rijeseni zadaci iz matematikeˇ - sytrimme.weebly.com · rijeseni zadaci iz matematikeˇ ovi zadaci...
TRANSCRIPT
RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE
Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.
Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec(demonstratorica iz matematike na EF).
Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).
Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).
1
DERIVACIJE
1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedecom funkcijomp(t) = 2.45 ·
(12
)0.06t+ 2.86. Ispitajte dugorocno ponasanje cijene. (Uputa:
treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost.)
Rjesenje:Napomena:
limx→∞
ax =
0, a < 1
1, a = 1
∞, a > 1
limt→+∞
[2.45 · (1
2)0.06t + 2.86
]=
(1
2
)0.06·∞+ 2.86 =
= 2.45 ·(
1
2
)∞+ 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86
2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedecom funkcijomi(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugorocno ponasanje inflacije. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost).
Rjesenje:
limt→∞
(2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =
= 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56
2
3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.
Rjesenje:
x 6= 0
D = R\{0}
Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:
limx→a
f(x) = ∞
limx→0
(−3
x+ x
)= −3
0+ 0 = ∞
x = 0 ⇒ okomita asimptota.
Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:
limx→∞
f(x) = b
limx→∞
(−3
x+ x
)=−3
∞+∞ = ∞
⇒ nema vodoravne asimptote.
Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:
1. limx→∞
f(x)
x= k
2. limx→∞
[f(x)− kx]
limx→∞
−3x + x
x= lim
x→∞
−3+x2
x
x= lim
x→∞
−3 + x2
x2 = L′H = limx→∞
2x
2x= 1 = k
limx→∞
(−3
x+ x− 1x
)= lim
x→∞
(−3
x
)= − 3
∞= 0 = l
3
y = kx + l
y = 1 · x + 0
y = x ⇒ kosa asimptota
4
4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215
Rjesenje:
f ′(x) = (x3)′ + (x)′ + (215)′
f ′(x) = 3x3−1 + 1 + 0
f ′(x) = 3x2 + 1
5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2
x+1 .
Rjesenje:
y′ =(x2)′(x + 1)− x2(x + 1)′
(x + 1)2
y′ =2x2−1 · (x + 1)− x2((x)′ + (1)′)
(x + 1)2
y′ =2x · (x + 1)− x2 · (1 + 0)
(x + 1)2
y′ =2x2 + 2x− x2
(x + 1)2
y′ =x2 + 2x
(x + 1)2
5
6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex
Rjesenje:
y′ = (x + 1)′ex + (x + 1)(ex)′
y′ = ((x)′ + (1)′)ex + (x + 1)ex
y′ = (1 + 0)ex + (x + 1)ex
y′ = ex + (x + 1)ex
y′ = ex(x + 2)
6
7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =√
x3 − 23√
x2 + 3 3√
x− 2x
Rjesenje:
y = x32 − 2x
23 + 3x
13 − 2x−1
y′ = (x32 )′ − (2x
23 )′ + (3x
13 )′ − (2x−1)′
y′ =3
2x
32−1 − 2 · (x
23 )′ + 3 · (x
13 )′ − 2 · (x−1)′
y′ =3
2x
12 − 2 · 2
3x
23−1 + 3 · 1
3x
13−1 − 2 · (−1)x−1−1
y′ =3
2x
12 − 4
3x−13 + x
−23 + 2x−2
7
8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x
x
Rjesenje:
y′ =(3x)′ · x− 3x(x)′
x2
y′ =3xln3 · x− 3x · 1
x2
y′ =3x(xln3− 1)
x2
8
9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1xa , b 6= 0, a > 0
Rjesenje:
y = bx−a
y′ = (bx−a)′
y′ = b(x−a)′
y′ = b(−a)x−a−1
y′ = −abx−a−1
y′ = −ab · 1
xa+1
y′ =−ab
xa+1
9
10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.
Rjesenje:
f ′(x) = [(1 + x2)100]′
f ′(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)′
f ′(x) = 100(1 + x2)99 · 2xf ′(x) = 200x(1 + x2)99
11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =√
1− 3x4.Rjesenje:
f ′(x) =1
2√
1− 3x4· (1− 3x4)′
f ′(x) =1
2√
1− 3x4· (−12x3)
f ′(x) =−6x3
√1− 3x4
10
12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x2
.
