4 Roboterkinematik

Roboterarm und Gelenke

4.1 Grundlegende Begriffe

Mechanismus• besteht aus einer Anzahl von starren Körpern (Glieder)• diese sind durch Gelenke verbunden• Ein Gelenk verbindet genau zwei Glieder.• Die Gelenke erlauben den Gliedern eine eingeschränkte

Bewegung relativ zueinander.• Ein Glied kann mehrere Gelenke haben.• Zwei Glieder können durch mehrere Gelenke verbunden

sein.• Gelenke werden nicht als eigenständige materielle

Körper angesehen, vielmehr werden die Gelenkhälften als Bestandteile der dadurch verbundenen Glieder betrachtet.

Kinematik

• Untersuchung der Bewegungsmöglichkeiten der Glieder eines gegebenen Mechanismus relativ zueinander

• Auftretende Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bei Bewegung der Gelenke

• keine Betrachtung von Kräften• Es wird abstrahiert, ob ein Gelenk motorisch

angetrieben oder passiv bewegt wird.

Dynamik

• Betrachtung von Kräften, die auf den Mechanismus einwirken

• Trägheitskraft• Schwerkraft

Analyse und Synthese

• Analyse– mathematische Erfassung der

Zwangsbewegungen eines gegebenen Mechanismus

– Zusammenhang zwischen den Gelenkeinstellungen und der Lage (Position und Orientierung) der Glieder zueinander

• Synthese– Konstruktion eines Mechanismus, der eine

vorgeschriebene Bewegung realisiert

Kinematische Kette

• Jedes Glied hat maximal zwei Gelenke.• Besitzt jedes Glied genau zwei Gelenke,

so wird die kinematische Kette als geschlossen bezeichnet

• andernfalls als offen

Offene kinematische Kette

• ein Ende ist der Effektor (Hand)• das andere Ende ist die (Roboter)basis

BasisHand

Glied Gelenk

4.2 Gelenke

Gelenkarten • Rotationsgelenk (Drehgelenk) – das eine Glied

dreht sich relativ zum anderen um eine feste Achse– Torsionsgelenk– Revolvergelenk

• Translationsgelenk (Lineargelenk) – das eine Glied gleitet relativ zum anderen entlang einer festen Achse

• Weitere Arten können durch Kombination dieser beiden dargestellt werden.– Kugelgelenk– ebenes Gelenk

Rotationsgelenk

Achse

TorsionsgelenkRevolvergelenk

Translationsgelenk

Achse

Gelenkparameter

Rotationsgelenk Drehwinkel

Translationsgelenk Vorschublänge

θ

d

Weitere Begriffe

• ideale Gelenke – keine Begrenzungen der Bewegungen

• Gelenkkonfiguration (Konfiguration) –Menge von Gelenkeinstellungen (Gelenkparameter)

• Konfigurationsraum – Menge aller Gelenkkonfigurationen

4.3 Kinematische Grundprobleme

2 Aufgabenstellungen• Direktes kinematisches Problem (DKP)

– Welche Position und Orientierung nimmt der Effektorbezogen auf die Roboterbasis für eine gegebene Gelenkkonfiguration ein?

– Lösung: direkte kinematische Transformation oder Vorwärtstransformation

• Inverses kinematisches Problem (IKP)– Welche Gelenkkonfiguration führt auf die

vorgegebene Lage des Effektors?– Lösung: inverse kinematische Transformation oder

Rückwärtstransformation

Beispiel

DKP

Gegeben:

Gesucht:

231 ,, θdd

zyx PPP ,,

23 cosθ⋅= dPx

23 sinθ⋅= dPy

1dPz =

IKP

Gesucht:

Gegeben:

231 ,, θdd

zyx PPP ,,

zPd =1

223 yx PPd +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

PP

arctan2θ

Bemerkungen

• DKP lässt sich explizit, analytisch lösen• für IKP ist dies i. a. nicht möglich• aber IKP ist für die Robotik wichtiger

