riješeni zadaci iz trigonometrije · pdf filealeksandra-maria vuković |...
TRANSCRIPT
Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 1
ZADACI IZ TRIGONOMETRIJE
ADICIJSKE FORMULE TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI
Sinus zbroja i razlike kutova
Pitagorin trigonometrijski identitet
Kosinus zbroja i razlike kutova
Formule dvostrukog kuta
1. zadatak Dokaži sljedeće identitete.
𝒂) sin(𝑥 − 𝑦) ∙ sin(𝑥 + 𝑦) = cos2 𝑦 − cos2 𝑥
𝒃) tg 𝑥 + ctg 𝑥 =2
sin 2𝑥
RJEŠENJE pod a)
- najprije primijenimo formule za sinus zbroja i razlike kutova
(sin 𝑥 ∙ cos𝑦 − cos𝑥 ∙ sin 𝑦)⏟ sin(𝑥−𝑦)
∙ (sin 𝑥 ∙ cos𝑦 + cos𝑥 ∙ sin 𝑦)⏟ sin(𝑥+𝑦)
=
- pomnožimo zagrade - primjerice: sin𝑥 ∙ sin𝑥 = sin2 𝑥
= sin2 𝑥 cos2𝑦+ sin 𝑥cos𝑦 cos𝑥 sin 𝑦 − sin 𝑥 cos𝑦 cos𝑥sin 𝑦⏟ 𝑇𝑂 𝑆𝐸 𝑃𝑂𝑁𝐼Š𝑇𝐼 𝑘𝑎𝑜 𝑛𝑝𝑟. 𝑎−𝑎 𝑗𝑒𝑟 𝑗𝑒 𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑎𝑘𝑜 0.
− cos2𝑥 sin2 𝑦 =
- nakon sređivanja dobijemo ovaj izraz
= sin2 𝑥 cos2𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =
- sada uvrstimo poznati trigon. identitet i to u 1. izraz umjesto sin2 𝑥 kako bi nam ostao cos2𝑦
= (1− cos2𝑥)⏟ sin2𝑥
∙ cos2 𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =
sin2 𝛼+ cos2𝛼 = 1
sin2 𝑥 + cos2𝑥 = 1
sin2 𝑥 = 1 − cos2𝑥
Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 2
- svaki član u zagradi pomnožimo s cos2𝑦
= (1− cos2𝑥)⏟ sin2𝑥
∙ cos2 𝑦− cos2𝑥 sin2 𝑦 =
= cos2𝑦 − cos2𝑥 cos2𝑦 − cos2 𝑥sin2 𝑦 =
- sada se nameće ideja da iz 2. i 3. izraza izlučimo cos2𝑥, a u 1. izrazu će nam ostati cos2𝑦
= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ (cos2𝑦 + cos2𝑥)⏟ 𝑃𝐴𝑍𝐼𝑇𝐼 𝑁𝐴𝑃𝑅𝐸𝐷𝑍𝑁𝐴𝐾𝐸𝑗𝑒𝑟 𝑠𝑚𝑜 𝑖𝑧𝑙𝑢č𝑖𝑙𝑖
− cos2𝑥
=
- na kraju treba samo prepoznati u zagradi poznati trigon. identitet
= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ (cos2𝑦 + cos2𝑥)⏟ = 1
=
= cos2𝑦 − cos2𝑥 ∙ 1 =
= cos2𝑦 − cos2𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖
DODATNO OBJEŠNJENJE
- najteže je učenicima odrediti otkuda krenuti
- ideju za to daje sama jednakost koju treba dokazati - konkretno, u a) primjeru krećemo od lijeve strane jednakosti i dokažemo da je, nakon sređivanja,
jednaka kao desna strana jednakosti - Zašto smo krenuli od lijeve strane? – zato što se izraz na lijevoj strani može primjenom formula transformirati tj. preinačiti - drugim riječima, NA LIJEVOJ STRANI TREBA UOČITI MOGUĆNOST PRIMJENE ADICIJSKIH FORMULA
RJEŠENJE pod b)
- ovdje nije odmah uočljivo od koje strane krenuti, ali treba uočiti formulu dvostrukog kuta na desnoj strani - zato je dobro prvo srediti izraz na desnoj strani da vidimo ŠTO UOPĆE TREBA DOKAZATI
2
sin 2𝑥=
2
2sin 𝑥 cos𝑥= 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑠 2 =
1
sin 𝑥 cos𝑥
ZNAČI TREBA DOKAZATI DA JE
tg 𝑥 + ctg𝑥 =1
sin 𝑥 cos𝑥=
2
sin 2𝑥
- izrazimo funkcije tg x i ctg x preko sin x tj. cos x tg 𝑥 + ctg 𝑥 =
sin 𝑥
cos𝑥+cos𝑥
sin 𝑥=
- svedemo na zajednički nazivnik i uočiti poznati trigon. identitet u brojniku
=sin2 𝑥 + cos2𝑥⏞
= 1
sin 𝑥 ∙ cos𝑥=
1
sin 𝑥 ∙ cos𝑥=
- proširimo brojnik i nazivnik sa 2 =
1 ∙ 2
sin 𝑥 ∙ cos𝑥 ∙ 2=
2
2 sin 𝑥cos𝑥=
2
sin 2𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖
Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 3
2. zadatak
Ako je sin2𝛼 = 2
3, koliko je sin4 𝛼 + cos4 𝛼?