Rjesenje:
f ′(x) = 3x2
ln3 · (x2)′
f ′(x) = 3x2
ln3 · 2x
13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4√
1−x3.
Rjesenje:
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · (√
1− x3)′
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · 1
2√
1− x3· (1− x3)′
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · 1
2√
1− x3· (−3x2)
11
14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e√
1−xx+1 .
Rjesenje:
f ′(x) = e√
1−xx+1 · (
√1− x
x + 1)′
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· (1− x
x + 1)′
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· (1− x)′ · (x + 1)− (1− x) · (x + 1)′
(x + 1)2
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· −2
(x + 1)2
f ′(x) =−e√
1−xx+1√
1−xx+1 · (x + 1)2
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x · (x + 1)
32
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x ·
√(x + 1)3
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x · (x + 1) ·
√x + 1
f ′(x) =−e√
1−xx+1
(x + 1) ·√
(1− x)(x + 1)
f ′(x) =−e√
1−xx+1
(x + 1) ·√
1− x2
12
15. Koristeci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =√
2x + 1 utocki x0 = 4.
Rjesenje:
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
limh→0
√2(x + h) + 1−
√2x + 1
h·√
2(x + h) + 1 +√
2x + 1√2(x + h) + 1 +
√2x + 1
=
= limh→0
2(x + h) + 1− (2x + 1)
h(√
2x + 2h + 1 +√
2x + 1)=
= limh→0
2x + 2h + 1− 2x− 1
h(√
2x + 2h + 1 +√
2x + 1)=
= limh→0
2√2x + 2h + 1 +
√2x + 1
=
=2√
2x + 2 · 0 + 1 +√
2x + 1=
2
2√
2x + 1=
1√2x + 1
f ′(4) =1√
2 · 4 + 1=
1√9
=1
3
13
16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x.Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uocite pravilo za racunanjeslijedecih!
Rjesenje:
y′ = e−2x · (−2x)′ = e−2x · −2 = −2e−2x
y′′ = (−2e−2x)′ = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2e−2x = 22 · e−2x
y′′′ = ((−2)2 · e−2x)′ = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x
y′′′′ = (−2)3e−2x · (−2) = (−2)4e−2x = 24e−2x
...
y(100) = 2100 · e−2x
14
17. Za funkciju ukupnih troskova T (Q) =√
ln(3Q2) odredite pripadnu funkcijugranicnih troskova.
Rjesenje:
T ′(Q) =1
2√
ln(3Q2)· (ln(3Q2))′ =
=1
2√
ln(3Q2)· 1
3Q2 · (3Q2)′ =
=1
2√
ln(3Q2)· 1
3Q2 · 6Q =
=1
Q√
ln(3Q2)
15
18. Primjenom diferencijala priblizno izracunajte 1.00110.
Rjesenje:
Trazimo ono sto lako izracunamo, a da priblizno bude jednako.
110, bazu smo promijenili, ono sto smo promijenili oznacimo s x.
x = 1
∆x = 0.001 = dx
x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001
y = x10
y′ = 10x9
y(x + ∆x) ≈ y(x) + y′(x) · dx
y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y′(1) · dx
y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001
y(1.001) ≈ 1.01
16
19. Izracunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =√
L, te relativnu pogresku,ako je L = 0, ∆L = 0.001.
Rjesenje:
Prirast funkcije:
∆y = y(x + ∆x)− y(x)
∆Q = Q(L + ∆L)−Q(L)
∆Q = Q(9.001)−Q(9)
∆Q =√
9.001−√
9
∆Q = 0.000166662
Diferencijal funkcije:
dy = y′(x) · dx
dL = ∆L = 0.001
dQ = Q′(L) · dL =1
2√
L· dL =
1
2√
9· 0.001
dQ = 0.000166667
Relativna pogreska:
∆y − dy
∆y· 100
∆Q− dQ
∆Q· 100 =
0.000166662− 0.000166667
0.000166662· 100 = −0.003000084%
17
20. Odredite jednadzbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x2 u tocki
s apscisom 2.
