Risposta Delle Reti Lineari

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<p>RISPOSTA DELLE RETI LINEARI INDICE 1. - RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO 2. - RISPOSTA NEL DOMINIO DELLA VARIABILE COMPLESSA s: LA TRASOFRMATA DI LAPALCE 3. - ANALISI DEI CIRCUITI CON LA TRASFORMATA DI LAPLACE 4. - DIAGRAMMI DI BODE 5. - RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA DI GRANDEZZE SINUSOIDALI 6. - RISPOSTA DELLE RETI LINEARI IN REGIME SINUSOIDALE</p> <p>1. - RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO1.1.- Circuiti lineari tempo invarianti 1.2. - Forme d'onda fondamentali 1.3. - Principi di Kirchhoff 1.4. - Risposta di un circuito 1.5. - Circuiti del primo ordine 1.6. - Circuiti del secondo ordine 1.1. - CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI Gli elementi ideali a due terminali sono il resistore, il condensatore, l'induttore, il generatore di tensione e quello di corrente; essi vengono definiti in base alla relazione esistente tra la tensione v(t) ai capi dell'elemento e la corrente i(t) che lo percorre. In un resistore esiste una relazione di proporzionalit tra tensione e corrente: ; in un induttore la tensione ai suoi capi proporzionale alla velocit di variazione della</p> <p>corrente:</p> <p>; in un condensatore la corrente che proporzionale alla .</p> <p>velocit di variazione della tensione:</p> <p>Se i parametri R, L e C non dipendono dal valore delle grandezze elettriche impresse al circuito, gli elementi vengono definiti lineari; se essi non variano nel tempo, vengono definiti tempo-invarianti. Un circuito costituito solo da elementi lineari tempo invarianti (LTU), ossia da elementi per i quali R, L e C risultano costanti, definito circuito lineare tempo-invariante. Per un elemento lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti: ossia che, se i1(t), v1(t) e i2(t), v2(t) sono due coppie di funzioni che soddisfano alla relazione costitutiva di un generico elemento, qualsiasi coppia di funzioni del tipo , con a e b costanti arbitrarie, soddisfa alla relazione costitutiva dell'elemento. Se il parametro che individua l'elemento non dipende dal tempo e i(t) e v(t) sono una coppia di funzioni che soddisfano alla relazione costitutiva dell'elemento, anche la coppia di funzioni i(t-T) e v(t-T), con T qualsiasi, soddisfa la relazione; questa propriet viene chiamata principio di tempo invarianza. La tensione v(t) ai capi di un generatore di tensione non dipende dal carico, mentre in uno di corrente la corrente i(t) che non dipende dal carico. Quindi un generatore applicato ad un bipolo impone la forma d'onda della tensione di ingresso se di tensione, oppure la forma d'onda della corrente se di corrente. I generatori indipendenti sono elementi non lineari e tempo invarianti; infatti in essi la tensione non funzione lineare della corrente ed inoltre sia la tensione che la corrente variano, in generale, nel tempo. 1.2. - FORME DONDA FONDAMENTALI</p> <p>1.2.1. - Chiarimenti sulla funzione delta di Dirac 1.2.2. - Relazione intercorrente tra funzione a gradino e funzione impulsiva 1.2.1. - Chiarimenti sulla funzione delta di Dirac La definizione di funzione impulsiva sopra data deriva da una operazione di limite effettuata su un impulso di area unitaria. Indicando P (t) un impulso di durata e ampiezza 1/ (l'area unitaria) e facendo tendere a zero, si ottiene la funzione impulsiva. Il grafico di tale funzione quello di una freccia rivolta verso l'alto nel punto</p> <p>t = to (non potendosi rappresentare una ampiezza infinita). Un impulso di Dirac non unitario, di area A, matematicamente descrivibile con la scrittura A (t). L'integrale che determina l'area pu essere esteso anche a intervalli diversi, purch l'intervallo considerato contenga t = to, visto che (t) nullo per t to.</p> <p>1.2.2. - relazione intercorrente tra funzione a gradino e funzione impulsiva Si consideri la forma d'onda di figura: essa nulla per t 0, linearmente crescente per</p> <p>0 &lt; t &lt; ed uguale ad 1 per t . La derivata di tale funzione un impulso di area unitaria e durata .</p> <p>Facendo tendere a zero, la f(t) tende alla funzione a gradino unitario u(t) e la sua derivata f '(t) alla funzione impulsiva (t); si pu quindi scrivere:</p> <p>. da tale equazione si trae:</p> <p>. Infatti, se t &lt; 0 l'integrale risulta uguale a zero perch non comprende l'impulso di Dirac, che si trova nell'origine degli assi; se invece t &gt; 0, per ogni t l'integrale uguale all'unit perch viene integrato l'impulso di Dirac. Dalla definizione di funzione di Dirac si deduce che, data una generica funzione del tempo f(t), il suo valore nell'istante t = to coincide con l'integrale, calcolato tra - e + , del prodotto della funzione f(t) e della funzione di Dirac nell'istante considerato:</p> <p>. questa una relazione di notevole importanza nello studio dei segnali campionati.