).

12I numeri di Fibonacci, ottenuti sommando le righe del Triangolo diTartaglia


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Esiste anche una formula diretta per calcolare B(n,k): esso vale

)!(!

!

knk

n

,

dove n! indica chiaramente la funzione fattoriale e cio il prodotto dei numeri da 1 a n.Supponiamo per che non ci interessi sapere esattamente qual questo numeraccio, maci basti scoprire se pari (P) oppure dispari (D).

Se guardiamo il disegno qui a fianco,dove i quadratini neri corrispondonoai numeri dispari e quelli bianchi ainumeri pari, sono certo che viaccorgete che c una regolarit di unqualche tipo: si vedono triangoloni etriangolini che sembrano avere unastruttura frattale. In effetti un

frattale fatto cos ha anche un nome,triangolo di Sierpinski; possiamoquindi immaginare che ci sia unaformula piuttosto compatta che cipermetta di esprimere questaregolarit. E qui arriva appuntoLucas, con il suo teorema:

Se scriviamo n e k in formabinaria, aggiungendo senecessario degli zeri asinistra di k in modo che ledue rappresentazioni abbiano

la stessa lunghezza, alloraB(n,k) sar un numero dispari se e solo se in ciascuna posizione dove larappresentazione di kha un 1 allora la rappresentazione di nha un 1.

Tutto qua.

Non so se avete notato il genio di Lucas al lavoro: per calcolare ad esempio seB(31415,926) pari o dispari, ci basta trasformare i due numeri in forma binaria (costodelloperazione O(n log n)) e confrontarli (costo O(n)). Roba che si pu fare anche concarta e matita, mentre vi sfido a calcolare i fattoriali oppure fattorizzare tutti i numeriper vedere quante sono le potenze di due nei fattoriali sopra e sotto la divisione.

Daltra parte, la cosa ha anche un senso: a noinon interessa il valore del coefficiente

binomiale fino allultima cifra, ma solo unapiccola parte di esso noi che siamo abituatiai computer diremmo il bit menosignificativo e quindi non servenecessariamente dover fare tutti i conti. Mada qui a scoprire la regola enunciata sopra cene vuole! Noi siamo pi fortunati di Lucas,perch a differenza sua sappiamo gi qual ilrisultato che dobbiamo dimostrare. Madobbiamo comunque dimostrarlo, no? Eccoqua come ho fatto io, probabilmente seguendouna strada non ottimale ma che ha il

vantaggio di pensare binario, il che mi parenello spirito di Lucas.

13Numeri dispari (neri) e pari (bianchi) nelTriangolo di Tartaglia

14Auguri di S. Valentino da xkcd.com


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Iniziamo con alcuni casi facili. B(n,n) uguale a uno, e quindi dispari; e in effetti, vistoche k uguale ad n, immediato che in ogni posizione in cui nello sviluppo binario di kc un 1, anche nella corrispondente posizione di nun 1 c per forza. B(n,0) vale anchesso1, ma pu dare qualche problema in pi per verificare la nostra tesi... se non si abituati

a fare matematica e quindi non si conoscono le mirabolanti propriet dellinsieme vuoto,come ci raccontavano alluniversit. La rappresentazione binaria di zero composta datutti zeri, il che significa che non c alcun 1; detto in altro modo, linsieme delle posizionicon una cifra 1 linsieme vuoto. Ma allora vero che per tutte le (inesistenti) posizionidove c un 1, c un 1 anche nella posizione corrispondente di n!

Se non siete ancora convinti della cosa, provo a spiegarlo con la logica formale.Lespressione A B logicamente equivalente a NOT B NOT A. La nostra frase inciascuna posizione dove la rappresentazione di kha un 1 allora la rappresentazione di nha un 1 diventa in ciascuna posizione dove la rappresentazione di nnon ha un 1 (cioha uno 0) allora la rappresentazione di k non ha un 1 (cio ha uno 0). Vista cos,converrete con me che assolutamente vero, no?