Rjesenje:
t . . . y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))
n . . . y − f(x0) =−1
f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))
T (x0, f(x0))
T (2, f(2)) = T (2, 1)
f(2) =8
4 + x2 =8
4 + 4= 1
f ′ = (8
4 + x2 )′ =
−16x
(4 + x2)2
f ′(2) =−16 · 2(4 + 4)2 =
−1
2
t . . . y − 1 =−1
2(x− 2)
y − 1 =−1
2x + 1
y =−1
2x + 2
n . . . y = 2x + 2
18
21. Izracunaj:
limx→1
x−√
2− x
x− 1
Rjesenje:
limx→1
x−√
2− x
x− 1=
1−√
2− 1
1− 1=
0
0= L′H =
= limx→1
(x−√
2− x)′
(x− 1)′=
= limx→1
1− 12√
2−x· (2− x)′
1=
= limx→1
(1 +
1
2√
2− x
)=
= 1 +1
2√
2− 1= 1 +
1
2=
3
2
19
22. Odredite podrucje rasta i pada funkcije f(x) = −3x4 + 6x2 − 15.
Rjesenje:
D = Rf ′(x) = −12x3 + 12x
−12x3 + 12x = 0
−12x(x2 − 1) = 0
−12x = 0 ⇒ x = 0
x2 − 1 = 0 ⇒x = 1
x = −1
−∞,−1 -1, 0 0, 1 1, +∞f’(x) + - + -
↗ ↙ ↗ ↙
Npr: ako za interval < −∞,−1 > uzmemo tocku -2, tada jef ′(−2) = −12 · (−2)3 + 12 · (−2) = 24.
Funkcija pada na < −1, 0 >i < 1, +∞ >, a raste na < −∞,−1 > i < 0, 1 >.
20
23. Odredite podrucja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex.
Rjesenje:
D = R
y′ = ex + xex = ex(1 + x)
y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
ex(2 + x) = 0
x = −2
−∞,−2 −2, +∞y′′ − +
∩ ∪
Funkcija je konkavna na < −∞,−2 >, a konveksna na < −2, +∞ >.
21
24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x4 − 8x3 − 10.
Rjesenje:
D = R
f ′(x) = 24x3 − 24x2
24x3 − 24x2 = 0
24x2(x− 1) = 0
24x2 = 0 ⇒ x = 0
x− 1 = 0 ⇒x = 1
f ′′(x) = 72x2 − 48x
f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = 144x− 48
f ′′′(0) = −48
U x = 0 nema ekstrema.
f ′′(1) = 72 · 12 − 48 · 1f ′′(1) = 24 > 0
min(1, f(1))
f(1) = 6 · 14 − 8 · 13 − 10 = −12
min(1,−12)
22
25. Izracunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troskovaC(Q) = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = −7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q ∈ [0, +∞ >
D(Q) = R(Q)− C(Q)
D(Q) = −7.5Q2 + 1400Q− (Q3 − 6Q2 + 140Q + 750)
D(Q) = −Q3 − 1.5Q2 + 1260Q− 750
D′(Q) = −3Q2 − 3Q + 1260
Q1,2 =−(−3)±
√(−3)2 − 4 · (−3) · 1260
2 · (−3)
Q1 = 20
D′′(Q) = −6Q− 3
D′′(20) = −6 · 20− 3 = −123 < 0
max(20, D(20))
D(20) = 15850
max(20, 15850)
23
26. Pronadite minimum funkcije prosjecnih troskova ako su ukupni troskoviT (Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q ∈ [0, +∞ >
A(Q) =T (Q)
Q=
4Q2 + 112Q + 100
Q
A(Q) =4Q2
Q+
112Q
Q+
100
Q
A(Q) = 4Q + 112 +100
Q
A′(Q) = 4− 100
Q2
4− 100
Q2 = 0
Q = 5
A′′(Q) =200
Q3
A′′(5) =200
125> 0
min(5, A(5))
A(5) = 152
min(5, 152)
24
27. Zadana je funkcija prosjecnih prihoda AR(Q) = −Q+200, gdje je Q kolicinaproizvodnje.Izracunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.
Rjesenje:D = Q ∈ [0, +∞ >
R(Q) = AR(Q) ·QR(Q) = (−Q + 200) ·Q = −Q2 + 200Q
R′(Q) = −2Q + 200
−2Q + 200 = 0
Q = 100
R′′(Q) = −2 < 0
R(100) = 10000
max(100, 10000)
25
28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjecnih troskovaP (Q) = 460− 3200
Q , T (Q) = 2 + 100Q .
Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveca dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troskovi?
Rjesenje:
D(Q) = P (Q)− T (Q)
T (Q) = T (Q) ·Q
T (Q) = (2 +100
Q) ·Q = 2Q + 100
D(Q) = 460− 3200
Q− (2Q + 100)
D(Q) = 360− 3200
Q− 2Q
D′(Q) =3200
Q2 − 2
3200
Q2 − 2 = 0 ⇒ Q = 40
D′′(Q) =−6400
Q3
D′′(40) = −0.1 < 0 ⇒ max(40, D(40))
D(40) = 200, max(40, 200)
P (40) = 380
T (40) = 180
26
29. Odredite domenu i tocke infleksije funkcije f(x) = 12x
2 + lnx.
Rjesenje:
x > 0
D = x ∈< 0, +∞ >
f ′(x) = x +1
x
f ′′(x) = 1− 1
x2
1− 1
x2 = 0 ⇒
x1 = 1
f ′′′(x) = 2x−3
f ′′′(1) = 2 · 1−3 = 2 6= 0
I(1, f(1))
f(1) =1
2· 12 + ln1 =
1
2+ 0 =
1
2
I(1,1
2)
27
30. Zadana je funkcija troskova T (Q) = Q3 − 2Q, gdje je Q kolicinaproizvodnje. Izracunajte koeficijent elasticnosti troskova u odnosu na proizvod-nju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.
Rjesenje:
ET,Q =Q
T· T ′ =
Q
Q3 − 2Q· (Q3 − 2Q)′ =
=Q
Q3 − 2Q· (3Q2 − 2) =
Q
Q(Q2 − 2)(3Q2 − 2) =
=3Q2 − 2
Q2 − 2
ET,Q(2) =3 · 22 − 2
22 − 2= 5
Kada Q na nivou Q=2 povecamo za 1%, onda ce se T povecati za 5%.
28
31. Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje
q(p) =9500
3p2 + 675
u odnosu na cijenu p.
Rjesenje:
D . . . 3p2 + 675 6= 0
3p2 6= −675 ⇒ uvijek
p ≥ 0
q ≥ 0
Eq,p =p
q· q′ = p
95003p2+675
·(
9500
3p2 + 675
)′=
−6p2
3p2 + 675
|Eg,p| = | − 6p2
3p2 + 675| = 6p2
3p2 + 675
6p2
3p2 + 675> 1/ · 3p2 + 675
6p2 > 3p2 + 675
3p2 > 675/ : 3
p2 > 225
p > 15
Pel =< 15, +∞ >
Pneel =< 0, 15 >
29
32. Ispitajte homogenost funkcije
f(x1, x2, x3) = x1 · x2 ·√
lnx1+x2
x2+x3.
Rjesenje:
f(λx1, λx2, λx3) = λx1 · λx2 ·√
lnλx1 + λx2
λx2 + λx3=
= λ2x1 · x3 ·
√ln
λ(x1 + x2)
λ(x2 + x3)=
= λ2 · x1 · x3 ·√
lnx1 + x2
x2 + x3=
= λ2 · f(x1, x2, x3)
Funkcija je homogena stupnja α = 2.
30
33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) =√
x · y2.
Rjesenje:
f(λx, λy) =√
λx · (λy)2 =√
λ ·√
x · λ2 · y2 =
= λ52 ·√
x · y2 = λ52 · f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja α = 52 .
31
34. Ispitajte homogenost funkcije
f(x, y) = log3x2 + 2y2
xy
Rjesenje:
f(λx, λy) = log3(λx)2 + 2(λy)2
λxλy=
= log3λ2x2 + 2λ2y2
λ2xy=
= logλ2(3x2 + 2y2)
λ2xy= log
3x2 + 2y2
xy= f(x, y) =
= λ0 · f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja α = 0.
32
35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L12Ct, gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju rastuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(λL, λC) = 3.6(λL)12 (λC)t = 3.6λ
12L
12λtCt =
= λ12+t3.6L
12Ct = λ
12+tQ(LC)
1
2+ t > 1
t > 1− 1
2
t >1
2
t ∈<1
2, +∞ >
Napomena:
α > 1 ⇒ prinosi su rastuci.α = 1 ⇒ prinosi su konstantni.α < 1 ⇒ prinosi su opadajuci.
33
36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5LtC14 , gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju opadajuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(λL, λC) = 2.5(λL)t(λC)14 = 2.5λtLtλ
14C
14 =
= λt+ 142.5LtC
14 = λt+ 1
4Q(LC)
t +1
4< 1
t < 1− 1
4
t <3
4
t ∈< −∞,3
4>
34
37. Kako se promijeni vrijednost funkcije
f(x, y, z, v) =
√x√
y + z + y√
z + v
x + 2y + 3z + 4v
ako sve varijable istovremeno:a) povecamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?