4.4 Stellungsbesschreibungund Stellungstransformation

Koordinatensysteme

KKKK zyx rrr ,,

KO

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

a

a

a

a

KKK

K rKaKaKaa zKyKxKK rrr

r ⋅+⋅+⋅=321

3RP∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

3

2

1

P

P

P

PP

KKK

KK r

Koordinatensystem

Basisvektoren

Ursprung

Ortsvektor

Koordinatensysteme

SSSS zyx rrr ,,

SO

BBBB zyx rrr ,,

BO

Objekt-KS

Bezugs-KS

Position, Orientierung und Stellung

SOB Position von S in bezug auf B

( )SSS zyxS

B BBBR rrr= Orientierung von S in bezug auf B

Stellung von S in bezug auf B( )SOS

B BR ,

Orientierung

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

SB

SB

SB

x

x

x

x

xzxyxx

BBB

B

s

s

s

S rr

rr

rr

r

3

2

1

1

3

2

1

001

s

s

s

s

x

x

x

x

SB BBBB

xx =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

rr2

3

2

1

010

s

s

s

s

x

x

x

x

SB BBBB

xy =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

rr3

3

2

1

100

s

s

s

s

x

x

x

x

SB BBBB

xz =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

rr

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==

SBSBSB

SBSBSB

SBSBSB

zyxSB

zzyzxzzyyyxyzxyxxx

BBBRSSS rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrr

Stellungstransformation

33: RRT →

SOPSB

P BSRB +⋅=

PP BST =)(

( )SOS

B BRT ,=

S entsteht aus B durch Translation und Rotation

Rotation um die x-Achse

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

=001

SB

SB

SB

x

xzxyxx

BS rr

rr

rr

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−°=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

=αα

αα

sincos

0

)90cos(cos

0

SB

SB

SB

y

yzyyyx

BS rr

rr

rr

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+°=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

=αα

αα

cossin0

cos)90cos(

0

SB

SB

SB

z

zzzyzx

BS rr

rr

rr

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

SOB

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−==

αααα

α

cossin0sincos0001

xSB RR

Rotation um y bzw. z-Achse

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−==

ββ

ββ

β

cos0sin010

sin0cos

ySB RR

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −==

1000cossin0sincos

γγγγ

γzSB RR

Zwischen-KS Z

( ) ( )111 ,, pRZRTSOS

Z ==

( ) ( )222 ,, pRBRTZOZ

B ==

( ) ( )333 ,, pRBRTSOS

B ==

123 TTT ⋅=

Hintereinanderausführung von T1 und T2

PPPP BZTSTTST === )())(()( 2123

123 RRR ⋅=

2123 ppRp +⋅=

Beweis

)()( 2121233 ppRSRRpSR PP +⋅+⋅⋅=+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

PS 2123 ppRp +⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001

PS⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

010

PS⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100

PS

123 RRR ⋅=

Bemerkung

• Folgen von Stellungstransformationen liefern bei der Berechnung komplizierte, schwer handhabbare Ausdrücke

1234 TTTT ⋅⋅=

( )2121212 , ppRRRTT +⋅⋅=⋅

( )321231234 )(, pppRRRRRT ++⋅⋅⋅⋅=

Eigenschaften

),( pRT =

TRR =−1R – orthogonale Matrix 1)det( =R

AB

BA RR =−1)(

Beispiel – Rotation x-Achse

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

αααα

α

cossin0sincos0001

xR⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−

αααα

α

cossin0sincos0

001)( 1

xR⇒−→ αα

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

αααα

α

cossin0sincos0001

xR⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

αααα

α

cossin0sincos0

001)( T

xR⇒

Gruppe der Stellungstransformationen

{ }TRRpRTTST === −1 ),.(:

bildet eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung

Einselement:

Inverses Element:

( )0,r

IE =

( )pRRT TT ⋅−=− ,1

Beweis

4.5 Homogene Koordinaten und homogene

Transformationsmatrizen

Homogene Koordinaten

3),,( RzyxP T ∈= 0,,),,,( ≠∈= hRhhhzhyhxP TH

Unter einer homogenen Transformationsmatrix D verstehen wir eine 4 ×4 - Matrix mit folgenden Aufbau:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

SP

TRD• R - 3 × 3 – Matrix

• T − 3 × 1 – Vektor• P − 1 × 3 – Vektor• S – Zahl

R kann für die Rotation und Skalierung benutzt werden.T beschreibt die Translation, P die Perspektivtrans-formation und S ebenfalls eine Skalierung

In der Kinematik ist h=1 wichtig

Beispiel 1• Die Translation um den Vektor (Tx, Ty, Tz) wird folgendermaßen

beschrieben:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

111000100010001

z

y

x

z

y

x

TzTyTx

zyx

TTT

Beispiel 2• Eine Skalierung mit den Faktoren

Sx, Sy, Sz ist gegeben durch:

• Sollen alle drei Achsen um den gleichen Faktor S skaliert werden,dann kann diese Gesamtskalierung auch durch folgende Matrixmulti-plikation beschrieben werden:

• Die Division durch die vierte Koordinate liefert die üblichen kartesischen Koordinaten.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

111000000000000

zSySxS

zyx

SS

S

z

y

x

z

y

x

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

S

zyx

zyx

S1

11000010000100001

S1

Beispiel 3• Die Rotation um die x-Achse mit Winkel ist folgendermaßen

möglich:

• Analog beschreibt man dieRotation um die y-Achse mit Winkel und die Rotationum die z-Achse mit Winkel .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

1)cos()sin()sin()cos(

110000)cos()sin(00)sin()cos(00001

xx

xx

xx

xx

zyzy

x

zyx

αααα

αααα

xα

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−1

)cos()sin(

)sin()cos(

110000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(

yy

yy

yy

yy

zxy

zx

zyx

αα

αα

αα

αα

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

1

)sin()cos()sin()cos(

11000010000)cos()sin(00)sin()cos(

zxyyx

zyx

zz

zz

zz

zz

αααα

αααα

yαzα

Beispiel 4• Die Zentralprojektion auf die Parallele zur (x, y) -Ebene im Abstand f

mit Projektionszentrum im Koordinatenursprung ist gegeben durch:

• Zur Berechnung der kartesischen projizierten Koordinaten muss durch die vierte homogene Koordinate dividiert werden.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

fzzyx

zyx

f 10100010000100001

zfx

fzx ⋅=

zfy

fzy ⋅= f

zfz

fzz

=⋅

=

Stellungstransformation

),( pRT =⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==Ψ

1000

)(pR

MT

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

== − TRRpR

MMSH 14 ,

1000

: Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation

Einselement: Inverses Element:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1000010000100001

E

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−

=−

1000

1 pRRM

TT

Beweis

Eigenschaft

Die Gruppen ST und SH4 sind isomorph

)()()( :, 212121 TTTTSTTT Ψ⋅Ψ=⋅Ψ∈∀

),( 111 pRT = ),( 222 pRT =Beweis:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==Ψ

1000

)( 1111

pRMT

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==Ψ

1000

)( 2222

pRMT

),( 1212121 ppRRRTT +⋅⋅=⋅

)()(

1000

)( 212112121

21 TTMMppRRR

TT Ψ⋅Ψ=⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅⋅

=⋅Ψ

Eigenschaft

),( pRT =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==Ψ

1000

)(pR

MT

QPTRQP =∈ )( ,, 3

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

QQH

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

PPH

HH PMQ ⋅=

Beweis:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1111000

QpPRPpR

Bemerkungen

• Die Gruppen ST und SH4 sind nicht kommutativ• Das Resultat von Stellungstransformationen

kann mit homogenen Koordinaten berechnet werden

• Die Hintereinanderausführung von Stellungstransformationen kann auf die Multiplikation von Matrizen zurückgeführt werden

4.6 Beschreibung der Roboterkinematik nach

Denavit-Hartenberg

SatzGegeben: KS B

gerichtete Gerade (Achse) A

S∃ (Koordinatensystem)

