riješeni zadaci iz trigonometrije · pdf filealeksandra-maria vuković |...

4
Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 1 ZADACI IZ TRIGONOMETRIJE ADICIJSKE FORMULE TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI Sinus zbroja i razlike kutova Pitagorin trigonometrijski identitet Kosinus zbroja i razlike kutova Formule dvostrukog kuta 1. zadatak Dokaži sljedeće identitete. ) sin( − ) ∙ sin ( + ) = cos 2 − cos 2 ) tg + ctg = 2 sin 2 RJEŠENJE pod a) - najprije primijenimo formule za sinus zbroja i razlike kutova (sin ∙ cos − cos ∙ sin ) sin(−) ∙ (sin ∙ cos + cos ∙ sin ) sin(+) = - pomnožimo zagrade - primjerice: sin ∙ sin = sin 2 = sin 2 cos 2 + sin cos cos sin − sin cos cos sin Š . − 0. − cos 2 sin 2 = - nakon sređivanja dobijemo ovaj izraz = sin 2 cos 2 − cos 2 sin 2 = - sada uvrstimo poznati trigon. identitet i to u 1. izraz umjesto sin 2 kako bi nam ostao cos 2 = (1 − cos 2 ) sin 2 ∙ cos 2 − cos 2 sin 2 = sin 2 + cos 2 =1 sin 2 + cos 2 =1 sin 2 = 1 − cos 2

Upload: trinhdieu

Post on 05-Feb-2018

289 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: Riješeni zadaci iz trigonometrije · PDF fileAleksandra-Maria Vuković | amvukovic@gmail.com | amvukovicDokumenti 1 ZADACI IZ

Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 1

ZADACI IZ TRIGONOMETRIJE

ADICIJSKE FORMULE TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

Sinus zbroja i razlike kutova

Pitagorin trigonometrijski identitet

Kosinus zbroja i razlike kutova

Formule dvostrukog kuta

1. zadatak Dokaži sljedeće identitete.

𝒂) sin(𝑥 − 𝑦) ∙ sin(𝑥 + 𝑦) = cos2 𝑦 − cos2 𝑥

𝒃) tg 𝑥 + ctg 𝑥 =2

sin 2𝑥

RJEŠENJE pod a)

- najprije primijenimo formule za sinus zbroja i razlike kutova

(sin 𝑥 ∙ cos𝑦 − cos𝑥 ∙ sin 𝑦)⏟ sin(𝑥−𝑦)

∙ (sin 𝑥 ∙ cos𝑦 + cos𝑥 ∙ sin 𝑦)⏟ sin(𝑥+𝑦)

=

- pomnožimo zagrade - primjerice: sin𝑥 ∙ sin𝑥 = sin2 𝑥

= sin2 𝑥 cos2𝑦+ sin 𝑥cos𝑦 cos𝑥 sin 𝑦 − sin 𝑥 cos𝑦 cos𝑥sin 𝑦⏟ 𝑇𝑂 𝑆𝐸 𝑃𝑂𝑁𝐼Š𝑇𝐼 𝑘𝑎𝑜 𝑛𝑝𝑟. 𝑎−𝑎 𝑗𝑒𝑟 𝑗𝑒 𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑎𝑘𝑜 0.

− cos2𝑥 sin2 𝑦 =

- nakon sređivanja dobijemo ovaj izraz

= sin2 𝑥 cos2𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =

- sada uvrstimo poznati trigon. identitet i to u 1. izraz umjesto sin2 𝑥 kako bi nam ostao cos2𝑦

= (1− cos2𝑥)⏟ sin2𝑥

∙ cos2 𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =

sin2 𝛼+ cos2𝛼 = 1

sin2 𝑥 + cos2𝑥 = 1

sin2 𝑥 = 1 − cos2𝑥

Page 2: Riješeni zadaci iz trigonometrije · PDF fileAleksandra-Maria Vuković | amvukovic@gmail.com | amvukovicDokumenti 1 ZADACI IZ

Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 2

- svaki član u zagradi pomnožimo s cos2𝑦

= (1− cos2𝑥)⏟ sin2𝑥

∙ cos2 𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =

= cos2𝑦 − cos2𝑥 cos2𝑦 − cos2 𝑥sin2 𝑦 =

- sada se nameće ideja da iz 2. i 3. izraza izlučimo cos2𝑥, a u 1. izrazu će nam ostati cos2𝑦

= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ (cos2𝑦 + cos2𝑥)⏟ 𝑃𝐴𝑍𝐼𝑇𝐼 𝑁𝐴𝑃𝑅𝐸𝐷𝑍𝑁𝐴𝐾𝐸𝑗𝑒𝑟 𝑠𝑚𝑜 𝑖𝑧𝑙𝑢č𝑖𝑙𝑖

− cos2𝑥

=

- na kraju treba samo prepoznati u zagradi poznati trigon. identitet

= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ (cos2𝑦 + cos2𝑥)⏟ = 1

=

= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ 1 =

= cos2𝑦 − cos2𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖

DODATNO OBJEŠNJENJE

- najteže je učenicima odrediti otkuda krenuti

- ideju za to daje sama jednakost koju treba dokazati - konkretno, u a) primjeru krećemo od lijeve strane jednakosti i dokažemo da je, nakon sređivanja,

jednaka kao desna strana jednakosti - Zašto smo krenuli od lijeve strane? – zato što se izraz na lijevoj strani može primjenom formula transformirati tj. preinačiti - drugim riječima, NA LIJEVOJ STRANI TREBA UOČITI MOGUĆNOST PRIMJENE ADICIJSKIH FORMULA