Rjesenje:a)
f(λx, λy, λz, λv) = λαf(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256αf(x, y, z, v)
f(λx, λy, λz, λv) =
√λx√
λy + λz + λy√
λz + λv
λx + 2λy + 3λz + 4λv=
=
√λx√
λy + λz + λy√
λz + λv
λ(x + 2y + 3z + 4v)=
√λ
32 (x√
y + z + y√
z + v)
λ(x + 2y + 3z + 4v)=
= λ14 · f(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 25614f(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x, y, z, v)
Kada sve varijable istovremeno povecamo 256 puta tada ce se vrijednostfunkcije povecati 4 puta.
35
b)
x → x− 34.39
100x = x(1− 0.3439) = 0.6561x
f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.656114f(x, y, z, v)
f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x, y, z, v)
Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ce se vri-jednost funkcije smanjiti za 100(1− λα)%.
100(1− λα)% = 100(1− 0.9)% = 10%
Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ce se funkcijasmanjiti za 10%.
36
38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x2 + xy +√
y.
Rjesenje:
fx = (3x2)′ + (xy)′ + (√
y)′ =
= 3 · (x2)′ + y · (x)′ + 0 =
= 3 · 2x2−1 + y · 1 = 6x + y
fy = (3x2)′ + (xy)′ + (√
y)′ =
= 0 + x · (y)′ +1
2√
y=
= x · 1 +1
2√
y= x +
1
2√
y
37
39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e2xz − ln(yz) + 1.
Rjesenje:
fx = e2xz · (2xz)′ − 0 + 0 =
= e2xz · 2z · (x)′ = e2xz · 2z · 1 = 2ze2xz
fy = 0− 1
yz· (yz)′ + 0 = − 1
yz· z · (y)′ =
= − 1
yz· z = −1
y
fz = e2xz · (2xz)′ − 1
yz· (yz)′ + 0 =
= e2xz · 2x · (z)′ − 1
yz· y · (z)′ =
= e2xz · 2x · 1− 1
yz· y · 1 =
= 2xe2xz − 1
z
38
40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x−yx+y .
Rjesenje:
ux =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′
(x + y)2 =
=2(x + y)− (2x− y)
(x + y)2 =3y
(x + y)2
uy =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′
(x + y)2 =
=−1 · (x + y)− (2x− y) · 1
(x + y)2 =3x
(x + y)2
39
41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = xy.
Rjesenje:
fx = yxy−1
fy = xylnx
42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y22x.
Rjesenje:
zx = y2 · 2xln2
zy = 2x · 2y = y · 2x+1
zxx = y2 · ln2 · 2xln2 = y2(ln2)2 · 2x
zxy = 2xln2 · 2y = y · 2x+1ln2
zyx = y · 2x+1ln2 · 1 = y · 2x+1ln2
zyy = 2x+1 · 1 = 2x+1
40
43. Za funkciju f(x, y, z) = z · yx izracunajte d3fdxdydz .
Rjesenje:
fz = yx · 1 = yx
fzy = xyx−1
fzyx = 1 · yx−1 + x · yx−1lny · 1 =
= yx−1 + x · yx−1lny = yx−1(1 + xlny) = fxyz
41
44. Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti funkcije f(x, y) =√
x− y2 uodnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.
Rjesenje:
Ef,x =x
f· fx =
x√x− y2
· 1
2√
x− y2· (1− 0) =
x
2(x− y2)
Ef,x(25, 3) =25
2 · (25− 9)=
25
32
Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povecamo za 1% onda cefunkcijska vrijednost porasti za 25
32%.
Ef,y =y
f· fy =
y√x− y2
· 1
2√
x− y2· (0− 2y) =
−y2
x− y2
Ef,y(25, 3) =−9
25− 9=−9
16
Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povecamo za 1% onda ce funkcijskavrijednost pasti za 9
16%.
42
45. Zadana je funkcija potraznje robe A, q1(p1, p2) = 3p−11 lnp2, gdje su p1
cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrsteneelasticnosti te interpretirajte dobivene rezultate.
Rjesenje:
Eg1,p1=
p1
q1· q1p1
=p1
3p−11 lnp2
· −3lnp2
p21
= −1
Kada p1 povecamo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ce se q1 smanjiti za1%.
