rjesenja ii new zakona-jednacine kretanja

15
Predavanje iz Fizike I prof. dr. Rajfa Musemić Diferencijalna jednadžba kretanja Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičke veličine ubrzanja i dinamičkih veličina, mase tijela i rezultujuće sile koja djeluje na njega, tj. k dt z d j dt y d i dt x d m F t v r F dt r d m m F dt r d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , (sila zavisi od relativnog položaja i brzine po nekom određenom zakonu i kao vektor jednaka je k F j F i F F z y x ). Tada ćemo imati tri skalane diferencijalne jednadžbe kretanja po tri različita pravca: 2 2 dt x d m dt dv m F x x , 2 2 dt y d m dt dv m F y y 2 2 dt z d m dt dv m F z z Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjem konstantne sile Ako se materijalna tačka kreće duž jednog pravca, kaže se da je kretanje pravolinijsko. Taj pravac može da bude i jedna od osa pravouglog koordinatnog sistema, na primjer y-osa. Diferencijalna jednadžba pravolinijskog kretanja materijalne tačke po y-osi, na osnovu jednadžbi iz II Newtonovog zakona biće: t dt dy y F dt y d m , , 2 2 Kod ovog kretanja, sila F i početni parametri y o i v oy moraju imati stalan pravac, i to pravac y-ose.

Upload: mario-subasic

Post on 27-Jan-2016

47 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

DrAjf

TRANSCRIPT

Page 1: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Predavanje iz Fizike I prof. dr. Rajfa Musemić

Diferencijalna jednadžba kretanja

Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičke veličine ubrzanja i dinamičkih veličina, mase tijela i rezultujuće sile koja djeluje na njega, tj.

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdmFtvrF

dt

rdm

m

F

dt

rd2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,,

(sila zavisi od relativnog položaja i brzine po nekom određenom

zakonu i kao vektor jednaka je kFjFiFF zyx ). Tada ćemo imati tri skalane diferencijalne jednadžbe kretanja po tri različita pravca:

2

2

dt

xdm

dt

dvmF x

x , 2

2

dt

ydm

dt

dvmF y

y

2

2

dt

zdm

dt

dvmF z

z

Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjem konstantne sile

Ako se materijalna tačka kreće duž jednog pravca, kaže se da je kretanje pravolinijsko. Taj pravac može da bude i jedna od osa pravouglog koordinatnog sistema, na primjer y-osa. Diferencijalna jednadžba pravolinijskog kretanja materijalne tačke po y-osi, na osnovu jednadžbi iz II Newtonovog zakona biće:

t

dt

dyyF

dt

ydm ,,

2

2

Kod ovog kretanja, sila F

i početni parametri yo i voy moraju imati stalan pravac, i to pravac y-ose.

Page 2: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Kao primjer ovakvog kretanja uzima se slobodni pad materijalne tačke ili vertikalni hitac pod djelovanjem sile teže, koja se može smatrati da je konstantna na malim rastojanjima u odnosu na poluprečnik Zemlje.

Komponente sile teže prema Slici su: Fy = mg, Fx = Fz = 0.

Slika / y-osa je vertikalna /

Diferencijalna jednadžba kretanja u ovom slučaju ima oblik:

constmgdt

ydm

2

2

odakle je gdt

dy

dt

d

Integriranjem dobivamo brzinu u ovom pravcu

1Cgtdt

dy (*)

gdje je C1 integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uslova

kretanja. Ponovnim integriranjem dobivamo,

212

2

1CtCgty

(**)

gdje je C2 nova integraciona konstanta.

Page 3: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Ova jednadžba (**) je opće rješenje diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke pod djelovanjem sile teže. Prema veličini početne brzine razlikuju se tri slučaja ovog pravolinijskog kretanja: slobodanpad, hitac u vis i hitac prema dolje.

Slobodan pad

Pri slobodnom padu materijalna tačka počinje kretanje bez početne brzine, tj. za t = 0, vy (0) = 0 i y(0) = yo. Za ovakve početne uslove dobivamo da je C1 = 0 i C2 = yo, pa imamo:

gtdt

dyvy i 0,0,

2

10

2 zxygty

Odnosno ghyygvy 22 0

Hitac u vis se dobiva iz jednadžbe (**) pri početnim uslovima:

za t =0, v v0 0 i y(0) = 0, što znači da se materijalna tačka kreće suprotnom brzinom vo u odnosu na y-osu. Za ove početne uslove dobivamo C1 = -vo i C2 = 0 pa jednadžbe brzine i puta za hitac u vis imaju oblik:

0vgtdt

dyvy i 0,

2

10

2 zxtvgty

Hitac prema dolje

Kod kretanja hitac prema dolje materijalna tačka polazi iz tačke Apočetnom brzinom vo, usmjerenom na dolje, u smjeru ose-y. Za ove početne uslove, t=0, vy(0) = vo i y(0) = yo, dobivamo da je C1 = vo i C2 = yo. Brzina i pređeni put kod kretanja hitac prema dolje mogu se izrazitikao:

Page 4: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

0vgtdt

dyvy i 00

2

2

1ytvgty

Kretanje materijalne tačke pod djelovanjem sile oblika )(

vFF ...

vkF

Page 5: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja
Page 6: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Kretanje čestice u homogenom gravitacijskom polju

Slučaj gdje sila na česticu iznosi mg i ima smjer nadolje, što u

vektorskoj formi zapisujemo kao:

jmgF .

Iz drugog Njutnovog zakona dobivamo jednadžbu kretanja:

jmgk

dt

zdj

dt

ydi

dt

xdm

2

2

2

2

2

2

.

Odgovarajuće skalarne jednadžbe:

0,,02

2

2

2

2

2

dt

zdmmg

dt

ydm

dt

xdm .

Page 7: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Integracijom dobivamo:

.

3

2

1

,

,

Cvdt

dz

Cgtvdt

dy

Cvdt

dx

z

y

x

Iz početnih uslova kretanja slijedi:

0,sin,cos 03002001 zyx vCvvCvvC .

Ponovnom integracijom dobivamo:

400 coscos Ctvxvdt

dx ,

5

2

00 2sinsin C

gttvygtv

dt

dy ,

60 Czdt

dz .

Iz početnih uslova kretanja: 0,, 60504 CyCxC .

Konačne jednadžbe puta i brzine su:

cos0vvx ,

gtvv y sin0 , 0zv ,

Page 8: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

00 cos xtvx ,

0

2

0 2sin y

gttvy , 0z .

Eliminiranjem vremena t dobivamo jednadžbu putanje kosog hica:

2022

000 )(

cos2)( xx

v

gxxtgyy

.

Ako su gvo , i zadane konstante, ova jednadžba predstavlja parabolu. Njeno tjeme određeno je maksimumom funkcije, pa dobivamo:

0)(cos 022

0

xxv

gtg

dx

dy

,

pa će koordinate tjemena biti:

02

20

0

20

sin2

,2sin2

yg

vy

xg

vx

T

T

.

Domet kosog hica dobiva se iz uvjeta 0yy , pa prema prethodnoj jednadžbi imamo:

g

v

g

tgvD

2sincos2 20

220

.

Page 9: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Predavanje 5

Kretanje naelektrisane čestice u homogenom električnom polju

Jednadžba kretanja za naboj q i masu m u električnom polju

E , kojeje homogeno u prostoru i konstantno u vremenu, glasi:

Em

q

dt

rdaEqamF

2

2

.

Integriranjem po vremenu i korištenjem početnih uuslova za

0,0 vvt i

0rr , dobivamo:

002

2rtvt

m

Eqr .

Kretanje naelektrisane čestice u homogenom magnetnom polju

Jednadžba kretanja naelektrisane čestice mase m i naboja q u stalnom

magnetnom polju

B , glasi:

Bvqdt

vdm

dt

rdm

2

2

(5.18)

Neka je magnetno polje usmjereno duž osi z, (Slika. 5.8))

kBB z

Slika. 5.8

Na osnovu pravila za vektorski proizvod

Page 10: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

zyx

zyx

BBB

vvv

kji

Bv

(5.19)

vrijedi

kBvBvjBvBviBvBvBv xyyxzxxzyzzy

Koristeći početne uslove Bx=By=0 i vz=0, dobivamo:

kdt

dvmj

dt

dvmi

dt

dvmjBviBv zyx

zxzy

pa jednadžba (5.18) prelazi u sistem jednadžbi po komponentama

zyx Bv

m

q

dt

dv ; zx

y Bvm

q

dt

dv ; 0

dt

dv z (5.20)

Najčešće se rješenja ovih jednadžbi pretpostave u obliku

tvtvx sin1 , v t v ty 1 cos , vz = const. (5.21)

Vidi se da je komponenta brzine u pravcu Oz ose, koja je paralelna sa magnetnim poljem B

, konstanta. Također ćemo staviti da je intenzitet vektora

magnetnog polja jednak B. Može se odmah izvesti još jedna karakteristika ovog kretanja, a to je osobina kinetičke energije.

