1

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJEZavod za robotiku i automatizaciju proizvodnih sustavaKatedra za strojarsku automatiku

PROGRAMSKI ZADATAK IZ KOLEGIJA

ROBOTI I MANIPULATORIprof. Crneković

IME I PREZIME: Marin VareninaJMBAG: 35991029GRUPA: Automatizacija i

Robotikadarkness@hi.htnet.hr

Zagreb, 30. lipanj 2005.

SADRŽAJ

POPIS SLIKA...........................................................................................I

UVOD ...................................................................................................1

1. DIREKTNI KINEMATIČKI PROBLEM......................................................2

1.1. Određivanje matrica homogenih transformacija i rješavanje

direktnog kinematičkog problema....................................................................2

1.2. Jacobieva matrica......................................................................................6

2. INVERZNI KINEMATIČKI PROBLEM......................................................7

3. DINAMIKA ROBOTA.........................................................................10

3.1. ČLANAK 1..................................................................................................12

3.2. ČLANAK 2..................................................................................................13

3.3. ČLANAK 3..................................................................................................16

3.4. UTJECAJ MASE NA KRAJU 3. ČLANKA....................................................19

3.5. MATRIČNI ZAPIS MOMENATA i SILA.....................................................21

4. PRIHVATNICA ROBOTA....................................................................23

LITERATURA..............................................................................................................24

POPIS SLIKA

slika 1 - prikaz mehaničke strukture robota...............................................................1

slika 2 - simbolička shema zadanog robota i vezani koordinatni sustavi....................3

slika 3 - shematski prikaz kinematičke strukture robota u z-y koordinatnom sustavu

................................................................................................................................... 8

slika 4 - shematski prikaz prvog članka robota........................................................12

slika 5 - shematski prikaz drugog članka robota......................................................13

slika 6 - shematski prikaz trećeg članka robota.......................................................16

slika 7 - 3D prikaz modelirane prihvatnice...............................................................23

I

UVOD .

Prije nego se započnu rješavati kinematički ili dinamički problemi kinematičke strukture robota, potrebno je definirati istu, odnosno prepoznati o kojoj se kinematičkoj strukturi robota radi. Zadana je mehanička struktura robota s tri stupnja slobode gibanja. Takva struktura se još naziva i minimalna konfiguracija. Prema zadanom prikazu (slika 1) robota minimalne konfiguracije, zaključujemo da se radi o RRT strukturi.

slika 1 - prikaz mehaničke strukture robota

1

1. DIREKTNI KINEMATIČKI PROBLEM

1.1. Određivanje matrica homogenih transformacija i rješavanje direktnog kinematičkog problema

Da bi se mogao riješiti direktni kinematički problem, potrebno je definirati položaje i orijentacije koordinatnih sustava jednih u odnosu na druge. To se postiže matricama homogenih transformacija, odnosno matricama prijelaza. Opći izgled matrice homogenih transformacija:

gdje su prva tri stupca projekcije jediničnih vektora definiranog koordinatnog sustava u odnosu na nepokretni (početni) koordinatni sustav, a posljednji stupac daje koordinate ishodišta definiranog koordinatnog sustava u odnosu prema nepokretnome. Odnosno, prva tri vektora definiraju orijentaciju, a posljednji položaj između koordinatnih sustava.

Definicija nepokretnog koordinatnog sustava prema općem izrazu za matricu prijelaza glasi:

S obzirom da se na robotu pojavljuju translacijski i rotacijski stupnjevi slobode gibanja, potrebno je definirati osnovne transformacije translacije i rotacije:

... transformacija translacije koordinatnog

sustava

... transformacija rotacije oko osi x za kut ϑ

... transformacija rotacije oko osi y za kut ϑ

2

... transformacija rotacije oko osi z za kut ϑ

Uvode se slijedeće oznake zapisivanja trigonometrijskih funkcija:

Nakon utvrđivanja teorijske pozadine rješavanja zadanog problema, može se pristupiti definiranju matrica prijelaza za zadanu mehaničku strukturu robota na osnovu simboličke sheme istoga i vezanih koordinatnih sustava (slika 2).

slika 2 - simbolička shema zadanog robota i vezani koordinatni sustavi

3

Nepokretni koordinatni sustav se nalazi u bazi robota. Koordinatni sustavi , su vezani za upravljane koordinate i , a posljednji koordinatni sustav se nalazi u središtu prihvata robota, odnosno prihvatnice i vezan je za upravljanu koordinatu .

Matrica prijelaza iz prvog u nepokretni koordinatni sustav, rotacija oko osi za iznos upravljane koordinate , se zapisuje kao:

što po prije definiranim izrazima daje matricu prijelaza slijedećeg oblika:

Iz prvoga u drugi koordinatni sustav se dolazi translacijom prvoga sustava po osi za iznos , a zatim rotacijom oko osi za iznos upravljane koordinate

:

Iz drugoga u treći koordinatni sustav se dolazi translacijom drugog koordinatnog sustava po osi za iznos , zatim po osi za iznos , te za iznos upravljane koordinate po istoj osi:

Budući da se traži položaj i orijentacija robota potrebno je pronaći vezu između nepokretnoga i posljednjeg koordinatnog sustava robota. Ta je veza matematički izražena prema jednadžbi:

koja nakon uvrštavanja matrica prijelaza ima slijedeći oblik:

4

Značenje pojedinih članova u matrici je slijedeće:

na osnovu čega možemo izračunati Eulerove kutove koristeći slijedeće jednadžbe da bi se dobilo najjednostavnije rješenje:

... skretanje

... posrtanje

... valjanje

S obzirom da je zadana mehanička struktura robota sa tri stupnja slobode gibanja, Eulerovi kutovi se mogu odrediti i bez računanja na osnovu simboličke sheme prikaza robota (slika 2):

Sad kad su definirani Eulerovi kutovi, može se zaključiti na osnovu slijedećih vektora:

... vektor upravljanih koordinata za zadani

robot

... vektor vanjskih koordinata za zadani

robot

da se radi o neredundantnom robotu jer su vektori i jednakih dimenzija te da zbog toga postoji konačan skup rješenja inverznog kinematičkog problema. Ako se na upravljane koordinate nametnu ograničenja, koja slijede iz same konstrukcije robota tada je rješenje inverznog kinematičkog problema jednoznačno.

5

Rješenje direktnog kinematičkog problema slijedi iz vektora vanjskih koordinata čiji su elementi očitani iz matrice prijelaza :

6

1.2. Jacobieva matrica

Budući da je vektor vanjskih koordinata složena funkcija vektora upravljanih koordinata (čije su jednadžbe određene rješenjem direktnog kinematičkog problema), može se pisati:

Želimo li pokazati utjecaj diferencijalne promjene unutrašnjih koordinata na diferencijalnu promjenu vanjskih koordinata , potrebno je pronaći totalni diferencijal funkcije . Taj se totalni diferencijal označava sa i naziva se Jacobievom matricom. Znači da vrijedi:

odnosno:

gdje označava da je Jacobieva matrica funkcija upravljanih koordinata .

Dijeljenjem jednadžbe sa i prelaskom na limes, dobiva se:

što znači da Jacobieva matrica povezuje brzinu vektora upravljanih i vanjskih koordinata.

Deriviranjem jednadžbe po vremenu dobiva se:

što daje vezu između ubrzanja upravljanih i vanjskih koordinata.

Prema postavljenim definicijama elementi Jacobieve matrice za zadani robot su slijedeći:

Nakon što su definirani svi elementi Jacobieve matrice, može se izraziti ista:

7

8

2. INVERZNI KINEMATIČKI PROBLEM

Rješenje inverznog kinematičkog problema iz poznatog vektora vanjskih koordinata daje vektor upravljanih koordinata . Matematički gledano, traži se funkcija inverzna onoj u direktnom kinematičkom problemu. Za rješenje inveznog kinemtičkog problema postoje dva načina: numerički i analitički.

Zbog nedostataka numeričkog načina rješavanja problema, najčešće se koristi analitički način. Analitičko rješenje inverznog kinematičkog problema daje eksplicitne jednadžbe, koje povezuju unutrašnje i vanjske koordinate.

Iako ne postoji univerzalan algoritam za rješavanje inverznog kinematičkog problema analitičkim načinom, mogu se uočiti opće smjernice za njegovo rješavanja:

ako označava matricu prijenosa za robota sa 4 stupnjeva slobode gibanja, koja je jednaka:

tada bi analitičko rješenje inverznog kinematičkog problema trebalo tražiti u slijedećem nizu jednadžbi:

gdje vrijedi slijedeće:

gdje je :

izjednačavanje elemenata matrica lijeve i desne strane dobije se algebarska jednadžba s jednom nepoznanicom, a za njezino rješavanje uvodi se slijedeća supstitucija:

gdje je:

9

Koristeći ove smjernice rješenje zadanog problema slijedi:

slika 3 - shematski prikaz kinematičke strukture robota u z-y koordinatnom sustavu

10

Za definiranje upravljanih koordinata i koristi se trigonometrijski princip rješavanja prema shematskom prikazu robota (slika 3).