Eg1,p2=
p2
q1· q1p2
=p2
3p−11 lnp2
· 3p−11
1
p2=
1
lnp2
Kada p2 povecamo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ce se q1 povecati za1
lnp2% jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.
43
46. Za funkciju
f(x, y, z) = 3
√x4y5
z2 , izracunajte xfx + yfy + zfz.
Rjesenje:
xfx + yfy + zfz = α · ff(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)
f(λx, λy, λz) = 3
√(λx)4(λy)5
(λz)2 =3
√λ4x4λ5y5
λ2z2 =3
√λ9x4y5
λ2z2 =
=3√
λ7 3
√x4y5
z2 = λ73 · f(x, y, z)
α =7
3
xfx + yfy + zfz =7
3· 3
√x4y5
z2
44
47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L14C
12 , gdje je L kolicina rada, a
C kolicina kapitala.Izracunajte zbroj parcijalnih elasticnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.
Rjesenje:
EQ,L + EQ,C = α
Q(λL, λC) = 3.4(λL)14 (λC)
12 = 3.4λ
14L
14λ
12C
12 =
λ14+ 1
23.4L14C
12 = λ
34Q(L, C)
EQ,L + EQ,C =3
4
45
48. Dana je funkcija
f(x, y, z) = t+1
√zx
y−(
1
z
) −1t+1
Odredite parametar t ∈ R, t 6= −1, tako da zbroj svih parcijalnih elasticnostidane funkcije bude jednak nuli.
Rjesenje:
Ef,y + Ef,y + Ef,z = α ⇒ α = 0
t ∈ R t.d. Ef,y + Ef,y + Ef,z = 0
f(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)
f(λx, λy, λz) = t+1
√λzλx
λy−(
1
λz
) −1t+1
=
=t+1√
λ t+1
√zx
y−
[(λ−1)
−1t+1 ·
(1
z
) −1t+1
]=
= λ1
t+1 t+1
√zx
y−
[λ
1t+1 ·
(1
z
) −1t+1
]=
= λ1
t+1
(t+1
√zx
y−(
1
z
) −1t+1
)= λ
1t+1f(x, y, z)
1
t + 1= 0
1 = 0 ⇒⇐
6 ∃t ∈ R t.d. α = 0
(Ne postoji t ∈ R takav da je α = 0)
46
49. Funkcija potraznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi ocijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elasticnosti tefunkcije potraznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izracunajtevrijednost koeficijenta elasticnosti te iste funkcije potraznje u odnosu na ci-jenu proizvoda B, te ga interpretirajte.
Rjesenje:
α = 1.1
EfA,pA= −0.4
EfA,pB=?
EfA,pA+ EfA,pB
= α
−0.4 + EfA,pB= 1.1
EfA,pB= 1.1 + 0.4
EfA,pB= 1.5
Kada pB povecamo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ce se fA povecati za1.5%.
47
50. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = x2 − 4x + 2y2 − 8y
Rjesenje:
fx = 2x− 4
2x− 4 = 0
x = 2
fy = 4y − 8
4y − 8 = 0
y = 2
D1 = fxx
fxx = 2
D1 = 2 > 0
D2 = fxxfyy − fxy2
fyy = 4
fxy = 0
D2 = 2 · 4− 02
D2 = 8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
}⇒ min(2, 2, f(2, 2))
f(2, 2) = 22 − 4 · 2 + 2 · 22 − 8 · 2 = −12
min(2, 2,−12)
48
51. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = ex2+y2−4x
Rjesenje:
fx = ex2+y2−4x · (2x− 4)
ex2+y2−4x · (2x− 4) = 0
2x− 4 = 0
x = 2
fy = ex2+y2−4x · 2yex2+y2−4x · 2y = 0
2y = 0
y = 0
D1 = fxx
fxx = ex2+y2−4x · (2x− 4)2 + ex2+y2−4x · 2fxx = ex2+y2−4x
[(2x− 4)2 + 2
]fxx = 2e−4
D1 = 2e−4 > 0
D2 = fxxfyy − f 2xy
fyy = ex2+y2−4x · 4y2 + ex2+y2−4x · 2fyy = ex2+y2−4x(4y2 + 2)
fyy = 2e−4
49
fxy = (2x− 4) · ex2+y2−4x · 2yfxy = 0
D2 = 2e−4 · 2e−4 − 02 = 4e−8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
}⇒ min(2, 0, e−4)
50
52. Zadana je funkcija ukupnih prihodaP (Q1, Q2) = −Q2
1 −Q22 + 18Q1 + 14Q2 − 5 i ukupnih troskova
T (Q1, Q2) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izracunajte maksimum funkcijedobiti.
