rijeseni zadaci iz matematikeˇ - zadaci iz matematikeˇ ovi zadaci namijenjeni su studentima prve...

Download RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine

Post on 29-Aug-2019

261 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

    Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaš.

    Zadatke je izabrala, pripremila i riješila Ksenija Pukšec (demonstratorica iz matematike na EF).

    Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakić (demonstratorica iz matematike na EF).

    Tehničku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio je Krešimir Bokulić (demonstrator iz računarstva na PMF-MO).

    1

  • DERIVACIJE

    1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedećom funkcijom p(t) = 2.45 ·

    (1 2

    )0.06t + 2.86. Ispitajte dugoročno ponašanje cijene. (Uputa:

    treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost.)

    Rješenje: Napomena:

    lim x→∞

    ax =

     0, a < 1

    1, a = 1

    ∞, a > 1

    lim t→+∞

    [ 2.45 · (1

    2 )0.06t + 2.86

    ] =

    ( 1

    2

    )0.06·∞ + 2.86 =

    = 2.45 · (

    1

    2

    )∞ + 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86

    2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedećom funkcijom i(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugoročno ponašanje inflacije. (Uputa: treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost).

    Rješenje:

    lim t→∞

    (2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =

    = 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56

    2

  • 3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.

    Rješenje:

    x 6= 0 D = R\{0}

    Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:

    lim x→a

    f(x) = ∞

    lim x→0

    ( −3 x

    + x

    ) = −3

    0 + 0 = ∞

    x = 0 ⇒ okomita asimptota.

    Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:

    lim x→∞

    f(x) = b

    lim x→∞

    ( −3 x

    + x

    ) = −3 ∞

    +∞ = ∞

    ⇒ nema vodoravne asimptote.

    Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:

    1. lim x→∞

    f(x)

    x = k

    2. lim x→∞

    [f(x)− kx]

    lim x→∞

    −3 x + x

    x = lim

    x→∞

    −3+x2 x

    x = lim

    x→∞

    −3 + x2

    x2 = L′H = lim

    x→∞

    2x

    2x = 1 = k

    lim x→∞

    ( −3 x

    + x− 1x )

    = lim x→∞

    ( −3 x

    ) = − 3

    ∞ = 0 = l

    3

  • y = kx + l

    y = 1 · x + 0 y = x ⇒ kosa asimptota

    4

  • 4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215

    Rješenje:

    f ′(x) = (x3)′ + (x)′ + (215)′

    f ′(x) = 3x3−1 + 1 + 0

    f ′(x) = 3x2 + 1

    5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x 2

    x+1 .

    Rješenje:

    y′ = (x2)′(x + 1)− x2(x + 1)′

    (x + 1)2

    y′ = 2x2−1 · (x + 1)− x2((x)′ + (1)′)

    (x + 1)2

    y′ = 2x · (x + 1)− x2 · (1 + 0)

    (x + 1)2

    y′ = 2x2 + 2x− x2

    (x + 1)2

    y′ = x2 + 2x

    (x + 1)2

    5

  • 6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex

    Rješenje:

    y′ = (x + 1)′ex + (x + 1)(ex)′

    y′ = ((x)′ + (1)′)ex + (x + 1)ex

    y′ = (1 + 0)ex + (x + 1)ex

    y′ = ex + (x + 1)ex

    y′ = ex(x + 2)

    6

  • 7. Nadi prvu derivaciju funkcije y = √

    x3 − 2 3 √

    x2 + 3 3 √

    x− 2x

    Rješenje:

    y = x 3 2 − 2x

    2 3 + 3x

    1 3 − 2x−1

    y′ = (x 3 2 )′ − (2x

    2 3 )′ + (3x

    1 3 )′ − (2x−1)′

    y′ = 3

    2 x

    3 2−1 − 2 · (x

    2 3 )′ + 3 · (x

    1 3 )′ − 2 · (x−1)′

    y′ = 3

    2 x

    1 2 − 2 · 2

    3 x

    2 3−1 + 3 · 1

    3 x

    1 3−1 − 2 · (−1)x−1−1

    y′ = 3

    2 x

    1 2 − 4

    3 x −1 3 + x

    −2 3 + 2x−2

    7

  • 8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3 x

    x

    Rješenje:

    y′ = (3x)′ · x− 3x(x)′

    x2

    y′ = 3xln3 · x− 3x · 1

    x2

    y′ = 3x(xln3− 1)

    x2

    8

  • 9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1xa , b 6= 0, a > 0

    Rješenje:

    y = bx−a

    y′ = (bx−a)′

    y′ = b(x−a)′

    y′ = b(−a)x−a−1

    y′ = −abx−a−1

    y′ = −ab · 1 xa+1

    y′ = −ab xa+1

    9

  • 10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.