RJEŠENJE pod b)

- ovdje nije odmah uočljivo od koje strane krenuti, ali treba uočiti formulu dvostrukog kuta na desnoj strani - zato je dobro prvo srediti izraz na desnoj strani da vidimo ŠTO UOPĆE TREBA DOKAZATI

2

sin 2𝑥=

2

2sin 𝑥 cos𝑥= 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑠 2 =

1

sin 𝑥 cos𝑥

ZNAČI TREBA DOKAZATI DA JE

tg 𝑥 + ctg𝑥 =1

sin 𝑥 cos𝑥=

2

sin 2𝑥

- izrazimo funkcije tg x i ctg x preko sin x tj. cos x tg 𝑥 + ctg 𝑥 =

sin 𝑥

cos𝑥+cos𝑥

sin 𝑥=

- svedemo na zajednički nazivnik i uočiti poznati trigon. identitet u brojniku

=sin2 𝑥 + cos2𝑥⏞

= 1

sin 𝑥 ∙ cos𝑥=

1

sin 𝑥 ∙ cos𝑥=

- proširimo brojnik i nazivnik sa 2 =

1 ∙ 2

sin 𝑥 ∙ cos𝑥 ∙ 2=

2

2 sin 𝑥cos𝑥=

2

sin 2𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖

Page 3: Riješeni zadaci iz trigonometrije · PDF fileAleksandra-Maria Vuković | amvukovic@gmail.com | amvukovicDokumenti 1 ZADACI IZ

Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 3

2. zadatak

Ako je sin2𝛼 = 2

3, koliko je sin4 𝛼 + cos4 𝛼?

RJEŠENJE - najprije treba uočiti dvostruki kut i primijeniti formulu dvostrukog kuta da dobijemo ideju kako

transformirati izraz čiju vrijednost moramo izračunati

sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 cos𝛼

4

3= 2 sin 𝛼 cos𝛼 → 2sin 𝛼 cos𝛼 =

4

3 /: 2 → sin 𝛼cos𝛼 =

4

3∙1

2 → 𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬𝜶 =

𝟐

𝟑

- odavde vidimo da treba zadani izraz sin4 𝛼 + cos4𝛼 transformirati tako da u izrazu imamo umnožak sinusa i kosinusa, pa je osnovna ideja da 4. potenciju prikažemo kao umnožak kvadrata… - izrazimo 4. potenciju kao umnožak kvadrata

sin4 𝛼+ cos4𝛼 = sin2 𝛼 ∙ sin2 𝛼 + cos2𝛼 ∙ cos2𝛼 =

- uvrstimo poznati trigon. identitet: sin2 𝛼 = 1 − cos2𝛼 cos2𝛼 = 1 − sin2 𝛼 - time ćemo dobiti umnožak sin i cos

= sin2 𝛼 ∙ (1 − cos2𝛼)⏟ sin2𝛼

+ cos2𝛼 ∙ (1− sin2 𝛼)⏟ cos2𝛼

=

- riješimo se zagrada primjenom distributivnosti

= sin2 𝛼 − sin2𝛼 cos2𝛼 + cos2𝛼 − sin2 𝛼cos2𝛼 =

- sredimo dobiveni izraz grupiranjem članova

= sin2 𝛼 + cos2𝛼⏟ = 1

−2 sin2 𝛼 cos2𝛼 =

= 1− 2sin2 𝛼 cos2𝛼

- sada izračunamo vrijednost izraza

sin4 𝛼 + cos4𝛼 = 1 − 2 sin2𝛼 cos2𝛼 =

= 1 − 2 ∙ (sin 𝛼 cos𝛼)2 =

= 1 − 2 ∙ (2

3)2

=

= 1 − 2 ∙4

9= 1 −

8

9=𝟏

𝟗

3. zadatak Dokaži

sin3𝑥 + sin 5𝑥

cos 3𝑥 + cos 5𝑥= tg 4𝑥

RJEŠENJE

- desna strana sugerira da ćemo preko adicijskih formula svesti trostruki i peterostruki kut na četverostruki kut

Page 4: Riješeni zadaci iz trigonometrije · PDF fileAleksandra-Maria Vuković | amvukovic@gmail.com | amvukovicDokumenti 1 ZADACI IZ

Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 4

- svedemo svaki zadani kut na četverostruki kut

sin(4𝑥 − 𝑥) + sin(4𝑥 + 𝑥)

cos(4𝑥 − 𝑥) + cos(4𝑥 + 𝑥)=

- primijenimo adicijske formule =

𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 − cos4𝑥 sin 𝑥 + 𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙+ cos4𝑥 sin 𝑥

𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 + sin 4𝑥 sin 𝑥 + 𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙 − sin 4𝑥 sin 𝑥=

- najprije sredimo izraz i na kraju skratimo brojnik i nazivnik

=2 sin 4𝑥cos𝑥

2 cos4𝑥cos𝑥= 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑡𝑖 𝑠 2 𝑖 cos𝑥 =

=sin 4𝑥

cos4𝑥= tg4𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