rjesenja ii new zakona-jednacine kretanja
DESCRIPTION
DrAjfTRANSCRIPT
Predavanje iz Fizike I prof. dr. Rajfa Musemić
Diferencijalna jednadžba kretanja
Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičke veličine ubrzanja i dinamičkih veličina, mase tijela i rezultujuće sile koja djeluje na njega, tj.
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdmFtvrF
dt
rdm
m
F
dt
rd2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,,
(sila zavisi od relativnog položaja i brzine po nekom određenom
zakonu i kao vektor jednaka je kFjFiFF zyx ). Tada ćemo imati tri skalane diferencijalne jednadžbe kretanja po tri različita pravca:
2
2
dt
xdm
dt
dvmF x
x , 2
2
dt
ydm
dt
dvmF y
y
2
2
dt
zdm
dt
dvmF z
z
Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjem konstantne sile
Ako se materijalna tačka kreće duž jednog pravca, kaže se da je kretanje pravolinijsko. Taj pravac može da bude i jedna od osa pravouglog koordinatnog sistema, na primjer y-osa. Diferencijalna jednadžba pravolinijskog kretanja materijalne tačke po y-osi, na osnovu jednadžbi iz II Newtonovog zakona biće:
t
dt
dyyF
dt
ydm ,,
2
2
Kod ovog kretanja, sila F
i početni parametri yo i voy moraju imati stalan pravac, i to pravac y-ose.
Kao primjer ovakvog kretanja uzima se slobodni pad materijalne tačke ili vertikalni hitac pod djelovanjem sile teže, koja se može smatrati da je konstantna na malim rastojanjima u odnosu na poluprečnik Zemlje.
Komponente sile teže prema Slici su: Fy = mg, Fx = Fz = 0.
Slika / y-osa je vertikalna /
Diferencijalna jednadžba kretanja u ovom slučaju ima oblik:
constmgdt
ydm
2
2
odakle je gdt
dy
dt
d
Integriranjem dobivamo brzinu u ovom pravcu
1Cgtdt
dy (*)
gdje je C1 integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uslova
kretanja. Ponovnim integriranjem dobivamo,
212
2
1CtCgty
(**)
gdje je C2 nova integraciona konstanta.
Ova jednadžba (**) je opće rješenje diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke pod djelovanjem sile teže. Prema veličini početne brzine razlikuju se tri slučaja ovog pravolinijskog kretanja: slobodanpad, hitac u vis i hitac prema dolje.
Slobodan pad
Pri slobodnom padu materijalna tačka počinje kretanje bez početne brzine, tj. za t = 0, vy (0) = 0 i y(0) = yo. Za ovakve početne uslove dobivamo da je C1 = 0 i C2 = yo, pa imamo:
gtdt
dyvy i 0,0,
2
10
2 zxygty
Odnosno ghyygvy 22 0
Hitac u vis se dobiva iz jednadžbe (**) pri početnim uslovima:
za t =0, v v0 0 i y(0) = 0, što znači da se materijalna tačka kreće suprotnom brzinom vo u odnosu na y-osu. Za ove početne uslove dobivamo C1 = -vo i C2 = 0 pa jednadžbe brzine i puta za hitac u vis imaju oblik:
0vgtdt
dyvy i 0,
2
10
2 zxtvgty
Hitac prema dolje
Kod kretanja hitac prema dolje materijalna tačka polazi iz tačke Apočetnom brzinom vo, usmjerenom na dolje, u smjeru ose-y. Za ove početne uslove, t=0, vy(0) = vo i y(0) = yo, dobivamo da je C1 = vo i C2 = yo. Brzina i pređeni put kod kretanja hitac prema dolje mogu se izrazitikao:
0vgtdt
dyvy i 00
2
2
1ytvgty
Kretanje materijalne tačke pod djelovanjem sile oblika )(
vFF ...
vkF
Kretanje čestice u homogenom gravitacijskom polju
Slučaj gdje sila na česticu iznosi mg i ima smjer nadolje, što u
vektorskoj formi zapisujemo kao:
jmgF .
Iz drugog Njutnovog zakona dobivamo jednadžbu kretanja:
jmgk
dt
zdj
dt
ydi
dt
xdm
2
2
2
2
2
2
.
Odgovarajuće skalarne jednadžbe:
0,,02
2
2
2
2
2
dt
zdmmg
dt
ydm
dt
xdm .
Integracijom dobivamo:
.
3
2
1
,
,
Cvdt
dz
Cgtvdt
dy
Cvdt
dx
z
y
x
Iz početnih uslova kretanja slijedi:
0,sin,cos 03002001 zyx vCvvCvvC .
Ponovnom integracijom dobivamo:
400 coscos Ctvxvdt
dx ,
5
2
00 2sinsin C
gttvygtv
dt
dy ,
60 Czdt
dz .
Iz početnih uslova kretanja: 0,, 60504 CyCxC .
Konačne jednadžbe puta i brzine su:
cos0vvx ,
gtvv y sin0 , 0zv ,
00 cos xtvx ,
0
2
0 2sin y
gttvy , 0z .
Eliminiranjem vremena t dobivamo jednadžbu putanje kosog hica:
2022
000 )(
cos2)( xx
v
gxxtgyy
.
Ako su gvo , i zadane konstante, ova jednadžba predstavlja parabolu. Njeno tjeme određeno je maksimumom funkcije, pa dobivamo:
0)(cos 022
0
xxv
gtg
dx
dy
,
pa će koordinate tjemena biti:
02
20
0
20
sin2
,2sin2
yg
vy
xg
vx
T
T
.
Domet kosog hica dobiva se iz uvjeta 0yy , pa prema prethodnoj jednadžbi imamo:
g
v
g
tgvD
2sincos2 20
220
.
Predavanje 5
Kretanje naelektrisane čestice u homogenom električnom polju
Jednadžba kretanja za naboj q i masu m u električnom polju
E , kojeje homogeno u prostoru i konstantno u vremenu, glasi:
Em
q
dt
rdaEqamF
2
2
.
Integriranjem po vremenu i korištenjem početnih uuslova za
0,0 vvt i
0rr , dobivamo:
002
2rtvt
m
Eqr .
Kretanje naelektrisane čestice u homogenom magnetnom polju
Jednadžba kretanja naelektrisane čestice mase m i naboja q u stalnom
magnetnom polju
B , glasi:
Bvqdt
vdm
dt
rdm
2
2
(5.18)
Neka je magnetno polje usmjereno duž osi z, (Slika. 5.8))
kBB z
Slika. 5.8
Na osnovu pravila za vektorski proizvod
zyx
zyx
BBB
vvv
kji
Bv
(5.19)
vrijedi
kBvBvjBvBviBvBvBv xyyxzxxzyzzy
Koristeći početne uslove Bx=By=0 i vz=0, dobivamo:
kdt
dvmj
dt
dvmi
dt
dvmjBviBv zyx
zxzy
pa jednadžba (5.18) prelazi u sistem jednadžbi po komponentama
zyx Bv
m
q
dt
dv ; zx
y Bvm
q
dt
dv ; 0
dt
dv z (5.20)
Najčešće se rješenja ovih jednadžbi pretpostave u obliku
tvtvx sin1 , v t v ty 1 cos , vz = const. (5.21)
Vidi se da je komponenta brzine u pravcu Oz ose, koja je paralelna sa magnetnim poljem B
, konstanta. Također ćemo staviti da je intenzitet vektora
magnetnog polja jednak B. Može se odmah izvesti još jedna karakteristika ovog kretanja, a to je osobina kinetičke energije.
Naime, kinetička energija naelektrisane čestice koja je jednaka
vvmvmEk
2
1
2
1 2 također je konstanta, jer vrijedi
02
1
Bv
m
qvmavm
dt
vdvm
dt
vdv
dt
vdvm
dt
dEK
(5.22)
Prema osobini mješovitog vektorskog proizvoda ( 0 Bvv ) dobija se
.0 constEdt
dEk
k
Magnetno polje ne mijenja kinetičku energiju slobodne naelektrisane čestice.
