RISPOSTA DI SISTEMI ANELASTICIRISPOSTA DI SISTEMI ANELASTICI

xC

f B

A

energia scambiata

Struttura sottoposta a carico ciclicocarico ciclico in campo elasticoin campo elastico:

l'energia che il sisma trasmette al sistema tramite il movi-mento del terreno (area ABC) viene accumulata dal sistema sotto forma di energia di deformazione (energia potenziale elastica: massima quando è massimo lo scostamento dalla posizione di equilibrio statico) e si trasforma in energia cinetica (massima per spostamento nullo).

Nel moto oscillatorio c'è un continuo scambio di energia, potenziale e cinetica.

L'energia dissipata in un tale sistema è solo quella legata ai vari meccanismi che sono stati inglobati nel termine di smorzamento viscoso e che determinano, nel sistema lasciato libero di vibrare (a cui non si fornisca quindi ulteriore energia), oscillazioni di ampiezza via via decrescente, fino all'arresto del moto.

Nelle strutture in acciaio o cemento armato con comportamento elastico il coefficiente di smorzamento ha valori abbastanza piccoli: al massimo, rispettivamente, 2% e 5%.

Struttura sottoposta a carico ciclico in campo carico ciclico in campo anelastico:anelastico:

il sistema anelastico, se ha resistenza inferiore alla forza di inerzia indotta dal sisma, risponde entrando in campo non lineare: subisce perciò deformazioni irreversibili (tratto BC) e l'energia introdotta dal sisma in parte viene trasformata in energia cinetica (area CDE), in parte viene dissipata (area ABCE).

Nel moto oscillatorio il sistema accumula deformazioni anelastiche, descrivendo dei cicli (cicli isteretici), la cui area rappresenta l'energia dissipata.

All'energia dissipata in ciascun ciclo è associato lo smorzamento per isteresi, che raggiunge valori ben maggiori che non lo smorzamento viscoso.

Ad es. per un sistema elasto-plastico che raggiunga uno spostamento massimo pari a 2 volte lo spostamento elastico, lo smorzamento isteretico è pari a circa il 20%.

x

f y

f

A

B C

DE

energia scambiata

energia dissipata

x

f y

f energia dissipata ad ogni ciclo

Fintanto che lo smorzamento isteretico assume valori abbastanza piccoli, l'analisi di strutture a comportamento elasto-plastico può essere effettuata, in via approssimata, considerando ancora un sistema lineare elastico, caratterizzato da uno smorzamento elevato eq e da una rigidezza secante keq

che variano in funzione del modello strutturale, dei materiali e dello stato limite considerato.

f

xO B

A

E

D C

F

GH

Nel sistema elastico smorzato equivalente, la costante elastica che si considera, keq, è quella

corrispondente alla linea AOD, e lo smorzamento viscoso equivalente è dato da:

W

W

2

1

ODHAGO

ABCDEF area

2

1eq

Questa relazione è ottenuta uguagliando l'area ABCDEF all'energia dissipata con uno smorzamento viscoso eq.

La valutazione di eq è abbastanza delicata.

L'analisi di un sistema smorzato equivalente è tanto meno approssimata quanto più grande è il valore di eq.

L'utilizzazione di un sistema smorzato equivalente è accettabile fino a che eq è

piccolo. Quando l'errore che si compie è inaccettabile, bisogna procedere alla soluzione del problema non lineare, per il quale non è possibile ottenere soluzioni analitiche: l'equazione del moto può essere risolta solo per via incrementale usando tecniche di integrazione numerica.

txmtxftxctxm G

Il metodo di soluzione più diffuso è il metodo step by step (Clough e Penzien), in cui il dominio del tempo viene discretizzato in molti piccoli intervalli t e per ciascuno di questi vengono risolte le equaz. del moto utilizzando, come valori di spostamento, velocità, ecc. all'inizio dell'intervallo,

f

xx(t) x(t+t)

A

C

B

f (t)

f (t+t)

quelli ottenuti per l'intervallo precedente.

In ogni intervallo la rigidezza k(t) è la rigidezza tangente nel punto del diagramma di comportamento del sistema anelastico all'inizio dell'intervallo di tempo che si sta considerando.

SPETTRI DI RISPOSTA INELASTICISPETTRI DI RISPOSTA INELASTICI

Gli spettri di risposta visti precedentemente sono stati ricavati nell’ipotesi di comportamento indefinitamente elastico lineare del materiale (k costante).Nel caso di comportamento non lineare, l’equazione del moto assume la forma:

txmtxftxctxm G

che è possibile risolvere solo per integrazione numerica.Supponendo per il materiale un legame elasto-plastico perfetto, può essere scritta introducendo il rapporto adimensionale:

yx

x Fattore di Duttilità

x

f

f y

xy xmax

tgk

max

222

G

G

x

txttt

yf

txft

maxG

y

xm

f

Dividendo per mxy e ricordando che c/m=2 e fy=kxy=m2xy, si ottiene:

in cui:

reazione strutturale in forma adimensionale

Fattore di Resistenza

(rappresenta il rapporto fra la resistenza limite del sistema ed il prodotto della massa per il valore di picco dell’accelerazione del suolo)

yx

xmaxmax

Fissati ed , è possibile integrare l'eq. precedente per via numerica ottenendo la risposta all’accelerogramma dato in termini di spostamenti adimensionalizzati (t) e quindi di reazione strutturale (t).