Lultimo caso che ci serve come base di partenza B(n,k) per n=2r

e kdiverso da 0 e n.Visto che la rappresentazione di n del formato 1000...000, e quella di k ha perdefinizione un 1 in unaltra posizione, dobbiamo dimostrare che tutti questi valori sonopari. In effetti, scriviamo B(n,k) nella versione estesa

k

knnnn

...21

))...(2)(1(.

Quando k dispari, se si esclude il fattore nsi possono accoppiare tra loro tutti gli altrinumeri pari, uno al numeratore e uno al denominatore: 2 con n2, 4 con n4, e cos via.Tutte queste coppie di numeri hanno esattamente lo stesso numero di fattori 2: se non cicredete, scrivetele in formato binario e controllate qual la cifra 1 che si trova pi adestra. Quindi tutti questi fattori 2 si eliminano, e resta solo a numeratore n, cio 2r. Se

invece k pari, gli accoppiamenti lasciano liberi a numeratore n e a denominatore k; ciresta pertanto qualche fattore 2 in pi da scialare a numeratore, e il risultato continuerad essere pari.

A questo punto, siamo pronti ad affrontare il casogenerale. Fissiamo n, e prendiamo tutti i B(n,k) visticome i coefficienti delle potenze crescenti andrebbero anche bene decrescenti per ovvie ragionidi simmetria, ma non stiamo a sottilizzare di anellosviluppo di (1+a)n. Se definiamo polinomio r-binarioil polinomio (1+a)mdove m=2r, e ci limitiamoa guardare la firma di parit, vale a dire scriviamo p

se il coefficiente pari e D se il coefficiente dispari,abbiamo appena visto che la firma di parit di unpolinomio r-binario Dpppp...pppD, dove il primo Dcorrisponde al coefficiente del termine di esponente 0e il secondo a quello del termine di coefficiente m, cio 100...0 se viene scritto in notazionebinaria.

Scriviamo ora il nostro polinomio (1+a)ncome prodotto di polinomi r-binari e iniziamo afare il prodotto da quello con rpi grande a quello con r pi piccolo. Notiamo innanzituttoche ciascun prodotto, dal punto di vista dei coefficienti, consiste nel sommarela firma diparit Q1Q2Q3...Qt1Qt con s stessa spostata di m=2

sposizioni per un qualche s. Per

costruzione, impossibile che nei vari prodotti che si fanno si arrivi a sommare perqualche esponente due valori entrambi dispari, visto che questo significherebbe che lasomma di potenze di 2 con esponenti tutti diversi tra loro sia una potenza di due con

15La firma binaria checorrisponde a (1+a)8(1+a)4(1+a)


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esponente ancora diverso. Sempre per costruzione, se nel nostro polinomio fattorizzatonon c lesponente di indice 2kallora al passo corrispondente a knon sar possibile fardiventare dispari gli esponenti di formato (2r+1)k e ai passi successivi non potranno

quindi diventare dispari quelli tra (2r+1)k e

2(r+1)k1. Se invece c lesponente di indice2kallora quegli esponenti diventano dispari esi pu andare avanti... ottenendo cos perinduzione esattamente il risultato voluto.Visto in questo modo, lenunciato del teoremasembra assolutamente naturale: ma come hodetto allinizio, il genio stato vedere che sipoteva lavorare in una configurazione comequesta. Lucas stato un genio, non c chedire.

Quando si arriva a un risultato cos bello, unmatematico pensa subito a come lo si possa

generalizzare. Purtroppo non sono riuscito avedere nulla di fattibile con il modulo 3. Oltreal fatto che non che io sia un cos bravomatematico, credo che conti molto il fatto che 2sia un numero primo strano, come dicono gliinglesi: 2 is an even prime number, so it isodd. Lascio comunque al lettore la possibilitdi generalizzare il teorema ;-).

16Francois Edouard Anatole Lucas

Rudy dAlembert

Alice Riddle

Piotr R. Silverbrahms

rudi mathematici 122 - mar 2009

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