Naime, kinetička energija naelektrisane čestice koja je jednaka

vvmvmEk

2

1

2

1 2 također je konstanta, jer vrijedi

02

1

Bv

m

qvmavm

dt

vdvm

dt

vdv

dt

vdvm

dt

dEK

(5.22)

Prema osobini mješovitog vektorskog proizvoda ( 0 Bvv ) dobija se

.0 constEdt

dEk

k

Magnetno polje ne mijenja kinetičku energiju slobodne naelektrisane čestice.

Jednadžba (5.22) pokazuje da je Ek konstanta, iz čega se može zaključiti da je i intenzitet vektora brzine konstanta. To navodi na ideju da se pokuša naći rješenje sistema jednadžbi (5.20) u obliku koji predstavlja jednoliko kružno kretanje u kojem su komponente brzine u pravcima osa Ox i Oy sinusne trigonometrijske funkcije sa faznim pomakom od π/2. Pri tome će biti

Page 11: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

prikladnije da se umjesto izraza (qB)/m uvede jedna konstanta koja ima dimenziju [1/vrijeme], (što se može zaključiti iz dimenzione saglasnosti skupa jednadžbi (5.20)). Očekuje se da će nađeno rješenje opisivati obrtanje s kružnom frekvencijom ω koja bi trebala biti povezana sa tom konstantom.

Traže se rješenja jednadžbi (5.20) u obliku:

tvtvx sin)( 1 tvtv y cos)( 1 (5.23)

const.zv

Uvrštavanjem ovog rješenja u skup jednadžbi (5.20) , uzimajući da je vx = vy =v1, dobija se

tvm

Bqtv coscos 11

tvm

Bqtv sinsin 11

Ove jednadžbe će biti zadovoljene ako je

cm

Bq (5.24)

Ovo predstavlja poznatu kružnu frekvenciju kojom se kreće čestica uhomogenom magnetnom polju. Naziva se ciklotronska frekvencija, ωc , a takav naziv je dobila zato što se pojavljuje u ciklotronu, tj. ubrzivaču naelektrisanih čestica. Bilo koja vrijednost za v1 zadovoljavat će jednadžbe(5.23), ali ćemo vidjeti da je v1 u vezi sa poluprečnikom kružne putanje.

Izraz za ciklotronsku frekvenciju ωc može se izvesti na jednostavniji način, uspostavljanjem ravnoteže između centripetalne i magnetne sile. Centripetalnoubrzanje (usmjereno prema središtu kružne putanje) potiče od magnetne sileqv1B , koja ima smjer prema središtu rotacije.

Pošto je ωc r = v1, centrifugalno ubrzanje iznosir

v 21 ili ωc

2 r, pa je:

12

21

1 vmrmr

vmBvq cc , odnosno

11 vmBvq c

Odavde slijedi da je m

Bqc , a poluprečnik putanje je:

Bq

vmvr

c

11

(5.25)

Kako izgleda putanja u tri dimenzije?

Page 12: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Ako se posmatra samo kretanje u ravni XY, putanja je kružna, a u smjeru ose Oz odvijaće se kretanje konstantnom brzinom vz (koja također može biti jednaka nuli), pošto sila nema komponentu u pravcu ose Oz.Integracija jednadžbi (5.23) uz uvođenje ciklotronske frekvencije ωc dovodi do jednadžbi putanje:

tvv

xx ccc

o

cos11

tv

yy cc

o

sin1 (5.26)

tvzz zo

gdje su konstante 001

0 i, zyv

xc

konstante integracije odgovarajućih

jednadžbi.Jednadžbe (5.26) predstavljaju parametarske jednadžbe kružnice po kojoj se

kreće čestica u XY ravni, gdje je poluprečnik kružnice dat sa Bq

vmvr

c

11

, koji

se također naziva ciklotronski radijus rc. Centar kružnice ima koordinate

),( 01

0 yv

xc

.

Ovom jednolikom kružnom kretanju treba dodati jednoliko kretanje brzinom vz

u smjeru Oz ose, s tim da je u početnom trenutku t=0 bilo z = z0. Prema tome, putanja čestice je helikoidalna tj. spirala oko ose Oz u smjeru magnetnog polja. Data je na Slici 5.9.