AOS ∈ ASz mit chtet gleichgeriist von Achse-

( )SOS

B BRT ,=

)()()()()( αθ xxzz RotaTransdTransRotMT ⋅⋅⋅==Ψ

Rad ∈∃ αθ ,,,

Transformationen

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

10000)cos()sin(00)sin()cos(00001

)(αααα

αxRot

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

1000010000)cos()sin(00)sin()cos(

)(θθθθ

θzRot

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1000100

00100001

)(d

dTransz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

100001000010

001

)(

a

aTransx

Koordinatensystem S∅=∩ AzB

AzB parallelnicht

Normale

Zwischen-KS

( )SOS

Z ZRT ,1 =

)()(1 αxx RotaTransT ⋅=

( )ZOZ

B BRT ,2 =

)()(2 dTransRotT zz ⋅= θ

12 TTT ⋅=PPPP BZTSTTST === )())(()( 2123

DH – Parameter (Quadrupel)

Spezialfälle

∅≠∩ AzB 0=a

AzB parallel παα =∨= 0 beliebig, d

∅≠∩ AzB

AzB parallel 0 ,0 beliebig, , ==∨= ad πααθ

Anwendung auf Roboter

• offene kinematische Kette• n Gelenke• beliebiges festes KS B=S0, bezüglich

dessen die Roboterbasis unbeweglich ist• im Effektor sei ein KS E=Sn+2 gegeben• die Gelenkachsen seien von der

Roboterbasis beginnend, von A1 bis Andurchnumeriert

Anwendung des Satzes

0SB →

1AA→

)( 11 1AOS S ∈

),,,( 0000 αθ ad

)( 22 2AOS S ∈

),,,( 1111 αθ ad

Bei einer Bewegung des Gelenkes 1 ändert sich im Quadrupel

),,,( 1111 αθ ad

entweder 1θ

1doder

Rotationsgelenk

Translationsgelenk

2 benachbarte Gelenke

A2 und der gesamte restliche Roboterarm dreht sich um die Achse A1 (Rotationsgelenk)

Die drei Größen,

111 ,, αad

die sich nicht verändern (beiBewegung von Gelenk 1)spezifizieren das Glied, welchesA1 und A2 verbindet.

Anwendung des Satzes

0SB →

1AA→

)( 11 1AOS S ∈

),,,( 0000 αθ ad

)( 22 2AOS S ∈

),,,( 1111 αθ ad

)( iSi AOSi∈

),,,( 1111 −−−− iiii ad αθ

)( 11 1 ++ ∈+ iSi AOS

i

),,,( iiii ad αθ11 −≤≤ ni

)( nSn AOSn∈

),,,( 1111 −−−− nnnn ad αθ

)( 11 ESn zOS

n∈

++

),,,( nnnn ad αθni =

Transformationen

Gelenkachsen

Basis

Gelenk – KS

Transformation 21 ++

Effektor

=→ nn SES

Eine Bewegung des Gliedeszwischen Ai und Ai+1 verändertalle KS Sj mit 2+≤< nji

DH – Quadrupel

Offene Kinematische Kette

EAAAAB nn →→→→→→ −121 L

),,,( 0000 αθ ad ),,,( 1111 αθ ad ),,,( nnnn ad αθ )0,0,,( 11 ++ nn dθL

niad iiii ≤≤1 ),,,( αθ

3 Parameter sind konstantEin Parameter repräsentiert die Gelenkbewegung(Gelenkvariable)

oder

2 Gelenke

DKP – Kinematische Grundgleichung

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1000

EOEB BR

M

( ) ∏+

==

⋅⋅⋅==1

0

41,

)()()()(n

iixixizizjiij RotaTransdTransRotmM αθ

12 nichttriviale skalare Elementgleichungen

Bemerkungen

• können die DH – Parameter beliebig gewählt werden, so setzt man sie i. a. gleich 0

