roti dintate

ORGANE DE MAŞINI PENTRU PROFIL ENERGETIC - TEORIE

Capitolul 12

TRANSMISII CU ROŢI DINŢATE /1, 8, 10, 17, 19/

- 163 -


12.1. GENERALITĂŢI

Un angrenaj este un mecanism elementar format din două roţi dinţate care transmit putere şi turaţie (deci moment de torsiune) Óntre doi arbori, prin forma conjugată a dinţilor, fără element intermediar felxibil. Observaţie - Angrenajul poate fi format şi dintr-o roată dinţată şi o ìcremalierăî, caz

Ón care mişcarea de rotaţie este transformată Ón mişcare de translaţie (sau invers).

Fig.12.1. Tipuri de angrenaje şi roţi dinţate.

a) Clasificare

După raportul de transmitere, angrenajele sunt: • reductoare, dacă i > 1; • multiplicatoare, dacă i < 1.

Observaţie - Raportul de transmitere al unui angrenaj este constant. După poziţia relativă a axelor, angrenajele sunt:

• cu axe paralele (v.fig. 12.1.a şi d); • cu axe concurente (v.fig. 12.1.b); • cu axe Óncrucişate (v.fig. 12.1.c).

După forma roţilor, acestea sunt: • cilindrice (v.fig. 12.1.a,c,d,f,g şi h); • conice (v.fig. 12.1.b); • hiperboloidale (v.fig. 12.1.e).

După direcţia dinţilor, roţile sunt: • cu dinţi drepţi (v.fig. 12.1.f); • cu dinţi Ónclinaţi (v.fig. 12.1.g); • cu dinţi curbi (v.fig. 12.1.h).

- 164 -


După forma profilului dinţilor, dantura roţilor este: • evolventică; • cicloidală; • Ón arc de cerc.

După poziţia relativă a suprafeţelor de rostogolire, angrenajele sunt: • exterioare (v.fig. 12.1.a,b şi c); • interioare (v.fig. 12.1.d).

b) Avantaje şi dezavantaje

Avantaje: • raport de transmitere constant; • portanţă mare; • siguranţă mare Ón funcţionare; • randament ridicat; • gabarit redus.

Dezavantaje: • tehnologie de execuţie şi montaj costisitoare; • sunt zgomotoase; • nu asigură protejarea transmisiei din care fac parte.

c) Moduri de distrugere

Modurile de distrugere ale angrenajelor fac obiectul unui standard. Ruperea prin oboseală de Óncovoiere la piciorul dintelui este

principala formă de deteriorare la roţilor dinţate confecţionate din oţel şi durificate superficial (cu duritatea Brinell pe flanc HBflanc > 3500 MPa), fontă sau material plastic.

Modul de deteriorare este schiţat Ón figura 12.2.a. Œncovoierea variabilă Ón timp produsă de forţa normală Fn, face ca fisurile superificiale existente Ón zona concentratorului de tensiuni (Ón zona racordării de la baza dintelui) să se propage spre interior. Astfel, treptat, secţiunea ìÓncastrăriiî dintelui Ón corpul roţii se micşorează, scade rezistenţa la Óncovoiere şi la un moment dat se produce brusc ruperea. Aspectul rupturii prin oboseală este ìluciosî pe zona de propagare Ón timp a fisurilor, respectiv ìcristalinî pe zona corespunătoare desprinderii bruşte a dintelui.

Soluţii pentru evitarea acestui mod de distrugere sunt: • mărirea secţiunii Óncastrării dintelui Ón corpul roţii prin creşterea

modulului danturii şi/sau prin corijarea pozitivă a profilului danturii; • micşorarea concentratorului de tensiuni prin mărirea razei de

racordare de la piciorul dintelui. Ruperea statică este cauzată at‚t de suprasarcini şi/sau şocuri, c‚t şi de

erorile inerente de execuţie şi montaj. Datorită acestora din urmă Óncărcarea dintelui este neuniformă pe lăţimea sa. Ca urmare este posibilă ruperea bruscă a unei porţiuni dinspre capul dintelui (v.fig. 12.2.b). Aspectul rupturii este evident cristalin.

- 165 -


Fig.12.2. Principalele moduri de distrugere ale roţilor dinţate.

Soluţii pentru prevenirea ruperii statice sunt: • creşterea preciziei de execuţie şi montaj; • evitarea suprasarcinilor şi/sau şocurilor prin prevederea unui sistem de

protecţie al transmisiei. Pittingul (oboseala superficială de contact) este principala formă de

deteriorare la roţile dinţate confecţionate din oţel şi nedurificate superficial (cu duritatea Brinell pe flanc HBflanc ≤ 3500 MPa). Ciupiturile apar Ón zona Ón care raza de curbură echivalentă a contactului este minimă şi tensiunea hertziană de contact este maximă (v.fig. 12.2.c). Pittingul ìincipientî din perioada de rodaj nu este periculos, dar Ón timp pittingul ìprogresivî poate duce la scoaterea din uz a angrenajului.

Măsurile care se pot lua pentru prevenirea pittingului sunt: • durificarea superficială a flancurilor dinţilor; • superfinisarea flancurilor dinţilor; • micşorarea razei de curbură echivalente a contactului prin utilizarea

unor angrenaje cu dantura deplasată ìplusî. Gripajul este principala formă de deteriorare a angrenajelor melcate, a căror

funcţionare este caracterizată de Óncărcări mari şi de viteze de alunecare mari Óntre flancuri. ìBenzileî de gripaj, datorate uzării adezive apar spre capul şi respectiv piciorul dintelui (v.fig. 12.2.d) adică Ón zonele Ón care viteza de alunecare dintre flancuri are valori mari.

- 166 -


Pentru prevenirea gripajului se pot adopta următoarele măsuri: • utilizarea unui cuplu de materiale ìantigripajî, deci cu sudabilitate

redusă şi cu diferenţă de duritate; • superfinisarea flancurilor dinţilor; • aditivarea lubrifiantului cu aditiv de extremă presiune (EP).

Observaţie - Mai sunt şi alte forme de deteriorare a angrenajelor (abrazivă, corozivă etc.).

d) Materiale

Majoritatea roţilor dinţate sunt confecţionate din oţeluri. Acestea pot fi nedurificate superficial dacă sunt din oţel laminat de uz general (simbol OL), oţel turnat (OT), oţel laminat de calitate (OLC) sau aliat, tratat termic prin Ómbunătăţire. Mai frecvent se utilizează oţelurile durificate superficial. Acestea sunt oţeluri laminate de calitate sau aliate, tratate termic prin călire sau termochimic prin cementare sau nitrurare.

Alte materiale folosite pentru confecţionarea roţilor dinţate sunt fontele, bronzurile (Ón special la roţile melcate) şi materialele plastice.

12.2. ANGRENAJUL CILINDRIC CU DINŢI DREPŢI

12.2.1. Flancurile dinţilor

a) Legea fundamentală a angrenării

Această lege stabileşte cum trebuie să fie suprafeţele flancurilor dinţilor astfel Ónc‚t raportul de transmitere i al angrenajului să fie constant.

Œn figura 12.3, este schiţat momentul Ón care angrenarea se face Óntr-un punct oarecare Y. Roata conducătoare are axa O1 şi vitea unghiulară ω1 = ct. Roata condusă are axa O2 şi viteza unghiulară ω2. Pentru ca raportul de transmitere i = ω1/ω2 să fie constant, trebuie ca ω2 să fie constantă.

Normala comună pe cele două flancuri se notează cu nn şi intersectează dreapta O1O2 Ón punctul C. Tangenta comună celor două flancuri, perpendiculare Ón Y pe nn, se notează cu tt.

Vitezele periferice ale celor două roţi, corespunzătoare punctului Y sunt vy1 = ω1ry1 şi vy2 = ω2ry2. Vectorii corespunzători acestor viteze pot fi descompuşi pe direcţiile nn şi respectiv tt. Componentele normale vy1n şi vy2n trebuie să fie egale pentru că:

• dacă vy1n > vy2n, dintele roţii 2 ar fi deformabil; • dacă vy1n < vy2n, dintele roţii conduse 2 s-ar desprinde de dintele roţii

conducătoare 1. Deci:

ω 1r y 1⋅cos α y1= ω2r y2 ⋅cos α y2 (12.1)

- 167 -


Dacă T1 şi T2 sunt picioa-rele perpendicularelor cobor‚te din O1

şi O2 pe normala nn, atunci se poate scrie:

i = ω 1

ω 2=

r y 2 ⋅ cos α y

2

r y1 ⋅ cos α y1

=

(12.2)

= O 2 T 2 O 2 C= = ct

O1 T1 O1CŢin‚nd cont că distanţa

dintre axele celor două roţi, O1O2, este constantă, din relaţia (12.2) rezultă că punctul C este fix. Mai mult dec‚t at‚t, dreapta nn, care trece punctul fix C, este Ónclinată faţă de perpendiculara dusă Ón C pe dreapta O1O2 cu unghiul constant

Fig.12.3. Schiţă pentru stabilirea legii αw, deci este la r‚ndul ei fixă.fundamentale a angrenării. Astfel, se poate enunţa legea fun-

damentală a angrenării: un angrenaj are raport de transmitere constant dacă flancurile dinţilor sunt astfel Ónc‚t normala lor comună Ón orice punct de angrenare este o dreaptă fixă care trece printr-un punct fix al liniei care uneşte axele roţilor, punct determinat de raportul de transmitere. Observaţii

C‚nd angrenarea se face Ón orice punct Y ≠ C, componentele tangenţiale ale vitezelor periferice (vy1t şi vy2t) sunt nenule şi diferite Óntre ele, astfel Ónc‚t mişcarea relativă dintre flancuri este at‚t de rostogolire c‚t şi de alunecare. C‚nd angrenarea se face Ón punctul C, componentele tangenţiale ale vitezelor periferice sunt nule astfel Ónc‚t mişcarea relativă dintre flancuri este numai de rostogolire. De aceea, C se numeşte punct de rostogolire, iar toate elementele geometrice corespunzătoare lui, pentru care se utilizează indicele ìwî, se numesc de rostogolire (razele rw1(2), unghiul αw etc.). Cercurile de raze constante rb1 = O1T1 şi respectiv rb2 = O2T2 se numesc cercuri de bază.

b) Curbe utilizate pentru flancuri

Curbele care verifică legea fundamentală a angrenării şi pot fi utilizate pentru flancurile roţilor dinţate se numesc ìcicliceî. Ele sunt descrise de un punct al unui cerc (ruletă) care se rostogoleşte fără alunecare pe o curbă fixă (bază).

Œn cazul particular Ón care at‚t ruleta c‚t şi baza sunt cercuri, curbele ciclice se numesc ìcicloideî, mai precis:

• epicicloidă, c‚nd ruleta este Ón exteriorul bazei (v.fig. 12.4.a); • hipocicloidă, c‚nd ruleta este Ón interiorul bazei (v.fig. 12.4.b);

- 168 -


• cicloidă, atunci c‚nd cercul de bază are raza infinită fiind o dreaptă (v.fig. 12.4.c);

• evolventă, c‚nd cercul ruletă are raza infinită fiind dreptă (v.fig.12.4.d).

Fig.12.4. Curbe utilizate pentru flancurile dinţilor.

Practic, dintre cele patru cicloide, cea mai utilizată pentru flancurile dinţilor este evolventa at‚t pentru că este mai uşor de generat prin prelucrare c‚t şi pentru că asigură o funcţionare bună chiar şi Ón cazul unor abateri mici ale distanţei O1O2 dintre axelor roţilor.

Deci, evolventa este descrisă de un punct al unei drepte care se rostogoleşte fără alunecare pe cercul de bază care este fix.

c) Geometria evolventei

Evolventa poate fi definită Óntr-unsistem de coordonate polare (v.fig. 12.5).Cercul fix, de bază, are centrul Ón O şi raza rb. Dreapta ruletă este iniţial tangentă la cercul de bază Ón punctul T0, care coincide cu primul punct al evolventei Y0, care are coordonata radială rb, iar pe cea unghiulară θ. Prin rostogolirea fără alunecare pe cercul de bază a

C dreptei ruletă, se descrie evolventa, un punctoarecare al acesteia fiind Y (de coordonate ry şi

Fig.12.5. Geometria evolventei. θy) atunci c‚nd punctul de tangenţă este T.

- 169 -


Not‚nd cu αy unghiul de presiune al evolventei corespunzător punctului oarecare Y (unghiul sub care se vede segmentul YT al tangentei la cercul de bază), coordonata radială ry este:

r y = r b

cos α y

≥ r b (12.3)

Din relaţia (12.3) rezultă că nu se poate genera evolventă Ón interiorul cercului de bază. De asemenea rezultă că raza de bază este un invariant:

rb = ry cos α y (12.4)

Pentru determinarea coordonatei unghiulare θy se consideră egalitatea dintrearcul de cerc TT o

Ón radiani atunci:şi segmentul de tangenţă YT . Dacă unghiurile θy şi αy se exprimă

arc T 0 T = r b ( θ y + α y )

de unde rezultă:θ y

seg YT = r b

tg

= tg α y − α y = ev

(12.5)α y

α y = inv α y (12.6)

Œn domeniul roţilor dinţate, prin intermediul expresiei din relaţia (12.6), a coordonatei unghiulare θy se defineşte o funcţie care se notează cu ìevî şi se numeşte evolventă sau se notează cu ìinvî şi se numeşte involută. Argumentul unghiular al funcţiei se poate exprima şi Ón grade sexagesimale:

ev α y = inv α y = tg πα y − α y ⋅ 0 (12.7)

180 Pentru calculul la pitting, este utilă expresia razei de curbură a evolventei Óntrun

punct oarecare Y. Se poate arăta că aceasta este tocmai lungimea segmentului YT al tangentei:

ρy = seg YT = r b tg α y (12.8)

12.2.2. Elementele geometrice ale unei roţi

Flancurile dinţilor sunt suprafeţe evolventice care se generează prin danturare. Conform figurii 12.6, o suprafaţă evolventică este descrisă de o dreaptă a unui plan (ruletă) care se rostogoleşte fără alunecare pe un cilindru fix (bază).

La o roată dinţată cilindrică cu dinţi drepţi, direcţia dinţilor este paralelă cu axa roţii. De aceea, cu excepţia cotei axiale b, care este lăţimea roţii, toate celelalte elemente geometrice pot fi precizate

Fig.12.6. Generarea flancului. Óntr-un plan perpendicular pe axa roţii (v.fig. 12.7). Deci, Ón loc de ìcilindriî se poate vorbi de ìcercuriî.

- 170 -


C

C

C

C

Fig.12.7. Geometria evolventei. Fig.12.8. Cremaliera de referinţă.

Astfel, Ón direcţie radială, dinţii sunt delimitaţi de cercul de cap Ca spre exterior şi respectiv de cercul de picior Cf spre interior. Elementele legate de cercul de cap au indicele ìaî (de ex. da ñ diametrul de cap; αa ñ unghiul de presiune ale evolventei pe cercul de cap, ha ñ Ónălţimea capului dintelui; sa ñ arcul dintelui pe cercul de cap etc.), iar cele legate de cercul de picior au indicele ìfî (de ex. d f; αf; hf; ρf ñ raza de racordare de la piciorul dintelui etc.).

Œn afară de cercul de bază Cb, pentru elementele căruia se foloseşte indicele ìbî (de ex. db etc.) mai prezintă interes cercul de divizare C, ale cărui elemente nu au prevăzut un indice special (de ex. d; α; s - arcul dintelui pe cercul de divizare; e ñ arcul golului dintre doi dinţi pe cercul de divizare; p ñ pasul de divizare etc.). Cercul de divizare se defineşte prin condiţia ca arcul dintelui să fie egal cu cel al golului:

s = e = p / 2

Diametrele de cap şi respectiv de picior sunt:

d a = d + 2h a

d = d − 2h

(12.9)

(12.10)f

Œnălţimea h a dintelui este:h = ( d

a

f

− d ) 2/ (12.11)f

Legătura dintre diferitele diametre cracteristice danturii se poate face conform relaţiei (12.4) prin intermediul diametrului de bază:

db = dcos α = da cos αa = df cos α f (12.12)

Dacă roata dinţată are z dinţi, atunci circumferinţa cercului de divizare este: π ⋅d = z ⋅p (12.13)

Rezultă că diametrul de divizare se poate determina cu relaţia: p

d =π ⋅ z = m ⋅ z (12.14)

unde m = p/π se numeşte modulul danturii.

- 171 -


Pentru ca să poată angrena, două roţi dinţate trebuie să aibă acelaşi pas de divizare, deci acelaşi modul. Rezultă că danturarea lor trebuie să se facă cu scule caracterizate de acelaşi modul, sau chiar cu aceiaşi sculă. Pentru reducerea numărului de scule de danturat, modulul este standardizat printr-un şir de valori discrete.

Pentru asigurarea interschimbabilităţii roţilor dinţate, elementele geometrice dimensionale ale cremalierei de referinţă sunt standardizate Ón funcţie de modul (v.fig. 12.8). Observaţie - Cremaliera este o roată dinţată care are (teoretic) un număr infinit de

dinţi la care flancurile nu mai sunt evolventice, ci rectilinii. Tot Ón figura 12.8 mai sunt reprezentate cremaliera generatoare şi profilul

conjugat. Cremaliera generatoare este exact ìnegativulî cremalierei de referinţă şi corespunde sculei cu care s-ar dantura aceasta. Toate elementele legate de sculă au suplimentar indicele ì0î. Profilul conjugat corespunde roţii dinţate cu care se face angrenarea Ón timpul funcţionării. De aceea profilul conjugat diferă de cel al sculei prin existenţa jocului la capul şi respectiv piciorul dintelui.

Unghiul de Ónclinare al flancurilor dinţilor cremalierei, are valoarea standardizată α0 = 200. Œnălţimea dinţilor este Ómpărţită Ón cap şi picior de către linia de referinţă a sculei (LR), care se defineşte prin condiţia ca grosimea dintelui să fie egală cu cea a golului:

so = eo = p0 / 2 = m ⋅π / 2 (12.15)

Celelalte elemente geometrice dimensionale ale cremalierei de referinţă sunt standardizate Ón funcţie de modul prin intermediul unor coeficienţi adimensionali:

*• Ónălţimea capului dintelui, h 0 a = h ⋅ m = m , deci h0a = 1 ;

0a*

• Ónălţimea piciorului dintelui, h 0 f = h ⋅ m = 1 ,25 ⋅ m , deci h0f = 1 ,25 ;0f

*• jocul la capul/piciorul dintelui, c 0 = c ⋅ m = 0, 25 ⋅ m , deci c0 = 0, 25 ;

0*

• raza de racordare de la piciorul dintelui, ρ = ρ m = 0 , 38 ⋅ m , deci 0f 0f

* ρ 0f = 0 ,38

Dantura generată cu o sculă de tip cremalieră este de trei tipuri Ón funcţie de poziţia relativă a sculei faţă de axa semifabricatului (v.fig. 12.9). Poziţia relativă poate fi caracterizată prin valoarea ìalgebricăî a coeficientului deplsării de profil x (deplasarea propriu-zisă este x⋅m).

Dantura nedeplasată (x = 0), se obţine c‚nd linia de referinţă a sculei este tangentă la cercul de divizare al semifabricatului (v.fig. 1.29.a). Œnălţimile capului dintelui şi piciorului dintelui au valori standardizate. Dantura cu deplasare pozitivă (x > 0), se obţine prin Óndepărtarea sculei faţă de semifabricat. Deci, linia de referinţă a sculei este exterioară cercului de divizare al semifabricatului. Œnălţimea capului dintelui creşte cu valoarea deplasării, iar cea a piciorului dintelui scade cu aceeiaşi valoare. Dantura cu deplasare negativă (x < 0) rezultă atunci c‚nd linia de referinţă a sculei este secantă cercului de divizare al sculei. Œn acest caz, capul dintelui se scurtează iar piciorul dintelui se măreşte cu valoarea deplasării.

- 172 -


C C

Fig.12.9. Tipuri de .

C

Pentru toate cele trei tipuri de danturi, diametrele de cap şi respectiv picior se determină cu relaţia:

da = d + 2h = d + 2m ( h

a∗ + x )0 a (12.16)

d f = d − 2h f = d − 2m ( h

∗ 0 f + x )

12.2.3. Elementele geometrice şi cinematice ale angrenajului

Principalele elemente geometrice caracteristice angrenării a două roţi cilindrice cu dinţi drepţi sunt prezentate Ón figura 12.10. Roata conducătoare, plasată Ón partea de jos a schiţei, are axa O1 şi viteza unghiulară ω1. Roata condusă are axa O2 şi

C

C

C

C

Fig.12.10. Elementele geometrice ale

angrenajului.

viteza unghiulară ω2. Cele două roţi aucercurile de cap Ca1 şi Ca2, cercurile de

picior Cf1 şi Cf2 şi razele de bază O1T1 şi

O2T2.Pe dreapta T1T2 se găsesc, conform

legii fundamentale a angrenării, toate punctele de contact dintre flancurile dinţilor celor două roţi. De aceea dreapta T1T2 se numeşte ìlinie de angrenareî.

Pentru o pereche de dinţi angrenarea Óncepe Ón punctul A Ón care cercul de cap Ca1 intersectează T1T2 şi se termină Ón punctul E corespunzător intersecţiei dintre Ca2 şi T1T2.

- 173 -


Punctul A se numeşte ìde intrare Ón angrenareî, iar E ìde ieşire din angrenareî. Punctul C, situat at‚t pe T1T2 c‚t şi pe O1O2, se numeşte ìde rostogolireî sau "polul angrenării". Segmentul AE, format din toate punctele efective de contact dintre flancurile dinţilor, se numeşte ìde angrenareî.

Pentru ca raportul de transmitere i să fie constant trebuie ca angrenarea să fie continuă. Aceasta presupune ca Ón momentul Ón care o pereche de dinţi intră Ón angrenare Ón A, precedenta pereche să fie Óncă Ón angrenare Óntr-un punct D, iar c‚nd o pereche de dinţi iese din angrenare Ón E, următoarea pereche să fie deja Ón angrenare Óntr-un punct B. Rezultă că atunci c‚nd angrenarea se face Ón puncte ale segmentelor AB şi DE Ón angrenare se află două perechi de dinţi, iar c‚nd angrenarea se face Ón puncte ale segmentului BD Ón angrenare se află o singură pereche de dinţi. Astfel, B se numeşte ìpunct interior de angrenare singularăî, iar D ìpunct exterior de angrenare singularăî, AB şi DE sunt ìsegmente de angrenare dublăî, iar BD ìsegment de angrenare singularăî. Observaţie - Distanţa dintre A şi D (respectiv B şi E) reprezintă distanţa dintre doi

dinţi consecutivi (pasul) pe linia de angrenare care este tangentă la cercurile de bază ale celor două roţi. Deci AD = BE = pb.

Pe l‚ngă elementele geometrice menţionate, la ìmontareaî angrenajului apar şi elementele rostogoirii:

• diametrele de rostogolire, dw1(2) = O1(2)C, diferite Ón general de cele de divizare, d1(2) = m z⋅ 1(2);

• distanţa dintre axele O1 şi O2 (standardizată printr-un şir de valori), aw

= (dw1 + dw2)/2, diferită Ón general de distanţa dintre axe de referinţă, a = (d1 + d2)/2 = m(z1 + z2)/2;

• unghiul de rostogolire, αw, diferit Ón general de α = 200. Conform relaţiei (12.4):

db1 (2) = d1 (2) ⋅cos α = dw1 (2) ⋅cos α w (12.17)

Rezultă că diametrele de rostogolire se pot scrie Ón funcţie de cele de divizare:

cos αd w 1 ( 2 ) = d 1 ( 2) ⋅

Deci:

cos α w(12.18)

a w = a

de unde:

cos α

cos α w

a

(12.19)

α w = arccos a w ⋅ cos α (12.20)

Observaţie - Œn succesiunea normală a calculelor, mai Ónt‚i se stabileşte valoarea standardizată a distanţei dintre axe aw, apoi se stabileşte unghiul αw cu relaţia (12.20), iar Ón final se calculează diametrele de rostogolire dw1(2)

cu relaţiile (12.18).

- 174 -


Se poate arăta că pornind de la condiţia ca angrenarea să se facă fără joc Óntre flancuri:

s w1 ( 2 )

=

se ajunge la relaţia:

inv α w = inv α +

e w 2( )1

2 ( x 1 + x 2 ) tg α

z 1 + z 2

(12.21)

(12.22)

care se utilizeaă pentru determinarea sumei coeficienţilor deplasărilor de profil pentru cele două roţi, x1 + x2. Œn funcţie de această sumă, angrenajele sunt de patru feluri.

Nedeplasate, dacă x1 = x2 = 0. Œn acest caz, conform relaţiilor (12.22), (12.18) şi (12.19) rezultă αw = α = 200, dw1(2) = d1(2) şi aw = a. Zero deplasate, dacă x1(2) ≠ 0 dar x1 = x2 = 0. Şi Ón acest caz αw = α = 200, dw1(2) = d1(2) şi aw = a. Deplasate plus, dacă x1 + x2 = 0. Œn acest caz, ţin‚nd cont de monotonia funcţiilor inv şi cos pentru valorile uzuale ale unghiurior αw şi α, rezultă αw > α = 200, dw1(2) > d1(2) şi aw > a. Deplasate minus, dacă x1 + x2 < 0. Œn caz că αw < α = 200, dw1(2) < d1(2) şi aw < a.

Pentru determinarea elementului cinematic al angrenajului, care este raportul de transmitere i, se ţine cont că Ón punctul de rostogolire C vitezele periferice ale celor două roţi sunt egale (vC1 = vC2):

i = n 1

n 2=

ω 1

ω 2=

2v C1 / d w1

2 v C 2 / d w 2

d w 2 d 2 z 2= = = (12.23)

d w1 d 1 z 1

Observaţie - Raportul de transmitere ìnominalî al unui angrenaj este standardizat. De aceea, se consideră că raportul ìefectivî, z2/z1, este corect dacă abaterea sa de la cel nominal se Óncadrează Óntre nişte limite admisibile.

12.2.4. Condiţiile unei corecte generări şi angrenări

a) Subtăierea

Subtăierea este fenomenul de slăbire a dintelui unei roţi dinţate la bază, datorită pătrunderii tăişurilor sculei Ón interiorul cercului de bază şi generării de suprafeţe neevolventice.

Este evident că subtăierea trebuie evitată pentru că ea micşorează rezistenţa dintelui la solicitarea de Óncovoiere prin oboseală de la piciorul dintelui.

Conform figurii 12.11, pentru ca subtăierea să nu apară trebuie ca ultimul punct al evolventei generate Y, să fie Óntre punctele C (de rostogolire la danturare) şi T (de tangenţă a liniei de angrenare nn cu cercul de bază), adică să fie Óndeplinită inegalitatea:

YC ≤ TC (12.24)Inegalitatea este valabilă şi pentru proiecţiile celor două segmente pe dreapta

OC:

Y1C≤ T 1C = OC − OT 1 (12.25)

- 175 -

) min


Ţin‚nd cont de elementelegeometrice standardizate ale cremalierei dereferinţă, relaţia (12.25) se poate scrie:

m − xm ≤ mz− r cos α =

Cmz

2−

b 02

mz 2 mz 2cos α 0 = sin

2 2

(12.26)

α 0

Deci, pentru evitarea subtăierii,numărul de dinţi trebuie să fie:

z ≥ 2 ( 1 − x )

2sin α 0

= ( 1 − x z (12.27)

Œn relaţia (12.27), zmin = 2/sin2α0 =2/sin2200 17, este numărul minim de dinţi≅pe care trebuie să Ól aibă o roată cu dantura

Fig.12.11. Schiţă pentru subtăiere. nedeplasată (x = 0) pentru ca să nu prezintefenomenul de subtăiere.

Dacă totuşi, trebuie generată o roată cu un număr de dinţi z < zmin, atunci subtăierea se poate evita printr-o deplasare pozitivă a danturii cu coeficientul minim xmin ≥ (zmin - z)/zmin.

b) Ascuţirea

Ascuţirea este fenomenul de micşorare a arcului sa pe cercul de cap al danturii (v.fig. 12.7), datorită unei deplasări pozitive de profil prea mari.

Ascuţirea trebuie evitată pentru că favorizează producerea ruperii statice a dinţilor. Practic se verifică prin calcule dacă:

sa ≥ 0, 4 ⋅ m − la dantura

0, 2 ⋅ m − la dantura

durificata sup erficial(12.28)

nedurificata sup erficial

Observaţie - Se consideră valori admisibile diferite Ón funcţie de durificarea flancurilor dinţilor, pentru că o roată cu dantura durificată superficial se caracterizează printr-un număr mic de dinţi (z↓) şi modul mare (m↑), Ón timp ce una cu dantura nedurificată superficial are un număr mare de dinţi (z↑) şi modulul mic (m↓).

c) Interferenţa

Interferenţa este fenomenul de slăbire a dintelui unei roţi la bază, datorită angrenării cu dinţii roţii conjugate, deci Ón funcţionare, Ón puncte din interiorul cercului de bază (neevolventice).

Pentru evitarea interferenţei se verifică dacă punctul de intrare Ón angrenare al roţii conducătoare (A1) şi respectiv punctul de ieşire din angrenare al roţii conduse

(E2) sunt pe porţiunile evolventice ale flancurilor dinţilor (v.fig,. 12.12):

- 176 -


d A1 ≥ d L1

d E 2 ≥ d L 2(12.29)

Œn figura 12.12 şi Ón relaţia(12.29), L1 şi L2 sunt ultimele puncte situate pe porţiunilor evolventice (de la care Óncep zonele de racordare cu cercurile de picior).

Fig.12.12. Schiţă pentru ascuţire.

d) Jocul la capul dintelui

Conform figurii 12.10, jocurile corespunzătoare dinţilor celor două roţi sunt: c1(2) = a w − (d a1(2) + d f 2( 1) ) 2/ (12.30)

Utiliz‚nd expresiile (12.16) ale diametrelor de cap şi picior şi ţin‚nd cont că(d1 + d2)/2 = a, rezută:

c = a − a + mc ∗

− m ( x + x ) (12.31)

1(2) W o 1 2*

La angrenajele nedeplasate sau zero depasate (x1 + x2 = 0), c1(2) = m ⋅ c 0 = 0,25 m, deci jocurile au valoarea standardizată. ⋅

* La angrenajele deplasate plus sau minus (x1 + x2 ≠ 0), c1(2) ≠ m⋅ c0 = 0,25 m.⋅

Œn aceste situaţii trebuie verificat dacă c1(2) ≥ 0,1 m. Dacă această inegalitate nu se⋅verifică se recurge la ìscurtarea capului dinteluiî astfel Ónc‚t jocul să aibă o valoareprescrisă cp ≥ 0,1 m. Œmpun‚nd această valoare prescrisă de exemplu (c⋅ p = 0,25 m),⋅diametrele de cap devin:

d a 1(2) = 2a w − 2cp − d f 2(1) (12.32)

e) Gradul de acoperire

Gradul de acoperire se defineşte ca raport Óntre segmentul de angrenare şipasul de bază:

ε = AE

p b

=AE

AD

AE= (12.33)

BE

şi reprezintă numărul mediu de perechi de dinţi aflate Ón angrenare. Pentru ca raportul de transmitere al angrenajului să fie constant, gradul de acoperire trebuie să fie supraunitar.

Pe baza figurii 12.13, se poate scrie:2

T E + T A − T T r 2 2 2− r + r − r − a sin α

1ε =

2 1 2p b

a1 b1 a=

2 b 2 W Wp b

≥ 1 , 1 (12.34)

- 177 -


12.2.5. Forţele nominale din angrenaj

Œn timpul angrenării, Ón orice punct situat pe segmentul de angrenare AE, dintele conducător acţionează asupra celui condus cu forţa normală Fn2. Pe principiul acţiunii şi reacţiunii, dintele conducător este solicitat de cel condus cu forţa normală Fn1, care are acelaşi modul ca şi Fn2, dar sens contrar.

C‚nd contactul se face Ón punctul de rostogolire C, sistemul de forţe este cel schiţat Ón figura 12.14. Forţele normale Fn1(2) şi respetiv tangenţiale Ft1(2).

Observaţie: Direcţiile de descompunere sunt Ón legătură cu cercurile de rostogolire ale celor două roţi.

La angrenajele obişnuite, ordinul de

Fig.12.13. Schiţă pentru

gradul de acoperire.

mărime al forţelor face ca ele să se poată calculacu o bună aproximaţie consider‚nd diametrele de divizare Ón locul celor de rostogolire.

Astfel, forţele tangenţiale se determină Ón funcţie de momentele de torsiune cu relaţiile:

2M 2MF t1 ( 2 ) =

t1 ( 2)

d

t1 ( 2) ≅ (12.35)

d w 1(2) 1(2)

Cu forţele tangenţialde se stabilesc at‚tforţele radiale:

F r 1 ( 2) = F t1 (

c‚t şi cele normale:F t 1 ( 2)

2) tg α w ≅F t1 ( 2) tg α (12.36)

F n 1 ( 2)

= cos α(12.37)

Observaţie - Practic este suficient să se calculezeFig.12.14. Schiţă pentru forţele numai pentru una dintre cele

calculul forţelor. două roţi pentru că Ft1 = Ft2, Fr1 =Fr2 şi Fn1 = Fn2.

12.2.6. Calcule de rezistenţă

a) Calculul la pitting

Acesta este calculul principal pentru angrenajele cu dantura nedurificată superficial (HBflanc ≤ 3500 MPa).

Schiţa aferentă modelului de calcul este prezentată Ón figura 12.15. Se admit următoarele ipoteze simplificatoare:

- 178 -


• tensiunea de contact maximă, σH, se determină cu relaţia lui Hertz pentru contactul a doi cilindri cu axe paralele, av‚nd razele ρ1 şi ρ2

egale cu razele de curbură a celor două evolvente Ón punctul de contact:

σ H = 0 ,418

Fn1b

Er

⋅ (12.38)ρ r

• deşi tensiunea hertziană este maximă Ón punctul interior de angrenaresingulară B, calculul se face pentru punctul de rostogolire C.

Fig.12.15. Schiţă pentru calculul la pitting.Fig.12.16. Schiţe pentru factorii de

corecţie.

Œn relaţia (12.38), modulul de elasticitate longitudinal echivalent (sau redus) alcontactului se determină Ón funcţie de modulele de elasticitate longitudinale alematerialelor din care sunt confecţionate danturile celor două roţi:

2

E r =1

E+

1

1

E 2(12.39)

Pe baza relaţiei (12.8), raza de curbură echivalentă (sau redusă) a contactuluiÓn punctul de rostogolire C, este:

1

ρ r =1

ρ+

1

1

ρ 2

1 1 2= + =

CT 1 CT 2 d b1 tg

2+ =

α w d b 2 tg α w

= 2 1

tg α w d 1 cos α

+d

=

1 2=

2 cos α tg α w cos

2 i + 1

d1 tg α w cos α i

1 1+ = (12.40)

α d 1 i ⋅ d 1

Ţin‚nd cont de (12.40) şi de (12.37), relaţia (12.38) devine:

- 179 -


σ H = 0, 418tg α

2E F t1 i +

2 ⋅ ⋅w cos α d 1 b i

1(12.41)

Œn relaţia (12.41) se notează cu ZE factorul elasticităţii:

Z E

şi cu ZH factorul zonei de contact:

Z H =

= 0 , 418 E r

22

tg α w ⋅ cos α

(12.42)

(12.43)

Astfel se obţine relaţia de verificare la pitting:

σ H = z E z H z ε

F t1 i + 1 ⋅ K A K

VK H α K H β K C ≤ σ Ha (12.44)

d1 ⋅b iÓn care s-au introdus diverşi factori de corecţie pentru a compensa diferenţele care există Óntre complexitatea angrenării reale şi simplitatea modelului Hertz utilizat:

• ZE, factorul gradului de acoperire; • KA, factorul regimului de funcţionare, care ţine cont de caracteristicile

de funcţionare ale maşinii motoare şi maşinii de lucru; • KV, factorul dinamicităţii sarcinii, care ţine cont că Óncărcarea unei

perechi de dinţi variază ìbruscî de-a lungul liniei de angrenare (de la 0 la Fn/2 Ón A, de la Fn/2 la Fn Ón B, de la Fn la Fn/2 Ón D şi de la Fn/2 la 0 Ón E);

• KHα, factorul repartiţiei frontale a sarcinii (v.fig. 12.16.a) pentrucalculul la pitting;

• KHβ, factorul repartiţiei axiale a sarcinii (v.fig. 12.16.b) pentru calculul la pitting;

• KC, factorul punctului de rostogolire, care ţine cont că tensiunea hertziană este maximă Ón punctul B şi nu Ón C.

Observaţii Factorii de corecţie din relaţia (12.44) sunt daţi Ón standardele de calcul şi Ón literatura de specialitate Ón general, numai pentru angrenajele cilindrice cu dinţi drepţi. Œnsă, graficele, tabelele sau relaţiile analitice respective pot fi folosite şi pentru un alt tip de angrenaj prin considerarea elementelor angrenajului cilindric cu dinţi drepţi ìechivalentî al acestuia. Roţile dinţate cu dantura deplasată pozitiv au o rezistenţă mai mare la pitting dec‚t cele cu dantura nedeplasată, pentru că sunt caracterizate de raze de curubră ale evolventei mai mari. La dimensionarea angrenajului, cu ajutorul unor ìartificiiî, din relaţia (12.44) se determină distanţa dintre axe aw care se standardizează.

b) Calculul la Óncovoiere prin oboseală la piciorul dintelui

Acesta este calculul principal pentru roţile dinţate cu dantura durificată superificial (HBflanc > 3500 MPa).

- 180 -


Schiţa pe baza căruia se determină relaţia de calcul este prezentată Ón figura 12.17. Se admit c‚teva ipoteze simplificatoare.

Dintele este solicitat la forţa Fn Ón punctul E1

(de ieşire din angrenare al roţii 1), sau Ón A2

(de intrare Ón angrenare al roţii 2), ca şi c‚nd gradul de acoperire al angrenajului ar fi ε = 1. Secţiunea Óncastrării dintelui Ón corpul roţii este determinată de punctele de intersecţie ale racordărilor de la piciorul dintelui cu dreptele Ónclinate cu 300 faţă de axa de simetrie a dintelui. Dintre cele trei solicitări corespunzătoare forţei normale Fn translatată p‚nă Ón punctul X de intersecţie al liniei de angrenare T1T2 cu axa de simetrie a dintelui (componentaradială Frx dă compresiune, iar cea tangenţială

Fig.12.17. Schiţă pentru Óncovoierea Ftx dă forfecare şi Óncovoiere), calculul seprin oboseală la piciorul dintelui. face numai pentru Óncovoiere, celelalte două

solicitări fiind considerate neglijabile.Cu notaţiile utilizate Ón figura 12.17, tensiunea de Óncovoiere la piciorul

dintelui este:2

Ftx

σF =b

⋅ hx

2 ⋅ ⋅ s x6

mm ⋅ m

F 6 ( h / m )tx x

= ⋅ (12.45)b ⋅ m ( s x / m )2

Observaţie - Œn relaţia (12.45), amplificarea tensiunii de Óncovoiere cu m2/(m m) are ⋅scopul punerii Ón evidenţă a mărimilor adimensionale hx/m şi respectiv sx/m.

Ţin‚nd cont că:

F tx = F n cos α x

=

tensiunea de Óncovoiere devine:

F t

cos α

⋅ cos α x (12.46)

σ F = F t

b ⋅m

6 ( h x / m ) ⋅ cos α x ⋅ 2 (12.47)

( s x / m ) ⋅ cos α

Not‚nd cu YF factorul de formă:

Y F = 6 ( h x

( s x /

/ m ) ⋅ cos α x

2m ) ⋅ cos α

(12.48)

se obţine relaţia de verificare la Óncovoiere prin oboseală la piciorul dintelui:

σ F 1 ( 2 )

=F t1 ( 2) b 1 ( 2 ) ⋅ m

K A K V K F α K F β Y F 1 ( 2) Y S 1 ( 2)

Y ε ≤ σ Fa (12.49)

Ón care s-au introdus diverşi factori de corecţie ai forţei nominale:

- 181 -


• KA, factorul regimului de funcţionare; • KV, factorul dinamicităţii sarcinii; • KFα, factorul repartiţiei frontale a sarcinii (v.fig. 12.16.a) pentru

calculul la Óncovoiere;• KFβ, factorul repartiţiei axiale a sarcinii (v.fig. 12.16.b) pentru calculul

de Óncovoiere; • YS, factorul concentratorului de tensiuni, care ţine cont de raza de

racordare de la piciorul dintelui; • Yε, factorul gradului de acoperire.

ObservaţiiRelaţia (12.49) se aplică pentru fiecare dintre roţile angrenajului. Precizările făcute la calculul la pitting Ón legătură cu factorii de corecţie răm‚n valabile. Roţile dinţate cu dantura deplasată pozitiv au o rezistenţă mai mare la Óncovoierea prin oboseală la piciorul dintelui dec‚t cele cu dantura nedeplastă, pentru că au secţiunea de Óncastrare Ón corpul roţii mai mare. La dimensionarea angrenajului, din relaţia (12.49) se determină modulul danturii care se standardizează.

12.3. ANGRENAJUL CILINDRIC CU DINŢI ŒNCLINAŢI

a) Caracterizare

La o roată dinţată cilindrică cu dinţi Ónclinaţi, direcţia dinţilor nu mai este paralelă cu axa roţii (v.fig. 12.18). Practic, dinţii aparţin unei elice fiind Ónclinaţi faţă de axa roţii cu unghiul β pe cilindrul de divizare, βb pe cilindrul de bază etc.

Fig.12.18. Schiţa unui angrenaj cilindric Fig.12.19. Schiţă pentru elementelecu dinţi Ónclinaţi. geometrice.

- 182 -


Pentru ca două roţi cu dinţi Ónclinaţi să poată angrena, ele trebuie să aibă danturile Ónclinate cu acelaşi unghi β pe cilindrii de divizare, dar Ón sensuri diferite.

Faţă de angrenajele cilindrice cu dinţi drepţi, cele cu dinţi Ónclinaţi prezintă următoarele avantaje:

• intrarea şi ieşirea din angrenare a unei perechi de dinţi se fac treptat (deci nu brusc pe toată lăţimea danturii) astfel Ónc‚t funcţionarea este caracterizată de vibraţii mai mici şi de silenţiozitate;

• lungimea unui dinte este mai mare dec‚t lăţimea (l = b/cosβ > b), ceea ce face ca rezistenţa la pitting şi respectiv Óncovoiere prin oboseală la piciorul dintelui să fie mai mare;

• numărul minim de dinţi pentru evitarea subtăierii la o roată cu dantura nedeplasată este mai mic, zmin 14 < 17; ≅

• gradul de acoperire este mai mare, practic ε>2. Œn mod evident, angrenajele cilindrice cu dinţi Ónclinaţi au şi dezavantaje faţă de

cele cu dinţi drepţi: • sunt mai costisitoare, at‚t ca execuţie c‚t şi ca montaj; • Ónclinarea danturii face ca forţa normală fn să aibă şi o componentă

axială fa care Óncarcă lagărele arborelui suplimentar. Observaţie - Forţa axială este cu at‚t mai mare cu c‚t dantura este mai Ónclinată,

motiv pentru care unghiul β este limitat:

β = 8 10 0 − dantura durificata0

12 15 − dantura nedurificata(12.50)

b) Elemente geometrice şi cinematice

Danturarea unei roţi cilindrice cu dinţi Ónclinaţi se face Ón planul normal NN (v.fig. 12.19), pentru care se utilizează indicele suplimentar ìnî. Astfel, este standardizat modulul normal mn, iar toate elementele cremalierei de referinţă se regăsesc Ón planul NN:

• coeficientul Ónălţimii capului dintelui, h0an = 1;

• coeficientul Ónălţimii piciorului dintelui, h0fn = 1;

• coeficientul jocului, c0n = 0 ,25 ;

• unghiul de presiune, α0n = 200. Măsurarea diametrelor caracteristice danturilor roţilor şi funcţionarea

angrenajului (apariţia elementelor de rostogolire) se fac Ón planul frontal TT (v.fig. 12.19), pentru care se utilizează indicele suplimentar ìtî.

Relaţia de legătură dintre paşii de divizare frontal şi normal, este:

pt =p n/cosβ (12.51)

Rezultă:

m t = mn / cosβ (12.52)

- 183 -


Se poate arăta că relaţia de legătură dintre tangentele unghiurilor de presiune este asemănătoare:

tgαt

= tgα / cos β (12.53)n

Principalele elemente geometrice ale unui angrenaj cilindric cu dinţi Ónclinaţi,sunt:

• diametrele de divizare:

d 1 ( 2 ) = m t ⋅ z 1 ( 2 )

=

• diametrele de cap:d a1 ( 2 ) = d 1( 2) + 2m n

• diametrele de picior:

m n ⋅ z 1 ( 2 )

cos β

( 1 + x n 1 (2 ) )

(12.54)

(12.55)

d f 1( 2) = d 1( 2) − 2m n

• diametrele de bază:d b 1 ( 2 ) = d 1(

2 )

• diametrele de rostogolire:

d w1 ( 2) = d 1(

2)

( 1 ,25 − x n 1 ( 2) )

cos α t

cos α t

cos α

(12.56)

(12.57)

(12.58)

• distanţa dintre axe (standardizată):

cos α ta w = a cos α (12.59)

• distanţa dintre axe de referinţă:

a = (d1 + d2 ) 2/ (12.60)

Observaţie - Œn relaţiile (12.55) şi (12.56), se pot utiliza mn şi xn1(2) deoarece cotele radiale din planul frontal TT coincid cu cele din planul normal NN! Elementul cinematic, raportul de transmitere, depinde tot de raportul

numerelor de dinţi:

i = n 1

n 2=

2 v / d w1

2 v / d w

2

d w 2 d 2 z 2= = = (12.61)

d w1 d 1 z 1

c) Forţele nominale

Œn figura 12.20 este prezentată schiţa pentru determinarea relaţiilor de calcul a forţelor dintr-un angrenaj cilindric cu dinţi Ónclinaţi. Ca şi Ón cazul angrenajelor cu dinţi drepţi, calculele curente se fac pentru diametrele de divizare şi nu pentru cele de rostogolire.

Astfel, forţele tangenţiale sunt:

F t1 ( 2) = 2M t1 ( 2)

d 1( 2)(12.62)

- 184 -


Œn planul frontal TT, relaţiile de legătură dintre forţele radiale şi cele tangenţiale sunt similare cu cele de la dinţi drepţi:

F r 1 ( 1 ) = F t1 ( 2) tg α t = F t1 ( 2)

tg α n

cos β(12.63)

Conform proiecţiei din partea de jos a figurii12.20, forţele axiale sunt:

Fa 1(2) = Ft1(2) tgβ (12.64)

Deci, forţele normale sunt:2 2 2

Fn 1(2) = Ft1 (2) + Fr 1(2) + Fa1(2) (12.65)Observaţii

Relaţiile (12.64) dovedesc că forţele axiale crescodată cu Ónclinarea danturii.

Fig.12.20. Sistemul de forţe Şi la roţile cu dinţi Ónclinaţi este suficient ca forţeledintr-un angrenaj cilindric să se calculeze pentru o singură roată pentru că Ft1

cu dinţi Ónclinaţi. = Ft2, Fr1 = Fr2, Fa1 = Fa2 şi Fn1 = Fn2.

d) Calcule de rezistenţă

Deoarece forţele normale Fn1(2) acţionează Ón planul normal NN, calculele de rezistenţă la pitting şi la Óncovoiere prin oboseală la piciorul dintelui se fac Ón acest plan. Se utilizează aceleaşi relaţii şi aceiaşi factori de corecţie ca la angrenajele cu dinţi drepţi, dar pentru ìangrenajul cilindric cu dinţi drepţi echivalentî care are modulul mn, deplasările xn1(2)mn şi numerele de dinţi echivalente zv1(2)=z1(2)/cos3β. Œn relaţii mai apar nişte factori de corecţie, Zβ şi Yβ, datorită Ónclinării danturii.

12.4. ANGRENAJUL CONIC CU DINŢI DREPŢI

a) Caracterizare

La un angrenaj conic, axele roţilor sunt concurente, unghiul dintre ele fiind Σ (v.fig. 12.21). Cele mai utilizate, care sunt prezentate Ón continuare, sunt angrenajele conice ortogonale, la care Σ = 900. Dacă direcţiile dinţilor Óncastraţi Ón corpurile tronconice ale roţilor sunt concurente cu axele roţilor, atunci angrenajul se numeşte cu dinţi drepţi.

Cilindrii (de divizare, cap, picior, bază, rostogolire) care caracterizează geometria roţilor cilindrice sunt Ónlocuiţi de ìconuriî. Astfel, conform figurii 12.22, flancul evolventic al unui dinte de roată conică este descris dreapta de intersecţie a unui plan tangent la conul de bază (fix), c‚nd acest plan se rostogoleşte fără alunecare pe con. Rezultă că suprafeţele care delimitează axial corpurile roţilor ar trebui să fie sferice. Practic Ónsă, pentru simplitate tehnologică se utilizează ìsuprafeţe conice frontaleî.

- 185 -


Fig.12.21. Schiţa unui angrenaj conic. Fig.12.22. Generarea flancului.

b) Elemente geometrice şi cinematice

Principalele elemente geometrice ale unei roţi dinţate conice pot fi urmărite Ón figura 12.23.

Lăţimea b a danturii este delimitată de conurile frontale interior KF i şi respectiv exterior KFe. Deobicei b/R 1/3, unde R este lungimea generatoarei ≅conului de divizare K.

δ, δa şi δf sunt semiunghiurile conurilor de divizare K, de cap Ka şi respectiv de picior Kf.

Œnălţimea dinţilor este delimitată de conurile de cap Ka şi respectiv de picior Kf. Rezultă că elementele geometrice (modulul, Ónălţimea, diametrele) au valori diferite pentru fiecare con frontal.

Fig.12.23. Elementele geometrice ale Fig.12.24. Sistemul de forţe dintr-ununui angrenaj conic cu dinţi drepţi. angrenaj conic.

Modulul este standardizat, şi elementele geometrice ale ìroţii plane dereferinţăî (o roată cu unghiul conului de 1800) se regăsesc, pe conul frontal exterior,adică acolo unde măsurarea este posibilă:

• coeficientul Ónălţimii capului dintelui, h0a = 1;

• coeficientul Ónălţimii piciorului dintelui, h0f = 1,2;

- 186 -


• coeficientul jocului, c0 = 2 0, ;

• unghiul de presiune, α0 = 200. Astfel, principalele elemente geometrice pe conul frontal exterior, pentru un

angrenaj nedeplasat, sunt: • diametrele de divizare:

d 1 ( 2 ) = m ⋅ z 1( 2)

• diametrele de cap:

d a1 ( 2) = d 1( 2) + 2h a cos δ 1 ( 2)

• diametrele de picior:

d f 1( 2) = d 1( 2) − 2h f cos δ 1( 2)

• diametrele de bază:

d b 1( 2) = d 1( 2) ⋅ cos α

• lungimea generatoarei conului de divizare:

d 1 ( 2)

(12.66)

(12.67)

(12.68)

(12.69)

R =2 sin δ 1( 2)

(12.70)

Pentru calculul de rezistenţă interesează şi c‚teva elemente de pe conul frontal median KFm:

• diametrele de divizare mediane:

d m 1 ( 2 ) = d 1( 2) − 2⋅

• modulul median:

b

2

sin δ 1( 2) = d 1( 2 ) − b

d m1 ( 2 )

sin δ 1(2) (12.71)

m m =z 1 ( 2 )

(12.72)

Elementul cinematic, raportul de transmitere, este tot raportul numerelor dedinţi ale celor două roţi:

i = n 1

n 2=

2 v / d m1

2 v / d m 2

d m 2 d 2 z 2= = = (12.73)

d m1 d 1 z 1

dar la angrenajele ortogonale (Σ = 900) poate fi scris şi Ón funcţie de semiunghiurileconurilor de divizare ale celor două roţi:

i = d 2

d 1=

2R sin δ 2

2R sin δ 1

sin δ 2 1= = tg δ 2 = (12.74)

sin δ 1 tg δ 1

Relaţiile (12.73) şi (12.74) permit determinarea semiunghiului conului dedivizare al roţii conducătoare:

δ 1 = arctg 1

i

z 1= arctg (12.75)

z 2

- 187 -


c) Forţele nominale

Sistemul de forţe dintr-un angrenaj conic cu dinţi drepţi este schiţat Ón figura 12.24. Deoarece calculul de rezistenţă se face pentru conul frontal median, forţele tangenţiale se determină pentru diametrele de divizare mediane:

F t1 ( 2) = 2M t1 ( 2)

d m 1 ( 2)(12.76)

Œntr-un plan perpendicular pe generatoarea comună a celor două conuri de divizare, forţele ìradialeî Frx1(2) sunt legate de forţele tangenţiale Ft1(2) prin relaţii similare celor de la un angrenaj cilindric cu dinţi drepţi:

Frx 1(2) = Ft 1 (2) tgα (12.77)

Descompun‚nd forţele Frx1(2) după direcţiile radiale şi respectiv axiale corespunzătoare celor două roţi, se obţin at‚t forţele radiale:

Fr 1(2) = Ft1(2) tgα ⋅cosδ1(2) (12.78)

c‚t şi cele axiale:Fa 1(2) = Ft1 (2) tgα ⋅sin δ1(2) (12.79)

Deci, forţele normale sunt:2 2 2

Fn 1(2) = Ft1(2) + Fr 1(2) + Fa1(2) (12.80)Şi Ón acest caz, forţele pot fi calculate pentru o singură roată pentru că Ft1 =

Ft2, Fr1 = Fa2, Fa1 = Fr2 şi Fn1 = Fn2.

d) Calcule de rezistenţă

Calculele se fac pentru conul frontal median, cu aceleaşi relaţii şi cu aceiaşi coeficienţi de corecţie ca la angrenajele cilindrice cu dinţi drepţi, dar pentru ìangrenajul cilindric cu dinţi drepţi echivalentî care are modulul mm şi numerele de dinţi zv1(2) = z1(2)/cosδ1(2). La dimensionarea angrenajului, din calculul la pitting se determină diametrul de divizare median pentru roata conducătoare, dm1, iar din relaţia Óncovoierii prin oboseală la piciorul dintelui se stabileşte modulul median mm, care se standardizează.

12.5. ANGRENAJUL MELC-ROATĂ MELCATĂ

Schiţa de principiu a unui astfel de angrenaj este prezentată Ón figura 12.25.a. Axele celor două roţi sunt perpendiculare Ón spaţiu (ìÓncrucişateî) la distanţa a.

Melcul poate fi considerat o roată dinţată cilindrică cu dinţi Ónclinaţi cu unghiul β1 foarte mare, ceea ce face ca pasul Ónfăşurării elicoidale, πd1/tgβ1, să fie foarte mic. Rezultă că melcul are un număr foarte mic de dinţi (z1 = 1Ö4) care sunt Ónfăşuraţi de mai multe ori pe lungimea melcului. Practic, melcul este ca un şurub cu mai multe Ónceputuri care sunt tocmai numărul de dinţi.

- 188 -


Fig.12.25. Angrenajul melc-roată melcată.

Şi roata melcată poate fi considerată o roată cilindrică cu dinţi Ónclinaţi, dar cu unghiul β2 = γ = 900 - β1 foarte mic, ceea ce face ca pasul Ónfăşurării elicoidale, πd2/tgβ2, să fie foarte mare. Rezultă că roata melcată are un număr foarte mare de dinţi (z2 = 30Ö80). Practic, roata melcată este ca un ìsector de piuliţăî care ìÓmbracăî melcul pe o anumită lungime.

Deci, angrenajul melc roată melcată funcţionează ca o transmisie şurubpiuliţă, cu deosebirea că la rotirea melcului, roata melcată nu se poate deplasa axial şi ca urmare se roteşte.

Principalele avantaje ale unui angrenaj melc-roată melcată sunt: • raportul de transmitere este foarte mare Óntr-o singură treaptă, deci la

un gabarit mic:

i = z2 =

z 110 80 (12.81)

• funcţionarea este lină şi fără şocuri; • la inversarea sensului de rotaţie, dacă γ < ϕí, este Óndeplinită condiţia

de autofixare statică şi angrenajul nu funcţionează. Observaţie - Datorită ultimului avantaj, angrenajele melc-roată melcată sunt mult

utilizate la instalaţiile de ridicat. Evident, sunt şi dezavantaje.

Randamentul angrenajului este scăzut:

η ≈ 0 , 9 − la i = 10

0 , 7 − la i = 80(12.82)

motiv pentru care nu se utilizează pentru transmiterea unor puteri mari;Viteza de alunecare dintre flancuri, va = v1 − v2 , este foarte mare (v.fig. 12.25.b).De aceea este necesară utilizarea unui cuplu de materiale antifricţiune (care suntdeficitare), durificarea şi superfinisarea flancurilor. De asemenea, Óncălzirea carese produce reprezintă un pericol de gripaj şi necesită un sistem de răciresuplimentară.

- 189 -


Unghiul de Ónclinare β1 foarte mare Ónseamnă că forţa axială Fa1 este foarte mare. Rezultă că lagărele melcului sunt foarte solicitate axial.

Pentru asigurarea unui cuplu de materiale antifricţiune, melcul se confecţionează de obicei din oţel laminat de calitate (OLC) durificat superficial şi rectificat, iar roata melcată din fontă (la viteze periferice v ≤ 5 m/s) sau bronz (dacă v > 5 m/s). Œn acest din urmă caz, pentru a economisi materialul deficitar, numai coroana danturată se face din bronz.

Calculele de rezistenţă sunt tot pittingul şi Óncovoierea prin oboseală la piciorul dintelui, dar calculul cel mai important este cel termic.

Œn varianta cea mai simplistă a unui astfel de calcul, pentru determinarea temperaturii de funcţionare t, se consideră că puterea consumată prin frecare este evacuată Ón Óntregime prin carcasă:

PF = P C (12.83)

Fig.12.26. Schiţa unui reductor melcat.

Pentru reductorul melcat schiţat Ón figura 12.26, care are la intrare puterea Pi,iar la ieşire puterea Pe:

P F = P i − Pe = Pi − Pi ⋅η tot= P i ( 1 − ηtot ) (12.84)

Œn general, randamentul total ηtot al reductorului depinde de randamentele ηa

al angrenajului, ηpL al perechii de lagăre şi ηa al barbotării uleiului Ón carcasă:

η = η ⋅η 2 ⋅η (12.85)tot a pL u

Puterea evacuată prin carcasa reductorului se calculează cu relaţia:P

C= K ⋅ S ( 1 + ψ ) ( t − t

0

) (12.86)

unde K este coeficientul global de transfer de căldură, S este aria exterioară a carcasei prin care se face răcirea (fără ìtalpăî), ψ < 1 este un coeficient care ţine cont că se elimină căldură şi prin talpă, iar t0 este temperatura mediului ambiant.

Œnlocuind (12.84) şi (12.86) Ón (12.83), se obţine relaţia de verificare a temperaturii de funcţionare a reductorului:

- 190 -


t = t 0 +P i ( 1 − η tot )K ⋅ S ( 1 + ψ )

≤ t a (12.87)

De obicei se obţine o temperatură t mai mare dec‚t cea admisibilă t a şi Ón consecinţă trebuie luate măsuri.

Mărirea ariei S prin nervurarea carcasei. Mărirea coeficientului K prin montarea unui ventilator pe arborele melcului (pentru că n1 >> n2). Mărirea lui K prin montarea Ón baia de ulei a reductorului a unei serpentine de răcire cu apă, ceea ce Ónseamnă o putere suplimentară PS evacuată. Ecuaţia de bilanţ devine PF = PC + PS şi ea permite determinarea lui PS pentru o temperatură de funcţionare impusă. Astfel, Ón funcţie de PS se poate dimensiona serpentina. Utilizarea unui circuit exterior de ungere şi răcire, caz Ón care se poate considera că puterea consumată prin frecare PF este egală cu cea eliminată prin lubrifiant PL. Deci, ecuaţia pe baza căreia se determină temperatura de funcţionare este PF = PL.

12.6. SISTEME DE ANGRENAJE

Sistemele de angrenaje sunt combinaţii de două sau mai multe angrenaje simple, care permit:

• realizarea unui raport de transmitere diferit de cel care poate fi asigurat de un singur angrenaj;

• orice poziţie relativă a arborilor de intrare şi de ieşire; • orice sensuri de rotaţie la arborii de intrare şi ieşire; • transmiterea oricărei puteri Ón anumite condiţii cinematice.

De exemplu, la transmisiile reductoare, raportul de transmitere al unui singur angrenaj este limitat fie din motive de gabarit (i ≤ 6,3 la cilindric şi i ≤ 5 la conic) fie din cauza randamentului (i ≤ 80 la melcat). Mai mult dec‚t at‚t, de la arborele de intrare al transmisiei către cel de ieşire, puterea scade puţin Ón timp ce turaţia se reduce foarte mult, ceea ce Ónseamnă că momentele de torsiune cresc foarte mult. Rezultă că treptele unui reductor sunt din ce Ón ce mai Óncărcate şi nu pot avea toate raportul de transmitere maxim.

Œn figura 12.27 sunt schiţate patru tipuri de reductoare Ón două trepte. La reductorul cilindric coaxial din figura 12.27.a, impunerea coaxialităţii necesită supradimensionarea primei trepte, ceea ce face ca raportul de transmitere maxim să fie imax = 6,3 4 = 25,2. ⋅La reductorul cilindric normal din figura 12.27.b, se poate ajunge la imax = 6,3 5,6 ⋅ 35,3. ≅

La reductorul conico-cilindric din figura 12.27.c, raportul de transmitere maxim este imax = 5 4,5 = 22,5. ⋅La reductorul dublu melcat din figura 12.27.d, se poate ajunge la un raport de transmitere maxim foarte mare, imax = 80 71 = 5680, dar cu un randament sub ⋅50%.

- 191 -


Fig.12.27. Tipuri de reductoare.

- 192 -

roti dintate

Documents