Jednadžba (5.22) pokazuje da je Ek konstanta, iz čega se može zaključiti da je i intenzitet vektora brzine konstanta. To navodi na ideju da se pokuša naći rješenje sistema jednadžbi (5.20) u obliku koji predstavlja jednoliko kružno kretanje u kojem su komponente brzine u pravcima osa Ox i Oy sinusne trigonometrijske funkcije sa faznim pomakom od π/2. Pri tome će biti
prikladnije da se umjesto izraza (qB)/m uvede jedna konstanta koja ima dimenziju [1/vrijeme], (što se može zaključiti iz dimenzione saglasnosti skupa jednadžbi (5.20)). Očekuje se da će nađeno rješenje opisivati obrtanje s kružnom frekvencijom ω koja bi trebala biti povezana sa tom konstantom.
Traže se rješenja jednadžbi (5.20) u obliku:
tvtvx sin)( 1 tvtv y cos)( 1 (5.23)
const.zv
Uvrštavanjem ovog rješenja u skup jednadžbi (5.20) , uzimajući da je vx = vy =v1, dobija se
tvm
Bqtv coscos 11
tvm
Bqtv sinsin 11
Ove jednadžbe će biti zadovoljene ako je
cm
Bq (5.24)
Ovo predstavlja poznatu kružnu frekvenciju kojom se kreće čestica uhomogenom magnetnom polju. Naziva se ciklotronska frekvencija, ωc , a takav naziv je dobila zato što se pojavljuje u ciklotronu, tj. ubrzivaču naelektrisanih čestica. Bilo koja vrijednost za v1 zadovoljavat će jednadžbe(5.23), ali ćemo vidjeti da je v1 u vezi sa poluprečnikom kružne putanje.
Izraz za ciklotronsku frekvenciju ωc može se izvesti na jednostavniji način, uspostavljanjem ravnoteže između centripetalne i magnetne sile. Centripetalnoubrzanje (usmjereno prema središtu kružne putanje) potiče od magnetne sileqv1B , koja ima smjer prema središtu rotacije.
Pošto je ωc r = v1, centrifugalno ubrzanje iznosir
v 21 ili ωc
2 r, pa je:
12
21
1 vmrmr
vmBvq cc , odnosno
11 vmBvq c
Odavde slijedi da je m
Bqc , a poluprečnik putanje je:
Bq
vmvr
c
11
(5.25)
Kako izgleda putanja u tri dimenzije?
Ako se posmatra samo kretanje u ravni XY, putanja je kružna, a u smjeru ose Oz odvijaće se kretanje konstantnom brzinom vz (koja također može biti jednaka nuli), pošto sila nema komponentu u pravcu ose Oz.Integracija jednadžbi (5.23) uz uvođenje ciklotronske frekvencije ωc dovodi do jednadžbi putanje:
tvv
xx ccc
o
cos11
tv
yy cc
o
sin1 (5.26)
tvzz zo
gdje su konstante 001
0 i, zyv
xc
konstante integracije odgovarajućih
jednadžbi.Jednadžbe (5.26) predstavljaju parametarske jednadžbe kružnice po kojoj se
kreće čestica u XY ravni, gdje je poluprečnik kružnice dat sa Bq
vmvr
c
11
, koji
se također naziva ciklotronski radijus rc. Centar kružnice ima koordinate
),( 01
0 yv
xc
.
Ovom jednolikom kružnom kretanju treba dodati jednoliko kretanje brzinom vz
u smjeru Oz ose, s tim da je u početnom trenutku t=0 bilo z = z0. Prema tome, putanja čestice je helikoidalna tj. spirala oko ose Oz u smjeru magnetnog polja. Data je na Slici 5.9.
