risposta delle reti lineari

RISPOSTA DELLE RETI LINEARI

INDICE

1. - RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO

2. - RISPOSTA NEL DOMINIO DELLA VARIABILE COMPLESSA s: LA TRASOFRMATA DI LAPALCE

3. - ANALISI DEI CIRCUITI CON LA TRASFORMATA DI LAPLACE

4. - DIAGRAMMI DI BODE

5. - RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA DI GRANDEZZE SINUSOIDALI

6. - RISPOSTA DELLE RETI LINEARI IN REGIME SINUSOIDALE

1. - RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO

1.1.- Circuiti lineari tempo invarianti

1.2. - Forme d'onda fondamentali

1.3. - Principi di Kirchhoff

1.4. - Risposta di un circuito

1.5. - Circuiti del primo ordine

1.6. - Circuiti del secondo ordine

1.1. - CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI

Gli elementi ideali a due terminali sono il resistore, il condensatore, l'induttore, il generatore di tensione e quello di corrente; essi vengono definiti in base alla relazione esistente tra la tensione v(t) ai capi dell'elemento e la corrente i(t) che lo percorre. In un

resistore esiste una relazione di proporzionalità tra tensione e corrente: ; in un induttore la tensione ai suoi capi è proporzionale alla velocità di variazione della

corrente: ; in un condensatore è la corrente che è proporzionale alla

velocità di variazione della tensione: .

Se i parametri R, L e C non dipendono dal valore delle grandezze elettriche impresse al circuito, gli elementi vengono definiti lineari; se essi non variano nel tempo, vengono definiti tempo-invarianti. Un circuito costituito solo da elementi lineari tempo invarianti (LTU), ossia da elementi per i quali R, L e C risultano costanti, è definito circuito lineare tempo-invariante.

Per un elemento lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti: ossia che, se i1(t), v1(t) e i2(t), v2(t) sono due coppie di funzioni che soddisfano alla relazione costitutiva di un generico elemento, qualsiasi coppia di funzioni del tipo

,

con a e b costanti arbitrarie, soddisfa alla relazione costitutiva dell'elemento.

Se il parametro che individua l'elemento non dipende dal tempo e i(t) e v(t) sono una coppia di funzioni che soddisfano alla relazione costitutiva dell'elemento, anche la coppia di funzioni i(t-T) e v(t-T), con T qualsiasi, soddisfa la relazione; questa proprietà viene chiamata principio di tempo invarianza.

La tensione v(t) ai capi di un generatore di tensione non dipende dal carico, mentre in uno di corrente è la corrente i(t) che non dipende dal carico. Quindi un generatore applicato ad un bipolo impone la forma d'onda della tensione di ingresso se è di tensione, oppure la forma d'onda della corrente se è di corrente.

I generatori indipendenti sono elementi non lineari e tempo invarianti; infatti in essi la tensione non è funzione lineare della corrente ed inoltre sia la tensione che la corrente variano, in generale, nel tempo.

1.2. - FORME D’ONDA FONDAMENTALI

1.2.1. - Chiarimenti sulla funzione delta di Dirac

1.2.2. - Relazione intercorrente tra funzione a gradino e funzione impulsiva

1.2.1. - Chiarimenti sulla funzione delta di Dirac

La definizione di funzione impulsiva sopra data deriva da una operazione di limite effettuata su un impulso di area unitaria. Indicando P∆ (t) un impulso di durata ∆ e ampiezza 1/∆ (l'area è unitaria) e facendo tendere ∆ a zero, si ottiene la funzione impulsiva. Il grafico di tale funzione è quello di una freccia rivolta verso l'alto nel punto

t = to (non potendosi rappresentare una ampiezza infinita). Un impulso di Dirac non unitario, di area A, è matematicamente descrivibile con la scrittura Aδ (t).

L'integrale che determina l'area può essere esteso anche a intervalli diversi, purché l'intervallo considerato contenga t = to, visto che δ (t) è nullo per t ≠ to.

1.2.2. - relazione intercorrente tra funzione a gradino e funzione impulsiva

Si consideri la forma d'onda di figura: essa è nulla per t ≤ 0, linearmente crescente per

0 < t < ∆ ed uguale ad 1 per t ≥ ∆ . La derivata di tale funzione è un impulso di area unitaria e durata ∆ .

Facendo tendere ∆ a zero, la f(t) tende alla funzione a gradino unitario u(t) e la sua derivata f '(t) alla funzione impulsiva δ (t); si può quindi scrivere:

.

da tale equazione si trae:

.

Infatti, se è t < 0 l'integrale risulta uguale a zero perché non comprende l'impulso di Dirac, che si trova nell'origine degli assi; se invece è t > 0, per ogni t l'integrale è uguale all'unità perché viene integrato l'impulso di Dirac.

Dalla definizione di funzione di Dirac si deduce che, data una generica funzione del tempo f(t), il suo valore nell'istante t = to coincide con l'integrale, calcolato tra - ∞ e + ∞ , del prodotto della funzione f(t) e della funzione di Dirac nell'istante considerato:

.

questa è una relazione di notevole importanza nello studio dei segnali campionati.


quando si collegano tra loro due o più elementi per formare un circuito elettrico, la tensione ai capi di ciascun ramo del circuito e la corrente in ciascun ramo sono vincolate da due leggi fondamentali:

La somma algebrica delle correnti confluenti in ciascun nodo deve risultare uguale a zero (legge di Kirchhoff per le correnti, KCL);

La somma algebrica delle cadute di tensione lungo ciascuna maglia deve essere uguale a zero (legge di Kirchhoff per le tensioni, KVL).

Nella loro formulazione più generale tali leggi possono essere così espresse:

La somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa è uguale a zero;

La somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa e finita è uguale a zero.


1.4.1. - Procedimento per il calcolo della risposta

1.4.2. - Alcuni utili chiarimenti e precisazioni sulla risposta

1.4.1. - Procedimento per il calcolo della risposta

Per determinare l'andamento in funzione del tempo della risposta è necessario risolvere una equazione differenziale a coefficienti costanti. La soluzione di una equazione di questo tipo è costituita dalla somma di due termini, denominati funzione complementare ed integrale particolare:

risposta = funzione complementare + integrale particolare

la funzione particolare è la soluzione dell'equazione differenziale che si ottiene annullando il segnale d'ingresso; poiché tale equazione contiene una sola variabile dipendente viene anche detta equazione omogenea. Si definisce pertanto funzione complementare la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata all'equazione data.

L'integrale particolare è invece una possibile soluzione dell'equazione differenziale, una volta stabilita la forma d'onda d'ingresso.

1.4.2. - alcuni utili chiarimenti e precisazioni sulla risposta

Risposta libera o risposta con ingresso nullo (funzione complementare)

Viene definito in questo modo l'andamento , nel tempo, della risposta senza segnale di ingresso (ingresso aperto).

Una rete contenente solo elementi resistivi ha risposta libera nulla, perché non si ottiene da essa segnale di uscita se non si applica segnale d'ingresso.

La risposta libera è invece diversa da zero nelle reti contenenti condensatori e/o induttanze; questi elementi immagazzinano energia e, quando viene annullato il segnale di ingresso (aprendo l'ingresso), sono in grado di mantenere un segnale di uscita, fino alla totale restituzione dell'energia immagazzinata.

Riassumendo: la risposta libera o risposta con ingresso nullo è l'espressione dell'energia immagazzinata nei componenti reattivi di un circuito.

Risposta forzata o risposta nello stato zero (integrale particolare)

Rappresenta l'andamento nel tempo della risposta quando si tiene conto solo del segnale di ingresso, ossia considerando condizioni iniziali, per capacità e induttanze, per le quali l'energia immagazzinata, precedentemente, sia nulla.

Risposta totale o risposta del circuito

Rappresenta la risposta del circuito sia per effetto dell'energia inizialmente posseduta dai componenti reattivi sia per effetto del generatore indipendente di ingresso.

Il transitorio

Costituisce l'intervallo di tempo durante il quale il circuito si adegua ad una variazione del segnale di ingresso.

La durata del transitorio è funzione dei componenti del circuito e dell'energia da essi immagazzinata.

Il segnale di prova ottimale per analizzare la risposta di un circuito durante la fase transitoria è il gradino, che costituisce una variazione istantanea dell'ingresso.

Il regime permanente

Rappresenta l'andamento del segnale d'uscita in relazione a quello di ingresso, allorché si può considerare esaurito il transitorio.

Un circuito in regime permanente fornisce all'uscita un segnale le cui caratteristiche elettriche (tensione o corrente) sono legate a quelle corrispondenti del segnale d'ingresso da rapporti definiti dalla funzione di trasferimento. Se il segnale di ingresso è costante, anche quello di uscita( terminato il transitorio) è costante; se il segnale d'ingresso è periodico (ad esempio sinusoidale), anche quello d'uscita (terminato il transitorio) varia con uguale periodicità.

1.5. - Circuiti del primo ordine

Si definisce circuito del primo ordine un circuito descritto da equazioni differenziali del primo ordine. Ad esempio il quadripolo di figura in cui la relazione esistente tra l'eccitazione vi(t) e la risposta vo(t) è la seguente:

(1.5.1)

dove A e B sono costanti legate agli elementi del circuito.

Per ricavare la risposta di tale circuito bisogna innanzitutto scrivere l'equazione differenziale omogenea associata all'equazione completa, ossia supporre nulla la vi(t):

(1.5.2)

e determinare la funzione complementare, ossia la soluzione di questa equazione.

Poiché tutte le derivate della funzione esponenziale differiscono dalla funzione soltanto per un coefficiente numerico, si può assumere che la variabile dipendente vo(t) sia del tipo:

(1.5.3)

dove K1 e K2 sono costanti che devono essere determinate. Sostituendo nell'equazione (1.5.2) si ottiene:

(1.5.4)

Poiché K1 si deve supporre diverso da zero (K1 = 0 equivale a supporre vo(t) = 0), affinché sia verificata questa equazione deve risultare:

(1.5.5)

che è l'equazione caratteristica, la cui soluzione è

(1.5.6)

dove τ , avente le dimensioni di un tempo (l'esponente dell'esponenziale deve risultare adimensionale). Viene chiamata costante di tempo del circuito. K2 ha le dimensioni di una frequenza e viene dettafrequenza naturale del circuito. La costante K2 deve inoltre essere reale e negativa (K2 positiva fornirebbe una risposta crescente indefinitamente nel tempo).

Per calcolare un integrale particolare dell'equazione differenziale completa è necessario stabilire la forma d'onda del segnale d'ingresso Vi(t) e verificare se un segnale di uguale forma d'onda può essere assunto come integrale particolare. Supponendo di applicare al circuito un segnale costante di ampiezza Vi a partire dall'istante t = 0 (forma d'onda a gradino), si può assumere che, per t > 0 , sia vo(t) = K2; sostituendo questo valore di vo(t) nella equazione (1.5.1) si ottiene:

È verificata pertanto l'ipotesi fatta che una quantità costante possa essere assunta come integrale particolare dell'equazione differenziale completa.

Avendo determinato sia la soluzione dell'equazione differenziale omogenea, sia un integrale particolare, sommandole tra loro si ricava la soluzione dell'equazione differenziale non omogenea (equazione (1.5.1) con vi(t) = Vi):

(1.5.9)

La costante K1 dipende dal valore assunto dalla tensione vo(t) nell'istante t = 0, ossia nell'istante in cui viene applicato al circuito il segnale d'ingresso.

Si tenga presente che gli elementi reattivi sono elementi che possono immagazzinare energia ed il valore di tale energia dipende dalla tensione ai capi di un condensatore e dalla corrente in una induttanza; indicare la tensione ai capi di un condensatore e la corrente in una induttanza significa specificare l'energia in essi immagazzinata

nell'istante considerato .

Supponendo che all'istante t = 0 sia vo = Vo ed imponendo tale condizione nell'equazione (1.5.9) si ottiene:

(1.5.10)

Sostituendo questo valore di K1 nell'equazione (1.5.9), si ricava la relazione finale:

(1.5.11)

ossia la risposta del circuito ad un segnale continuo applicato all'istante t = 0, nell'ipotesi che la tensione iniziale di uscita sia Vo. in figura è riportato l'andamento della tensione vo(t) per due diversi valori della tensione Vo, uno superiore a Vi/A e l'altro inferiore.

Il primo termine a secondo membro dell'equazione (1.5.11) diminuisce esponenzialmente nel tempo tendendo a zero; esso costituisce un transitorio che, dopo un certo tempo, si esaurisce. Il secondo termine è invece una quantità che rimane inalterata nel tempo e rappresenta quindi la condizione a regime del circuito. In generale la risposta di un generico circuito ad un segnale applicato è costituita da due termini, uno denominato risposta transitoria perché tende esponenzialmente a zero, e l'altro denominato risposta in regime permanente perché rimane invariato nel tempo:

risposta del circuito = risposta transitoria + risposta in regime permanente.

L'equazione (1.5.11) può essere riscritta ne seguente modo:

(1.5.12)

Il primo termine a secondo membro rappresenta la risposta del circuito nell'ipotesi che sia Vi = 0, ossia che il segnale di ingresso rimanga nullo anche per t > 0; per questo motivo esso viene chiamato risposta con ingresso nullo, oppure risposta libera del circuito. Il secondo termine, invece, coincide con la risposta del circuito al segnale di ingresso nell'ipotesi che sia Vo = 0 e viene chiamato risposta forzata. Poiché si definisce stato di un circuito in un certo istante l'insieme delle condizioni iniziali che determinano in modo univoco, assieme al segnale di ingresso, le correnti e le tensioni in tutti i rami del circuito, il secondo termine a secondo membro dell'equazione (1.5.12) rappresenta anche la risposta del circuito quando esso si trova nello stato zero:

risposta del circuito = risposta con ingresso nullo + risposta nello stato zero.

La risposta con ingresso nullo coincide con la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata all'equazione differenziale completa; quella nello stato zero con la soluzione dell'equazione differenziale completa nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle. Per determinare la risposta con ingresso nullo è necessario conoscere lo stato della rete nell'istante iniziale; in questo senso la tensione Vo viene chiamata anchevariabile di stato. Per calcolare la risposta nello stato zero bisogna conoscere la forma d'onda del segnale di ingresso.

Tenendo presente che la funzione gradino di ampiezza unitaria è discontinua in t = 0 viene indicata con u(t), l'equazione (1.5.12) può anche essere così scritta:

(1.5.13)

utilizzando tale rappresentazione non è necessario specificare che l'equazione è valida per t ≥ 0.

Riassumendo, un circuito del primo ordine, descritto da un'equazione differenziale del primo ordine, contiene un solo elemento capace di immagazzinare energia, presenta una sola frequenza naturale ed una unica variabile di stato; inoltre, l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale è di primo grado.

1.6. - Circuiti del secondo ordine

1.6.1. - Risposta con ingresso nullo

1.6.2. - Risposta nello stato zero

1.6.3. - Risposta del circuito

1.6.1. - Risposta con ingresso nullo

supponendo vi(t) = 0, si ottiene l'equazione omogenea associata:

(1.6.2)

e l'equazione caratteristica:

(1.6.3)

che è, in tale caso, di secondo grado. Per esprimere in forma normalizzata le radici di questa equazione si introducono due parametri, α e ω o, definiti in modo tale che l'equazione (1.6.3) possa essere così scritta:

(1.6.4)

Dal confronto tra le equazioni (1.6.3) e (1.6.4) si deducono le espressioni dei parametri α e ω o in funzione degli elementi del circuito; cioè:

(1.6.5)

dove α e ω o sono numeri reali positivi.

Le soluzioni dell'equazione caratteristica, chiamate anche frequenze naturali del circuito, sono:

(1.6.6)

possono essere reali e distinte (se è α > ω o), reali coincidenti (se è α = ω o), complesse coniugate (se è α < ω o). inoltre, si ha:

(1.6.7)

Se le radici dell'equazione caratteristica sono reali e distinte, due possibili soluzioni dell'equazione omogenea sono:

(1.6.8)

pertanto lo è anche una loro combinazione lineare:

(1.6.9)

dove K1 e K2 sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.

Se le radici sono reali coincidenti (s1 = s2 = -α ), due soluzioni particolari dell'equazione omogenea risultano:

Lo è pertanto anche una loro combinazione lineare:

(1.6.10)

dove K1 e K2 sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.

Se le radici sono reali e distinte si preferisce, in genere, indicare con il risultato dell'estrazione di radice quadrata, potendo scrivere:

(1.6.11)

essendo α d < α , ambedue le radici sono negative.

Se le radici sono invece complesse coniugate, si pone:

(1.6.12)

Sostituendo queste ultime relazioni nell'equazione (1.6.9):

(1.6.13)

tenendo presente la relazione di

Eulero (1.6.14)

e raccogliendo a fattore comune e-α t, dall'equazione (1.6.13), si trae:

posto (1.6.15)

si

ha: (1.6.16)

La costante α , dalla quale dipende in tutti e tre i casi l'andamento decrescente della risposta, viene anche chiamata costante di smorzamento.

Riassumendo

Se le radici sono reali e distinte, ambedue risultano negative e l'andamento nel tempo della tensione vo(t) si ottiene come somma di due esponenziali decrescenti;

Se le radici sono reali coincidenti, si ottiene ancora un valore negativo; pertanto la tensione vo(t) tende a zero, ma più lentamente perché l'esponenziale viene moltiplicato per una quantità linearmente crescente nel tempo;

Se le radici sono complesse coniugate, la comune parte reale è negativa; pertanto la tensione vo(t) ha andamento di tipo sinusoidale, con pulsazione ω d < ω o ed ampiezza tendente esponenzialmente a zero.

Nel primo caso il circuito si dice sovrasmorzato, nel secondo che lo smorzamento è critico e nel terzo che il circuito è sottosmorzato.

Se le radici o la loro parte reale fosse positiva, la risposta risulterebbe esponenzialmente crescente nel tempo, cioè instabilità del circuito.

Poiché le radici dell'equazione caratteristica, ossia le frequenze naturali del circuito, possono essere reali oppure complesse coniugate, è conveniente rappresentarle in un piano complesso, detto piano della frequenza complessa, nel quale l'asse orizzontale rappresenta la parte reale e quello verticale la parte complessa della variabile complessa s. in figura è riportato un esempio di possibile andamento della tensione vo(t) nei tre diversi casi e la corrispondente posizione delle frequenze naturali nel piano complesso (in ogni caso s1 + s2 = -2αααα ).

Per poter determinare le costanti che compaiono nelle tre possibili risposte del circuito con ingresso nullo, è necessario imporre le condizioni iniziali, dovute alla presenza di due elementi in grado di immagazzinare en3ergia, l'induttore ed il condensatore. Nel condensatore è la tensione che non può subire discontinuità, mentre nell'induttore lo è la corrente.

Si tiene conto delle condizioni iniziali dando un valore a al tempo t = 0:

Radici reali distinte

Se le radici sono reali distinte, imponendo tali condizioni iniziali nell'equazione (1.6.9); si ha:

Risolvendo questo sistema di due equazioni, si ricavano K1 e K2:

Sostituendo nell'equazione (1.6.9), si ha:

(1.6.22)

Radici reali coincidenti

Se le radici sono reali coincidenti, imponendo tali condizioni iniziali nell'equazione (1.6.10); si ha:

Sostituendo nell'equazione (1.6.10), si ha:

(1.6.23)

Radici complesse coniugate

Se le radici sono complesse coniugate conviene sviluppare ulteriormente la (1.6.22). Tenendo presente che è s1 - s2 = 2jωωωω d (equazione (1.6.12)) e che è possibile esprimere in forma esponenziale le radici s1e s2:

(1.6.24)

Dall'equazione (1.6.22) si trae:

Dalle formule di Eulero

sostituendo, si ottiene:

(1.6.25)

La tensione vo(t) ha pertanto un andamento di tipo sinusoidale con ampiezza decrescente nel tempo perché si è supposta negativa la parte reale delle due radici complesse coniugate.

1.6.2. - Risposta nello stato zero

L'integrale particolare dell'equazione completa dipende dalla forma d'onda del segnale applicato al circuito a partire dall'istante t = 0. Supponendo che esso sia costante di ampiezza Vi, si ha in uscita una tensione Vo anch'essa costante. La soluzione completa sarà:


(1.6.26)

Supponendo che il circuito si trovi nello stato zero nell'istante iniziale t = 0, e che in tale

istante , si ricavano K1 e K2.

Sostituendo nell'equazione (1.6.26), si ottiene:

(1.6.28)


(1.6.29)

Imponendo che il circuito si trovi nello stato zero nell'istante iniziale t = 0, e che in tale


(1.6.30)


(1.6.31)


Conviene esprimere la (1.6.28) in forma diversa, utilizzando lo stesso procedimento seguito per ricavare l'equazione (1.6.24). segue:

(1.6.31)

Imponendo che il circuito si trovi nello stato zero nell'istante iniziale t = 0, e che in tale



(1.6.32)

In figura è riportato l'andamento della risposta ad un gradino di tensione per un circuito sovrasmorzato e per uno sottosmorzato.

In un circuito sovrasmorzato la risposta tende al suo valore finale senza mai superarlo; in uno sottosmorzato la risposta oscilla smorzandosi attorno al suo valore finale.

1.6.3. - Risposta del circuito

La risposta del circuito è data dalla somma della risposta transitoria e della risposta in regime permanente:

risposta del circuito = risposta transitoria + risposta in regime permanente =

= risposta con ingresso nullo + risposta nello stato zero


La tensione v2 ha un andamento di tipo esponenziale, con esponenziali decrescenti, essendo le frequenze naturali (le radici dell'equazione caratteristica associata) negative, e tende al valore di regime Vo.


La tensione v2 ha ancora andamento esponenziale, con esponenziale decrescente, e tende al valore di regime V2.


La tensione v2 oscilla con andamento di tipo sinusoidale con ampiezza decrescente nel tempo, smorzandosi attorno al valore finale di regime V2.

2. - RISPOSTA NEL DOMINIO DELLA VARIABILE COMPLESSA s: LA TRASOFRMATA DI LAPALCE

2.1. - Utilità della trasformata di Laplace nella determinazione della risposta di un circuito

2.2. - Trasformata di Laplace

2.3. - Calcolo della trasformata di Laplace di alcune funzioni di uso comune

2.4. - Proprietà della trasformata di Laplace

2.5. - Trasformata di Laplace di funzioni periodiche

2.6. - Funzioni elementari

2.7.- Antitrasformata di Laplace

2.8. - Proprietà delle antitrasformate di Laplace

2.9. - Tabella di alcune proprietà delle trasformate di Laplace

2.10. - Tabella di trasformazione e antitrasformazione

2.11. - Tabella di trasformazione di alcune funzioni impulsive e periodiche

2.12. - Antitrasformata di funzioni razionali fratte

2.1. - Utilità della trasformata di Laplace nella determinazione della risposta di un

circuito

Nel determinare la risposta di circuiti contenenti elementi reattivi, tenendo conto delle relazioni tensione-corrente proprie di ciascun elemento circuitale e applicando i teoremi delle reti elettriche, si perviene alla descrizione analitica del circuito mediante equazioni differenziali, la cui soluzione non è spesso semplice. Risulta, allora, vantaggioso

utilizzare il cosiddetto metodo simbolico generalizzato, basato sullatrasformata di Laplace.

L'applicazione della L-trasformata ad una funzione del tempo f(t) la trasforma in una funzione nel campo complesso F(s), dove s = σ +jω è una variabile complessa.

Questa apparente complicazione comporta un grosso vantaggio: le equazioni differenziali che descrivono il comportamento dei circuiti nel dominio del tempo si trasformano, nel campo complesso, in equazioni algebriche. Inoltre, è possibile, dall'esame della funzione trasformata F(s), risalire all'andamento, almeno qualitativo, della funzione f(t), senza dover necessariamente antitrasformare la funzione.

Si ricava il valore iniziale della f(t) applicando alla F(s) la relazione:

Si ricava il valore finale della f(t), cioè il valore a cui tende f(t) per t → ∞ , applicando alla F(s) la relazione:

Essendo, normalmente, F(s) il rapporto tra due polinomi, si ricavano le radici del polinomio a denominatore, chiamati poli di F(s), e si tiene presente che ogni polo contribuisce alla f(t) fornendo un termine secondo la seguente tabella. Se i poli sono più di uno, la f(t) risulta la somma dei contributi di ciascun polo.

poli di F(s) contributo alla f(t)

reale semplice

nullo s = 0 una costante K

negativo

s = p

un esponenziale decrescente

positivo un

esponenziale crescente

complessi coniugati

parte reale nulla

s = ±jω una sinusoide

parte reale

negativa

s = σ ±jω

una sinusoide con ampiezza decrescente

parte reale

positiva

una sinusoide con ampiezza

crescente

reali di molteplicità

n

nullo s = 0 un polinomio di grado n-1

negativo

s = p

il prodotto di un polinomio di grado n-1

per un esponenziale decrescente

positivo

il prodotto di un polinomio di grado n-1

per un esponenziale

crescente

2.2. - Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un'operazione matematica che trasforma una funzione di

variabile reale (il tempo t), definita nell'intervallo , in una funzione F(s) della

variabile complessa s ( , detta pulsazione complessa). Tale operazione consiste

nel moltiplicare la funzione f(t) per il fattore e nell'integrare la funzione

risultante tra 0 e +∞ ottenendo così una funzione che non dipende più dal tempo, ma solo dalla variabile complessa s:

(2.2.1)

poiché la trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione f(t) una funzione F(s), si può scrivere simbolicamente:

, (2.2.2)

dove con L si intende la trasformata di Laplace: l'operazione inversa, che permette di passare da F(s) a f(t), viene chiamata antitrasformata di Laplace e viene indicata col simbolo L-1:

. (2.2.3)

L'operazione di trasformazione secondo Laplace è possibile solo se la funzione soddisfa a certe condizioni; può anche accadere che la trasformata esista solo per particolari valori di s. prende il nome di dominio di integrazione o di convergenza l'insieme dei valori della variabile complessa s per i quali risulta definito l'integrale calcolato mediante l'equazione (2.2.1). Per poter effettuare in modo univoco l'operazione di antitrasformazione è ovviamente necessario conoscere non soltanto la funzione F(s), ma anche il suo dominio di convergenza. Tale problema conduce alla formula di Riemann_Fourier

dove σ o è un qualunque valore di ascissa, della variabile complessa s, compreso nel dominio di convergenza.


2.3.1. - Funzione a gradino unitario

2.3.2. - Funzione esponenziale

2.3.3. - Funzione impulsiva

2.3.4. - Funzione sinusoidali


2.3.1 - Funzione a gradino unitario

Si definisce gradino unitario u(t) una funzione che soddisfa le seguenti condizioni:

Tenendo presente la definizione di trasformata di Laplace (equazione (2.2.1)), risulta:

(2.3.1.1)

Supponendo che sia s = σσσσ , dove σ è un numero reale e positivo (σ > 0), l'integrando è un esponenziale decrescente e l'aria sottesa da tale curva è finita; infatti si ha:

,

poiché per . Se, invece, s fosse un numero reale e negativo (s = -σσσσ ), l'integrando sarebbe un esponenziale crescente e l'aria sottesa dalla curva risulterebbe infinita. Quindi, per valori reali di s, la trasformata della funzione gradino esiste soltanto

se la s è reale e positiva. Se s è un numero complesso ( ), utilizzando le formule di Eulero, si ha:

(2.3.1.2)

Anche in questo caso, se σ > 0 ciascun integrando è una sinusoide di ampiezza decrescente in modo esponenziale; poiché a ciascuno degli integrali dell'equazione (2.3.1.2) corrisponde un valore definito, si può concludere che la trasformata di Laplace della funzione gradino esiste purché la parte reale della variabile complessa s sia maggiore di zero. Calcolando l'integrale, si ha:

,

. (2.3.1.3)

Anche se la trasformata di Laplace della funzione gradino è definita unicamente per Re(s) > 0, questa condizione deve essere tenuta presente solo quando si effettua l'operazione di antitrasformata al fine di ricavare in modo univoco la funzione di partenza u(t) da quella F(s); in ogni altro caso la funzione F(s) può essere considerata una funzione di variabile complessa definita per ogni valore di s, ad eccezione dell'origine dove assume valore infinito. Essa viene pertanto rappresentata, nel piano della variabile complessa s, con un polo nell'origine.

La funzione gradino è una funzione ideale che presenta una discontinuità per t = 0. Nello studio delle reti elettriche, la risposta ad un gradino di tensione applicato in ingresso fornisce importanti informazioni sul modo e sulla rapidità di risposta della rete.

2.3.2. - Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è così definita:

dove α può essere un numero reale o un numero complesso. Se α è un numero reale, f(t) è una funzione reale della variabile reale t; se invece α è un numero complesso, f(t) diventa una funzione complessa della variabile reale t. Una funzione reale di una variabile reale si rappresenta nel piano; una funzione complessa di una variabile reale si rappresenta nello spazio, riportando su un asse il valore di t e sugli altri due la parte reale e la parte immaginaria di f(t). dalla definizione di trasformata di Laplace, si trae:

(2.3.2.1)

La trasformata di Laplace della funzione esponenziale è una funzione definita solo se è verificata la condizione Re(s+αααα ) > 0. Qualora, però, non interessi l'operazione di antitrasformata, la funzione F(s) può essere considerata definita per ogni valore di s, eccetto quello per il quale risulta s = αααα ; nel piano complesso la funzione F(s) presenta un polo per s = -αααα .

In generale si può dimostrare che:

In particolare, si ottiene la trasformata di tn se si pone α = 0. Ad esempio, si ha:

Rampa unitaria: n = 1 e α = 0

(2.3.3.2)

Parabola unitaria: n = 2 e α = 0

(2.3.3.3)

Cubica unitaria: n = 3 e α = 0

(2.3.3.3)

In generale: n e α = 0

(2.3.3.3)

2.3.3. - Funzione impulsiva

La funzione impulsiva è così definita:

.

Da tale definizione, si deduce immediatamente l'espressione della sua trasformata di Laplace:

. (2.3.3.1)

Essendo la funzione impulsiva nulla per , si deve considerare l'integrando solo per , dove l'esponenziale è uguale all'unità. La trasformata di Laplace della funzione impulsiva esiste qualsiasi sia il valore della variabile complessa ed è quindi definita per ogni s. È inoltre importante ricordare che la trasformata di Laplace della funzione impulsiva è uguale all'unità.

2.3.4. - Funzione sinusoidali

Tenendo presente la relazione di Eulero e la trasformata di Laplace

della funzione esponenziale con , si può scrivere:

.

Per la proprietà di linearità, la trasformata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle loro trasformate; segue:

.

Affinché sia verificata l'uguaglianza tra due numeri complessi è necessario che siano separatamente uguali tra loro la parte reale e quella immaginaria; si può pertanto scrivere:

(2.3.4.1)

(2.3.4.2)

Le trasformate di Laplace sia del seno che del coseno hanno due poli complessi

coniugati per ; quella del coseno ha anche uno zero nell'origine degli assi.

Ambedue le finzioni sono definite solo se è .


2.4.1. - Unicità

2.4.2. - Linearità

2.4.3. - Derivata nel dominio del tempo

2.4.4. - Integrale nel dominio del tempo

2.4.5. - Derivata nel dominio della s

2.4.6. - Teorema della traslazione o dello smorzamento

2.4.7. - Teorema del ritardo

2.4.8. - Teorema del cambio di scala o di omotetia

2.4.9. - Teorema del valore iniziale

2.4.10. - Teorema del valore finale


2.4.1. - Unicità

Se die funzioni f1 e f2 hanno la stessa trasformata di Laplace, le due funzioni coincidono in tutti i punti nei quali sono continue.

. (2.4.1.1)

La trasformata di Laplace determina in modo univoco la funzione: .

2.4.2. - Linearità

Se la f(t) è una combinazione lineare di altre funzioni, anche la sua trasformata risulta una combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle trasformate di tali funzioni:

(2.4.2.1)

Questa proprietà è una conseguenza della linearità dell'operazione di integrazione.

2.4.3. - Derivata nel dominio del tempo

Tra la trasformata di Laplace della derivata di una funzione continua per t > 0 e la trasformata di Laplace della funzione esiste la seguente relazione:

(2.4.3.1)

La trasformata della derivata rispetto al tempo di una funzione è uguale alla differenza tra la trasformata della funzione moltiplicata per la variabile complessa s ed il valore della funzione per t = 0. Qualora la funzione non sia continua per t = o, con f(0) si deve intendere il valore medio tra f(0-) e f(0+).

Dalla definizione di trasformata di Laplace, si ha: .

Integrando per parti, si ha:

Se la funzione è continua per t > 0 e può essere derivata, utilizzando la relazione precedente, si ha:

(2.4.3.2)

Più in generale:

(2.4.4.3)

2.4.4. - Integrale nel dominio del tempo

Tra la trasformata di Laplace di una funzione f(t) e quella del suo integrale tra 0 e t esiste la relazione:

. (2.4.4.1)

La trasformata dell'integrale rispetto al tempo di una funzione è uguale alla trasformata della funzione divisa per la variabile complessa s.

Posto , anche g(t) è L-trasformabile. Allora:

assumendo .

Da questa: .

2.4.5. - Derivata nel dominio della s

Se la F(s) è la trasformata di Laplace della f(t), derivando ambo i membri dell'equazione

rispetto a s, si ottiene:

(2.4.5.1)

Questa proprietà permette di dedurre dalla trasformata di Laplace di una funzione quella della stessa funzione moltiplicata per t. Si consideri, ad esempio, la funzione

esponenziale , con a reale: derivando rispetto ad s la trasformata di Laplace di tale funzione, si ha:

. (2.4.5.2)

Tale relazione può essere estesa al caso generale:

La trasformata di Laplace della funzione reale , con a reale, ha un polo reale; quella

della funzione due poli reali coincidenti, e quella della funzione n poli reali.

L'equazione (2.4.5.1) può essere generalizzata nel modo seguente:

(2.4.5.3)

2.4.6. - Teorema della traslazione o dello smorzamento

Si supponga che la trasformata di Laplace della funzione f(t) sia F(s) e si consideri la

trasformata di Laplace della funzione , con α reale:

.

Assumendo come variabile complessa s + αααα , dalla definizione di trasformata di Laplace si deduce:

(2.4.6.1)

Se , poiché , si trae:

(2.4.6.2)

Se , poiché , si trae:

(2.4.6.3)

Si ricava così la trasformata di Laplace della funzione ottenuta come prodotto di una sinusoide con un esponenziale.

È importante osservare che, essendo α reale, le radici dei polinomi al denominatore delle equazioni (2.4.6.2) e (2.4.6.3) e, quindi, i poli delle due funzioni della variabile s sono complessi coniugati e valgono-αααα ± jωωωω . Se α > 0 i due poli si trovano nel semipiano sinistro e la corrispondente funzione del tempo è esponenzialmente decrescente.