Ovime je riješen inverzni kinematički problem tako da su dobivene vrijednosti upravljanih koordinata , i iz poznatog vektora vanjskih koordinata .

11

3. DINAMIKA ROBOTA

Dinamika robota povezuje kinematiku upravljanih koordinata i sile/momente koji ostvaruju gibanje. Kao i u kinematici definira se direktni i inverzni dinamički problem. Direktnim dinamičkim problemom se izračunavaju sile/momenti koji uzrokuju zadano gibanje dok se inverznim dinamičkim problemom izračunavaju gibanja što ih uzrokuju poznate sile/momenti.

Euler-Lagrangeova metoda ili energetska metoda temelji se na poznavanju kinetičke i potencijalne energije robota ili njegovih dijelova u funkciji položaja i brzina upravljanih koordinata. Sila/moment u i-toj upravljanoj koordinati za pokretanje j-te mase iznosi:

gdje je: ... kinematička energija j-te mase

... potencijalna energija j-te mase

... i-ta upravljana koordinata

... brzina i-te upravljane koordinate

a ukupna sila/moment u i-toj upravljanoj koordinati iznosi:

gdje je broj masa koje sudjeluju u gibanju.

Kinetička energija krutog tijela iskazana u općem obliku iznosi:

Iz općih jednadžbi kinematike krutog tijela može se pisati:

pa je kvadrat brzine u izrazu za kinetičku energiju:

pri čemu je vektor položaja (u odnosu prema nepokretnome koordinatnom sustavu) diferencijalne mase članka čija se kinetička energija izračunava. Taj se vektor najlakše izračunava pomoću matrica homogenih transformacija pa je dobro da se prije postavljanja dinamičkog modela riješi direktni kinematički problem.

Potencijalna energija krutog tijela iznosi:

gdje je: ... masa tijela

... vektor gravitacijskog ubrzanja

12

... vektor položaja težišta mase članka u odnosu prema nepokretnome koordinatnom sustavu

Opći oblik rješenja dinamičkog problema robota može se napisati ovako:

gdje je: ... vektor sila/momenata u upravljanim koordinatama,

... vektor gravitacijskog djelovanja,

... matrica inercija,

... vektor brzina upravljanih koordinata,

... vektor ubrzanja upravljanih koordinata,

... vektor Coriolisovih i centrifugalnih djelovanja,

13

3.1. ČLANAK 1.

slika 4 - shematski prikaz prvog članka robota

S obzirom da je robot postavljen u horizontalnu ravninu, vektor gravitacije iznosi:

U tom slučaju jednadžba za izračunavanje potencijalne energije prelazi u slijedeći oblik:

pri čemu je visina težišta mase od - ravnine nepokretnoga koordinatnog sustava.

Gibanje članka 1 može se opisati kao rotacija valjka oko osi, Njegova kinetička energija iznosi:

gdje je dinamički moment tromosti valjka. Potencijalna energija prvog segmenta je konstantna tako da se može pisati:

Nakon potrebnih derivacija kinetičke energije dobije se poznata jednadžba:

prema kojoj se može izračunati moment u prvoj upravljanoj koordinati za pokretanje prvog članka.

14

15

3.2. ČLANAK 2.

slika 5 - shematski prikaz drugog članka robota

Za računanje kinetičke i potencijalne energije drugog članka pretpostavlja se linearna raspodjela mase po dužini članka.

Kinetička jednadžba drugog članka robota iznosi:

Uz pretpostavku da je drugi član homogen može se pisati:

odnosno:

Primjenom pretpostavki izraz za kinetičku energiju daje operativnu jednadžbu iz općeg oblika:

Infinitezimalni dio mase ima, u odnosu na nepokretni koordinatni sustav, položaj . U koordinatnom sustavu taj isti dio mase ima položaj:

16

Uz poznavanje matrice prijenosa :

može se pisati da je:

Nakon uvrštavanja slijedi:

Brzina mase je:

a kvadrat brzine:

što uvršteno u jednadžbu za kinematičku energiju daje:

Za izračunavanje potencijalne energije drugog članka može se pretpostaviti da je masa cijelog članka koncentrirana u njegovom težištu, koje se nalazi na polovini dužine članka. Visina težišta od referentne - ravnine nepomičnoga koordinatnog sustava dobije se ako se u jednadžbu za izračunavanje potencijalne energije drugog članka uvrsti:

i veličina uz uzme kao komponenta jednadžbe:

Potencijalna energija drugog članka prema tome iznosi:

17

Opći izraz jednadžbe momenta u prvoj upravljanoj koordinati za pokretanje drugog članka robota iznosi:

Potrebne derivacije jesu:

koje uvrštene daju moment u prvoj upravljanoj koordinati za pokretanje drugog članka:

Opći izraz jednadžbe momenta u drugoj upravljanoj koordinati za pokretanje drugog članka robota iznosi:

Potrebne derivacije jesu:

koje uvrštene daju moment u prvoj upravljanoj koordinati za pokretanje drugog članka:

18

19

3.3. ČLANAK 3.

slika 6 - shematski prikaz trećeg članka robota

Za računanje kinetičke i potencijalne energije trećeg članka vrijede iste pretpostavke o homogenosti članka i linearnosti raspodjele mase. u skladu s tim pretpostavkama kinetička energija trećeg članka iznosi:

a uz jednakost:

slijedi:

20

Infinitezimalni dio mase ima, u odnosu na nepokretni koordinatni sustav, položaj . U koordinatnom sustavu taj isti dio mase ima položaj:

Uz poznavanje matrice prijenosa :

može se pisati da je:

Nakon uvrštavanja slijedi:

Brzina mase je:

što uvršteno u jednadžbu za kinematičku energiju daje:

Za izračunavanje potencijalne energije trećeg članka može se pretpostaviti da je masa cijelog članka koncentrirana u njegovom težištu, koje se nalazi na polovini dužine članka. Visina težišta od referentne - ravnine nepomičnoga koordinatnog sustava dobije se ako se u jednadžbu za izračunavanje potencijalne energije drugog članka uvrsti:

i veličina uz uzme kao komponenta jednadžbe:

Potencijalna energija drugog članka prema tome iznosi:

21

Opći izraz jednadžbe momenta u prvoj upravljanoj koordinati za pokretanje trećeg članka robota iznosi:

koji nakon deriviranja i uvrštavanja daje slijedeći izraz:

Opći izraz jednadžbe momenta u drugoj upravljanoj koordinati za pokretanje trećeg članka robota iznosi:

koji nakon deriviranja i uvrštavanja daje slijedeći izraz:

Opći izraz jednadžbe sile u trećoj upravljanoj koordinati za pokretanje trećeg članka robota iznosi:

koji nakon deriviranja i uvrštavanja daje slijedeći izraz:

22

3.4. UTJECAJ MASE NA KRAJU 3. ČLANKA

Na kraju osnovne konfiguracije robota nalazi se prihvatnica robota i korisna masa (alat ili manipulirani predmet). Zbog male veličine prihvatnice u odnosu na osnovnu konfiguraciju robota pretpostavlja se da masa prihvatnice i korisna masa koncentrirane na kraju trećeg članka imaju iznos m.

Ako se prema prikazu koordinatnog sustava robota (slika 6) u jednadžbu uvrsti:

za položaj mase na kraju trećeg članka, odnosno u ishodištu koordinatnog sustava prema čemu vrijedi slijedeća jednakost:

Kinetička energija mase na kraju trećeg članka iznosi:

Potencijalna energija mase na kraju trećeg članka iznosi:

Moment u prvoj upravljačkoj koordinati za pokretanje mase prema općem izrazu

iznosi:

Moment u drugoj upravljačkoj koordinati za pokretanje mase prema općem izrazu

iznosi:

23

Sila u trećoj upravljačkoj koordinati za pokretanje mase prema općem izrazu

iznosi:

24

3.5. MATRIČNI ZAPIS MOMENATA i SILA

gdje je:

... vektor sila/momenata u upravljanim koordinatama,

... vektor gravitacijskog djelovanja,

... matrica inercija,

... vektor brzina upravljanih koordinata,

... vektor ubrzanja upravljanih koordinata,

... vektor Coriolisovih i centrifugalnih djelovanja,

KOMPONENTE VEKTORA GRAVITACIJSKOG DJELOVANJA:

25

KOMPONENTE VEKTORA CORIOLISOVIH I CENTRIFUGALNIH DJELOVANJA:

KOMPONENTE MATRICE INERCIJE:

26

4. PRIHVATNICA ROBOTA

slika 7 - 3D prikaz modelirane prihvatnice

27

LITERATURA

1. T. Šurina, M. Crneković, Industrijski roboti, Školska knjiga, Zagreb, 1990.

2. J. M. Selig, Introductory robotics, Prentice Hall International (UK) Ltd,

Hertfordshire, 1992.

3. M. Crneković, predavanja, http://karmela.fsb.hr/robotika, FSB, Zagreb,

2005.

4. grupa autora, Inženjerski priručnik - IP1, Školska knjiga, Zagreb, 1996.

28