riješeni zadaci - kriptografija

Rijeseni zadatci iz kriptografije Diskretna matematika - FER

1. Odredite produkt polinoma p(x) = x7 + x6 + x4 + x3 + x+ 1 i q(x) = x6 + x2 + x+ 1 uu polju F28 definiranom kao Z2[X]/(x8 + x4 + x3 + x+ 1). Prikazite polinome p(x), q(x)i njihov produkt u heksadecimalnom zapisu.

Rj. x6 + x3 + x+ 1, DB · 47 = 4B.

2. Odredite produkt polinoma p(x) = x7+x5+x4+x2+x+1 i q(x) = x7+x5+x4+x2+xu u polju F28 definiranom kao Z2[X]/(x8 + x4 + x3 + x + 1). Prikazite polinome p(x),q(x) i njihov produkt u heksadecimalnom zapisu.

Rj. x6 + x3 + x2 + x+ 1, B7· B6 = 4F.

3. Zadan je RSA kriptosustav s javnim kljucem (n, e) = (69627997, 43206989). PomocuWienerovog napada odredite skup mogucih tajnih kljuceva d.

Rj. d < 13

4√n < 31

i -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ai 0 1 1 1 1 1 2 1 7

pi 1 0 1 1 2 3 5 13 18 139

qi 0 1 1 2 3 5 8 21 29 224

Kandidati za tajni eksponent d ∈ {3, 5, 21, 29} ( visekratnike od 2 mozemo izbaciti jer dmora biti relativno prost s φ(n) sto je paran broj).

Napomena: Efektivno bez faktorizacije od n se ne moze odrediti tocan eksponent pomocukalkulatora (eventualno bi se morao koristiti algoritam ’kvadriraj i mnozi’) ili primjenitimetodu iz Wienerova teorema tj. da nadjemo onu konvergentu za koju su (p± q)/2 cijelibrojevi.

4. Zadan je RSA kriptosustav s javnim kljucem (n, e) = (60677801, 47474687). PomocuWienerovog napada odredite skup mogucih tajnih kljuceva d.

Rj. d < 13

4√n < 31

Slicno kao u prethodnom zadatku, kandidati za tajni eksponent d ∈ {5, 9, 23} ( visekratnikeod 2 mozemo izbaciti jer d mora biti relativno prost s φ(n) sto je paran broj).

5. Alice je poslala istu poruku m nekolicini agenata. Eva je presrela sifrate c1, c2, c3 zatrojicu agenata ciji su javni kljucevi n1, n2 i n3. Poznato je da Alice i agenti koriste RSAkriptosustav s javnim eksponentom e = 3. Za zadane

n1 = 217, c1 = 153,n2 = 299, c2 = 226,n3 = 319, c3 = 298.

pokazite kako ce Eva otkriti poruku m (bez poznavanja faktorizacije modula n1, n2, n3).

Rj. Rjesenje Kineskog teorema: 704969 (mod 20697677); m = 89

6. Alice je poslala istu poruku m nekolicini agenata. Eva je presrela sifrate c1, c2, c3 zatrojicu agenata ciji su javni kljucevi n1, n2 i n3. Poznato je da Alice i agenti koriste RSAkriptosustav s javnim eksponentom e = 3. Za zadane

n1 = 161, c1 = 57,n2 = 247, c2 = 96,n3 = 493, c3 = 272.

pokazite kako ce Eva otkriti poruku m (bez poznavanja faktorizacije modula n1, n2, n3).

Rj. Rjesenje Kineskog teorema: 1061208 (mod 19605131); m = 102


7. U Rabinovom kriptosustavu s parametrima

(n, p, q) = (2 773, 47, 59),

desifrirajte sifrat y = 2729. Poznato je da je otvoreni tekst prirodan broj x < n kojemsu zadnja cetiri bita u binarnom zapisu medusobno jednaka.

