rijeseni zadaci iz matematikeث‡ - rijeseni zadaci iz matematikeث‡ ovi zadaci namijenjeni su...

Download RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEث‡ - RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEث‡ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

Post on 31-Aug-2019

80 views

Category:

Documents

5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

    Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.

    Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec(demonstratorica iz matematike na EF).

    Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).

    Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).

    1

  • INTEGRALI

    1. Izracunajte (

    x2 +

    x + 3

    x)dx

    Rjesenje:

    (x2 +

    x + 3

    x)dx =

    x2dx +

    xdx +

    3

    xdx =

    =

    x2dx +

    x

    12dx +

    x

    13dx =

    =x2+1

    2 + 1+

    x12+1

    12 + 1

    +x

    13+1

    13 + 1

    + C =

    =x3

    3+

    x32

    32

    +x

    43

    43

    + C =

    =x3

    3+

    2

    3x

    32 +

    3

    4x

    43 + C

    2

  • 2. Izracunajte

    (3x2 13x)dx.

    Rjesenje:

    (3x2 1

    3

    x)dx =

    3x2dx

    1

    3

    xdx =

    = 3

    x2dx 1

    3

    1xdx =

    = 3

    x2dx 1

    3

    1

    x12

    dx =

    = 3

    x2dx 1

    3

    x12 dx =

    = 3 x2+1

    2 + 1 1

    3 x

    12 +1

    12 + 1

    + C =

    = 3 x3

    3 1

    3 x

    12

    12

    + C =

    = x3 13 2x

    12 + C =

    = x3 23x

    12 + C

    3

  • 3. Izracunajte

    (4x + 1x)dx.

    Rjesenje:

    (4x +

    1x)dx =

    4xdx +

    1xdx =

    = 4

    xdx +

    1

    x12

    dx = 4

    xdx +

    x12 dx =

    = 4 x1+1

    1 + 1+

    x12 +1

    12 + 1

    + C =

    = 4 x2

    2+

    x12

    12

    + C =

    = 2x2 + 2x12 + C =

    = 2x2 + 2

    x + C

    4

  • 4. Izracunajte

    (x3 +

    x + x13 )dx.

    Rjesenje:

    (x3 +

    x + x

    13 )dx =

    x3dx +

    xdx +

    x

    13dx =

    =

    x3dx +

    x

    12dx +

    x

    13dx =

    = x3+1

    3 + 1+

    x12+1

    12 + 1

    +x

    13+1

    13 + 1

    + C =

    = x4

    4+

    x32

    32

    +x

    43

    43

    + C =

    = x4

    4+

    2

    3x

    32 +

    3

    4x

    43 + C =

    = x4

    4+

    2

    3x

    x +3

    4x

    43 + C

    5

  • 5. Izracunajte

    4xlnxdx.

    Rjesenje:

    4xlnxdx =

    [u = lnx dv = 4xdx

    du = 1xdx v =

    4xdx = 2x2

    ]=

    = u v

    vdu = lnx 2x2

    2x2 1xdx =

    = 2x2lnx

    2xdx = 2x2lnx 2

    xdx =

    = 2x2lnx 2 x2

    2+ C = 2x2lnx x2 + C

    6

  • 6. Izracunajte

    xexdx.

    Rjesenje:

    xexdx =

    [u = x dv = exdx

    du = dx v = ex

    ]=

    = u v

    vdu = xex

    exdx = xex ex + C

    7

  • 7. Izracunajte 2x2

    x22x+9dx.

    Rjesenje:

    2x 2

    x2 2x + 9dx =

    [t = x2 2x + 9dt = (2x 2)dx

    ]=

    =

    dt

    t= ln|t|+ C = ln|x2 2x + 9|+ C

    8. Izracunajte

    lnxx dx.

    Rjesenje:

    lnx

    xdx =

    [t = lnx

    dt = 1xdx

    ]=

    =

    tdt =

    t2

    2+ C =

    ln2x

    2+ C

    8

  • 9. Izracunajte

    xex2

    dx.