2.4.7. - Teorema del ritardo

Sia F(s) la trasformata di Laplace di una funzione f(t) e f1(t) una funzione che ha lo stesso andamento della f(t), ma con un ritardo to. Dalla figura, nella quale sono rappresentate due funzioni che soddisfano a questa condizione, si deducono immediatamente le seguenti relazioni

Si vuole determinare la trasformata di Laplace della f1(t). Poiché risulta:

,

posto x = t - to, si ha:

;

infatti è dt = dx e, per t = to, risulta x = 0. Applicando la definizione di trasformata di Laplace alla funzione di variabile reale x, si deduce la relazione finale:

(2.4.7.1)

La trasformata della funzione ritardata e pertanto uguale alla trasformata della funzione

originaria moltiplicata per la quantità .

Ad esempio, la trasformata di Laplace del gradino ritardato vale

La funzione impulso rettangolare di ampiezza unitaria di figura può essere ottenuta come differenza tre la funzione gradino e la funzione gradino ritardato di un intervallo to:

Per la proprietà di linearità la trasformata secondo Laplace di tale funzione vale:

(2.4.7.2)

Si è così ricavata la trasformata di Laplace di un impulso rettangolare di ampiezza unitaria posto nell'origine.

2.4.8. - Teorema del cambio di scala o di omotetia

Sia F(s) la trasformata di Laplace di f(t), la trasformata della funzione f(α t), con α > 0, risulta essere:

.

Posto ; sostituendo nella precedente, si ha:

.

Pertanto: dove .

2.4.9 - Teorema del valore iniziale

Sia F(s) la trasformata di Laplace di f(t), il valore iniziale f(0) vale:

, (2.4.9.1)

nell'ipotesi che esista il limite a secondo membro.

Dal teorema della derivata si ha:

Il limite del primo membro tende a zero per la presenza del termine esponenziale

decrescente , per cui:

.

2.4.10. - Teorema del valore finale

Sia F(s) la trasformata di Laplace di f(t), il valore finale f(∞ ) vale:

, (2.4.10.1)

nell'ipotesi che esista il limite a secondo membro.

Dal teorema della derivata si ha:

. (2.4.10.2)

L'esponenziale tende ad uno quando s tende a zero, per cui:

. (2.4.10.3)

Uguagliando le (2.4.10.2) e (2.4.10.3), si ha:

2.5. - Trasformata di Laplace di funzioni periodiche

Sia f(t) una funzione definita per t ≥ 0 e periodica di periodo T, cioè

Se la funzione f(t) è L-trasformabile su un intervallo di lunghezza T, indicando con F(s) la sua trasformata relativa ad un periodo, si ha:

. (2.5.1)

Scritto l'integrale di Laplace come somma degli integrali su ciascuno dei periodi:

, (2.5.2)

si effettua il seguente cambiamento di variabile:

I nuovi estremi di integrazione sono 0 e T, per ciascun integrale.

Poiché , la relazione (2.5.2) si riscrive nel seguente modo:

,

che si può anche scrivere:

. (2.5.3)

La serie entro parentesi quadre nella (2.5.3) è una serie geometrica convergente

(perché ), la cui somma vale ; l'integrale rappresenta la trasformata di Laplace della f(t) considerata solo nel primo periodo. Pertanto:

.

La (2.5.1) permette di determinare la trasformata di Laplace di molte funzioni periodiche di interesse elettronico. Nelle successive figure sono riportate alcune di tali funzioni con le relative trasformate.

2.6. - Funzioni elementari

Per poter calcolare la trasformata di Laplace di una funzione f(t) è necessario che tale funzione sia definita a partire dall'istante t = 0; conviene pertanto assumere che

sia .

Ad eccezione della trasformata di Laplace di una funzione ritardata, le funzioni elementari F(s) ricavate precedentemente sono tutte esprimibili come rapporti tra polinomi nella variabile complessa s. In tale caso esse possono essere individuate, a meno di una costante, per mezzo delle radici del polinomio a numeratore e di quello al denominatore, chiamate rispettivamente zeri e poli, e rappresentate per mezzo del diagramma poli-zeri.

Nella tabella seguente viene fornito un elenco delle trasformate di Laplace di alcune funzioni elementari e, quando possibile, viene fornito il diagramma poli-zeri della trasformata. Si osservi che, dal tipo di diagramma poli-zeri della F(s) si può dedurre l'andamento della f(t) di partenza. A tale fine si osserva che:

ad un polo singolo nell'origine è associata una funzione esponenziale

a due poli complessi coniugati sono associate funzioni di tipo sinusoidale

se i poli si trovano nel semipiano destro, oppure se esistono poli multipli sull'asse immaginario, la f(t) diverge

se i poli si trovano nel semipiano sinistro la f(t) converge

Si tenga presente che l'esponenziale tende a zero tanto più rapidamente quanto più il polo, reale e negativo, è lontano dall'origine; maggiore è, invece, la distanza dall'asse reale dei poli complessi coniugati e più elevata è la frequenza di oscillazione.

f(t) con t > 0 F(s)

Funzione impulsiva

δ (t)

1

funzione gradino

t

rampa

esponenziale

Senω t

cosω t

f(t) con t > 0 F(s)

gradino ritardato

2.7.- Antitrasformata di Laplace

Per la proprietà di unicità della trasformata di Laplace, l'antitrasformata di una finzione F(s), definita in una certa regione della variabile complessa s, può essere determinata in modo univoco e si indica nel modo seguente:

. (2.7.1)

Si può dimostrare che vale la relazione:

, (2.7.2)

dove σ è una qualsiasi ascissa della funzione F(s). L'integrale viene calcolato facendo variare l'ordinata ω tra -∞ e +∞ con l'ascissa σ costante.


2.8.1. - Linearità

2.8.2. - Cambio di scala

2.8.3. - Traslazione

2.8.4. - Ritardo

2.8.5. - Antitrasformata di derivate

2.8.6. - Antitrasformata di integrali

2.8.7. - Moltiplicazione dell'immagine per sn

2.8.8. - Divisione dell'immagine per s


2.8.1. - Linearità

Se F(s) è una combinazione lineare di altre funzioni, anche la sua antitrasformata risulta una combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle trasformate di tali funzioni. Si può scrivere:

(2.8.1.1)

2.8.2. - Cambio di scala

Se

, allora: (2.8.2.1)

2.8.3. - Traslazione

Se

, allora: (2.8.3.1)

2.8.4. - Ritardo

Se

, allora: (2.8.4.1)

2.8.5. - Antitrasformata di derivate

Se

, allora: (2.8.5.1)

La derivata dell'immagine equivale alla moltiplicazione per (-t) dell'originale.

2.8.6. - Antitrasformata di integrali

Se

, allora: (2.8.6.1)

L'integrale dell'immagine equivale alla divisione dell'originale per t.

2.8.7. - Moltiplicazione dell'immagine per sn

Se , allora:

(2.8.7.1)

La moltiplicazione per sn ha come conseguenza la derivazione ennesima di f(t).

2.8.8. - Divisione dell'immagine per s

Se

, allora: (2.8.8.1)

La divisione per s ha come conseguenza l'integrazione di f(t) tra 0 e t.

2.9. - Tabella di alcune proprietà delle trasformate di Laplace

Proprietà f(t) F(s)

Linearità

Derivata di

f(t)

Integrale di

f(t)

Ritardo

Traslazione

Derivata di

F(s)

Cambio di

Scala

2.10. - Tabella di trasformazione e antitrasformazione

F(s) f(t)

1 impulso unitario di Dirac in t = 0

impulso unitario ritardato

gradino unitario in t = 0

gradino ritardato di to

impulso unitario rettangolare

gradino di ampiezza a in t = 0

rampa unitaria in t = 0

rampa di ampiezza a in t = 0

2.11. - Tabella di trasformazione di alcune funzioni impulsive e periodiche

f(t) F(s)

1

2.12. - Antitrasformata di funzioni razionali fratte

Nel caso la F(s) sia una funzione razionale di s, ossia un rapporto di polinomi in s, di tipo proprio (cioè il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore) si può utilizzare il metodo dell'espansione in frazioni parziali per effettuare in modo semplice l'operazione di antitrasformazione. In tale ipotesi, infatti, la funzione F(s) può essere espressa in funzione delle radici dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero i polinomi al numeratore ed al denominatore, ossia in funzione dei poli e degli zeri della funzione:

(2.12.1)

con m<n. Nell'ipotesi che i poli siano tutti distinti tale funzione può essere messa nella forma:

. (2.12.2)

Se, invece, esistono r poli coincidenti, indicandoli con pi, risulta:

. (2.12.3)

Se esistono anche q radici complesse coniugate semplici, si ha:

. (2.12.4)

Per la proprietà lineare della trasformata, ciascuna frazione parziale può essere antitrasformata separatamente; inoltre, l'antitrasformata di ciascuna di esse può essere dedotta direttamente dalle tabelle di antitrasformazione. Si può pertanto ricavare facilmente l'espressione della funzione nel dominio del tempo.

Nel caso di poli reali semplici e poli complessi semplici, per determinare i termini Kj e Kh si utilizzano le seguenti espressioni:

(2.12.5)

(2.12.6)

Nel caso di r poli coincidenti, si può determinare il termine K1r utilizzando la seguente espressione:

(2.12.7)

Gli eventuali rimanenti termini K vengono determinati imponendo l'uguaglianza dei due membri della (2.12.4).

3. - ANALISI DEI CIRCUITI CON LA TRASFORMATA DI LAPLACE

3.1. - Elementi di circuito


3.3. - Risposta del circuito

3.4. - Risposta alla funzione impulsiva

3.5. - Risposta alla funzione gradino

3.6. - Parametri caratteristici

3.7. - Risposta in regime sinusoidale


3.1.1. - Resistore

3.1.2. - Condensatore

3.1.3 - Induttanza

3.1.1. - Resistore

Per la proprietà lineare della trasformata, la proporzionalità esistente tra la tensione e la corrente in un resistore vale anche nel dominio della variabile complessa; segue:

(3.1.1.1)

Dove V(s) e I(s) sono le trasformate di Laplace rispettivamente della tensione v(t) e della corrente i(t). pertanto il resistore R si rappresenta in ugual modo nei due domini.

3.1.2. - Condensatore

Per il teorema della derivata, dalla relazione che descrive il comportamento di un condensatore, si trae:

, (3.1.2.1)

Dove v(0) è il valore della tensione ai capi del condensatore nell'istante assunto come iniziale (t = 0 ). Un condensatore si rappresenta, pertanto, nel dominio della variabile

complessa, con una impedenza in serie con un generatore di tensione .

3.1.3 - Induttanza

Per l'induttore si ottiene:

, (3.1.3.1)

dove i(0) è la corrente nell'induttore nell'istante assunto come iniziale (t = 0). Un

induttore si rappresenta come un'impedenza in parallelo ad un generatore di

corrente .


Per la proprietà lineare della trasformata di Laplace, i principi di Kirchhoff per le correnti confluenti in un nodo (KCL) e le tensioni in una maglia del circuito (KVL) hanno espressioni analoghe nei due domini:

(3.2.1)

(3.2.2)

Si può concludere che, una volta associata ad ogni tensione e ad ogni corrente di ramo la corrispondente trasformata secondo Laplace, anche nel dominio della variabile complessa la somma delle correnti confluenti in un nodo e la somma delle tensioni in ciascuna maglia deve essere uguale a zero.

3.3. - Risposta del circuito

3.3.1. - Funzione di rete

3.3.2. - Poli e frequenze naturali

3.3.3. - Stabilità di un sistema

3.3.4. - Sistemi causali

3.3.1. - Funzione di rete

Nel dominio della trasformata di Laplace si definisce funzione del sistema, o funzione di rete, il rapporto tra la risposta nello stato zero ed il segnale di ingresso:

trasformata di Laplace della risposta nello stato zero

funzione di rete =

trasformata di Laplace del segnale di ingresso

In tali condizioni la funzione di rete coincide con la funzione di trasferimento (f.d.t.).

Poiché la trasformata di Laplace della funzione impulsiva δ (t) è uguale a uno, la funzione di rete può anche essere definita come risposta del circuito nello stato zero alla funzione impulsiva.

Qualora si voglia calcolare unicamente la funzione di rete si debbono supporre nulli i generatori che tengono conto delle condizioni iniziali relative a ciascun elemento; la rappresentazione degli elementi di circuito risulta pertanto coincidere con quella propria del metodo simbolico. Ne segue che, determinata la funzione di rete, si può dedurre sia la risposta del circuito in regime sinusoidale, ponendo s = jωωωω , sia la risposta nello stato zero ed un segnale qualsiasi, purché L-trasformabile, utilizzando le regole di antitrasformazione.

La funzione di rete di un circuito tempo-invariante è una funzione razionale a coefficienti costanti e può essere, quindi, espressa in funzione delle radici del polinomio P(s) al numeratore e di quello Q(s) al denominatore, ossia dagli zeri zi e dai poli pj (dove zi e pj possono anche essere complessi):

. (3.2.1.1)

In sostituzione dell'espressione analitica della H(s) si può pertanto fornire la distribuzione dei suoi poli e dei suoi zeri nel piano complesso. Poiché i coefficienti dei polinomi P(s) e Q(s) sono reali, gli zeri e i poli debbono essere reali, oppure complessi coniugati.

3.3.2. - Poli e frequenze naturali

Se una generica variabile y(t) di una rete con ingresso nullo, ma con un certo stato

iniziale, comprende un termine , il numero reale, oppure complesso, si viene chiamato frequenza naturale della variabile y(t). L'insieme delle frequenze naturali di una qualsiasi variabile della rete prende il nome di frequenze naturali della rete.

Supponendo ora che il segnale di ingresso alla rete sia la funzione impulsiva δ (t) e che la rete si trovi nello stato zero, la risposta coincide con la funzione di rete H(s)

Esprimendo la funzione H(s) come somma di frazioni parziali (supponendo, per semplicità, che i poli siano distinti):

, (3.3.2.1)

dove Kj viene chiamato residuo del polo pj, e ricavando l'antitrasformata di ciascun termine della somma, per la proprietà della trasformata di Laplace la risposta h(t) vale:

. (3.3.2.2)

Poiché si è assunto che il segnale di ingresso fosse la funzione impulsiva δ (t), l'ingresso risulta identicamente nullo per t > 0; pertanto la risposta h(t), espressa mediante l'equazione (3.3.2.2), può essere considerata la risposta con ingresso nullo di una rete il cui stato nell'istante 0+ è il risultato dell'applicazione all'ingresso, nell'istante t = 0, della funzione impulsiva. Ne segue che, ad ogni polo pj corrisponde, nell'ipotesi che sia Kj ≠ 0, una frequenza naturale della rete.

Quando si calcola la funzione di rete di una determinata variabile può accadere che un polo vanga cancellato da uno zero; tale polo rappresenta, però, una delle frequenze naturali della rete perché, nella risposta con ingresso nullo, non viene cancellato da alcuno zero. In tale caso il numero dei poli risulta inferiore a quello delle frequenze naturali. Si può pertanto concludere che non è necessariamente vero che ad ogni frequenza naturale di una variabile di rete corrisponde un polo di una funzione di rete che ha come uscita quella variabile di rete.

3.3.3. - Stabilità di un sistema

in un sistema fisico stabile ogni piccola perturbazione determina unicamente una piccola perturbazione nella risposta del sistema. Una rete lineare tempo-invariante risulta, pertanto, stabile se la sua risposta con ingresso nullo non cresce nel tempo, ossia se i poli della funzione di rete non si trovano nel semipiano destro, oppure se non esistono poli multipli sull'asse immaginario. Qualora si escludono anche i poli sull'asse immaginario la rete viene detta asintoticamente stabile; in tale caso, infatti, la risposta ad un qualsiasi disturbo tende asintoticamente a zero.

3.3.4. - Sistemi causali

Il numero di poli di una funzione di rete non può essere inferiore al numero degli zeri; pertanto, nell'equazione (3.2.1.1) risulta n ≥ m. Ciò è una conseguenza del fatto che, nei sistemi fisici, l'effetto non può precedere la causa; per questo motivo i sistemi fisici vengono anche chiamati causali, oppure non anticipativi.

Un sistema per il quale la risposta y(t) è legata all'eccitazione x(t) dalla relazione:

è causale; infatti il valore della risposta ad un generico istante è uguale al valore assunto dall'eccitazione in un istante t - 1, precedente a quello considerato. Analogamente, qualora risulti:

,

il sistema è causale perché la risposta dipende dai valori assunti dall'eccitazione fino all'istante t considerato. In ambedue i casi il sistema viene detto con memoria perché la risposta nel generico istante t dipende anche dai valori assunti precedentemente a tale istante (si suppone trascurabile il ritardo introdotto dal sistema).

Un sistema per il quale risulta:

è invece non causale perché la risposta nell'istante t dipende dal valore assunto dall'ingresso in un istante successivo.

Analogamente, qualora risulti:

,

il sistema è non causale: infatti, per poter calcolare la derivata dell'eccitazione x(t) in un certo istante, è necessario conoscere l'andamento dell'eccitazione nell'intorno di tale istante e, quindi, in istanti successivi a quello considerato.

Da questa definizione si deduce, ad esempio, che un induttore

non può essere comandato da un generatore di corrente; dualmente, un condensatore

non può essere comandato da un generatore di tensione.

Poiché alla relazione

nel dominio del tempo corrisponde, nel dominio della trasformata di Laplace e nell'ipotesi di stato zero, quella

,

ne consegue che la funzione di rete di un sistema fisico non può avere uno zero soltanto e nessun polo. Qualora la funzione di rete avesse un numero m di zeri superiore a quello n di poli, essa potrebbe sempre essere espressa come somma di un polinomio di grado m - n, chiamato resto, e di una funzione razionale di tipo proprio. Antitrasformando si otterrebbero, a causa del resto, dei termini contenenti derivate rispetto al tempo dell'eccitazione; pertanto il sistema sarebbe non causale.