Rjesenje:
D(Q1, Q2) = P (Q1, Q2)− T (Q1, Q2)
D(Q1, Q2) = −Q21 −Q2
2 + 10Q1 + 6Q2 − 5
DQ1= −2Q1 + 10
−2Q1 + 10 = 0
Q1 = 5
DQ2= −2Q2 + 6
−2Q2 + 6 = 0
Q2 = 3
D1 = DQ1Q1
DQ1Q1= −2
D1 = −2 < 0
D2 = DQ1Q1DQ2Q2
−D2Q1Q2
DQ2Q2= −2
DQ1Q2= 0
D2 = −2 · (−2)− 02 = 4 > 0
D1 < 0
D2 > 0
}⇒ max(5, 3, 29)
51
53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + x2, uz uvjet x− 2y = 0.
Rjesenje:
f(x, y) = x2 − xy + y2
x− 2y = 0
x = 2y
f(y) = (2y)2 − 2y · y + y2
f(y) = 4y2 − 2y2 + y2
f(y) = 3y2
f ′(y) = 6y
6y = 0
y = 0 ⇒ x = 2y
x = 2 · 0 ⇒ x = 0
f ′′(y) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))
min(0, 0, f(0, 0))
min(0, 0, 0)
52
54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + y2, uz uvje x + y = 1.
Rjesenje:
x + y = 1
y = 1− x
f(x) = x2 − x · (1− x) + (1− x)2
f(x) = x2 − x + x2 + 1− 2x + x2
f(x) = 3x2 − 3x + 1
f ′(x) = 6x− 3
6x− 3 = 0
6x = 3
x =1
2⇒ y = 1− x
y = 1− 1
2=
1
2
f ′′(x) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))
min
(1
2,1
2, f
(1
2,1
2
))f
(1
2,1
2
)=
(1
2
)2
− 1
2· 12
+
(1
2
)2
=1
4
f
(1
2,1
2
)=
1
4
min
(1
2,1
2,1
4
)
53
55. Odredite ekstreme funkcijef(x, y) = x4 + y4, x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y2 = 8.
Rjesenje:
y2 = 8− x2
f(x, y) = (x2)2 + (y2)2
f(x) = (x2)2 + (8− x2)2
f(x) = x4 + 64− 16x2 + x4
f(x) = 2x4 − 16x2 + 64
f ′(x) = 8x3 − 32x
8x3 − 32x = 0
8x(x2 − 4) = 0
8x = 0
6 x =6 0x2 − 4 = 0
x = 2
6 x = − 6 2
y =√
8− x2 =√
8− 4 =√
4 = 2
f ′′(x) = 24x2 − 32
f ′′(2) = 64 > 0
min(2, 2, 32)
54
56. Dane su funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L + C i proizvodnjeQ(L, C) =
√LC, gdje je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Izracunajte
minimum funkcije ukupnih troskova na nivou proizvodnje Q=4.
Rjesenje:
√LC = 4/2
LC = 16/ : L
C =16
L
T (L) = L +16
L= L + 16L−1
T ′(L) = 1− 16L−2
1− 16
L2 = 0/ · L2
L2 − 16 = 0
L2 = 16
L1 = 4
6 L 62 = − 6 4
C =16
4= 4
T ′′(L) = 32L−3
T ′′(4) = 0.5 > 0
min(4, 4, 8)
55
57. Dana je funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L2 − LC + C2 i funkcijaproizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroskovi. Odredite minimalne troskove.
Rjesenje:
Q(L, C) = LC
LC = 1/ : L
C =1
L
T (L) = L2 − L · 1
L+
(1
L
)2
= L2 − 1 + L−2
T ′(L) = 2L− 2L−3
2L− 2
L3 = 0/ · L3
2L4 − 2 = 0
2L4 = 2
L = ±1
L ≥ 0
L = 1
T ′′(L) = 2 + 6L−4
T ′′(1) = 2 + 6 · 1−4 = 8 > 0
min(1, 1, 1)
56