    Rjesenje:

    xex

    2

    dx =

    t = x2dt = 2xdx/ : 2dt2 = xdx

    = etdt2

    =

    =1

    2

    etdt =

    1

    2et + C =

    1

    2ex

    2

    + C

    10. Izracunajte

    6x2ex3

    dx.

    Rjesenje:

    6x2ex

    3

    dx =

    t = x3dt = 3x2dx/ 22dt = 6x2dx

    ==

    2etdt = 2et + C = 2ex

    3

    + C

    9

  • 11. Izracunajte

    e

    xdx.

    Rjesenje:

    e

    xdx =

    [t2 = x t =

    x

    2tdt = dx

    ]=

    =

    et2tdt = 2

    tetdt =

    =

    [u = t dv = etdt

    du = dt v = et

    ]=

    = 2

    (t et

    etdt

    )= 2(tet et) + C =

    = 2(

    xe

    x e

    x) + C =

    = 2

    xe

    x 2e

    x + C

    10

  • 12. Izracunajte odredeni integral 4

    11+

    xx2 dx.

    Rjesenje:

    41

    1 +

    x

    x2dx =

    41

    (1

    x2+

    x

    x2)dx =

    =

    41

    (x2 + x

    32

    )dx =

    41

    x2dx +

    41

    x32 dx =

    =

    (x2+1

    2 + 1+

    x32 +1

    32 + 1

    )41 =

    =

    (x1

    1+

    x12

    12

    )41 =

    =(x1 2x

    12

    ) 41 =

    =

    (1x 2

    x

    ) 41 =

    1

    4 2

    4(1

    1 2

    1

    )=

    = 14 1 + 1 + 2 = 7

    4

    11

  • 13. Izracunajte 21 x

    x + 2dx.

    Rjesenje:

    21

    x

    x + 2dx =

    [t = x + 2, x = t 2dt = dx

    ]=

    =

    21

    (t 2)t12dt =

    21

    (t32 2t

    12 )dt =

    =2

    5t

    52 2 2

    3t

    32 |21 =

    =2

    5(x + 2)

    52 4

    3(x + 2)

    32 |21 =

    = (2

    5 4

    52 4

    3 4

    32 ) (2

    5 1

    52 4

    3 1

    32 ) =

    46

    15

    12

  • 14. Odredite parametar b R, b > 1, takav da vrijedi 1b+1 b1(3x

    2+2x)dx = 4.

    Rjesenje:

    1

    b + 1

    b1

    (3x2 + 2x)dx =1

    b + 1

    ( b1

    3x2dx +

    b1

    2xdx

    )=

    =1

    b + 1

    (3

    b1

    x2dx + 2

    b1

    xdx

    )=

    1

    b + 1

    ((3 x

    3

    3+ 2 x

    2

    2)

    b1

    )=

    =1

    b + 1

    ((x3 + x2)

    b1

    )=

    1

    b + 1(b3 + b2 (1 + 1)) =

    =b3 + b2

    b + 1=

    b2(b + 1)

    b + 1= b2

    b2 = 4

    b = 2

    13

  • 15. Odredite parametar a R, a > 0 takav da vrijedi a

    0 x

    3x2 + 1dx = 19 .

    Rjesenje:

    a0

    x

    3x2 + 1dx =

    t = 3x2 + 1dt = 6xdx/ : 6dt6 = xdx

    = a0

    tdt

    6=

    1

    6

    a0

    tdt =

    =1

    6

    t32

    32

    a0

    =t

    32

    9

    a0

    =(3x2 + 1)

    32

    9

    a0

    =

    =1

    9(3a2 + 1)

    32 1

    91

    9(3a2 + 1)

    32 1

    9= 1

    91

    9(3a2 + 1)

    32 = 0

    3a2 + 1 = 0

    3a2 6= 1

    Ne postoji takav a R

    14

  • 16. Odredite parametar a R, a > 0 takav da je a 1

    a

    0 xe2xdx = 12 .