Rj. Rjesavaju se 4 sustava kongruencija: x ≡ ±12(mod 47), x ≡ ±29(mod 59) i dobivajurjesenja:

x1 = 29 · (−5) · 47 + 12 · 4 · 59 mod 2773 = 1563 = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1)2

x2 = −29 · (−5) · 47 + 12 · 4 · 59 mod 2773 = 1328 = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0)2 !

x3 = 29 · (−5) · 47− 12 · 4 · 59 mod 2773 = 1445 = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1)2

x4 = −29 · (−5) · 47− 12 · 4 · 59 mod 2773 = 1210 = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0)2

8. U Rabinovom kriptosustavu s parametrima

(n, p, q) = (2 021, 43, 47),

desifrirajte sifrat y = 917. Poznato je da je otvoreni tekst prirodan broj x < n kojem suzadnja cetiri bita u binarnom zapisu medusobno jednaka.

Rj. Rjesavaju se 4 sustava kongruencija: x ≡ ±10(mod 43), x ≡ ±27(mod 47) i dobivajurjesenja:

(-12)*(43) + (11)*(47)

x1 = 27 · (−12) · 43 + 10 · 11 · 47 mod 2021 = 1343 = 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)2 !

x2 = −27 · (−12) · 43 + 10 · 11 · 47 mod 2021 = 913 = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)2

x3 = 27 · (−12) · 43− 10 · 11 · 47 mod 2021 = 1108 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0)2

x4 = −27 · (−12) · 43− 10 · 11 · 47 mod 2021 = 678 = 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0)2

9. Zadan je ElGamalov kriptosustav s kljucem K = (p = 41, α = 6, a = 10, β = 32).Desifrirajte sifrat (y1, y2) = (11, 21).

Rj. z = ya1 mod p = 9. Inverz od z u Z∗p je z1 takav da vrijedi 9z1 ≡ 1(mod 41). Rjesenje

te linearne kongruencije je z1 = 32. Otvoreni tekst x = y2 ∗ z1 mod 41 = 16.

10. Zadan je ElGamalov kriptosustav s kljucem K = (p = 71, α = 7, a = 5, β = 51).Desifrirajte sifrat (y1, y2) = (23, 13).

Rj. z = ya1 mod p = 51. Inverz od z u Z∗p je z1 takav da vrijedi 51z1 ≡ 1(mod 71).

Rjesenje te linearne kongruencije je z1 = 39. Otvoreni tekst x = y2 ∗ z1 mod 71 = 10.

11. Zadan je Merkle-Hellmanov kriptosustav s kljucem K = (v, p, a, t) gdje je

v = (3, 6, 24, 48, 95, 187, 380, 760),

p = 1571, a = 111,

t = (333, 666, 1093, 615, 1119, 334, 1334, 1097).

Desifrirajte otvoreni tekst y = 3379.

Rj. Najprije se Euklidovim algoritmom odredi inverz od a = 111 modulo p = 1571 ,b = 184. Racuna se z = b · ymod p = 1191. Sada se rijesi superrastuci problem ruksakaza v i z : 1191 = 760 + 380 + 48 + 3. Otvoreni tekst je x = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1).

Provjera: t · x = 333 + 615 + 1334 + 1097 = 3379.


12. Zadan je Merkle-Hellmanov kriptosustav s kljucem K = (v, p, a, t) gdje je

v = (3, 7, 27, 50, 107, 212),

p = 607, a = 111,

t = (333, 170, 569, 87, 344, 466).

Desifrirajte otvoreni tekst y = 1246.

Rj. Najprije se Euklidovim algoritmom odredi inverz od a = 111 modulo p = 607 ,b = 175. Racuna se z = b · ymod p = 137. Sada se rijesi superrastuci problem ruksaka zav i z : 137 = 107 + 27 + 3. Otvoreni tekst je x = (1, 0, 1, 0, 1, 0).

Provjera: t · x = 333 + 569 + 344 = 1246.

riješeni zadaci - kriptografija

Documents