    Rješenje:

    f ′(x) = [(1 + x2)100]′

    f ′(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)′

    f ′(x) = 100(1 + x2)99 · 2x f ′(x) = 200x(1 + x2)99

    11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = √

    1− 3x4. Rješenje:

    f ′(x) = 1

    2 √

    1− 3x4 · (1− 3x4)′

    f ′(x) = 1

    2 √

    1− 3x4 · (−12x3)

    f ′(x) = −6x3√ 1− 3x4

    10

  • 12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x 2

    .

    Rješenje:

    f ′(x) = 3x 2

    ln3 · (x2)′

    f ′(x) = 3x 2

    ln3 · 2x

    13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4 √

    1−x3.

    Rješenje:

    f ′(x) = 4 √

    1−x3ln4 · ( √

    1− x3)′

    f ′(x) = 4 √

    1−x3ln4 · 1 2 √

    1− x3 · (1− x3)′

    f ′(x) = 4 √

    1−x3ln4 · 1 2 √

    1− x3 · (−3x2)

    11

  • 14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e √

    1−x x+1 .

    Rješenje:

    f ′(x) = e √

    1−x x+1 · (

    √ 1− x x + 1

    )′

    f ′(x) = e √

    1−x x+1 · 1

    2 √

    1−x x+1

    · (1− x x + 1

    )′

    f ′(x) = e √

    1−x x+1 · 1

    2 √

    1−x x+1

    · (1− x) ′ · (x + 1)− (1− x) · (x + 1)′

    (x + 1)2

    f ′(x) = e √

    1−x x+1 · 1

    2 √

    1−x x+1

    · −2 (x + 1)2

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1√

    1−x x+1 · (x + 1)2

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1

    √ 1− x · (x + 1) 32

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1

    √ 1− x ·

    √ (x + 1)3

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1

    √ 1− x · (x + 1) ·

    √ x + 1

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1

    (x + 1) · √

    (1− x)(x + 1)

    f ′(x) = −e √

    1−x x+1

    (x + 1) · √

    1− x2

    12

  • 15. Koristeći definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) = √

    2x + 1 u točki x0 = 4.

    Rješenje:

    f ′(x) = lim h→0

    f(x + h)− f(x) h

    lim h→0

    √ 2(x + h) + 1−

    √ 2x + 1

    h · √

    2(x + h) + 1 + √

    2x + 1√ 2(x + h) + 1 +

    √ 2x + 1

    =

    = lim h→0

    2(x + h) + 1− (2x + 1) h( √

    2x + 2h + 1 + √

    2x + 1) =

    = lim h→0

    2x + 2h + 1− 2x− 1 h( √

    2x + 2h + 1 + √

    2x + 1) =

    = lim h→0

    2√ 2x + 2h + 1 +

    √ 2x + 1

    =

    = 2√

    2x + 2 · 0 + 1 + √

    2x + 1 =

    2

    2 √

    2x + 1 =

    1√ 2x + 1

    f ′(4) = 1√

    2 · 4 + 1 =

    1√ 9

    = 1

    3

    13

  • 16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x. Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uočite pravilo za računanje slijedećih!

    Rješenje:

    y′ = e−2x · (−2x)′ = e−2x · −2 = −2e−2x

    y′′ = (−2e−2x)′ = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2e−2x = 22 · e−2x

    y′′′ = ((−2)2 · e−2x)′ = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x

    y′′′′ = (−2)3e−2x · (−2) = (−2)4e−2x = 24e−2x ...

    y(100) = 2100 · e−2x

    14

  • 17. Za funkciju ukupnih troškova T (Q) = √

    ln(3Q2) odredite pripadnu funkciju graničnih troškova.

    Rješenje:

    T ′(Q) = 1

    2 √

    ln(3Q2) · (ln(3Q2))′ =

    = 1

    2 √

    ln(3Q2) · 1 3Q2

    · (3Q2)′ =

    = 1

    2 √

    ln(3Q2) · 1 3Q2

    · 6Q =

    = 1

    Q √

    ln(3Q2)

    15

  • 18. Primjenom diferencijala približno izračunajte 1.00110.

    Rješenje:

    Tražimo ono što lako izračunamo, a da približno bude jednako.

    110, bazu smo promijenili, ono što smo promijenili označimo s x.

    x = 1

    ∆x = 0.001 = dx

    x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001

    y = x10

    y′ = 10x9

    y(x + ∆x) ≈ y(x) + y′(x) · dx y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y′(1) · dx y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001

    y(1.001) ≈ 1.01

    16

  • 19. Izračunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) = √

    L, te relativnu pogrešku, ako je L = 0, ∆L = 0.001.

    Rješenje:

    Prirast funkcije:

    ∆y = y(x + ∆x)− y(x) ∆Q = Q(L + ∆L)−Q(L) ∆Q = Q(9.001)−Q(9)

    ∆Q = √

    9.001− √

    9

    ∆Q = 0.000166662

    Diferencijal funkcije:

    dy = y′(x) · dx dL = ∆L = 0.001

    dQ = Q′(L) · dL = 1 2 √

    L · dL = 1

    2 √

    9 · 0.001

    dQ = 0.000166667

    Relativna pogres