3.4. - Risposta alla funzione impulsiva

3.4.1. - Sistemi del primo ordine

3.4.2. - Sistemi del secondo rodine


3.4.1.1. - Filtro passa-basso

3.4.1.2. - Filtro passa-alto

3.4.1.3. - Rete correttrice


(3.4.1.1.1)

Supponendo il polo reale e negativo, l'andamento della risposta h(t) è un esponenziale decrescente; si noti che più il polo è prossimo all'asse immaginario e più lentamente tende a zero. Qualora invece il polo sia reale e positivo, la risposta cresce esponenzialmente nel tempo; pertanto il sistema è instabile.


(3.4.1.2.1)

Supponendo il polo reale e negativo, la risposta h(t) è infinita per t = 0, per poi tendere esponenzialmente a zero per t > 0, partendo dal valore -Ka.


(3.4.1.2.1)

Supponendo il polo reale e negativo, la risposta h(t) è infinita per t = 0, per poi tendere esponenzialmente a zero per t > 0 partendo dal valore K(b-a).

3.4.2. - Sistemi del secondo rodine



3.4.2.3. - Filtro passa-banda

3.4.2.4. - Filtro elimina-banda


(3.4.2.1.1)

Nell'ipotesi che i poli della f.d.t. siano distinti, per determinare le costanti che compaiono nella espansione in frazioni parziali si deve imporre che sia:

; (3.4.2.1.2)

segue:

Indicando con h(t) la risposta alla funzione impulsiva, dall'equazione (3.4.2.1.2) si deduce immediatamente l'espressione della funzione nel dominio del tempo:

. (3.4.2.1.3)

Se i poli sono reali e distinti:

l'equazione (3.4.2.1.3) può essere così riscritta:

.

Qualora i poli siano complessi coniugati:

l'equazione (3.4.2.1.3) può essere così riscritta:

.

La risposta alla funzione impulsiva di un sistema con due poli complessi coniugati con parte reale negativa risulta di tipo sinusoidale con un'ampiezza che decresce in modo esponenziale. Si osservi che lo smorzamento che subisce nel tempo il segnale è funzione del parametro α , chiamato per questo motivo costante di smorzamento.

Qualora i poli siano reali e coincidenti (p1 = p2), la f.d.t. diventa:

,

la cui antitrasformata è:


(3.4.2.2.1)

Nell'ipotesi che i poli della f.d.t. siano distinti, si ha:

(3.4.2.2.2)

Poli reali e distinti:

Poli complessi coniugati:

Poli reali e coincidenti, p1 = p2:

,


(3.4.2.3.1)


. (3.4.2.3.2)

Poli sono reali e distinti:



,


(3.4.2.4.1)


(3.4.2.4.2)

Poli reali e distinti:



,

3.5. - Risposta alla funzione gradino


3.5.2. - Sistemi del secondo ordine







Ha un solo polo reale e negativo.

(3.5.1.1.1)

La risposta alla funzione gradino vale:

(3.5.1.1.2)

Utilizzando il metodo dell'espansione in frazioni parziali si deve imporre che sia:

Antitrasformando si ottiene:

(3.5.1.1.3)

La risposta alla funzione gradino di un filtro passa-basso delo primo ordine tende esponenzialmente al suo valore finale K/a con una costante di tempo τ = 1/a. Dopo un tempo t = 5ττττ la risposta differisce dal valore finale K/a di meno dell'1%, e il transitorio si può pertanto considerare esaurito.

Per valutare la risposta alla funzione gradino di questo filtro vengono normalmente introdotti due parametri, il tempo di salita (rise time, tr) e il tempo di ritardo (delay time, td). Si definisce tempo di salital'intervallo di tempo nel quale la risposta passa dal 10% al 90% del suo valore finale; il tempo di ritardo è il tempo richiesto dalla risposta per raggiungere il 50% del suo valore finale. Dall'equazione (3.5.1.1.3) si deduce facilmente che:


(3.5.1.2.1)


(3.5.1.2.2)


(3.5.1.1.3)

La risposta alla funzione gradino di un filtro passa-alto del primo ordine tende esponenzialmente a zero.

Il tempo di salita e il tempo di ritardo sono:


Ha un polo reale e negativo e uno zero non nell'origine.

(3.5.1.3.1)


(3.5.1.3.2)

Utilizzando il metodo dell'espansione in frazioni parziali si deve imporre che sia:


(3.5.1.3.3)

La risposta alla funzione gradino di una rete correttrice tende esponenzialmente al valore finale Kb/a partendo dal valore K, con costante di tempo τ = 1/a.

Il tempo di salita e il tempo di ritardo sono:








La f.d.t. presenta due poli e nessuno zero.

(3.5.2.1.1)


Nell'ipotesi che i poli p1 e p2 siano distinti per poter antitrasformare utilizzando il

metodo dell'espansione in frazioni parziali si deve imporre, tenendo conto che , che sia:


(3.5.2.1.2)

si osservi che per t = 0 risulta y(t) = 0, per t → ∞ y(t) = K. Pertanto, la risposta alla funzione gradino ha come valore iniziale zero e come valore finale K.

Qualora i poli siano reali e distinti si ha:

(3.5.2.1.3)

Essendo la derivata rispetto al tempo di y(t), calcolata per t = 0, nulla, in tale istante la curva risulta tangente all'asse delle ascisse. Si può inoltre dimostrare che il quadrato del tempo di salita complessivo tr può essere assunto, almeno in prima approssimazione, uguale alla somma dei quadrati dei tempo di salita associati ai singoli poli:

,

mentre il tempo di ritardo complessivo td e, sempre in prima approssimazione, uguale alla somma dei tempi di ritardo associati ai singoli poli:

.

Qualora i poli siano complessi coniugati, conviene esprimerli in forma esponenziale; risulta:

(3.5.2.1.4)

La risposta di un filtro passa-basso del secondo ordine alla funzione gradino oscilla attorno al valore finale con una ampiezza che decresce esponenzialmente nel tempo; la frequenza di oscillazione vale ω d/2π. In questo caso conviene introdurre due altre figure

di merito per valutare tale oscillazione (ringing): il tempo di assestamento (settling time), definito come l'intervallo di tempo oltre il quale la risposta non differisce più del 2% dal suo valore finale, e la sovraelongazione (overshoot) definita come differenza tra il valore di picco ed il valore finale della risposta, espressa normalmente come percentuale del valore finale.

Si può dimostrare che l'overshoot è, in questo caso, funzione unicamente del rapporto ω o/2α , ossia del parametro Qo, fattore di merito. In figura è rappresentato l'andamento della rispoosta per diversi valori di Qo e l'andamento dell'overshoot in funzione di Qo. da tale figura si trae che l'overshoot si può considerare praticamente

trascurabile finchè non risulta , ossia finché i poli non sono a 45° (in tale caso la curva del diagramma di Bode per i moduli è massimamente piatta).

Qualora i poli siano reali e coincidenti (p1 = p2), utilizzando il metodo dell'espansione in frazioni parziali, si deve imporre che sia:

posto s = 1, e sostituendo i valori di K12 e K2, si ha:


(3.5.2.1.5)

La curva di risposta è inizialmente tangente all'asse delle ascisse e tende poi rapidamente al suo valore finale.


La f.d.t. presenta due poli e due zeri nell'origine.

(3.5.2.2.1)


(3.5.2.2.2)

Nell'ipotesi che i poli siano distinti, per poter antitrasformare utilizzando il metodo dell'espansione in frazioni parziali si deve imporre che sia:


(3.5.2.2.3)

si osservi che per t = 0 risulta y(t) = K, per t → ∞ y(t) = 0. Pertanto, la risposta alla funzione gradino ha come valore iniziale K e come valore finale zero.


(3.5.2.2.4)

Qualora i poli siano complessi coniugati, risulta:

(3.5.2.2.5)

Qualora i poli siano reali e coincidenti (p1 = p2), risulta:

Posto s = 1, e sostituendo il valore di K12, si ha:


(3.5.2.2.6)


La f.d.t. presenta due poli e uno zero nell'origine.

(3.5.2.3.1)


(3.5.2.3.2)



(3.5.2.3.3)

si osservi che per t = 0 risulta y(t) = 0, per t → ∞ y(t) = 0. Pertanto, la risposta alla funzione gradino ha zero come valore iniziale e zero come valore finale.


(3.5.2.3.4)

Derivando, si ha:


(3.5.2.3.5)



(3.5.2.3.6)


La f.d.t. presenta due poli e due zeri immaginari.

(3.5.2.4.1)


(3.5.2.4.2)



(3.5.2.4.3)

si osservi che per t = 0 risulta y(t) = K, per t → ∞ y(t) = K. Pertanto, la risposta alla funzione gradino ha K come valore iniziale e come valore finale.


(3.5.2.3.4)


(3.5.2.3.5)


Posto s = 1, e sostituendo il valore di K1 e K22, si ha:


(3.5.2.4.4)

3.6. - Parametri caratteristici

Qualora la risposta alla funzione gradino sia del tipo di un filtro passa-basso del secondo ordine, conviene introdurre le seguenti figure di merito:

Tempo di salita (rise time), definito come l'intervallo di tempo nel quale la risposta passa dal 10% al 90% del suo valore finale;

Oscillazione (ringing), definito come il transitorio oscillante attorno al suo valore finale;

Tempo di assestamento (settling time), definito come l'intervallo di tempo che intercorre tra l'istante nel quale viene applicata al circuito la funzione a gradino e quello nel quale la risposta non differisce dal suo valore finale di oltre il 2%;

Tempo di ritardo (delay time), definito come il tempo richiesto alla risposta per raggiungere il 50% del suo valore finale;

Sovraelongazione (overshoot), definito come la differenza tra il valore di picco e il valore finale della risposta, espressa normalmente come percentuale del valore finale.

3.7. - Risposta in regime sinusoidale

Nota la f.d.t. in L-trasform,ata, cioè: ,

e la risposta ;

è possibile dimostrare che, se il segnale di ingresso è sinusoidale, ,

risulta: , e di conseguenza

,

dove

y(t) andamento nel tempo della risposta;

termini che definiscono la parte transitoria della risposta in funzione dei

coefficienti A, B,…. dello sviluppo in frazioni parziali e dei poli p1,

p2,….. supposti reali e negativi, della f.d.t.;

termine che definisce la risposta a regime alla sinusoide.

Pertanto, esaurito il transitorio, la risposta a regime ad un segnale sinusoidale di una rete è un segnale sinusoidale caratterizzato da:

Pulsazione coincidente con quella del segnale d'ingresso;

Ampiezza massima data dal prodotto dell'ampiezza del segnale d'ingresso per il modulo della funzione di trasferimento espressa in funzione de jω , dove jω rappresenta la parte immaginaria della variabile complessa s = σ + jω ; pertanto G(jω ) si ottiene semplicemente sostituendo nella f.d.t. a s la sua parte immaginaria jω ;

Fase ϕ coincidente con la fase di G(jω ).

La G(jω ), essendo funzione di variabile immaginaria, è caratterizzata da modulo e argomento:

Riassumendo: per effettuare l'analisi del comportamento di una rete in regime sinusoidale, è sufficiente conoscere la f.d.t. L-trasformata e studiarne l'andamento di modulo e argomento, avendo sostituito a s la sua parte immaginaria jω .

Essendo G(jω ) una funzione complessa della variabile jω , può essere rappresentata sia in forma vettoriale sia in forma simbolica, ossia si ottengono gli stessi risultati ottenibili con il metodo simbolico.


4.1. - Funzione di trasferimento

4.2. - Risposta in frequenza

4.3. - Diagrammi di Bode

4.4. - Rappresentazione asintotica

4.5. - Diagrammi di Bode delle funzioni elementari


4.1. - Funzione di trasferimento

Ad una eccitazione X(s) (di tensione o di corrente) applicata ai terminali d'ingresso di un quadripolo corrisponde una risposta Y(s) (di tensione o di corrente) ai terminali d'uscita; nell'ipotesi che le condizioni iniziali siano tutte nulle, la risposta è fornita dalla relazione:

(4.1.1)

dove G(s), detta funzione di trasferimento, dipende esclusivamente dalla struttura e dai parametri della rete, comprensiva dell'eventuale carico ZL(s). La f.d.t. è quindi il rapporto tra risposta (uscita) ed eccitazione (ingresso), espresse mediante la trasformata di Laplace:

(4.1.2)

con condizioni iniziali tutte nulle (condensatori scarichi e induttanze non attraversate da corrente).

Nel caso piò generale, la f.d.t. di una rete lineare è espressa da una funzione razionale fratta a coefficienti reali del tipo:

. (4.1.3)

Evidenziando le radici dei polinomi N(s) e D(s) si ottiene:

. (4.1.4)

Le radici zi del numeratore, dette zeri, rappresentano i valori di s che annullano G(s). A loro volta le radici pk del denominatore, dette poli, sono i valori di s che fanno tendere G(s) all'infinito. Essendo radici di polinomi, zeri e poli possono essere reali o complessi coniugati, distinti o multipli. La loro distribuzione nel piano s = σσσσ + jωωωω determina le caratteristiche della rete. Particolare importanza riveste il legame fra la posizione dei poli e la stabilità della rete.

Una rete lineare viene detta stabile se ad una qualsiasi eccitazione di ampiezza limitata fornisce una risposta anch'essa limitata.

Si dimostra che, affinché una rete sia stabile, tutti i poli della sua funzione di trasferimento devono trovarsi nel semipiano di sinistra (parte reale negativa, σ < 0), o, se si trovano sull'asse jω (σ = 0), devono essere semplici (non multipli).

Una rete passiva è stabile; una rete attiva può essere instabile. Il grado del denominatore definisce l'ordine della f.d.t..

4.2. - Risposta in frequenza

Un metodo di indagine particolarmente utile per conoscere il comportamento dinamico di una rete lineare è quello di studiarne la risposta a regime per una eccitazione sinusoidale di ampiezza costante al variare della frequenza, ossia la risposta in frequenza. Il rilievo sperimentale della risposta è di semplice attuazione ed esistono metodi, ossia i diagrammi di Bode, che consentono di tracciarla graficamente in modo esauriente, anche se approssimato.

distribuzione

poli e zeri

diagramma

poli zeri

G(s) caratteristiche

della rete

polo negativo

nessuno zero

filtro passa-basso

del primo ordine

o integratore reale

polo negativo

zero nell'origine

filtro passa-alto

del primo ordine

o derivatore reale

polo negativo

zero non nell'origine

rete sfasatrice

o correttrice

del primo ordine

due poli

nessuno zero

filtro passa-basso

del secondo ordine

due poli

due zeri nell'origine

filtro passa-alto

del secondo ordine

due poli

uno zero nell'origine

filtro passa-banda

due poli

due zeri immaginari

filtro elimina banda

La risposta y(t) di una rete lineare con funzione di trasferimento G(s) ad un'eccitazione

sinusoidale è esprimibile come:

, (4.2.1)

dove yt(t) rappresenta il transitorio, che per una rete stabile tende ad esaurirsi nel tempo, e yr(t) è la risposta a regime (0 permanente), di ampiezza costante nel tempo. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace si riscontra che yt(t) è, in generale, la somma di funzioni esponenziali decrescenti o di oscillazioni smorzate, legate alla distribuzione dei poli di G(s) nel piano s = σ + jω , mentre per yr(t) si ricava, invece,

. (4.2.2)

La risposta permanente dipende, pertanto, dal modulo e dall'argomento di G(s) calcolati

per s = jωωωω . Più precisamente, il modulo rappresenta il rapporto fra le ampiezze YM e XM dei segnali sinusoidali, ossia l'ampiezza della risposta e

dell'eccitazione. L'argomento fornisce lo sfasamento tra risposta ed eccitazione.

In conclusione: lo studio della risposta permanente in regime sinusoidale di una rete può

essere condotto direttamente su , ponendo e tracciando i diagrammi del modulo e della fase al variare di ω , o di f.

4.3. - Diagrammi di Bode

La rappresentazione grafica di modulo e fase della f.d.t. al variare di ω (o di f) viene di solito effettuata mediante diagrammi semilogaritmici noti come diagrammi di

Bode. Il modulo viene espresso in decibel, la fase in gradi; la scala delle pulsazioni ω (o delle frequenze f), in entrambi i diagrammi, è logaritmica.

La f.d.t. espressa dalla (4.1.3) può essere riscritta in forma fattorizzata come segue:

, (4.3.1)

dove ; i termini che rappresentano gli zeri e i poli complessi coniugati sono espressi in forma di trinomio di secondo grado in cui viene evidenziata la pulsazione propria non smorzata ω o e losmorzamento ξ ; sz e sp indicano rispettivamente gli zeri e i

poli nulli. Mettendo in evidenza al numeratore gli zeri reali non nulli e e al

denominatore i poli reali non nulli e , si ha:

.

Indicando con K la nuova costante e ponendo , si ottiene:

(4.3.2)

Supponendo che gli seri e i poli siano costanti reali negativi negativi o nulli, i relativi valori, cambiati di segno, rappresentano pulsazioni significative per il funzionamento della rete e vengono dettepulsazioni critiche:

. (4.3.3)

L'inverso di ciascuna pulsazione critica è dimensionalmente un tempo ed è detto costante di tempo della rete:

. (4.3.4)

La (4.3.2) può, quindi, essere scritta nei due seguenti modi:

(4.3.5)

(4.3.6)

Numeratore e denominatore della (4.3.6) sono costituiti dal prodotto di più numeri complessi, ciascuno dei quali è funzione della pulsazione ω . La risposta in ampiezza è data dal prodotto del valore assoluto della costante K per il modulo di ciascun numero complesso a numeratore, diviso per il modulo di ciascun numero complesso a denominatore:

(4.3.7)

Se esprimiamo in dB tale risposta in ampiezza, ricordando le proprietà dei logaritmi, si ha:

(4.3.8)

Tale espressione mostra che la risposta in ampiezza in decibel è rappresentata da una costante sommata algebricamente a diversi termini dello stesso tipo.

