RING DAN IDEAL

Definisi 4.1 (Ring)

Misalkan R adalah suatu himpunan talchampa dengan dua operasi binar, yaknisuatu operasi penjumlahan (dinyatakan oleh +), dan suatu operasi perkalian(dinyatakandengan * atauhanya blank saja).Maka R adalah Ring atau Gelanggangjika 6 aksioma berikut terpenuhi:

[Rl] Untuk sembarang a, b, C E R, berlaku

(a+b)+c =a+(b+c)

[~] Terdapatsebuah elemen 0 E R, disebutelemennol atau zero,sedemikiansehingga

a+O = Q+a = a

untuk setiap a E R

[R3] Untuk masing-masing a E R terdapat sebuah elemen -a E R, disebutnegatif dari a, sedemikian sehingga

a+(-a) = (-a)+a = 0

[R4] Untuk sembarang a, 1?E R, berlaku

a+b =b+a

[Rs] Untuk sembarang a,h,c E R, berlaku

(ab)c =a(bc)

[R6] Untuk sembarang a,b,c E R, berlaku

(i) a(b+c) = ab + ac, dan

(ii) (b+c)a = ba + ca.

Dapat dicatat bahwa aksioma {RJ] sampai [R4] membentuk suatu Grup AbelR di bawah penjumlahan.

56

Adapun pengurangan didefmisikan pada suatu Ring R adalah sebagai berikut:

a -b =a + (-b)

Definisi 4.2 {Ring Komutatif

Sebuah Ring R adalah Ring Komutatif jika

ab=ba

untuk setiap a, b E R.

Definisi 4.3 {Elemen Unitas}Suatu elemen tak nolle R disebut suatu elemen Unitas, jika

al = la =a

untuk setiap a E R.

Definisi 4.4 {Unit}

Misalkan R adalah suatu Ring dengan elemen Unitas 1. Sebuah elemen a ER adalah suatu Unit, jika a mempunyai invers multlplikatif a-I E R, .sedemikiansehingga

CONTOH RING

Contoh 4.1

Dibicarakan Ring Z dari integer.

(a) Apakah Z komutatif?

(b) Apakah Z mempunyai elemen Unitas?

(c) Yang manakah elemen Unit pada Z? .

57

(a) A adaIah suatu Ring komutatif karena ab =ba untuk sembarang integera,beZ

(b) Bilangan 1 adaIah sebuah elemen Unitas pada Z

(c) Elemen Unit pada Z adaIah 1 dan -1

Contoh 4.2

Kita hendakmenentukanUnit dari Zm, Ringdari integermodulom. Jika aadaIah Unit pada Zm' maka

a-1a=l(mod m),

atau pada Z

a-1a= 1 + rm atau

a-1a- rm =1

Hal ini menunjukkan bahwa sembarang pembagi perSekutuandari a dan mhaeus membagi I; yakni bahwa a dan m adaIah prima relatif.

Kebalikannyajika a dan m adaIah prima relatif pada Z, (kita tutis goo. untuksingkatan dari greatest common divisor/pembagi persekutuan terbesar)

1 . =gcd(a, m)

=pa + qm atau

pa == 1 (modm)

yang menunjukkan bahwa a adalah Unit dari ~ (dengan invers p). KarenanyaUnit dari Zm tepatnya adalah integer yang merupakan prima relatif terhadap m.

Contoh 4.3

Pada ZIO kita hendakmenentukan-3, -8, dan 3-1. Di sini dengan -a pada suatuRing R kita maksudkan elemen sedemikian sehingga

a + (-a) = (-a) + a = 0

58

Karenanya,

3=7

sebab

3+7=7+3=0

Secarayang sarna -8 = 2.

Dengan a-I pada Ring R kita maksudkan elemen sedemikian sehingga

Karena itu

karena

3*7 = 7*3 = 1 pada ZIO'

Contoh 4.4.

Misalkan f(x) =2x2 + 4x + 4. Kita hendak menentulcan akar dari f(x) di atas

ZIO'

Substitusikan masing-masing dari 10 elemen ZIOlee dalam f(x) untulc melihatelemen mana y~g menghasilkan O. Kita peroleh:

f(O)=4,

f(5) =4,

f(l) =0,f(6) =0,

f(2) =0,f(7)= 0,

f(3) =4,

((8) =4,

f(4) =2,

f(9) =2.

Karenanya akar adalah 1,2, 6, dan 7.

Contoh ini menunjukkan bahwa suatu polinomial berderajat n dapat mempunyailebih dari n akar di atas sembarang Ring. Hal ini tidale dapat terjadi jika :Ringadalahsuatu Medan atau Field.

59

Contoh 4.5

Misalkan R adalah Ring dari matriks kuadrat nxn.

(a) Apakah R komutatif?

(b) Apakah R mempunyai suatu elemen Unitas?

(c) Tentukan Unit pada R

(a) Tidak; perkalian matriks tidak komutatif

(b) Ya; matriks identitas I adalah Unitas

(c) Matriks nonsingular atau inversibel adalah Unit pada R.

Contoh 4.6

Misalkan R adalah suatu Ring dengan sebuah elemen Unitas 1. Kita akanmenunjukkan bahwa himpunan R* dari Unit pada R adalah suatu Grup di bawahperkalian.

Jika a dan b adalah Unit pada R, maka ab adaIah Unit, karena b-1a-1adalahinvers dari 00.

Karenanya R. Tertutup di bawah perkalian.

Juga, R. tak hampa, karena 1 E R..

R. adalah asosiatif, karena R asosiatif.

Terakhir, jika a adalah Unit pada R, maka inversnya a_Ijuga Unit, karena iamempunyai invers yakni a.

Jadi R* adalah Tertutup di bawah invers.

Karenanya R* adalah Grup di bawah perkalian.

SIFAT RING

Sitat 4.1

Pada suatu Ring R, berlaku bahwa

a*O = O*a = 0

60

Buldi

Karena 0 = 0+0, kita mempunyai

a*O=a*(O+O)

=a*O + a*O

Tambahkan -(a*O)pada kedua mas, dihasilkan

o =a*O

Sarna halnya, O*a = O._

Sitat4.2Pada sembarang Ring R, negatif ada1ahunik.

Bukti

Diberikan suatu elemen a, pandang elemen x yang bersifat bahwa a + x =0,yang secara otomatis juga bersifat x + a = o. Kitamempunyai

a = -a + 0= -a + (a + x)

= (-a + a) + x=O+x

=x

Terbukti'"

Sitat 4.3

Pada sembarang Ring R berlaku bahwa

a*(-b) = (-a)*b = -(a*b)

61

BuktiDi sini

a*b + a*(-b) =a*(b+(-b»

=a*O=0

Karenaitu:

a*(-b) = -(a*b)

Sarna halnya,

(-a)*b =-(a*b)..

Sitat 4.4

Pada suatu Ring R dengan elemen Unitas 1 berlaku

(-I)*a =-a

Bukti

Di sini a+(-I)*a = l*a+(-I)*a

= (1+(-I»*a= O*a

= 0

Karenaitu (-I)*a = -a. _

62

SUBRING

Sekarang kita definisikan Subring dari suatu Ring.

Definisi 4.5

Suatu subset tidak hampa S dari R adalah Subring dari R. jika S sendiri ada1ahRing di bawah operasi dari R.

Jelas bahwa S adalah Subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap a. b eS berlaku

a-b e S, danab e S.

Dapat dicatat bahwa Tertutup di bawah Pengurangan berakibat tennasuknya 0,tennasuknya negatif, dan karenanya Tertutup juga di bawah penjumlahan.

IDEAL

Sekarang akan kita defmisikan Ideal padasuatu Ring R.

Definisi 4.6 (Ideal)

Suatu subset J dari R ada1ahIdeal pada R jika terpenuhi(i) 0 e J

(ii) J Tertutup di bawah pengurangan; yakni

a-b e J

untuk sembarang a. b e J

(iii) J Tertutup di bawah perkalian dengan elemen R; yakni

ra,areJ

untuk setiap a e J, r e R

63

Berkenaan dengan (ill), J disebut suatu Ideal Kiri jika hanya berlaku ra e J,dan disebut Ideal Kanan jika hanya berlaku ar e J. Karenanya Ideal selalu kitaartikan adalah Ideal dua-sisi, sepertidi atas. Pada Ring Komutatif,sembarang IdealKiri atau Kanan adalah Ideal.

CONTOHIDEAL

Contoh 4.7

Akan kita tunjukkan bahwa {OJadalah suatu Ideal pada sembarang Ring R.