Con tale procedimento si possono ottenere diagrammi in cui sono riportati i valori di

Richiesta di Duttilità

in funzione del periodo proprio e per diversi valori del fattore di resistenza .

Tali diagrammi mettono in evidenza che:

• strutture con fattori di resistenza più bassi ( piccoli) richiedono maggiori livelli di duttilità

• la richiesta di duttilità aumenta per strutture più rigide (periodi propri piccoli).

Utilizzando grafici di questo tipo, è possibile, per un sistema di periodo T e smorzamento , ricavare per interpolazione il valore del fattore di resistenza una volta fissato il valore di .

m

f

m

fxx y

G max

max

max

1 Gy

a xm

fS

Inoltre, per molto piccoli, dalla si può ricavare:

E’ quindi possibile costruire “spettri di risposta inelastici”, in termini di pseudo-accelerazione spettrale, riferendo ogni curva dello spettro ad un prefissato valore della duttilità richiesta.

e, utilizzando la (fattore di resistenza), si può

definire la pseudo-accelerazione spettrale:

txmtxktxctxm G

maxG

y

xm

f

Tale procedimento risulta peraltro molto oneroso. Pertanto, per la progettazione corrente, si preferisce utilizzare spettri di risposta inelastici approssimati, ricavati da quelli elastici applicando opportuni criteri.

Due sono i criteri generalmente adottati, dedotti da esperienze numeriche tese a confrontare la risposta di un oscillatore elasto-plastico perfetto con quella dell’oscillatore indefinitamente elastico avente stessa rigidezza elastica e stessa massa.

Il primo criterio, che, sulla base dei risultati di esperienze numeriche, sembra sufficientemente approssimato per sistemi con valori di T superiori al periodo dominante del sisma, consiste nell’assumere uguali gli spostamenti relativi massimi. Infatti, dato un accelerogramma, per piccoli valori di , e fy variabile entro certi limiti, lo spostamento xmax di sistemi elasto-plastici perfetti non si discosta sensibilmente dal valore xe,max del corrispondente sistema elastico.

f y

xmax xe,max

xy x

f e,max

e, in via approssimata, la può essere scritta:

Pertanto, si può ritenere:

y

e

y

e

y f

f

x

x

x

x max,max,maxmax

f kS mS mSd d amax 2

11 max,

aeya

S

m

f

m

fS

quindi, in definitiva, lo spettro inelastico può ottenersi da quello elastico scalato del fattore di duttilità.

f y

xmax xe,max

xy x

f e,max

Il secondo criterio, che dalle esperienze numeriche sembra approssimare meglio i casi di strutture con periodo proprio iniziale intermedio, consiste nell’imporre l’uguaglianza dell’energia dissipata dai due sistemi, quello elasto-plastico e quello elastico corrispondente.

Ciò equivale a porre uguali le aree dei poligoni (OCDE) ed (OAB), ovvero di (B’DEB) e (CAB’):

yeyeey xxffxxf max,max,max,max 2

1

f e,max

f y

xe,maxxy xmax O

C

A

B'

B

D

E

dividendo per fyxy, , poiché è , si ottiene:

y

e

y

e

x

x

f

f max,max,

11

2

1 max,max,max,max

y

e

y

e

y

e

y x

x

f

f

x

x

x

x

2

max,max, 12

1

y

e

y

e

f

f

f

f

12max, y

e

f

f

12

1

121 max,

aey

a

S

m

f

m

fS

Pertanto, si può scrivere:

Alternativamente, fissato fy, dagli spettri elastici si può dedurre la duttilità richiesta:

12

1

1

1

1

max,

a

a

e

yf S

S

f

fIn definitiva, fissato , si può ricavare il Fattore di Riduzione delle Forze Spettrali

Occorre notare che, per bassi valori di , i due criteri praticamente si equivalgono, mentre al crescere di , il secondo criterio fornisce valori sensibilmente più bassi di f..

y

e

y

e

y f

f

x

x

x

x max,max,maxmax

12

1

f

1f

criterio di equivalenza energetica

criterio di equivalenza degli spostamenti

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2T [s]

Sa/amax

4

uguale spostamento

uguale energia

elastico

uguale energia

uguale spostamento

uguale accelerazione