Analogamente, per la risposta in fase si ha:

(4.3.9)

La risposta in fase complessiva è costituita dalla somma algebrica dello sfasamento relativo alla costante K e degli sfasamenti introdotti dai termini relativi agli zeri e ai poli.

La struttura delle (4.3.8) e (4.3.9) dà la possibilità di costruire i diagrammi di Bode di una rete sommando graficamente i diagrammi relativi alla costante K e a ciascun singolo polo e zero. Noto l'andamento generale del grafico relativo a ciascuno di tali elementi, risulterà molto semplice comporre il diagramma di una qualsiasi funzione di trasferimento con poli e zeri, negativi o nulli.

4.4. - Rappresentazione asintotica

I diagrammi di Bode vengono rappresentati utilizzando delle spezzate formate da segmenti che sostituiscono gli asintoti alla curva che descrive il reale andamento della f.d.t..

Nella rappresentazione asintotica è semplice stabilire i punti salienti dei diagrammi di Bode da collegare mediante segmenti (punti di spezzata) e in corrispondenza di tali punti si ottengono le informazioni essenziali sulla risposta in frequenza della rete; inoltre, in tali punti si ha il massimo scostamento tra l'andamento reale e la spezzata e tale scostamento è facilmente determinabile.


4.5.1. - Costante

4.5.2. - Zero non nullo

4.5.3. - Zero reale

4.5.4. - Polo nullo

4.5.5. - Polo reale

4.5.6. - Poli complessi coniugati

4.5.7. - Zeri complessi coniugati


4.5.1. -

Costante (4.5.1.1)

(4.5.1.2)

(4.5.1.3)

Il diagramma del modulo è una retta parallela all'asse delle ascisse; tale retta è al di sopra di tale asse se K > 1, al di sotto se K < 1, coincide con l'asse se k = 1.

La fase è zero se K > 0, ±π se K < 0.

4.5.2. - Zero non

nullo (4.5.2.1)

(4.5.2.2)

(4.5.2.3)

Il diagramma di è una retta crescente di pendenza ; ciò significa che ad una variazione di 10 volte della pulsazione ω (una decade) corrisponde una variazione del modulo di 20dB. Tale pendenza viene anche indicata in modo equivalente come , ossia che ad un raddoppio della pulsazione ω (una ottava) corrisponde una variazione del modulo di 6dB. L'intersezione della retta con l'asse delle ascisse si ha

per , infatti .

Nel caso in cui , la retta passa per l'origine, ossia per il punto (1 , 0).

La fase, indipendente dalla pulsazione ω , è π /2.

Se lo zero ha molteplicità n: (4.5.2.4)

(4.5.2.5)

(4.5.2.6)

Il diagramma di Bode è ancora una retta crescente che interseca l'asse delle ascisse

a di pendenza ; quindi, due zeri nulli sono rappresentati da una retta con pendenza , tre da una retta con pendenza , e così via.

La fase risulta , per l'additività delle fasi; con n = 2 è , con n = 3 è , e così via.

4.5.3. - Zero

reale (4.5.3.1)

(4.5.3.2)

(4.5.3.3)

La curva del modulo presenta due asintoti, infatti:

(4.5.3.4)

(4.5.3.5)

All'equazione (4.5.3.4) corrisponde, nel diagramma di Bode per i moduli, una retta coincidente con l'asse delle ascisse; all'equazione (4.5.3.5) una retta crescente con

pendenza passante per il punto . Pertanto il diagramma asintotico di Bode del modulo della funzione espressa mediante l'equazione (4.5.3.2) è costituita da

due spezzate che si incontrano nel punto , chiamato anche punto di rottura, o pulsazione a 3dB, o pulsazione d'angolo.

Il diagramma asintotico del modulo presenta il suo massimo scostamento dalla curva

reale in corrispondenza del punto di rottura; infatti, per , ossia per , risulta:

.

Anche per quanto riguarda la fase ϕ si determinano gli asintoti; risulta:

(4.5.3.6)

(4.5.3.7)

All'equazione (4.5.3.6) corrisponde, nel diagramma di Bode per la fase, una retta coincidente con l'asse delle ascisse e all'equazione (4.5.3.7) una retta parallela a tale asse; poiché i due asintoti non hanno alcun punto in comune, è necessario introdurre un

terzo asintoto per poter approssimare la funzione nell'intorno del punto (

), punto in cui il diagramma asintotico e la curva reale coincidono. Supponendo che si possa assumere con sufficiente approssimazione che sia

si individuano due punti di rottura , , che possono essere collegati

tra loro mediante una linea retta passante anche per .

La curva asintotica e quella reale, che coincidono per , presentano il massimo scostamento in corrispondenza dei punti di rottura; tale scostamento è di circa 6°:

.

Se lo zero ha molteplicità n:

(4.5.3.8)

(4.5.2.9)

Per il modulo si ha:

Il diagramma del modulo è ancora costituito da due spezzate: la prima coincide con

l'asse delle ascisse, la seconda interseca tale asse nel punto e pendenza .

Per la fase si ha:

Per n = 2, si ha:

4.5.4. - Polo

nullo (4.5.4.1)

(4.5.4.2)

(4.5.4.3)

Il diagramma di è una retta decrescente di pendenza , che

interseca l'asse delle ascisse in . Nel caso in cui , la retta passa per l'origine, ossia per il punto (1 , 0).

La fase, indipendentemente dalla pulsazione ω , è -π /2.

Se il polo ha molteplicità n:

(4.5.4.3)

Il diagramma del modulo è ancora una retta decrescente che interseca l'asse delle ascisse

a di pendenza . La fase risulta .

4.5.5. - Polo

reale (4.5.5.1)

(4.5.5.2)

La curva del modulo presenta due asintoti:

(4.5.5.3)

(4.5.5.4)

All'equazione (4.5.5.3) corrisponde una retta coincidente con l'asse delle ascisse; all'equazione (4.5.5.4) una retta decrescente con pendenza che interseca

l'asse delle ascisse per .pertanto il diagramma asintotico di Bode del modulo della funzione espressa mediante l'equazione (4.5.5.2) è costituita da due spezzate che si

incontrano nel punto .

Il massimo scostamento del diagramma asintotico dalla curva reale si ha in

corrispondenza del punto di rottura, , e vale -3dB.

Anche per la fase si determinano gli asintoti:

(4.5.5.5)

(4.5.5.6)

All'equazione (4.5.5.5) corrisponde una retta coincidente con l'asse delle ascisse e all'equazione (4.5.5.6) una retta parallela a tale asse; poiché i due asintoti non hanno alcun punto in comune, è necessario introdurre un terzo asintoto per poter approssimare

la funzione nell'intorno del punto ( ), punto in cui il diagramma asintotico e la curva reale coincidono. Supponendo che si possa assumere con sufficiente approssimazione che sia:

si individuano due punti di rottura , , che possono essere collegati

tra loro mediante una linea retta passante anche per .

Se lo zero ha molteplicità n: , si ha:

(4.5.5.7)

(4.5.2.9)

Per il modulo si ha:

Il diagramma del modulo è ancora costituito da due spezzate: la prima coincide con

l'asse delle ascisse, la seconda interseca tale asse nel punto e ha pendenza .

Per la fase si ha:

Osservazione

La presenza di elementi attivi nella rete può manifestare zeri o poli positivi. In tale caso i

contributi elementari di zeri o poli assumono la forma . Questi termini hanno

diagramma del modulo identico al corrispondente . Per quanto riguarda lo sfasamento i termini relativi agli zeri hanno andamento di fase uguale a quello dei poli, mentre i poli hanno andamento di fase uguale a quello degli zeri.

4.5.6. - Poli complessi

coniugati (4.5.6.1)

Se i poli sono complessi coniugati , conviene considerare nel

suo complesso il contributo al modulo e alla fase dei due fattori e . A denominatore dell'equazione (4.5.6.1) si ha:

.

Per evidenziare alcuni aspetti concettuali essenziali, si scrive il denominatore della (4.5.6.1) nel seguente modo:

(4.5.6.2)

avendo posto:

(4.5.6.3)

La costante che deriva da questa trasformazione viene conglobata nella costante K della f.d.t. complessiva.

Per quanto riguarda il significato dei parametri ω o e ξ , con riferimento alla posizione dei poli nel piano di s, il coefficiente ω o, chiamato pulsazione naturale, è legato ai poli dalla relazione

(4.5.6.4)

e rappresenta la distanza dei poli dall'origine; il coefficiente ξ , detto coefficiente di smorzamento, è dato da

. (4.5.6.5)

Nel caso in cui sia θ = 0°, e quindi ξ = 1, i poli sono reali e coincidenti e lo smorzamento viene detto critico. Se invece θ = 90°, lo smorzamento è nullo e i poli sono puramente immaginari.

Per valori di ξ maggiori di uno, i poli diventano reali e distinti e l'equazione (4.5.6.5) perde ovviamente di significato.

In caso di poli reali il tracciamento del diagramma di Bode risulta dalla somma dei diagrammi relativi ai due poli.

La f.d.t. è espressa, quindi, da

, (4.5.6.6)

e ponendo s = jωωωω , si ottiene:

. (4.5.6.7)

(4.5.6.8)

(4.5.6.9)

(4.5.6.10)


(4.5.6.11)

(4.5.6.12)

L'equazione (4.5.6.11) rappresenta una retta coincidente con l'asse delle ascisse; l'equazione (4.5.6.12) rappresenta una retta decrescente di pendenza , che

interseca l'asse delle ascisse per . Pertanto il diagramma asintotico di Bode del modulo della funzione espressa mediante l'equazione (4.5.6.8) è

costituita da due spezzate che si incontrano nel punto

prima spezzata

seconda spezzata

dove è la pulsazione normalizzata

Nella maggior parte dei casi, però, la rappresentazione asintotica del modulo non fornisce un'approssimazione accettabile della curva reale il cui andamento dipende fortemente dal valore di ξ .

L'analisi matematica mette in evidenza l'esistenza di un massimo della curva in corrispondenza della pulsazione

(4.5.6.13)

di valore

. (4.5.6.14)

Infatti:

MAX per

L'equazione (4.5.6.13) ha significato solo per valori reali di ω , ossia per ;

pertanto si avrà un massimo superiore a 1, cioè a 0dB, solo se . In condizione di smorzamento nullo (ξ= 0, poli puramente immaginari) il massimo vale

infinito e si verifica per . Da quanto detto risulta evidente la necessità di disporre delle curve reali, ottenute per diversi valori di ξ .

In figura sono riportate le curve in funzione della pulsazione normalizzata ω /ω o per alcuni valori di ξ .

Nel caso in cui (θ = 45°), la curva assume la massima piattezza prima di decrescere con pendenza . La risposta è allora quella tipica di un filtro

passa-basso con pulsazione di taglio . Infatti, per questa pulsazione

dall'equazione (4.5.6.8) si ricava: .

Questo tipo di risposta e la corrispondente distribuzione dei poli nel piano di s sono detti alla Butterworth.


Supponendo che , si ha:

Tale rappresentazione asintotica della fase non fornisce una approssimazione accettabile della curva reale il cui andamento dipende fortemente da ξ . Lo scostamento si ha soprattutto per la spezzata centrale del diagramma.

A tal fine si può calcolare la pendenza della retta tangente alla curva per per diversi valori de ξ .

Per , si ha: .

La pendenza nel punto dipende anche dal valore di ω o. assumendo , si

calcola la pendenza nel punto per alcuni valori di ξ :

utilizzando tali dati si può tracciare in linea di massima l'andamento delle curve reali per i su usati valori di ξ .

4.5.7. - Zeri complessi

coniugati (4.5.7.1)

Ponendo s = jωωωω , si ottiene:

. (4.5.7.2)

(4.5.7.3)

(4.5.7.4)

(4.5.7.5)


(4.5.7.6)

(4.5.7.7)

L'equazione (4.5.7.6) rappresenta una retta coincidente con l'asse delle ascisse; l'equazione (4.5.7.7) rappresenta una retta crescente di pendenza , che

interseca l'asse delle ascisse per . Pertanto il diagramma asintotico di Bode del modulo della funzione espressa mediante l'equazione (4.5.7.3) è

costituita da due spezzate che si incontrano nel punto

L'analisi matematica mette in evidenza l'esistenza di un minimo della curva in corrispondenza della pulsazione

(4.5.7.8)

di valore

. (4.5.7.9)

In figura sono riportate le curve in funzione della pulsazione normalizzata ω /ω o per alcuni valori di ξ .


L'andamento delle curve reali per alcuni valori di ξ sono riportate in figura in funzione

di .

Queste considerazioni si riferiscono a zeri con parte reale negativa. Se gli zeri giacciono invece nel semipiano di destra (parte reale positiva), fermo restando quanto detto per il modulo, la fase varia da 0 a -π .


5.1. - Vettori e numeri complessi

5.2. - Rappresentazione simbolica delle grandezze sinusoidali

5.3. - Operatori vettoriali

5.4. - Operazioni fondamentali col metodo simbolico


5.1. - Vettori e numeri complessi

In un piano complesso (piano di Argante-Gauss), un vettore viene univocamente determinato dall'espressione

, (5.1.1)

essendo a la sua componente lungo l'asse reale, ossia parte reale del vettore, jb la sua componente lungo l'asse immaginario, ossia parte immaginaria del vettore. Il

vettore viene, quindi, individuato da un numero complesso. D'altronde,

all'espressione si potrà fare sempre corrispondere nel piano complesso un

vettore , avente per componenti a e jb. Un numero complesso può quindi essere rappresentato graficamente con un vettore il cui modulo è:

, (5.1.2)

che è anche il modulo del numero complesso, e con un angolo ϕ , la cui tangente è:

, (5.1.3)

che è l'argomento del numero complesso.

j è la particella immaginaria, definita dalla relazione .

Un numero complesso può, però, essere posto in forma differente da quella

cosiddetta binomia . Infatti, indicati con A il modulo e con ϕ l'argomento, le componenti a e jb possono essere poste nella seguente forma:

, (5.1.4)

per cui:

, (5.1.5)

che esprime il numero complesso in forma trigonometrica.

Inoltre, ricordando le formule di Eulero , (5.1.6)

ad si potrà associare la seguente espressione:

, (5.1.7)

detta forma esponenziale del numero complesso.

5.2. - Rappresentazione simbolica delle grandezze sinusoidali

Una grandezza sinusoidale del tipo è rappresentabile come un

vettore, di modulo e fase ϕ , ruotante con velocità angolare ω nel senso antiorario, che, al generico istante t, si troverà nella posizione individuata, rispetto all'asse x, dall'angolo .

Tale vettore, all'istante t potrà essere rappresentato col metodo simbolico e in notazione esponenziale, nel seguente modo:

, (5.2.1)

ossia come un vettore di modulo e fase .

Il termine sta ad indicare che il vettore è rotante, ossia che la grandezza in esame è funzione del tempo.

Se nell'esecuzione di calcoli tutte le grandezze sono isofrequenziali, ossia le fasi relative

non variano col tempo, il termine diventa non necessario; pertanto, tali grandezze sinusoidali potranno essere rappresentate, in notazione simbolica, da:

avendo fissato il tutto a t = 0, o alternativamente:

.

5.3. - Operatori vettoriali

Si definisce operatore vettoriale un vettore fisso del tipo .

Data una generica grandezza sinusoidale , moltiplicandola per il vettore , si ottiene

(5.3.1)

ossia la grandezza vettoriale viene modificata da sia nel modulo sia nella fase. Il

vettore avrà modulo e risulterà ruotato dell'angolo θ (argomento dell'operatore vettoriale) in anticipo (verso positivo di rotazione o antiorario) se detto angolo è positivo, in ritardo (verso negativo di rotazione o orario) se negativo.

Pertanto un operatore vettoriale modificherà il modulo e la fase di una qualunque grandezza vettoriale cui venga applicato come fattore moltiplicativo.

Di particolare interesse sono gli operatori vettoriali a modulo unitario, del tipo:

, (5.3.2)

che hanno la proprietà di far ruotare dell'anglo , senza però modificarne il modulo, quelle grandezze vettoriali per le quali esse risultino fattori moltiplicativi.

Fra gli operatori vettoriali di modulo unitario di uso frequente vi sono:


5.4.1. - Somma (differenza)

5.4.2. - Prodotto per una costante

5.4.3. - Prodotto di due grandezze complesse

5.4.4. - Rapporto tra due grandezze complesse

5.4.5. - Elevazione a potenza

5.4.6. - Estrazione di radice

5.4.7. - Derivata

5.4.8. - Integrale

5.4.9. - Casi particolari


5.4.1. - Somma (differenza)

Definizione: la somma (differenza) di numeri complessi è un numero complesso che ha per parte reale la somma (differenza) delle parti reali e per parte immaginaria la somma (differenza) delle parti immaginarie.

con

quindi

. (5.4.1)

La forma esponenziale dei numero complessi non consente di esprimere direttamente l'operazione di somma; infatti

,

non da luogo a nessuna possibilità diretta di calcolo.

5.4.2. - Prodotto per una costante

Definizione: il prodotto di un numero complesso per una quantità reale,

positiva e costante K è un numero complesso il cui modulo è K volte quello di , e

argomento coincidente con quello di .