Slika 5.9 (Na slici treba biti umjesto vII vz) Slika 5.10
Kao primjer kretanja naelektrisane čestice u magnetnom polju, može poslužiti, putanja elektrona u magnetnom polju snimljena u laboratoriji (vodikova komora na mjehuriće). Elektron je ušao u magnetno polje u donjem desnom uglu, Slika 5.10. On se usporava gubljenjem energije na jonizaciju vodikovih molekula. Zbog toga poluprečnik zakrivljenosti njegove putanje u magnetnom polju opada, pa nastaje ovakva spirala
5.5 Spektrograf masa
Spektograf masa je instrument koji služi za određivanje izotopskog sastava neke tvari. Poznato je naime, da se mnogi kemijski elementi javljaju u nekoliko varijanti koje se međusobno razlikuju u atomskoj masi, ali imaju isti redni broj. Te varijante se zovu izotopi. Dva izotopa istog kemijskog elementa ne mogu se razdvojiti uobičajenim analitičkim metodama, pošto su njihova kemijska svojstva identična. U spektografu masa izotopi se mogu razdvojiti zbog toga što imaju različite mase. Princip rada spektrografa masa prikazan je na Slici 5.11.
Slika 5.11
Akcelerator služi za ubrzavanje molekula date supstance. Supstanca se grijanjem na visokoj temperaturi isparava i njene ionizirane molekule ulaze u homogeno električno polje pločastog kondenzatora. Ako se uzme da je početna brzina molekula zanemarivo mala, dobit će se da polje daje molekulama kinetičku energiju:
2
2mvqUEk
gdje je q naelektrisanje molekula, a U razlika potencijala (napon) između ploča kondenzatora. Brzina molekula pri izlasku iz kondenzatora iznosi:
Um
q
m
Ev k 2
2
Filter brzina ima zadatak da propusti samo one molekule koje imaju tačno određenu brzinu. Brzina molekula koje izlaze iz akceleratora nije ista za sve molekule a potrebno je da u spektrografsku komoru uđu samo one molekule čija je brzina određena i poznata. Filtriranje se vrši pomoću jednog homogenog magnetnog i jednog homogenog električnog polja, čije su linije sila međusobno okomite. Ionizirani molekuli, koji dolaze iz akceleratora, ulaze normalno na električno i magnetno polje. U svakom trenutku na jednu molekulu djeluju dvije suprotne sile: električna sila Fe i magnetna sila Fm (Izrazi za te sile su Fe=qEF , odnosno Fm=qvBF)Kada su ove dvije sile u ravnoteži, prolaze one molekule koje se kreću brzinom
F
F
B
Ev . Sve ostale molekule će biti skrenute i padaju na ploče kondenzatora.
Glavni dio spektrografa je spektrografska komora. Ona je polucilindričnog
oblika i smještena je između polova magneta magnetne indukcije
SB . Naelektrisane čestice sa tačno određenim brzinama v ulaze u komoru kroz mali otvor. Pod djelovanjem magnetnog polja putanje čestica se savijaju u obliku kružnice i nakon pređene jedne polovine kruga padaju na filmsku emulziju. Sve molekule koje imaju istu masu m kretat će se po isto kružnoj putanji, prema (5.25)
FS
F
S BqB
mE
qB
mvR
i pogodit će emulziju u istoj tački, ostavljajući trag u vidu mrlje. Ako postoje dvije vrste molekula čije su mase m1 i m2, na emulziji će se pojaviti dvije mrlje koje su međusobno razmaknute za rastojanje:
1212
222 mm
qB
vRRs
S
.
Impuls sile i količina kretanja (impuls)
Impuls sile je produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje. Impuls sile
I je vektorska veličina i ima smjer sile:
tFI
.Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls nađemo tako da vremenski interval podijelimo na mnogo malih intervala. Ukupni impuls jednak je zbiru svih tih impulsa. Tačnu vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem granične vrijednosti tog izraza:
2
1
)(lim0
t
tii
tdttFtFI .
Prema Njutnovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene količine kretanja:
vmdt
d
dt
pdF .
Za kratko vrijeme dt tijelo će dobiti impuls sile:
pddtF ,dok će u vremenskom intervalu t između 1t i 2t primljeni impuls sile biti:
1212
2
1
2
1
vvmpppddtFp
p
t
t
Impuls sile jednak je promjeni količine kretanja tijela na koje ta sila djeluje. Količina kretanja je osobina tijela koje se kreće, to je produkt njegove mase i brzine, dok je impuls sile uticaj sile, tj. okoline na posmatrano tijelo.