Slika 5.9 (Na slici treba biti umjesto vII vz) Slika 5.10

Page 13: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Kao primjer kretanja naelektrisane čestice u magnetnom polju, može poslužiti, putanja elektrona u magnetnom polju snimljena u laboratoriji (vodikova komora na mjehuriće). Elektron je ušao u magnetno polje u donjem desnom uglu, Slika 5.10. On se usporava gubljenjem energije na jonizaciju vodikovih molekula. Zbog toga poluprečnik zakrivljenosti njegove putanje u magnetnom polju opada, pa nastaje ovakva spirala

5.5 Spektrograf masa

Spektograf masa je instrument koji služi za određivanje izotopskog sastava neke tvari. Poznato je naime, da se mnogi kemijski elementi javljaju u nekoliko varijanti koje se međusobno razlikuju u atomskoj masi, ali imaju isti redni broj. Te varijante se zovu izotopi. Dva izotopa istog kemijskog elementa ne mogu se razdvojiti uobičajenim analitičkim metodama, pošto su njihova kemijska svojstva identična. U spektografu masa izotopi se mogu razdvojiti zbog toga što imaju različite mase. Princip rada spektrografa masa prikazan je na Slici 5.11.

Slika 5.11

Akcelerator služi za ubrzavanje molekula date supstance. Supstanca se grijanjem na visokoj temperaturi isparava i njene ionizirane molekule ulaze u homogeno električno polje pločastog kondenzatora. Ako se uzme da je početna brzina molekula zanemarivo mala, dobit će se da polje daje molekulama kinetičku energiju:

2

2mvqUEk

Page 14: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

gdje je q naelektrisanje molekula, a U razlika potencijala (napon) između ploča kondenzatora. Brzina molekula pri izlasku iz kondenzatora iznosi:

Um

q

m

Ev k 2

2

Filter brzina ima zadatak da propusti samo one molekule koje imaju tačno određenu brzinu. Brzina molekula koje izlaze iz akceleratora nije ista za sve molekule a potrebno je da u spektrografsku komoru uđu samo one molekule čija je brzina određena i poznata. Filtriranje se vrši pomoću jednog homogenog magnetnog i jednog homogenog električnog polja, čije su linije sila međusobno okomite. Ionizirani molekuli, koji dolaze iz akceleratora, ulaze normalno na električno i magnetno polje. U svakom trenutku na jednu molekulu djeluju dvije suprotne sile: električna sila Fe i magnetna sila Fm (Izrazi za te sile su Fe=qEF , odnosno Fm=qvBF)Kada su ove dvije sile u ravnoteži, prolaze one molekule koje se kreću brzinom

F

F

B

Ev . Sve ostale molekule će biti skrenute i padaju na ploče kondenzatora.

Glavni dio spektrografa je spektrografska komora. Ona je polucilindričnog

oblika i smještena je između polova magneta magnetne indukcije

SB . Naelektrisane čestice sa tačno određenim brzinama v ulaze u komoru kroz mali otvor. Pod djelovanjem magnetnog polja putanje čestica se savijaju u obliku kružnice i nakon pređene jedne polovine kruga padaju na filmsku emulziju. Sve molekule koje imaju istu masu m kretat će se po isto kružnoj putanji, prema (5.25)

FS

F

S BqB

mE

qB

mvR

i pogodit će emulziju u istoj tački, ostavljajući trag u vidu mrlje. Ako postoje dvije vrste molekula čije su mase m1 i m2, na emulziji će se pojaviti dvije mrlje koje su međusobno razmaknute za rastojanje:

1212

222 mm

qB

vRRs

S

.

Page 15: Rjesenja II NEW Zakona-jednacine Kretanja

Impuls sile i količina kretanja (impuls)

Impuls sile je produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje. Impuls sile

I je vektorska veličina i ima smjer sile:

tFI

.Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls nađemo tako da vremenski interval podijelimo na mnogo malih intervala. Ukupni impuls jednak je zbiru svih tih impulsa. Tačnu vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem granične vrijednosti tog izraza:

2

1

)(lim0

t

tii

tdttFtFI .

Prema Njutnovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene količine kretanja:

vmdt

d

dt

pdF .

Za kratko vrijeme dt tijelo će dobiti impuls sile:

pddtF ,dok će u vremenskom intervalu t između 1t i 2t primljeni impuls sile biti:

1212

2

1

2

1

vvmpppddtFp

p

t

t

Impuls sile jednak je promjeni količine kretanja tijela na koje ta sila djeluje. Količina kretanja je osobina tijela koje se kreće, to je produkt njegove mase i brzine, dok je impuls sile uticaj sile, tj. okoline na posmatrano tijelo.