RJEŠENJE - najprije treba uočiti dvostruki kut i primijeniti formulu dvostrukog kuta da dobijemo ideju kako
transformirati izraz čiju vrijednost moramo izračunati
sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 cos𝛼
4
3= 2 sin 𝛼 cos𝛼 → 2sin 𝛼 cos𝛼 =
4
3 /: 2 → sin 𝛼cos𝛼 =
4
3∙1
2 → 𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬𝜶 =
𝟐
𝟑
- odavde vidimo da treba zadani izraz sin4 𝛼 + cos4𝛼 transformirati tako da u izrazu imamo umnožak sinusa i kosinusa, pa je osnovna ideja da 4. potenciju prikažemo kao umnožak kvadrata… - izrazimo 4. potenciju kao umnožak kvadrata
sin4 𝛼+ cos4𝛼 = sin2 𝛼 ∙ sin2 𝛼 + cos2𝛼 ∙ cos2𝛼 =
- uvrstimo poznati trigon. identitet: sin2 𝛼 = 1 − cos2𝛼 cos2𝛼 = 1 − sin2 𝛼 - time ćemo dobiti umnožak sin i cos
= sin2 𝛼 ∙ (1 − cos2𝛼)⏟ sin2𝛼
+ cos2𝛼 ∙ (1− sin2 𝛼)⏟ cos2𝛼
=
- riješimo se zagrada primjenom distributivnosti
= sin2 𝛼 − sin2𝛼 cos2𝛼 + cos2𝛼 − sin2 𝛼cos2𝛼 =
- sredimo dobiveni izraz grupiranjem članova
= sin2 𝛼 + cos2𝛼⏟ = 1
−2 sin2 𝛼 cos2𝛼 =
= 1− 2sin2 𝛼 cos2𝛼
- sada izračunamo vrijednost izraza
sin4 𝛼 + cos4𝛼 = 1 − 2 sin2𝛼 cos2𝛼 =
= 1 − 2 ∙ (sin 𝛼 cos𝛼)2 =
= 1 − 2 ∙ (2
3)2
=
= 1 − 2 ∙4
9= 1 −
8
9=𝟏
𝟗
3. zadatak Dokaži
sin3𝑥 + sin 5𝑥
cos 3𝑥 + cos 5𝑥= tg 4𝑥
RJEŠENJE
- desna strana sugerira da ćemo preko adicijskih formula svesti trostruki i peterostruki kut na četverostruki kut
Aleksandra-Maria Vuković | [email protected] | amvukovicDokumenti 4
- svedemo svaki zadani kut na četverostruki kut
sin(4𝑥 − 𝑥) + sin(4𝑥 + 𝑥)
cos(4𝑥 − 𝑥) + cos(4𝑥 + 𝑥)=
- primijenimo adicijske formule =
𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 − cos4𝑥 sin 𝑥 + 𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙+ cos4𝑥 sin 𝑥
𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 + sin 4𝑥 sin 𝑥 + 𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙 − sin 4𝑥 sin 𝑥=
- najprije sredimo izraz i na kraju skratimo brojnik i nazivnik
=2 sin 4𝑥cos𝑥
2 cos4𝑥cos𝑥= 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑡𝑖 𝑠 2 𝑖 cos𝑥 =
=sin 4𝑥
cos4𝑥= tg4𝑥 → 𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑘𝑎𝑧𝑎𝑡𝑖