Mengikuti kenyataan bahwa

0-0 =0 termasuk {O}, dan

untuk sembarang r e R,

r*O = O*r = 0 termasuk {O},

maka jelas {O} adalah Ideal.

Contoh 4.8

Misalkan Z adalah Ring dari integer dan misalkan Jm berisi kelipatan dari m,di sini m >= 2. Temyata Jm adalah suatu Ideal pada Z.

Jelas 0 e Jm.

Pandang ma dan mb adalah elemen sebarang pada Jm. Maka

ma - mb = m(a-b)

juga termasuk Jm.

Juga, untuk sembarang r e Z. kita mempunyai

r(ma) = (ma)r = m(ar)

64

sebagai elemen dari Jm,

Karenanya Jm adalah Ideal pada Z.

Contoh 4.9

Misalkan M adalah Ring dari natriks real 2x2. Kita memberikan suatu contohIdeal Kiri, J, yang bukan merupakan Ideal Kanan, dan suatu contoh Ideal Kanan,K, yang bukan.merupakan Ideal Kiri.

o aJ = 0 b

a b

K= 0 0

SIFAT IDEAL

Sifat 4.5

Pandang J dan K adalah Ideal pada suatu Ring R. maka J e K adalah suatuIdeal pada R.

Bukti

KarenaJ dan K adalahIdeal,maka

OeJ

Oe K

sehingga

OeJeK

Sekarang misalkan a, b e J II K dan misalkan r e R, maka

a,beJ

a,beK

65

I(arena J clan K adalah Ideal, maka

a-b, ra, ar e J

a-b, ra, ar e K

Kanma itu.

a-b, ra, ar e J (J K

Jadi karena semua hat di atas, berarti J (J K adatah suatu Ideal.

Sitat 4.6

Misalkan J adalah suatu Ideal pada suatuRing R dengansuatu elemen identitasl.Maka

(a) Jika 1 e J, maka J =R

(b) Jika sembarang Unit u (J J, maka J =R

Buktl

(a) Jika 1 e J, maka untuk sembarang r e R, kita mempunyai

r*1 e J, atau r e J.

Karenanya J =R

(b) Jika u e J, maka u-l*u e J, atau 1 e 1.

Karenanya J =R, menurut (1:\).

66

RING KUOSIEN

Teorema berikut menggunakankenyataan bahwa suatu Ideal J pada suatu RingR adalah suatu Subgrop (yang Nonnal) dari Grop aditif dari R. Karenanya koleksiKoset {a+J: a E R} membentuk suatu partisi' dari R. Selanjutnya koleksi inimembentuk Ring, yang disebut Ring Kuosien RlJ.

Teorema 4.1

Misalkan J adalah suatu Ideal pada suatu Ring R. Maka Koset {a+J: a E R}membentuk suatu Ring di bawah operasi Koset,

(a+J) + (b+J) -= (a+b)+J dan

(a+J) * (b+J) =(a*b)+J

Buld;

Kita lihat Ring dari Koset, yang dinyatakan dengan RlI, dan disebut RingKuosien.

Analogi dari Teorema 3.1 untuk Grop, menunjukkan bahwa RlJ adalah suatuGrup komutatif di bawah penjumlahan, dengan J sebagai elemen nol. PerlcalianKoset adalah terdefmisi rapih (well-defined), karena

(a+J) * (b+J) = ab + aJ + Jb + JJ=ab+J+J+J

= ab+J

Hokum Asosiatif dan hokum distributif terpenuhi pada RlJ, karena merekaterpenuhi pada R. Karenanya RlJ adalah suatu Ring. _

67

SIFAT RING KUOSIEN

Sitat 4.7

Pandang J adalah suatu Ideal pada suatu Ring Komutatif R. Ring Kuosien RIJ adalah Ring Komutatif.

Buldi

Jelas bahwa

(a+J)*(b+J) =ab + J

=ba+J

= (b+J)*(a+J)

Terbukti._

Sitat 4.8Pandang bahwa J adalah suatu Ideal pada suatu Ring R dengan elemen Unitas

1, dan pandang bahwa 1 Ii!:J. Maka I+J adalah suatu elemen Unitas untuk RlJ

Buldi

Untuk sembarang Koset a+J, kita mempunyai

(a+J)*(I+J) =a*I+J

=a+J

dan

(1 +J)*(a+J) = 1*a+J

=a+J

Karenanya I+J adalah suatu elemen Unitas pada RlJ._

68

HOMOMORFISMA DAN ISOMORRSMA RING

Sekarang kita defmisikan HOlDomorfismaRing, dan isomorfisma Ring.