. (5.4.2)

5.4.3. - Prodotto di due grandezze complesse

Definizione: il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso il cui modulo è il prodotto dei moduli e il cui argomento è la somma degli argomenti.

In forma esponenziale si ha:

(5.4.3)

In forma binomia, si ha:

.

Importante: quando si opera con grandezze sinusoidali, il prodotto ha significato solo se una sola delle grandezze è sinusoidale(infatti, se entrambe le grandezze sono sinusoidali e isofrequenziali, il loro prodotto dà una grandezza non sinusoidale; precisamente un termine costante piò una sinusoide di frequenza doppia), l'altra, o le altre, devono essere operatori vettoriali.

Ad esempio, date le seguenti tensione e corrente sinusoidali e isofrequenziali

e gli operatori vettoriali

hanno pienamente significato, ai fini del calcolo elettrico, i seguenti prodotti:

5.4.4. - Rapporto tra due grandezze complesse

Definizione: il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso il cui modulo è il rapporto dei moduli e il cui argomento è la differenza degli argomenti.

In forma esponenziale, si ha:

(5.4.4)

In forma binomia, si deve moltiplicare e dividere per il complesso coniugato del denominatore, al fine di trasformare un quoziente in un prodotto:

Il rapporto tra due grandezze sinusoidali isofrequenziali può avere un significato fisico.

5.4.5. - Elevazione a potenza

Definizione: un numero complesso elevato alla n-esima potenza è ancora un numero complesso ilo cui modulo è il modulo del numero complesso elevato ad n e argomento n volte l'argomento del numero complesso dato.


(5.4.5)

In forma binomia, si ha:

,

occorre eseguire l'innalzamento a potenza di un binomio.

Nella rappresentazione simbolica non ha significato fisico l'elevazione a potenza di una grandezza sinusoidale.

5.4.6. - Estrazione di radice

Definizione: la radice n-esima di un numero complesso è ancora un numero complesso il cui modulo è la radice n-esima del modulo del numero complesso dato e il cui argomento è 1/n volte l'argomento del numero complesso dato.


(5.4.6)

Nella rappresentazione simbolica non ha significato fisico l'estrazione della radice n-esima di una grandezza sinusoidale.

5.4.7. - Derivata

Ha significato derivare solo quelle grandezze complesse che rappresentano funzioni sinusoidali, perché esse sono funzioni del tempo, cioè del tipo:

.

Derivando, si ha:

(5.4.7)

oppure (5.4.8)

Definizione: la derivata di una funzione sinusoidale risulta una grandezza jω volte quella da derivare. Si passerà, quindi, dalla grandezza data alla sua derivata

semplicemente moltiplicando per l'operatore vettoriale jω (cioè ).

5.4.8. - Integrale

Ha significato integrare solo quelle grandezze complesse che rappresentano funzioni sinusoidali, perché esse sono funzioni del tempo, cioè del tipo:

.

Integrando, si ha:

(5.4.9)

oppure (5.4.10)

Definizione: l'integrale di una funzione sinusoidale è una grandezza -j/ωωωω volte quella da integrare. Si passerà, quindi, dalla grandezza data al suo integrale moltiplicando

semplicemente per l'operatore -j/ωωωω (cioè ).

5.4.9. - Casi particolari


6.1. - Metodo simbolico




6.5. - Conclusioni

6.6. - Funzione di rete e funzione di trasferimento

6.7. - Risposta di una rete nel dominio del tempo

6.8. - Funzione di trasferimento generalizzata

6.9. - Poli e zeri della funzione di trasferimento

6.10. - Diagramma poli-zeri

6.11. - Interpretazione vettoriale della G(jω )

6.12. - Rappresentazione grafica della f.d.t.

6.13. - Sistemi del primo ordine in regime sinusoidale

6.14. - Sistemi del secondo ordine in regime sinusoidale

6.15. - Determinazione della f.d.t. dall'esame diretto della rete (lineare passiva)

6.16. - Numero dei poli di una rete

6.17. - Determinazione dei poli di una rete

6.18. - Elementi reattivi interagenti

6.19. - Zeri della finzione di trasferimento

6.20. - Espressione della funzione di trasferimento e diagrammi di Bode

6.21. - Cancellazione polo-zero


Se il segnale applicato ad un circuito lineare tempo-invariante è sinusoidale ed è stato applicato da un tempo sufficientemente lungo per cui si possa considerare esaurito il transitorio, la risposta è anch'essa sinusoidale, con frequenza uguale a quella del segnale ed il circuito viene detto in regime permanente sinusoidale.

6.1. - Metodo simbolico

Per determinare la risposta di un circuito in regime sinusoidale conviene utilizzare il metodo simbolico. Esso consiste nell'associare ad ogni grandezza sinusoidale, ad

esempio , un numero complesso rappresentato in forma

esponenziale, . Tenendo presente la formula di Eulero

, (6.1.1)

la x(t) risulta uguale alla parte reale del numero complesso ad esso associato. Si ottiene:

. (6.1.2)

Analogamente, nell'ipotesi che sia , si può scrivere:

. (6.1.3)

Risulta così definita in modo biunivoco la corrispondenza tra la grandezza sinusoidale ed il numero complesso ad essa associato una volta stabilito se si deve considerare la parte reale, oppure quella immaginaria, del numero complesso.

Ogni numero complesso individua un punto del piano complesso, ossia un vettore che collega l'origine degli assi al punto considerato. Il numero

complesso può essere pertanto rappresentato nel piano complesso con un

vettore di modulo e fase linearmente crescente nel tempo; tale vettore ha fase iniziale (istante t = 0) ϕ e ruota con velocità angolare ω . Qualora si consideri il vettore unicamente nell'istante iniziale, esso viene chiamato fasore ed indicato con una lettera

maiuscola. Nell'esempio fatto risulta , dove X è il fasore; il numero complesso

originario, ovvero il vettore rotante, può essere pertanto così indicato: .

Il segnale viene detto esponenziale periodico. Dalle considerazioni fatte si deduce che è possibile associare ad ogni segnale sinusoidale un esponenziale periodico di ampiezza e fase uguali a quelle del segnale sinusoidale di partenza.


Per i due principi di Kirchhoff deve essere uguale a zero la somma delle correnti confluenti in un nodo (KLC):

(6.2.1)

e delle tensioni in ogni maglia (KVL):

(6.2.2)

Nell'ipotesi di regime sinusoidale si può associare a ciascuna delle correnti confluenti nel nodo ed a ciascuna delle tensioni della maglia un numero complesso rappresentato in forma esponenziale. Supponendo, ad esempio, che la corrispondenza tra numero complesso e grandezza elettrica si riferisca alla parte reale, l'equazione (&.2.1) può essere così riscritta:

, (6.2.3)

dove è il fasore associato a ik. Affinché sia uguale a zero, qualsiasi sia l'istante considerato, la somma delle parti reali di un certo numero di vettori che ruotano con la stessa velocità angolare ω , deve essere uguale a zero anche la somma dei vettori. Se, infatti, in un certo istante fosse uguale a zero la somma delle parti reali di un certo numero di vettori rotanti con la stessa velocità angolare, nell'istante a cui corrisponde uno sfasamento di 90° (dopo t = T/4) di ciascun vettore sarebbe diversa da zero la somma delle parti reali e uguale a zero quella delle parti immaginarie. Dall'equazione (6.2.3) pertanto si trae:

. (6.2.4)

Poiché è un vettore di modulo unitario che ruota con velocità angolare ω , esso è sempre diverso da zero qualsiasi sia l'istante che si considera, segue:

. (6.2.5)

Si può pertanto concludere che, in regime sinusoidale, deve risultare uguale a zero la somma dei fasori associati a ciascuna delle correnti confluenti in un nodo.

In modo del tutto analogo si può dimostrare che, in regime sinusoidale, deve essere nulla la somma dei fasori associati alle tensioni di una maglia del circuito. Si può pertanto scrivere:

, (6.2.6)

dove è il fasore associato a vi. si osservi che, in ambedue le relazioni così ricavate [equazione (6.2.5) e (6.2.6)], non compare più la variabile tempo.

Nell'ipotesi che il segnale sia un esponenziale periodico, dalle equazioni (6.2.1) e (6.2.2) si deducono immediatamente le equazioni (6.2.5) e (6.2.6). Si può quindi concludere che le leggi di Kirchhoff possono essere espresse mediante le relazioni ora ricavate (6.2.5) e (6.2.6) anche quando il segnale è un esponenziale periodico ed il circuito è a regime.


Dalle equazioni che definiscono R, L e C di un circuito lineare tempo invariante si deducono facilmente le corrispondenti relazioni del metodo simbolico.

Supponendo, ad esempio, che la tensione v(t) ai capi di una resistenza e la corrente i(t)

che la percorre siano uguali alle parti reali dei numeri complessi e , dove V e I sono i fasori associati a v(t) e a i(t), la relazione

può essere così riscritta:

.

Affinché le parti reali di due vettori rotanti risultino, indipendentemente dall'istante che si considera, tra loro proporzionali è necessario che lo siano anche i due vettori e, quindi, i due fasori; segue:

. (6.3.1)

In un resistore esiste pertanto una relazione di proporzionalità tra i due fasori V e I.

Per determinare le analoghe relazioni per i condensatori e gli induttori è sufficiente ricordare che, la derivata della parte reale di un numero complesso è uguale alla parte reale della derivata del numero complesso:

(6.3.2)

e che tale derivata si può così esprimere:

. (6.3.3)

Dalla relazione temporale tra la tensione v(t) ai capi di un condensatore e la corrente i(t)

che lo percorre , si deduce pertanto che:

, (6.3.4)

dove V e I sono i fasori associati a v(t) e i(t). si osservi che, a differenza di quanto accade per il resistore, I e V risultano ora in quadratura tra loro e che il rapporto dei loro moduli è funzione della pulsazione angolare ).

Analogamente, dalla relazione temporale tra tensione v(t) e corrente i(t) in un

induttore, , si deduce:

, (6.3.5)

dove I e V sono i fasori associati a v(t) e i(t). Precedentemente si è visto che, in un condensatore, la corrente è in quadratura in anticipo rispetto alla tensione; in un induttore, invece, è la tensione che è in quadratura in anticipo rispetto alla corrente.

Indicando genericamente con il rapporto tra i fasori associati alla tensione v(t) e alla corrente i(t) in uno stesso ramo, le tre relazioni trovate possono essere così sintetizzate:

, (6.3.6)

dove viene chiamata impedenza ed è, in generale, funzione della frequenza.

L'inverso dell'impedenza è l'ammettenza e si indica con . Si osservi che, utilizzando il metodo simbolico, la variabile indipendente diventa la pulsazione ω (ovvero la frequenza f), mentre nelle relazioni iniziali essa era il tempo. Per mettere in evidenza questo fatto si dice che il metodo simbolico trasferisce lo studio dei circuiti dal dominio del tempo a quello della frequenza.

Dalle tre relazioni che definiscono gli elementi R, L e C nel dominio della frequenza si deduce che essi possono essere rappresentati, in tale dominio, come in figura, dove si è

scritto a fianco di ciascun elemento il valore della sua impedenza dopo aver posto .

Poiché la relazione tra la tensione e la corrente è formalmente identica nei tre casi ed è analoga alla relazione tra i valori istantanei della tensione e della corrente in una resistenza, ne segue che le espressioni dei teoremi ricavati per le reti puramente resistive valgono anche per una rete qualsiasi in regime sinusoidale purché ad ogni elemento si sostituisca la relativa impedenza e ad ogni grandezza elettrica il relativo fasore.

Le considerazioni svolte valgono ovviamente anche quando il segnale è un esponenziale periodico ed il circuito è a regime.


Dato un generico circuito nel dominio del tempo si può facilmente ricavare il corrispondente circuito nel dominio della frequenza. Per far questo è necessario associare ad ogni variabile il relativo fasore e ad ogni elemento la corrispondente impedenza. Ad esempio:

Utilizzando le note relazioni per gli elementi in serie ed in parallelo, si ricava l'impedenza del circuito:

.

Nell'ipotesi che il segnale applicato all'ingresso del circuito sia una tensione sinusoidale, oppure un esponenziale periodico, e che si voglia determinare lo corrente da esso assorbita a regime, risulta:

.

Si è così determinata, nel dominio della frequenza, la risposta del circuito al segnale sinusoidale, oppure all'esponenziale periodico.

6.5. - Conclusioni

Nell'ipotesi che il segnale applicato ad un circuito lineare tempo invariante sia l'esponenziale periodico e che sia terminato il transitorio, le equazioni del circuito risultano algebriche e, quindi, facilmente risolubili. Il metodo simbolico permette di scrivere immediatamente queste equazioni algebriche rappresentando ogni elemento di circuito nel dominio della frequenza ed ogni segnale mediante il relativo fasore, e di estendere tale studio al segnale sinusoidale.

6.6. - Funzione di rete e funzione di trasferimento

Sia x(t) il segnale applicato all'ingresso di un circuito, supposto in regime sinusoidale, y(t) la risposta, ossia la tensione oppure la corrente in un determinato ramo del circuito;

si definisce funzione di rete, oppurefunzione del sistema, il rapporto tra la risposta e l'eccitazione, espresse nel dominio della frequenza; segue:

, (6.6.1)

dove Y e X sono i fasori associati a y(t) e x(t). Se l'eccitazione e la risposta sono definite rispetto ad un'unica coppia di terminali, la funzione di rete viene anche chiamata funzione d'ingresso, oppure di immittenza; in tale caso essa coincide con l'impedenza, oppure con l'ammettenza d'ingresso del circuito. Qualora, invece, siano definite rispetto a due diverse coppie di terminali, la funzione di rete viene chiamata funzione di trasferimento ed indicata con G(s). si osservi che la funzione di trasferimento può essere un rapporto tra due tensioni o due correnti, oppure tra una tensione e una corrente e viceversa. Dimensionalmente essa non è, quindi, necessariamente un numero puro. Qualora si consideri un quadripolo contenente elementi attivi e la funzione di trasferimento sia definita come rapporto tra tensioni, essa coincide col guadagno di tensione.

6.7. - Risposta di una rete nel dominio del tempo

La funzione di rete H(s) è un numero complesso e può, quindi, essere rappresentata in

forma esponenziale. Posto , risulta:

(6.7.1)

dove rappresenta il modulo di e ϕ l'argomento, ambedue funzioni di ω . Si

osservi che e sono grandezze caratteristiche di una rete: rappresenta il

rapporto tra le ampiezze della risposta e dell'eccitazione, lo sfasamento.

Scegliendo opportunamente l'inizio dell'asse dei tempi, un'eccitazione x(t) di tipo sinusoidale può essere così espressa:

(6.7.2)

pertanto la risposta y(t) a tale eccitazione di un circuito in regime sinusoidale risulta in generale:

, (6.7.3)

dove YM e ϕ sono quantità che debbono essere determinate.

Associando a x(t) e y(t) i relativi fasori e e risolvendo il circuito col metodo simbolico, si ottiene:

(6.7.4)

segue: .

Nota la funzione di rete del circuito e il segnale d'ingresso risulta pertanto definita anche la risposta nel dominio del tempo.

Raccogliendo ω nell'equazione (6.7.3), si ottiene:

, (6.7.5)

dove ϕ /ωωωω ha le dimensioni di un tempo. Dalle espressioni nel dominio del tempo dell'eccitazione e della risposta che non solo esse hanno ampiezze diverse, ma traslano tra loro rispetto al tempo.

Ad esempio, ad uno sfasamento negativo corrisponde un ritardo nel tempo pari a ϕ /ωωωω :

. (6.7.6)

Affinché l'ampiezza del segnale d'uscita e il ritardo td non dipendano dalla pulsazione ),

occorre che si abbia ; in tale caso le curve caratteristiche

(ossia gli andamenti di in funzione di ω ) sono quelle di figura.

Il tempo td espresso dall'equazione (6.7.6) viene chiamato ritardo di fase e si può così scrivere:

. (6.7.7)

Pertanto, se la rete introduce uno sfasamento fra eccitazione e risposta al più di π /2, il

ritardo di fase al più può essere pari a T/4. Più in generale, se è , segue .

6.8. - Funzione di trasferimento generalizzata

Nel dominio della frequenza le equazioni di una rete in regime sinusoidale sono di tipo algebrico. La funzione di rete, oppure quella di trasferimento, risultano pertanto espresse come rapporto tra due polinomi nella variabile s, i cui coefficienti sono reali e costanti perché tali si suppongono i parametri R, L e C della rete; segue:

. (6.8.1)

Un polinomio può essere decomposto in fattori, nel seguente modo:

,

dove sono le radici (cioè le soluzioni) dell'equazione che si ottiene

uguagliando a zero il polinomio ed il simbolo , chiamato produttoria, indica il

prodotto di n termini del tipo con ivariabile da 1 a n. Poiché i coefficienti sono, per ipotesi, reali, le radici dell'equazione algebrica sono reali, oppure complesse coniugate. Per determinare tali radici è necessario supporre che la variabile s sia complessa, ossia

scrivere . Una funzione di trasferimento nella quale vengono indicate

esplicitamente le radici dei polinomi al numeratore e al denominatore prende il nome di funzione di trasferimento generalizzata.

6.9. - Poli e zeri della funzione di trasferimento

Si definiscono zeri della funzione di trasferimento G(s) quei valori della variabile complessa s che l'annullano; pertanto gli zeri coincidono con le radici dell'equazione algebrica che si ottiene uguagliando a zero il polinomio a numeratore dell'equazione (6.8.1). Analogamente, si definiscono poli della funzione di trasferimento G(s) quei valori della variabile complessa s che la rendono infinita; pertanto, i poli coincidono con le radici dell'equazione algebrica che si ottiene uguagliando a zero il polinomio a denominatore dell'equazione (6.8.1). Indicando con zi un generico zero e con pk un generico polo, una funzione di trasferimento con m zeri e n poli può essere così espressa:

. (6.9.1)

Si può pertanto concludere che una funzione di rete, oppure di trasferimento, è univocamente determinata, a meno di una costante, dalle radici associate ai polinomi al numeratore e al denominatore della funzione, chiamate rispettivamente zeri e poli. I poli debbono avere parte reale negativa affinché il transitorio si esaurisca nel tempo; in tale caso si dice che il circuito è stabile.

6.10. - Diagramma poli-zeri

Poiché ogni polo ed ogni zero della funzione di trasferimento G(s) individua un punto del piano complesso s, la funzione G(s) può essere rappresentata graficamente, a meno di una costante, mediante la distribuzione dei suoi poli e zeri nel piano complesso s. Per convenzione i poli si indicano col simbolo e gli zeri con ed il diagramma ottenuto indicando tutti i poli e gli zeri di una generica funzione viene chiamato diagramma poli-zeri della funzione.

Si tenga presente che i polinomi al numeratore e al denominatore della funzione G(s) possono avere radici multiple; possono, quindi, esserci poli e zeri multipli, ovvero poli tra loro coincidenti e zeri tra loro coincidenti.

6.11. - Interpretazione vettoriale della G(jωωωω )

Le proprietà di una determinata funzione di trasferimento possono essere dedotte direttamente dal diagramma poli-zeri. Per far questo è necessario tenere presente che,

ponendo in una generica funzione G(s), ad ogni valore di ω corrisponde quel valore G(jω ) che assume la funzione di trasferimento quando la pulsazione del segnale

di ingresso vale ω . Poiché individua un punto dell'ordinata positiva del piano complesso s, ognuno di tali punti rappresenta, pertanto, un possibile punto di funzionamento del circuito in esame. A ciascuno dei fattori al numeratore e al

denominatore dell'equazione (6.9.1) con corrisponde un vettore che parte dallo

zero , oppure dal polo , generico ed è diretto verso il punto jω sull'asse

immaginario. Indicando con e il modulo e la fase del vettore corrispondente allo

zero e con e quelli del vettore corrispondente al polo , si può scrivere:

(6.11.1)

Pertanto, fissato un certo valore della pulsazione ω , il modulo della funzione di trasferimento è proporzionale al rapporto del prodotto delle distanze di ciascuno zero dal punto sull'asse immaginario di valore ω e del prodotto delle distanze dallo stesso punto di tutti i poli, la fase della funzione di trasferimento è invece uguale alla differenza tra la somma degli angoli che ciascun vettore relativo ad uno zero forma con l'asse delle ascisse e la somma degli angoli, rispetto allo stesso asse, che forma ciascun vettore relativo ad un polo.


6.12.1. - Diagrammi di Bode

6.12.2. - Diagrammi di Nyquist


6.12.1. - Diagrammi di Bode

La funzione di trasferimento G(jω ) di una rete risulta completamente individuata

quando è nota la dipendenza dalla pulsazione ω sia del modulo e della fase ; i due diagrammi che rappresentano graficamente tale dipendenza vengono

chiamati diagrammi di Bode se utilizzano scale logaritmiche per il modulo e semilogaritmiche per la fase, e curve caratteristiche se utilizzano scale lineari.

6.12.2. - Diagrammi di Nyquist

La funzione di trasferimento G(jω ) si rappresenta, nel piano complesso, mediante un

vettore ; al variare della pulsazione ω tale vettore descrive una curva che prende il nome di diagramma di Nyquist.

Ad esempio, la si rappresenta nel piano complesso con una retta avente ascissa costante, pari all'unità; poiché hanno significato fisico soltanto i valori positivi di ω , il diagramma di Nyquist si riduce ad una semiretta nel primo quadrante.

Ad ogni valore di ω corrisponde un punto su tale semiretta; congiungendo uno di tali

punti con l'origine degli assi si ottiene il vettore il cui modulo e il cui argomento rappresentano il modulo e la fase della f.d.t. alla pulsazione corrispondente al punto

considerato. Per il modulo è 1 e la fase 0°, per il modulo diventa e la fase ; per il modulo tende anch'esso all'infinito e la fase a .

Consideriamo la

dove

Il diagramma di Nyquist è il seguente:

Consideriamo una funzione di trasferimento del secondo ordine con poli reali e negativi

dove

Il diagramma di Nyquist è il seguente:


6.13.1. - Filtro passa-basso

6.13.2. - Filtro passa-alto

6.13.3. - Circuito sfasatore


Si dicono del primo ordine quei sistemi la cui f.d.t. presenta un solo polo. Poiché ilo numero degli zeri non può superare il numero dei poli, una f.d.t. con un polo può avere al più uno zero . sia il polo che l'eventuale zero debbono essere reali; affinché il sistema sia stabile, il polo deve avere parte reale negativa.

6.13.1. - Filtro passa-basso

La f.d.t. presenta un polo reale e negativo e nessuno zero:

(6.13.1.1)

avendo indicato con l'unico polo e supposto . Posto , si ha:

(6.13.1.2)

Al variare di ω si deducono le seguenti relazioni:

Una rete con funzione di trasferimento di questo tipo lascia passare le basse frequenze ed attenua le alte frequenze; per questo motivo essa può essere genericamente chiamata filtro passa-basso.

Per disegnare i diagrammi di Bode si ricava il modulo e la fase della f.d.t. con , risulta:

(6.13.1.3)

Pertanto il modulo, espresso in forma logaritmica, e la fase ϕ valgono:

(6.13.1.4)

(6.13.1.5)

Gli asintoti del modulo sono:

Il diagramma di Bode del modulo è costituito da due spezzate che si incontrano nel

punto , la prima parallela all'asse delle ascisse, la seconda decrescente con una pendenza di .

Gli asintoti del diagramma della fase sono:

Il diagramma della fase è costituito da tre spezzate.

Per l'ampiezza del modulo della f.d.t. risulta diminuito di rispetto al valore dell'asintoto orizzontale:

,

mentre lo sfasamento è pari a -π /4. La pulsazione che determina una tale variazione del modulo della f.d.t. rispetto all'asintoto orizzontale viene chiamata pulsazione di taglio. La pulsazione di taglio coincide col valore assoluto dell'unico polo della f.d.t..

Il diagramma di Nyquist è a forma di semicerchio ed occupa il quarto quadrante perché lo sfasamento è compreso tra 0 (quando il modulo è uguale a K) e -π /2 (quando il modulo è uguale a zero).

6.13.2. - Filtro passa-alto

La f.d.t. presenta un polo reale e negativo e uno zero nell'origine:

(6.13.2.1)

avendo indicato con l'unico polo e supposto . Posto , si ha:

(6.13.2.2)


Una rete con funzione di trasferimento di questo tipo lascia passare le alte frequenze ed attenua le basse frequenze; per questo motivo essa può essere genericamente chiamata filtro passa-alto.

Per disegnare i diagrammi di Bode si ricava il modulo e la fase della f.d.t. con , risulta:

(6.13.2.3)

Pertanto il modulo, espresso in forma logaritmica, e la fase ϕ valgono:

(6.13.2.4)

(6.13.2.5)

Gli asintoti del modulo sono:

Il diagramma di Bode del modulo è costituito da due spezzate che si incontrano nel

punto , la prima crescente con una pendenza di , la seconda parallela all'asse delle ascisse.

Gli asintoti del diagramma della fase sono:

Il diagramma della fase è costituito da tre spezzate.

Per l'ampiezza del modulo della f.d.t. risulta diminuito di rispetto al valore dell'asintoto orizzontale:

,

mentre lo sfasamento è pari a π /4. La pulsazione che determina una tale variazione del modulo della f.d.t. rispetto all'asintoto orizzontale viene chiamata pulsazione di taglio. La pulsazione di taglio coincide col valore assoluto dell'unico polo della f.d.t..

Il diagramma di Nyquist è a forma di semicerchio ed occupa il primo quadrante perché lo sfasamento è compreso tra 0 (quando il modulo è uguale a K) e π /2 (quando il modulo è uguale a zero).

6.13.3. - Circuito sfasatore

La f.d.t. presenta un polo reale e negativo e uno zero non nell'origine:

(6.13.3.1)

avendo indicato con lo zero e con il polo. Si tenga presente che lo zero

può risultare sia negativo che positivo. Posto , si ha:

(6.13.3.2)


Una rete con funzione di trasferimento di questo tipo lascia passare sia le basse che le alte frequenze, sia pure con un diverso valore del modulo della f.d.t..

Qualora lo zero sia positivo e disti dall'origine come il polo, risulta . Imponendo questa condizione e supponendo che sia , dalla (6.13.3) si trae:

(6.13.3.3)

Il modulo della f.d.t. risulta unitario per qualsiasi valore di ω ; la fase, invece, varia tra 0 e π . Un circuito con f.d.t. di questo tipo viene chiamato circuito sfasatore. Per determinare l'andamento dello sfasamento in funzione di ω è necessario distinguere il caso in cui è da quello nel quale è ; risulta:

Se K > 0, lo sfasamento è compreso tra 0 e -ππππ e vale -ππππ /2 per ; se K < 0, lo

sfasamento è compreso tra π e 0 e vale π /2 per .

Se K > 0 la rete è detta rete anticipatrice; se K < 0 viene detta rete sfasatrice.


6.14.1. - Sistema privo di zeri

6.14.2. - Poli complessi coniugati e poli reali coincidenti

6.14.3. - Poli reali e distinti

6.14.4. - Sistema con due zeri nell'origine


6.14.6. - Sistema con uno zero nell'origine

6.14.7. - Sistema con due zeri complessi coniugati


Si dicono del secondo ordine quei sistemi la cui funzione di trasferimento presenta due poli. Poiché il numero degli zeri non può superare il numero dei poli, una f.d.t. con due poli può avere al più due zeri. Sia gli zeri che i9 poli possono essere reali oppure complessi coniugati, inoltre, affinché la rete sia stabile, i poli devono avere parte reale negativa. La tipica f.d.t. è la seguente:

. (6.14.1)

Nell'ipotesi che i poli possano essere complessi coniugati, conviene esprimere la f.d.t. in

forma normalizzata. Indicando con e le radici dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio a numeratore o al denominatore, risulta:

, (6.14.2)

dalla quale si trae: e ,

(qualora interessi la risposta al gradino viene utilizzato il parametro 2αααα in sostituzione

di ) che sostituiti nella (6.14.1), danno la forma normalizzata:

, (6.14.3)

Nell'ipotesi di radici complesse coniugate, si ha: ;

dall'equazione (6.14.2) si trae:

(6.14.4)

(6.14.5)

Supponendo che il polinomio in esame sia quello al denominatore, dal diagramma poli-seri e dalle equazioni (6.14.4) e (6.14.5) si deduce che l'ascissa comune α dei due poli è

uguale a e che la distanza di ciascun polo dall'origine vale .

Si osservi che il parametro è ovviamente positivo; se le radici debbono avere parte

reale negativa, anche il parametro risulta positivo. Ne segue che, nell'equazione

(6.14.3), soltanto il termine al numeratore può risultare negativo, oltre ovviamente alla quantità costante K.

Il fatto che i poli e gli zeri risultino reali o complessi, dipende dal segno del , ossia della quantità

. (6.14.6)

Perché la disequazione non perda di significato deve risultare in ogni

caso . è una quantità sempre positiva; per si hanno poli o zeri

coincidenti nell'origine. Premesso ciò, è possibile semplificare la quantità , e si ottiene:

Considerando solo valori positivi di , si ha:

Dalla f.d.t. generalizzata si possono dedurre diverse funzioni di trasferimento supponendo che al numeratore compaiono uno o due termini soltanto. A ciascuna di esse corrispondono diversi diagrammi di Bode e, quindi, una diversa risposta in frequenza del

circuito. Nel seguito si supporrà per semplicità che sia e .

Il parametro è talvolta detto pulsazione dell'oscillazione non smorzata.

Il parametro , detto coefficiente di qualità o fattore di merito, è legato al così detto fattore di smorzamento ξ :

.

6.14.1. - Sistema privo di zeri

La f.d.t. normalizzata è la seguente:

, (6.14.1.1)

Se è , i poli sono reali e distinti; se è , i poli sono reali e coincidenti;

se , i poli sono complessi coniugati.

Posto , si ha:

; (6.14.1.2)

al variare di ω si deducono le seguenti relazioni:

Una rete con una f.d.t. di questo tipo lascia quindi passare le basse frequenze ed attenua le alte frequenze; per questo motivo essa può essere genericamente chiamata filtro passa-

basso. Nell'intorno della pulsazione essa può, però, presentare un picco, il cui valore

dipende dal parametro . Se il picco è molto accentuato, il circuito si comporta in realtà come un filtro passa-banda.


Il modulo della espressa dalla (6.14.1.2) è il seguente:

; (6.14.2.1)

Da tale relazione si deduce che:

Alla prima relazione corrisponde una retta orizzontale, alla seconda una retta decrescente

con pendenza . I due asintoti si incontrano nel punto , che rappresenta pertanto il punto di rottura.

Per in realtà risulta: ; all'aumentare di il diagramma di Bode

per i moduli in prossimità di si incurva verso l'alto e presenta un massimo qualora

risultino reali le soluzioni dell'equazione . Indicando con la soluzione di questa equazione, si può dimostrare che essa vale:

(6.14.2.2)

Affinché sia reale è necessario che sia . Pertanto, all'aumentare

di e per valori di compresi tra e , la curva del diagramma di Bode

per il modulo si sposta verso l'alto senza avere un massimo; per la curva

presenta un picco per ; tale valore è sicuramente inferiore a e tende

a all'aumentare di , ossia all'accentuarsi del picco.

L'equazione (6.14.2.2) può essere facilmente dedotta per via geometrica dal diagramma poli-zeri. Disegnato il cerchio con centro sull'ascissa comune dei due poli e diametro pari alla distanza tra i due poli, ossia uguale alla parte immaginaria dei poli, il punto di

intersezione di questo cerchio con l'ordinata positiva individua la .

Esprimendo, infatti, il raggio del cerchio sia in funzione di che di e si ottiene:

,

risolvendo rispetto a si ha:

.

Il cerchio di figura prende il nome di cerchio di picco. Tenendo conto

che: e , si ha:

.

Tale relazione evidenzia che è reale, cioè esiste, se è ; pertanto ha un massimo soltanto se l'ordinata del polo è maggiore dell'ascissa. Se il cerchio di picco non interseca l'asse delle ordinate la curva di risposta non presenta alcun picco.

Quando la curva è massimamente piatta il cerchio di picco risulta tangente all'asse delle ordinate, ed i poli sono a 45°. Tale distribuzione dei poli è un caso particolare della più generale distribuzione di Butterworth, che assicura un diagramma di Bode per i moduli massimamente piatto con un numero qualsiasi di poli purché uniformemente distribuiti, assieme ai poli speculari rispetto all'asse delle ordinate in un cerchio con centro nell'origine e passante per i poli.

La fase della (6.14.1.2), supposto , risulta:

(6.14.2.3)

Anche la fase dipende dal valore di .

6.14.3. - Poli reali e distinti

Qualora i poli siano reali e distinti non conviene usare la forma normalizzata della f.d.t.. Indicando con p1 e p2 i due poli, si ha:

(6.14.3.1)

avendo posto e . Qualora sia i due poli sono coincidenti.

Posto , si può ricavare il modulo della f.d.t.:

Il diagramma complessivo di Bode per i moduli si ricava sommando tra loro due

diagrammi del tipo definito dalla (6.13.1.4), uno con punto di rottura e

l'altro . Si osservi che la pendenza del primo asintoto è uguale a e

quella del secondo ; per si ritrova pertanto il risultato già ottenuto nel caso di poli reali e coincidenti.

Indicando con ϕ la fase di si può scrivere:

.

Anche il diagramma asintotico di Bode per la fase si ottiene sommando tra loro due diagrammi del tipo definito dall'equazione (6.13.1.5); pertanto la fase complessiva può variare da 0 a -180°.

Il diagramma di Nyquist occupa il terzo e il quarto quadrante perché lo sfasamento è compreso tra 0 e -180°.

6.14.4. - Sistema con due zeri nell'origine

La f.d.t. nella forma generalizzata è la seguente:

, (6.14.4.1)

Posto , si ha:

; (6.14.4.2)


Una rete con una f.d.t. di questo tipo lascia quindi passare le basse frequenze ed attenua le alte frequenze; per questo motivo essa può essere genericamente chiamata filtro passa-

alto. Nell'intorno della pulsazione essa può, però, presentare un picco, il cui valore

dipende dal parametro . Se il picco è molto accentuato, il circuito si comporta in realtà come un filtro passa-banda.

Dividendo numeratore e denominatore della (6.14.4.1) per , si ottiene:

. (6.14.4.3)

Dividendo la (6.14.1.2), la del filtro passa-basso, per , si ottiene:

. (6.14.4.4)

Il confronto della (6.14.4.3) con la (6.14.4.4) permette di concludere che si può passare

dall'una all'altra relazione semplicemente invertendo il rapporto e cambiando di segno. Ne consegue che valgono ancora tutte le relazioni ricavate per il filtro passa-

basso purché al rapporto si sostituisca quello . Pertanto si può scrivere:

.

Inoltre, se esiste il picco, esso si verifica per una pulsazione che vale:

. (6.14.4.5)

Pertanto risulta maggiore di e tende a all'aumentare di .


Il modulo della espressa dalla (16.4.4.2) è il seguente:

. (6.14.5.1)

Da tale relazione si deduce che:

Alla prima relazione corrisponde una retta crescente con pendenza , alla seconda una retta parallela all'asse delle ascisse. I due asintoti si incontrano nel

punto , che rappresenta pertanto il punto di rottura.

Per in realtà risulta: ; all'aumentare di il diagramma di Bode

per i moduli in prossimità di si incurva verso l'alto e presenta un massimo qualora

risultino reali le soluzioni dell'equazione . Indicando con la soluzione di questa equazione, si può dimostrare che essa vale:

(6.14.5.2)

Affinché sia reale è necessario che sia . Pertanto, all'aumentare

di e per valori di compresi tra e , la curva del diagramma di Bode

per il modulo si sposta verso l'alto senza avere un massimo; per la curva

presenta un picco per ; tale valore è sicuramente inferiore a e tende

a all'aumentare di , ossia all'accentuarsi del picco.

La fase della (6.14.1.2), supposto , risulta:

(6.14.5.3)


6.14.6. - Sistema con uno zero nell'origine


, (6.14.6.1)

Posto , si ha:

, (6.14.6.2)


Poiché una rete con una f.d.t. di questo tipo attenua sia alle basse che alle alte frequenze,

esso può essere genericamente chiamato filtro passa-banda. Per la f.d.t. presenta un massimo che vale K. Per ricavare tale massimo bisogna prima determinare il modulo

di e imporre che sia nulla la sua derivata rispetto a ω .

, (6.14.6.3)

essendo il denominatore sicuramente positivo, e tale anche il termine , la diseguaglianza si riduce alla seguente:

si ha un massimo per .

Essendoci tale massimo, interessa determinare la banda passante del filtro, ossia le

pulsazioni in corrispondenza alle quali risulta . Segue:

.

Poiché sia che debbono essere positivi è necessario escludere la soluzione con ambedue i termini negativi, e quella nella quale la radice quadrata ha segno negativo perché il valore sotto radice è sicuramente maggiore dell'unità; segue:

.

Da tale relazione si trae:

; (6.14.6.4)

Pertanto la banda passante , uguale al doppio del valore assoluto dell'ascissa comune

dei due poli, risulta tanto più stretta quanto più è elevato il del circuito. Si osservi

inoltre che il diagramma del modulo presenta simmetria geometrica rispetto a .

Qualora sia , sviluppando in serie di McLaurin la radice quadrata risultano

trascurabili i termini di grado superiore a :

;

pertanto si può scrivere:

.

In prossimità del massimo il diagramma del modulo presenta simmetria aritmetica; pertanto, qualora la banda sia sufficientemente piccola, si può supporre che essa appartenga alla regione nella quale la simmetria si può supporre di tipo aritmetico.

La fase risulta:

, (6.14.6.5)


6.14.7. - Sistema con due zeri complessi coniugati


, (6.14.7.1)

Posto , si ha:

, (6.14.7.2)


Pertanto un circuito con una f.d.t. di questo tipo presenta una attenuazione infinita in

corrispondenza alla pulsazione , e viene, per questo motivo, chiamato filtro elimina-banda. Poiché il valore della f.d.t. sia alle basse frequenze che alle alte frequenze è pari a K, interessa determinare l'intervallo di frequenza in corrispondenza alle quali

risulta ; tale intervallo viene anche chiamato banda di reiezione. Risulta:

da entrambe si scarta la soluzione col segno meno davanti alla radice, perché inaccettabile una soluzione negativa. Le frequenze sono quindi:

.

Pertanto, anche la banda di reiezione è uguale al doppio del valore assoluto dell'ascissa comune dei due poli.

6.15. - Determinazione della f.d.t. dall'esame diretto della rete (lineare passiva)

I poli di una rete dipendono unicamente dalla topologia della rete e dai valori dei singoli elementi, non dal segnale d'ingresso. Per individuare i poli di una rete conviene pertanto annullare tutte le sorgenti indipendenti (supporre uguale a zero un generatore di corrente significa sostituirlo con un ramo aperto; supporre uguale a zero un generatore di tensione significa sostituirlo con un cortocircuito), ottenendo così uno o più circuiti non alimentati (due circuiti si considerano distinti quando, una volta annullati i generatori indipendenti, hanno al massimo un terminale in comune).

6.16. - Numero dei poli di una rete

Il numero dei poli di una rete coincide col numero di grandezze che è necessario conoscere per determinare in modo univoco l'energia immagazzinata negli elementi reattivi; esso non può pertanto essere superiore al numero di tali elementi. Come è del tutto intuitivo, il numero dei poli risulta inferiore al numero degli elementi reattivi quando elementi reattivi dello stesso tipo sono in serie oppure in parallelo fra loro; infatti, nota l'energia immagazzinata in uno di essi, è nota anche l'energia immagazzinata negli altri elementi.

Ad esempio, nell'ipotesi che il circuito di figura a sia alimentato da un generatore di tensione, quando si annulla il generatore indipendente i due condensatori risultano tra loro in parallelo; pertanto la rete ha un solo polo. Se invece lo stesso circuito viene alimentato da un generatore di corrente, annullando la sorgente si ottengono due circuiti

distinti, ciascuno costituito da un resistore e da un condensatore in parallelo fra di loro, e i poli risultano due.

Per i circuiti di figura b e c in entrambi i casi si hanno due poli. Meno semplice è il caso di figura d; se la sorgente è un generatore di corrente si hanno tre poli; se di tensione il circuito risulta costituito da tre celle RC disposte a triangolo. Per il principio di Kirchhoff relativo alle maglie, nota la tensione ai capi di due condensatori è nota anche la tensione ai capi del terzo condensatore; pertanto il numero di elementi reattivi per i quali deve essere definita l'energia immagazzinata risulta pari a due ed è, quindi, inferiore a quello degli elementi reattivi presenti nel circuito.

6.17. - Determinazione dei poli di una rete

Si definiscono poli di una funzione di rete quei valori della variabile s che la rendono infinita. Nell'ipotesi che il circuito sia costituito da una sola maglia contenente un generatore di tensione con in serie due elementi, la funzione d'ingresso coincide con l'inverso dell'impedenza complessiva della maglia. Tale funzione diventa pertanto infinita per quei valori della variabile s che annullano l'impedenza del circuito. Dualmente, se il circuito è costituito da due elementi in parallelo alimentati da un generatore di corrente, la funzione d'ingresso è uguale all'inverso dell'ammettenza complessiva tra i due nodi del circuito e diventa infinita per quei valori della s che annullano l'ammettenza. Per ognuno dei circuiti di una rete è sempre possibile ricondursi ad uno dei due casi precedenti; infatti, dopo aver annullato il generatore indipendente, si può determinare l'impedenza equivalente vista da un elemento qualsiasi del circuito (in genere uno degli elementi reattivi). Si ottengono così una impedenza o una ammettenza e si può indifferentemente imporre che sia nulla la somma delle impedenze, o delle ammettenze, per ricavare i poli della rete. Questo metodo risulta comodo per reti con un polo (I° ordine) o al massimo due poli (II° ordine).

Ad esempio, si consideri la rete di figura a; nell'ipotesi che essa sia alimentata da un generatore di tensione, una volta annullato il generatore indipendente si ottengono quattro elementi tra di loro in parallelo. Annullando l'ammettenza complessiva si ottiene:

.

Risolvendo questa equazione si ottiene l'unico polo della rete:

.

Per tale rete con un solo elemento reattivo indipendente la determinazione del polo coincide sostanzialmente con quella della costante di tempo del circuito. È sufficiente

calcolare la vista ai capi di C o di L. Si ha poi

.

Se invece si suppone che la rete sia alimentata da un generatore di corrente, una volta annullato il generatore indipendente si ottengono due circuiti distinti, ciascuno costituito da una resistenza e da un condensatore in parallelo tra loro. Imponendo che sia nulla l'ammettenza relativa ad ognuno dei due circuiti si ottengono due relazioni:

dalle quali dedurre i due poli della rete.

Per la rete di figura b, nell'ipotesi che sia alimentata da un generatore di tensione, una volta annullato il generatore indipendente, si ottiene il circuito di figura e.

Ponendosi ai capi di , si calcola l'ammettenza e la si uguaglia a zero:

,

dalla quale si ricavano i due poli; inoltre, essendo gli elementi reattivi di un solo tipo i poli saranno reali negativi e non coincidenti. Se la rete di figura b viene alimentata da un generatore di corrente si ottiene il circuito di figura f, che presenta due circuiti distinti. Imponendo che sia nulla l'impedenza di uno e l'ammettenza dell'altro, si ha:

,

dalle quali dedurre i due poli della rete.

Per la rete di figura c, alimentata da un generatore di tensione, si ottiene il circuito di figura g.

Ponendosi ai capi di C, si calcola l'ammettenza e la si uguaglia a zero:

;

i poli, essendo presenti tutti gli elementi circuitali passivi (R,L,C) sono due e possono essere reali e negativi (anche coincidenti) oppure complessi coniugati con parte reale negativa. Se la rete di figura c viene alimentata da un generatore di corrente , si ottiene il circuito di figura h, che presenta due circuiti distinti. Imponendo che siano nulle le ammettenze, si ha:

polo nell'origine

Per la rete di figura d, alimentata da un generatore di tensione, si ottiene il circuito di figura k, costituito da tre impedenze in serie.

Imponendo che sia nulla la somma delle tre impedenze, si ottiene:

da cui

Si ottiene una equazione di secondo grado che, risolta, fornisce i due poli della rete. Se la rete di figura d viene alimentata da un generatore di corrente, si ottiene il circuito di figura i; pertanto si ottengono tre circuiti distinti, ciascuno costituito da una resistenza e da un condensatore in parallelo tra loro. Imponendo che sia nulla l'ammettenza relativa ad ognuno dei tre circuiti si ottengono tre relazioni:

,

dalle quali dedurre i tre poli della rete.

Riassumendo

Una rete contenente tutti i tipi di elementi (R,L,C) non ha altre limitazioni per la posizione dei poli oltre a quelle imposte dal principio di stabilità. Se la f.d.t. di una rete passiva presenta una coppia di poli complessi coniugati, la rete contiene sicuramente elementi di tre tipi (R,L e C).

Una rete passiva puramente reattiva ha poli solo sull'asse , a coppie coniugate o nell'origine, non multipli.

Per una rete RC o RL con un terminale in comune tra ingresso e uscita i poli possono essere solo reali negativi o nulli, non multipli.

Il numero dei poli coincide con quello degli elementi reattivi indipendenti della rete.

Un metodo per la determinazione dei poli consiste nel porre uguale a zero l'ammettenza o l'impedenza vista dai capi di un elemento qualsiasi della rete, dopo aver annullato le sorgenti indipendenti. I poli sono determinati dalle soluzioni dell'equazione ottenuta.

Per le reti con un solo elemento reattivo indipendente la determinazione del polo coincide con quella della costante di tempo del circuito.

6.18. - Elementi reattivi interagenti

Due o più elementi reattivi si dicono interagenti se dai capi di ciascuno di essi (dopo aver annullato le sorgenti indipendenti) si vede una impedenza che dipende dagli altri. Se invece si vede una resistenza pura gli elementi non interagiscono e per la determinazione dei poli si calcola semplicemente la costante di tempo associata a ciascun elemento reattivo. In una rete passiva gli elementi sono tutti teoricamente interagenti, anche se in pratica l'interazione è a volte molto debole.

Per le reti passive con elementi reattivi di un solo tipo, i poli sono tanto più distinti quanto più gli elementi reattivi interagiscono.

A volte, però, l'interazione è più teorica che reale,

Ad esempio, in figura b, con , , , le due capacità interagiscono, ma i loro valori sono di ordini di grandezza totalmente diversi e la loro influenza avviene in campi di frequenza molto distanti uno dall'altro. La determinazione dei poli può allora essere eseguita in maniera rapida e con buona approssimazione

calcolando la costante di tempo della capacità maggiore ( ), supponendo l'altra aperta,

e quella della capacità maggiore ( ), supponendo la minore cortocircuitata. Si ottiene:

La validità dei risultati è legata al fatto che i poli calcolati risultino effettivamente distanziati.

6.19. - Zeri della funzione di trasferimento

Si definiscono zeri di una funzione di rete quei valori della variabile complessa che

annullano tale funzione. Poiché è , dove è la risposta della rete

e l'eccitazione, quando è la risposta è nulla anche in presenza di

eccitazione. Si può pertanto cercare di determinare gli zeri della da un esame

diretto della rete. È importante notare che uno zero nell'origine significa che l'uscita si annulla quando il segnale all'ingresso è continuo; se invece lo zero presenta parte reale non nulla, ad esso non corrisponde una condizione di funzionamento in regime sinusoidale.

È importante tenere presente che, per una stessa rete, possono esistere funzioni di rete con zeri diversi tra loro. Ad esempio, la funzione di ingresso della rete di figura non ha zeri, mentre la f.d.t. ha uno zero nell'origine.

Può inoltre accadere che un polo ed uno zero coincidono e, quindi, annullino i loro effetti; in tale caso il numero dei poli di quella funzione di rete risulta inferiore al numero di poli di un'altra funzione di rete dello stesso circuito. Per questo motivo è opportuno distinguere tra poli di una rete e poli di una funzione di rete. I poli di una rete rappresentano l'insieme di tutti i possibili poli di una qualsiasi delle possibili funzioni di rete. Ad esempio, la funzione di rete del circuito di figura a, supposto alimentato da un generatore di corrente, ha due poli, mentre la funzione di trasferimento ha un polo soltanto; infatti, in questo secondo caso, uno dei poli viene cancellato da un uguale zero. Il numero degli zeri in una rete reale è minore o al massimo uguale a quello dei poli. Se

così non fosse, per anche tenderebbe ad infinito.

Per determinare una funzione di rete si possono scrivere le equazioni della rete utilizzando i principi di Kirchhoff e risolvere il sistema di equazioni così ottenuto, oppure determinare i poli e gli zeri direttamente dalla rete, utilizzando il procedimento di seguito riportato.

1. Se il numero degli zeri è uguale a quello dei poli, tende ad un valore costante per (frequenze alte); se invece il numero degli zeri è inferiore a quello dei poli, il primo passo per determinare quello degli zeri consiste nell'esaminare l'andamento della risposta alle alte frequenze ( ). Nella rete di figura c al tendere di ω (ossi a s) ad

infinito, C si comporta da corto circuito ed L da circuito aperto, tende a diventare

uguale a e ; pertanto il numero degli zeri coincide con quello dei poli, che sono due. La rete di figura b presenta un unico zero; infatti per ( ),

e a causa della sola capacità , che determina l'annullamento

di ; pertanto ne consegue un numero di zeri inferiore di un'unità rispetto ai poli. Per la rete di figura a, per ( ) il comportamento tende a diventare

esclusivamente capacitivo ( ) e tende al limite finito del partitore capacitivo. Il numero degli zeri coincide con quello dei poli e vale 1.

2. La ricerca degli zeri consiste nell'individuare le condizioni circuitali che provocano

l'annullamento di e quindi della risposta. Per la rete di figura c può annullarsi in due modi: se C si comporta da circuito aperto oppure se L si comporta da corto

circuito; in entrambi i casi ciò avviene per ( ), pertanto la presenta uno zero doppio nell'origine. In generale la f.d.t. ha almeno uno zero nell'origine se per ( ; in continua), esaurito il transitorio, la risposta della rete è nulla. L'unico

zero della rete di figura b è nell'origine ed è dovuto alla capacità , che per (

), si comporta da circuito aperto e fa si che . Per la rete di figura a, va a

zero se l'ammettenza del ramo formato dal gruppo si annulla, interrompendo il circuito:

6.20. - Espressione della funzione di trasferimento e diagrammi di Bode

Noti i poli e gli zeri, è possibile scrivere l'espressione della f.d.t..

Per la rete di figura c con due poli distinti e due zeri nell'origine, si ha:

dove K viene ricavata da (infatti alle alte

frequenze ).

Il diagramma del modulo per il caso di poli reali distinti è riportato in figura e può essere tracciato senza dover passare attraverso i diagrammi elementari.

Si tenga presente che, per ω crescenti, l'incontro con un polo produce una variazione della pendenza del diagramma di ( se il polo è doppio, se è triplo, ecc.), mentre l'incontro con uno zero causa una variazione di ( se lo zero è doppio, se è triplo, ecc.). Pertanto il diagramma inizia con una pendenza di per i due zeri nell'origine; la pendenza si riduce poi a dopo il primo polo e a dopo il secondo polo. Poiché si conosce il valore del modulo alle alte frequenze ( ) conviene, nel disegnare l'andamento, seguire il percorso inverso, cioè partire dalle frequenze più elevate spostandosi verso le basse.

La f.d.t. della rete di figura b, con due poli reali distinti e uno zero nell'origine, è:

Sia per che per , e .

Si traccia il grafico partendo dall'origine. Lo zero nell'origine fa partire il diagramma con pendenza , finché il primo polo non lo rende orizzontale. L'incontro col secondo polo porta la pendenza a .

Per la rete di figura a, con un polo e uno zero entrambi negativi, si ha:

dove

Per (e quindi ) la rete diventa un partitore capacitivo, per cui:

.

Pertanto si ha: .

Per , .

In figura sono rappresentati i due diagrammi che corrispondono rispettivamente ai

casi e .

Per quanto riguarda i diagrammi della fase conviene procedere sommando i contributi dei diagrammi elementari.

6.21. - Cancellazione polo-zero

Se uno zero e un polo risultano coincidenti, nell'espressione della vengono semplificati, ossia si annullano a vicenda.

Nella rete di figura a, se , polo e zero si annullano e la f.d.t. diventa:

il cui diagramma è una retta parallela all'asse delle ascisse.

risposta delle reti lineari

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