</p> <p>1.3. - Principi di Kirchhoff quando si collegano tra loro due o pi elementi per formare un circuito elettrico, la tensione ai capi di ciascun ramo del circuito e la corrente in ciascun ramo sono vincolate da due leggi fondamentali: La somma algebrica delle correnti confluenti in ciascun nodo deve risultare uguale a zero (legge di Kirchhoff per le correnti, KCL); La somma algebrica delle cadute di tensione lungo ciascuna maglia deve essere uguale a zero (legge di Kirchhoff per le tensioni, KVL). Nella loro formulazione pi generale tali leggi possono essere cos espresse: La somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa uguale a zero; La somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa e finita uguale a zero.</p> <p>1.4. - Risposta di un circuito 1.4.1. - Procedimento per il calcolo della risposta 1.4.2. - Alcuni utili chiarimenti e precisazioni sulla risposta 1.4.1. - Procedimento per il calcolo della risposta Per determinare l'andamento in funzione del tempo della risposta necessario risolvere una equazione differenziale a coefficienti costanti. La soluzione di una equazione di questo tipo costituita dalla somma di due termini, denominati funzione complementare ed integrale particolare: risposta = funzione complementare + integrale particolare la funzione particolare la soluzione dell'equazione differenziale che si ottiene annullando il segnale d'ingresso; poich tale equazione contiene una sola variabile dipendente viene anche detta equazione omogenea. Si definisce pertanto funzione complementare la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata all'equazione data. L'integrale particolare invece una possibile soluzione dell'equazione differenziale, una volta stabilita la forma d'onda d'ingresso. 1.4.2. - alcuni utili chiarimenti e precisazioni sulla risposta Risposta libera o risposta con ingresso nullo (funzione complementare) Viene definito in questo modo l'andamento , nel tempo, della risposta senza segnale di ingresso (ingresso aperto). Una rete contenente solo elementi resistivi ha risposta libera nulla, perch non si ottiene da essa segnale di uscita se non si applica segnale d'ingresso. La risposta libera invece diversa da zero nelle reti contenenti condensatori e/o induttanze; questi elementi immagazzinano energia e, quando viene annullato il segnale di ingresso (aprendo l'ingresso), sono in grado di mantenere un segnale di uscita, fino alla totale restituzione dell'energia immagazzinata. Riassumendo: la risposta libera o risposta con ingresso nullo l'espressione dell'energia immagazzinata nei componenti reattivi di un circuito. Risposta forzata o risposta nello stato zero (integrale particolare) Rappresenta l'andamento nel tempo della risposta quando si tiene conto solo del segnale di ingresso, ossia considerando condizioni iniziali, per capacit e induttanze, per le quali l'energia immagazzinata, precedentemente, sia nulla.</p> <p>Risposta totale o risposta del circuito Rappresenta la risposta del circuito sia per effetto dell'energia inizialmente posseduta dai componenti reattivi sia per effetto del generatore indipendente di ingresso. Il transitorio Costituisce l'intervallo di tempo durante il quale il circuito si adegua ad una variazione del segnale di ingresso. La durata del transitorio funzione dei componenti del circuito e dell'energia da essi immagazzinata. Il segnale di prova ottimale per analizzare la risposta di un circuito durante la fase transitoria il gradino, che costituisce una variazione istantanea dell'ingresso. Il regime permanente Rappresenta l'andamento del segnale d'uscita in relazione a quello di ingresso, allorch si pu considerare esaurito il transitorio. Un circuito in regime permanente fornisce all'uscita un segnale le cui caratteristiche elettriche (tensione o corrente) sono legate a quelle corrispondenti del segnale d'ingresso da rapporti definiti dalla funzione di trasferimento. Se il segnale di ingresso costante, anche quello di uscita( terminato il transitorio) costante; se il segnale d'ingresso periodico (ad esempio sinusoidale), anche quello d'uscita (terminato il transitorio) varia con uguale periodicit.</p> <p>1.5. - Circuiti del primo ordine Si definisce circuito del primo ordine un circuito descritto da equazioni differenziali del primo ordine. Ad esempio il quadripolo di figura in cui la relazione esistente tra l'eccitazione vi(t) e la risposta vo(t) la seguente:</p> <p>(1.5.1) dove A e B sono costanti legate agli elementi del circuito. Per ricavare la risposta di tale circuito bisogna innanzitutto scrivere l'equazione differenziale omogenea associata all'equazione completa, ossia supporre nulla la vi(t):</p> <p>(1.5.2) e determinare la funzione complementare, ossia la soluzione di questa equazione. Poich tutte le derivate della funzione esponenziale differiscono dalla funzione soltanto per un coefficiente numerico, si pu assumere che la variabile dipendente vo(t) sia del tipo:</p> <p>(1.5.3) dove K1 e K2 sono costanti che devono essere determinate. Sostituendo nell'equazione (1.5.2) si ottiene:</p> <p>(1.5.4) Poich K1 si deve supporre diverso da zero (K1 = 0 equivale a supporre vo(t) = 0), affinch sia verificata questa equazione deve risultare:</p> <p>(1.5.5) che l'equazione caratteristica, la cui soluzione </p> <p>(1.5.6) dove , avente le dimensioni di un tempo (l'esponente dell'esponenziale deve risultare adimensionale). Viene chiamata costante di tempo del circuito. K2 ha le dimensioni di una frequenza e viene dettafrequenza naturale del circuito. La costante K2 deve inoltre essere reale e negativa (K2 positiva fornirebbe una risposta crescente indefinitamente nel tempo). Per calcolare un integrale particolare dell'equazione differenziale completa necessario stabilire la forma d'onda del segnale d'ingresso Vi(t) e verificare se un segnale di uguale forma d'onda pu essere assunto come integrale particolare. Supponendo di applicare al circuito un segnale costante di ampiezza Vi a partire dall'istante t = 0 (forma d'onda a gradino), si pu assumere che, per t &gt; 0 , sia vo(t) = K2; sostituendo questo valore di vo(t) nella equazione (1.5.1) si ottiene:</p> <p> verificata pertanto l'ipotesi fatta che una quantit costante possa essere assunta come integrale particolare dell'equazione differenziale completa. Avendo determinato sia la soluzione dell'equazione differenziale omogenea, sia un integrale particolare, sommandole tra loro si ricava la soluzione dell'equazione differenziale non omogenea (equazione (1.5.1) con vi(t) = Vi):</p> <p>(1.5.9) La costante K1 dipende dal valore assunto dalla tensione vo(t) nell'istante t = 0, ossia nell'istante in cui viene applicato al circuito il segnale d'ingresso. Si tenga presente che gli elementi reattivi sono elementi che possono immagazzinare energia ed il valore di tale energia dipende dalla tensione ai capi di un condensatore e dalla corrente in una induttanza; indicare la tensione ai capi di un condensatore e la corrente in una induttanza significa specificare l'energia in essi immagazzinata nell'istante considerato .</p> <p>Supponendo che all'istante t = 0 sia vo = Vo ed imponendo tale condizione nell'equazione (1.5.9) si ottiene:</p> <p>(1.5.10) Sostituendo questo valore di K1 nell'equazione (1.5.9), si ricava la relazione finale:</p> <p>(1.5.11) ossia la risposta del circuito ad un segnale continuo applicato all'istante t = 0, nell'ipotesi che la tensione iniziale di uscita sia Vo. in figura riportato l'andamento della tensione vo(t) per due diversi valori della tensione Vo, uno superiore a Vi/A e l'altro inferiore.</p> <p>Il primo termine a secondo membro dell'equazione (1.5.11) diminuisce esponenzialmente nel tempo tendendo a zero; esso costituisce un transitorio che, dopo un certo tempo, si esaurisce. Il secondo termine invece una quantit che rimane inalterata nel tempo e rappresenta quindi la condizione a regime del circuito. In generale la risposta di un generico circuito ad un segnale applicato costituita da due termini, uno denominato risposta transitoria perch tende esponenzialmente a zero, e l'altro denominato risposta in regime permanente perch rimane invariato nel tempo: risposta del circuito = risposta transitoria + risposta in regime permanente. L'equazione (1.5.11) pu essere riscritta ne seguente modo:</p> <p>(1.5.12) Il primo termine a secondo membro rappresenta la risposta del circuito nell'ipotesi che sia Vi = 0, ossia che il segnale di ingresso rimanga nullo anche per t &gt; 0; per questo motivo esso viene chiamato risposta con ingresso nullo, oppure risposta libera del circuito. Il secondo termine, invece, coincide con la risposta del circuito al segnale di ingresso nell'ipotesi che sia Vo = 0 e viene chiamato risposta forzata. Poich si definisce stato di un circuito in un certo istante l'insieme delle condizioni iniziali che determinano in modo univoco, assieme al segnale di ingresso, le correnti e le tensioni in tutti i rami del circuito, il secondo termine a secondo membro dell'equazione (1.5.12) rappresenta anche la risposta del circuito quando esso si trova nello stato zero: risposta del circuito = risposta con ingresso nullo + risposta nello stato zero. La risposta con ingresso nullo coincide con la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata all'equazione differenziale completa; quella nello stato zero con la soluzione dell'equazione differenziale completa nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle. Per determinare la risposta con ingresso nullo necessario conoscere lo stato della rete nell'istante iniziale; in questo senso la tensione Vo viene chiamata anchevariabile di stato. Per calcolare la risposta nello stato zero bisogna conoscere la forma d'onda del segnale di ingresso.</p> <p>Tenendo presente che la funzione gradino di ampiezza unitaria discontinua in t = 0 viene indicata con u(t), l'equazione (1.5.12) pu anche essere cos scritta:</p> <p>(1.5.13) utilizzando tale rappresentazione non necessario specificare che l'equazione valida per t 0. Riassumendo, un circuito del primo ordine, descritto da un'equazione differenziale del primo ordine, contiene un solo elemento capace di immagazzinare energia, presenta una sola frequenza naturale ed una unica variabile di stato; inoltre, l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale di primo grado.</p> <p>1.6. - Circuiti del secondo ordine 1.6.1. - Risposta con ing...</p>

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