Deflnlsi 4.7 (Homomorfisma)

Suatupemetaanf dari suatuRing R ke dalamsuatu Ring R' disebutsuatuHomomorfisma,jika berlaku

f(a+b) =f(a) +' f(b), dan

f(a*b) =f(a) *' f(b)

untuk setiap a, b e R.

Di sini dinotasikan operasi pada R adalah + dan *, sedangkan operasi pada R'adalah +' dan *'. Operasi Ring pada R' secara wnUffiberbeda dengari operasipadaR.

Selanjutnya, sebagai tambahan:

Definisl 4.8 (Isomorfisma)

Jika Homomorfisma f adalah satu-satu (one-to-one) dan onto, maka f.disebutsuatu isomorfisma. R dan R' disebut isomorfis, ditulis R <=> R'.

Dapat dicatat bahwa terdapat hubungan antara Homomorfisma Ring danHomomorfisma Grup (lihat Bab 2). Suatu HomomorfismaRing f : R ~ R' adalahotomatis suatu Homomorfisma Grup pada struktur aditif dari R dan R'. KarenanyaseIalu berlaku

f(O)=0'

Selanjutnya jika R dan R' mempunyai elemen Unitas berturut- turut 1 dan 1',maka kitajuga memerlukanbahwa f(1)= 1',agarf merupakansuatuHomomorfismaRing.

Dalam kaitannya dengan Homomorfisma ini, kita juga nendefmisikan kerneldari f sebagai

69

Definlsl 4.9 (Kernel)

Ker(t) = {a e R I f(a) = O'l

Berikut ini adalah teorema fundamental pada Homomorfisma Ring.

Teorema 4.2

Misalkan f: R ~ R' adalah suatu HomomorfismaRing dengan Kernel J. MakaJ adalah suatu Ideal pada R, dan RlJ isomorfis dengan ruang peta atau Imagedari f.

CONTOH HOMOMORFISMA DAN ISOMORFISMA RING

Contoh 4.10

Dibicarakan Ring R =2Z dan R' =3Z. Di sini R berisi semua kelipatan 2, dan

R' berisi semua kelipatan 4. kan kita tunjukkan bahwa R tidak isomorfisdengan R'.

Jika f: R ~ R' adalah suatu Homomorfisma Ring, maka

f(2) = 3k, untuk beberapa integer k.

Karena f adaIah suatu Homomorfisma, maka

f(4) =f(2+2)

=f(2) + f(2)= 3k + 3k= 6k

70

Selanjutnya,

f(4) = f(2*2)

= f(2) · f(2)

= (3k)*(3k)

=9k2

Karena itu 9k2 = 6k, dan karena k adalah bulat, maka k =O.

Karenanya f(2) =. O. Tetapi f(O) = O. Sehingga f tidak satu-satu. jadi bukansuatu isomorfisma. .

Contoh 4,11

MisaJkanJ adalahsuatuIdealpadasuatuRirigR. Dibicarakanpemetaankanonikf: R ~ RlJ. didefinisikan sebagai

f(a) =a+J (Lihat Teorema 3,1)

Akan kita tunjukkanbahwaf adaJahsuatuHomoniorfismaRing.dan merupakansuatu pemetaan onto. Kita juda akan menentukan ernel K dari pemetaan kanonikini.

Dengan menggunakan Teorema 3.1. kita peroleh

f(a+b) =(a+b)+J

=(a+J) + (b+J)

=f(a) + f(b)

Sedangkan

f(a*b) =a*b+J

=(a+J) * (b+J)

=f(a) * f(b)

Jadi f adalah suatu Homomorfisma.

71

Sembarang Koset a+J pada RlJ ada1ahpeta dari suatu a E R.Jadi f adalah onto.

Elemen nol dari RlJ adalah 1.

Maka K terdiri dari a E R sedemikian sehingga

f(a) =a+J =

J atau

J

Tetapi a+J =J'jika dan hanya jika a E J. Karenanya J adalah Kernel dari f.

72