• die Gelenkübergänge werden einheitlich beschrieben

• die Bewegung des Gelenkes wird nur durch einen Parameter modifiziert

Zusammenfassung

( ) ∏+

==

⋅⋅⋅==1

0

41,

)()()()(n

iixixizizjiij RotaTransdTransRotmM αθ

∏∏+

=

+

=

⋅⋅⋅==1

0

1

0

)()()()(n

iixixiziz

n

ii RotaTransdTransRotMM αθ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000cossin00sincos00001

100001000010

001

1000100

00100001

1000010000cossin00sincos

ii

ii

i

i

ii

ii

i

a

dM

ααααθθ

θθ

Zusammenfassung

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000cossin00sincos00001

100001000010

001

1000100

00100001

1000010000cossin00sincos

ii

ii

i

i

ii

ii

i

a

dM

ααααθθ

θθ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

1000cossin0

sincossincoscossincossinsinsincoscos

iii

iiiiiii

iiiiiii

i daa

Mαα

θθαθαθθθαθαθ

Beispiel – Zweiarmmanipulator

A1 und A2 stehen senkrecht auf der Bildebene

Beispiel – Zweiarmmanipulator

213210 MMMMMMM ⋅=⋅⋅⋅= IMM == 30

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000100

00

1111

1111

1

slcsclsc

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000100

00

2222

2222

2

slcsclsc

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++−

=

10000100

00

111221212

111221212

slslcsclclsc

M

iis θsin=

iic θcos=

)sin( jiijs θθ +=

)cos( jiijc θθ +=

Puma 560

Puma 560

Puma 560

Puma 560

4.7 Inverse kinematische Transformation (IKP)

Inverse kinematische Transformation (IKP)

Gegeben:

Gesucht:

Lage zwischen Effektor und Roboterbasis

Gelenkparameter

( ) ∏+

====

1

0

41,

n

iijiij MmM

nidii ≤≤1 bzw. θ

Probleme

• Die Lösungen sind oft nicht eindeutig. Es gibt also mehrere Gelenkstellungen, die zur gleichen Effektorstellung führen.

Probleme• Die gefundene mathematische Lösung kann

eine unzulässige Stellung ergeben.– ein Winkel ist aufgrund mechanischer Begrenzungen

nicht einstellbar– Glieder des Armes kollidieren mit Hindernissen

• unzulässige Zwischenstellung bei einer Bewegung von der Ist-Stellung zur neuen Soll-Stellung

• für die Rückwärtsberechnung existiert kein allgemeines Verfahren

• schnelle Berechnung notwendig (während der Bewegung des Roboters)

Berechnungsmöglichkeiten

• analytische Verfahren– expliziter Zusammenhang zwischen den

Gelenkparametern und den Elementen der Matrix M(einfache Gelenkanordnung)

• roboterspezifische Vorgehensweise– Formeln für die Rückwärtsrechnung lassen sich

geschlossen angeben– keine Rechnung über die Transformationsmatrizen

erforderlich• Näherungsverfahren

Ansatz von Paul zur Lösung des IKP

Aufstellung der kinematischen Grundgleichung:

Umformung:

Elementweises Gleichsetzenliefert 12 nichtrivialeGleichungen für jede dieser Matrixgleichungen

110 +⋅= nMMMM L

11

01

121

01

1

111

0

+−−

+−−

+−

=⋅

=⋅⋅

=⋅

nn

n

n

MMMM

MMMMM

MMMM

L

M

L

L

Auswertung dieser Gleichungen

Planarer Zweiarmmanipulator

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++−

=

10000100

00

111221212

111221212

slslcsclclsc

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000100

0cossin0sincos

yx

Mαααα

Gegeben:

kinematische Grundgleichung:

Planarer Zweiarmmanipulator

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

10000100

0cossin0sincos

yx

Mαααα

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++−

=

10000100

00

111221212

111221212

slslcsclclsc

M

iis θsin=

iic θcos=

)sin( jiijs θθ +=

)cos( jiijc θθ +=