    Rjesenje:

    a

    1a

    0xe2xdx =

    [u = x dv = e2xdx

    du = dx v =

    e2xdx = .. .. = 12e2x

    ]

    t = 2xdt = 2dx/ : 2dt2 = dx

    = etdt2

    =1

    2

    etdt =

    1

    2et =

    1

    2e2x

    a

    (x 1

    2e2x

    1

    2e2xdx

    )= a

    (x1

    2e2x 1

    2 12e2x) 1a

    0=

    = a

    ( 1a

    2e

    2a 1

    4e

    2a +

    1

    4

    )= a

    (1

    2ae

    2a 1

    4e

    2a +

    1

    4

    )=

    =1

    2e

    2a 1

    4ae

    2a +

    1

    4a

    1

    2e

    2a 1

    4ae

    2a +

    1

    4a =

    1

    2

    e2a

    (1

    2 1

    4a

    ) 1

    2+

    1

    4a = 0

    e2a

    (1

    2 1

    4a

    )(

    1

    2 1

    4a

    )= 0(

    1

    2 1

    4a

    )(e

    2a 1

    )= 0

    e2a 1 = 0 e

    2a = 1 e

    2a = e0

    2

    a= 0 2 = 0

    Ne postoji a za koji je e2a 1 = 0.

    1

    2 1

    4a = 0 a = 2

    Konacno rjesenje: a=2

    15

  • 17. Neka je a R, a > 1. Odredite za koje vrijednosti parametara a vrijedi a2a

    (xln2x)1dx =1

    4

    Rjesenje:

    a2a

    (xln2x)1dx =

    a2a

    1

    xln2xdx =

    [t = lnx

    dt = 1xdx

    ]=

    =

    a2a

    dt

    t2=

    a2a

    t2dt =t1

    1|a2a =

    1

    t|a2a =

    1

    lnx

    a2a

    =

    = 1lna2

    +1

    lna= 1

    2lna+

    1

    lna=1 + 22lna

    =1

    2lna1

    2lna=

    1

    42lna = 4/ : 2

    lna = 2/e

    elna = e2

    a = e2

    16

  • 18. Izracunajte harmonijsku srednju vrijednost funkcije f(x) = 1x na intervalu[1, 2]. (Harmonijska se srednja vrijednost funkcije f(x) na intervalu [a, b]definira kao H = ba b

    adx

    f(x)

    ).

    Rjesenje:

    H =2 1 2

    1dx1x

    =1 2

    1 xdx=

    1x1+1

    1+1

    21

    =

    1x2

    2

    21

    =1

    222

    122

    =1

    2 12=

    132

    =2

    3

    17

  • 19. Izracunajte geometrijsku srednju vrijednost funkcije f(x) = ex na intervalu[0, 1]. (Geometrijska se srednja vrijednost funkcije f(x) na intervalu [a, b]

    definira kao G = e1

    ba b

    alnf(x)dx).

    Rjesenje:

    G = e1

    10 10

    lnexdx = e 10

    xdx =

    = ex1+1

    1+1

    10 = e

    x2

    2

    10 = e

    12

    2 022

    =

    e

    18

  • 20. Odredite velicinu povrsine koju omeduju grafovi funkcija y = 4 x2 iy = x4 16.

    Rjesenje:

    y = 4 x2

    a = 1 < 0

    x = 0 y = 4

    Sjeciste krivulje s x-osi:

    4 x2 = 0x2 = 4

    x = 2

    y = x4 16a = 1 > 0

    x = 0 y = 16

    Sjeciste krivulje s x-osi:

    x4 16 = 0x4 = 16

    x = 2

    19

  • Sjeciste krivulja:

    4 x2 = x4 164 x2 x4 + 16 = 0x4 x2 + 20 = 0x2 = t x =

    t

    t2 t + 20 = 0

    t1,2 =1 92

    6 t1 = 5t2 = 4

    x =

    4 = 2

    P =

    22

    (4 x2 x4 + 16)dx = 22

    (x4 x2 + 20)dx =

    =

    (x

    5

    5 x

    3

    3+ 20x

    ) 22

    = 6113

    15

    20

  • 21. Izracunajte povrsinu lika omedenog grafovima funkcija y(x) = x3

    i y(x) = 4x

    Rjesenje:

    Sjecista krivulja: